卷2 第二十四章 一元二次方程 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（冀教版）

数 学 九年级上册 冀教版 1 2 3 卷2 第二十四章基础诊断卷（A卷） 考查内容：一元二次方程 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出的选项 中只有一个选项符合题意） 1.［2025四川成都龙泉驿区月考］下列方程中，属于一元二次方程的是( ) D A. B. C. D. 【解析】由一元二次方程的定义知 是一元二次方程.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 上分技巧 一元二次方程满足的条件 ①等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 2.［2025山东青岛二中月考］一元二次方程 用直接开平方法可转化为 两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 ，则另一个一元一次方程 是( ) C A. B. C. D. 【解析】，，即或 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 3.［2025广东河源月考］已知，是一元二次方程 的两个实数 根，则 等于( ) C A.3 B. C. D. 【解析】根据根与系数的关系得 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 4.［2025山东青岛月考］下列方程中没有实数根的是( ) B A. B. C. D. 【解析】A选项， ，方程有两个不相等的实数根，本选 项不符合题意；B选项， ，方程没有实数根， 本选项符合题意；C选项， ，方程有两个不相等的实 数根，本选项不符合题意；D选项， ，方程有 两个相等的实数根，本选项不符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 5.易错题［2025河南洛阳月考］已知方程，则 的值为 ( ) D A. B.0 C. D. 或0 【解析】，或，解得， . 当时，；当时， .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 6.［2025福建厦门月考］题目：两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的 奇数为 ，则根据题意列出的方程正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】依题意得较大的奇数为，则 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.［2025河北石家庄月考］若关于的一元二次方程 的一 个解是，则 的值是( ) A A.2 026 B.2 015 C.2 024 D.2 023 【解析】把代入一元二次方程得 ， ， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 上分心得 整体思想 “整体思想”是代数式求值时的常用思想，一般在要求值的式子中寻找那个“整体”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 8.［2025安徽阜阳月考］4位同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一 个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是 ( ) D A.小张 B.小王 C.小李 D.小赵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】 步骤 具体做法 1.移项：含未知数的项在左，常数项 在右 ， 2.配方：两边同时加上一次项系数一 半的平方 ， 即 3.直接开平方 ,或 4.写出方程的两个解 解得， 5.判断错误步骤 错误的是小赵，故选D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 上分警示 使用配方法的注意事项 在最后开平方时,要注意方程左右两边都要开平方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 9.［2025河北保定月考］已知，是一元二次方程 的两个根， 且，则函数 的图像不经过( ) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】，是一元二次方程的两个根，且 ， ，， 函数为，则函数 的图像不经 过第二象限，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 10.［2025河北承德月考，中］某正方形合金板材的成本（元）与它的面积 成正比，设该正方形合金板材的边长为，当时， ，那么当成本为 64元时，边长为( ) C A. B. C. D. 【解析】设.由题意得，解得，.当 时， ，解得 （负值已舍去）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 11.［2025江西南昌月考，中］某厂家2024年4月生产的机器数量为180台，6月生产 的机器数量为461台，该厂家生产的机器数量的月平均增长率为，则 与下列哪个 数最接近( ) A A.0.60 B.1.60 C.2.56 D.无法计算 【解析】根据题意得，解得, （舍去），则 与选项A中的数最接近.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 上分技巧 平均增长率问题 平均增长率问题中的一般公式为，其中是平均增长率， 为增长的 次数，为初始数据， 是增长后的数据. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 12.新考法［2025福建厦门期中，偏难］数学家塔 比·伊本·库拉在其研究中讨论了二次方程的几何解法. 例如：可以用如图所示图形来解关于 的方程 ，其中四边形 为长方形，四边形 B A.的长 B.的长 C.的长 D. 的长 【解析】设正方形的边长为 ，则 ， ，即，则方程 的其中一个 正根为 的长.故选B. 为正方形，且，，则方程 的其中一个正根 为( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 二、填空题（本大题共4小题，共12分） 13.［2025湖北黄石月考］已知是关于 的一元二次方 程，则 的值为____. 【解析】由题意知，且，解得.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 14.开放性问题［2024江苏南通中考］已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，请写出一个满足题意的 的值：__________________. （答案不唯一） 【解析】 关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ，解得，则的值可以为.故答案为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 15.跨学科问题［2024浙江杭州模拟，中］小明利用杠杆原理（杠杆平衡时，动力 ×动力臂阻力×阻力臂）称药品质量.如图，当质量为 克的药品分别放在左盘、 右盘时，另外一盘分别放质量为20克、5克的砝码时杠杆平衡，则 的值为____. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 【解析】如图，由第一个图可得，则 ；由第二个图可得 ，则，，解得 （负值舍去），故 答案为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 上分点拨 寻找等量关系 当题中的等量关系不足以直接列出一元二次方程时，可以先把表示已知的等量关 系的等式列出来，再寻找这些等式之间的关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 16.