卷9 第四章 图形的相似 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 卷9 第四章提优验收卷（B卷） 考查内容：图形的相似 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.［2024广东东莞校级一模］一段加固后的护栏及其局部示意图如图所示，该护栏 竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已 知，则 的长度为( ) C （实物图） （局部示意图） A. B. C. D. 时间： 满分：120分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 【解析】如图，过点作交于点，交于点 且任意相 邻两根木条之间的距离相等，.， ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.［2025湖北鄂州月考］已知 ，下列等式不一定成立的是( ) D A. B. C. D. 【解析】，，，，与 不一定相等，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.［2025浙江余姚期中］下图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是( ) A A.点 B.点 C.点 D.点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 【解析】如图，连接对应点，交于点，则点 即为位似中心． 故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 （第4题图） 4.［2024贵州铜仁期末］如图是某景区大门部分建筑示意图，已 知，,，当时， 的长是( ) C A. B. C. D. 【解析】，，即， ，故 的长是 ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第5题图） 5.［2024陕西渭南一模］如图，与位似，点 是它们的位似中心，且相似比为 ，则下列结论正确的 有( ) B ；；； ． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】与位似，相似比为，， ， ，， 易得， ， ，，而 ，故①④错误，②③正确.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 6.新考法［2024河北邯郸二模］如图是一把折叠椅及其 侧面的示意图，把一个钢卷尺垂直地面放置，其中 与 “0”刻度线重合，点落在“30”刻度线上， 与“50”刻度 线重合.若测得，则 的长是( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题意得， 易得，. ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.［2025天津南开区一模，中］如图，中， ， ， ．将 按下列选项中的方式剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相 似的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】 选项 分析 结论 A ， ， 不符合题意 B ，， 不符合题意 C 由题图可知， ， ， ， .又， 不符合题意 D 由已知条件无法证明与 相似 符合题意 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第8题图） 8.［2024云南昆明盘龙区模拟，中］如图，是 的中线， ，分别是，的中点，连接，则 ( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】 . 上分点拨 相似三角形的面积比 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 （第9题图） 9.［2024河南洛阳洛龙区一模，偏难］如图，正方形 的边长为 3，点是上一点，连接，交于点．若，则 ( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】如图，过作于 四边形 是边长为3的正方形， ，， ， ，，， 易得 ， ，.， 易得， ， ．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 10.［2024浙江温州鹿城区一模，难］如图，把一张宽为的矩形纸片 沿 ，折叠．顶点，，，的对应点分别为，，，，点与 重合， 点恰与，的交点重合．若，则 的长为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 【解析】 四边形为矩形，，， ， ， 设， .由折叠的性质可 得，，，， ， ， ， ， ， ， , ，,,三点共线， .又 ，， ，即 ，整理得，解得， （不合题意，舍去），， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 ， 在中，由勾股定理得， .设 ，则 ， ， .又 ，， ， ，，即， ， .在中，， ，由勾股定 理可得 ， ., ， 解得， ，故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） （第11题图） 11.［2025浙江瑞安月考］如图（1）是由若干个相似直角 三角形组成的美妙螺旋线，选择其中两个相邻的直角三角 形如图（2）所示．若，， ， 则 的长为___． 【解析】 ，， ， ， ， ， ，即 ， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （第12题图） 12.［2025河北石家庄期中］如图，在平行四边形 中， ，，则 ____． 【解析】， 四边形 是平 行四边形，，， , .又， ， ，，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 13.［2025浙江宁波宁海校级质检］有五本形状为长方体的书放置在 长方体书架中，其截面如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点 正好在书架边框上．每本书的厚度为，高度为 ，书架长 ，则 的长为_ ______． 【解析】由题知， ， ，， ， ， ， ，， ，即 ，.在中，由勾股定理得 ，即 ，解得或（舍去），故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （第14题图） 14.［2024四川乐山一模，中］古希腊数学家欧多克索斯在深入研 究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段 分 为两条线段，，使得其中较长的一段是全长 与较短 的一段的比例中项