［2025河北沧州月考，偏难］如果关于的一元二次方程 有两 个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”. （1）一元二次方程 ____（选填“是”或“不是”）“倍根方程”； 是 【解析】因式分解，得，或， ， 是2的2倍， 方程 是“倍根方程”，故答案为是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （2）若是“倍根方程”，则 的值为_______. 12或3 【解析】，或，解得， . 是“倍根方程”， 当是3的2倍时， ，则 ；当3是的2倍时，，则 ，故答案为12或3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 17.［2025云南昭通月考］（8分）解方程： （1） . 【解】中，，， ， …………（1分） ， …………（2分） ， ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （2） . 【解】整理得 ， ，…………（6分） 或 ，…………（7分） ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 18.［2024四川遂宁中考］（7分）已知关于 的一元二次方程 . （1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； 【证明】中，，， ， . …………（2分） ，, 无论 取何值，方程都有两个不相等的实数 根.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）如果方程的两个实数根为，，且，求 的值. 【解】方程的两个实数根为， ，则 ， . …………（5分） ，即 ， ,…………（6分） 整理得,,解得，, 的值为 或1.…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 19.［2025江苏南京秦淮区月考］（8分）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能 握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”（这三部分都是矩形） 及分隔这三部分的“隔水”组成.下图中手卷长，宽 ，引首和拖尾完全相 同，其宽度都为.若隔水的宽度为，画心的面积为，求 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【解】 隔水的宽度为， 画心的长为 ，宽为 .根据题意，得 , …………（5分） 解得（不合题意，舍去）， . 答： 的值为10.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 20.［2025北京清华附中月考］（8分）已知关于 的一元二次方程 . （1）若方程的一个根是，求 的值； 【解】把代入方程得 ，解得 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）［中］在中， ，斜边长，两直角边的长， 恰好 是方程的两根，求 的值. 【解】 两直角边的长，恰好是方程 的两根， ， . …………（5分） ，， ， ，整理得 ，…………（7分） 解得（舍去），， 的值为4. …………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 21.［2025河北保定莲池区月考］（10分）某种产品进价为120元/件，试销阶段发 现该产品日销售量（件）与每件售价 （元）之间的关系满足如下表所示的一次 函数关系： 每件售价 （元） 130 150 165 … 日销售量 （件） 70 50 35 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （1）求日销售量（件）与每件售价 （元）之间的函数关系式； 【解】设日销售量（件）与每件售价 （元）之间的函数关系式为 .将（130，70），代入得 …………（3分） 解得 日销售量（件）与每件售价 （元）之间的函数关系式为 . …………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （2）［偏难］当该产品每件售价定为多少元时，每日销售的利润可达到1 500元？ 【解】根据题意得 ，整理得 ，…………（8分） 解得， . 答：当该产品每件售价定为170元或150元时，每日销售的利润可达到 元.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 22.探究性问题［2025广东深圳月考］（11分）下面是小军同学的数学日记，请仔 细阅读并完成相应的任务. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程（组）的解法有 一定的规律，解一元一次方程时，把方程转化为 的形式；解二元一次方程 组时，把它转化为一元一次方程求解；解三元一次方程组时，把它转化为二元一 次方程组求解；解一元二次方程时，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式 方程时，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方 程必须检验.各类方程（组）的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思 想——转化，把未知转化为已知，把多元转化为一元，把复杂转化为简单. 运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程. 例如：解一元三次方程 ，第一步，提出 ；第二步，转化为两个方程：____或____；第三步，解得 ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【问题】 （1）将小军解一元三次方程 过程中的第二步补充完整：______ 或_______________；（写出的两个方程正确即可，顺序可以调换） 【解】由得或.故答案为 ， .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 【类比】 （2）方程的解是，___， ________________； 1 （或，1）. 【解析】原方程转化为，或 ， ，，，或,,.故答案为1， （或 ，1）.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 【拓展】 （3）［中］解方程组 【解】 由②得 .③ 把③代入①并整理得 ，…………（5分） ，解得，， ， ， 原方程组的解为 …………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 【应用】 （4）［偏难］如图，已知矩形草坪的长，宽，点 在 上，小明把一根长为的绳子一端固定在点 处，另一端固定在 点处，把绳子拉起并固定在上的点处，求 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 【解】设，则 . 四边形 是矩形， ， . 在中， ， 即，则 .…………（8分） 在中， ， 即 ， 则 .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 ， ， ，，解得， ，………… （10分） 或，则或 . ，的长为 .…………（11分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $$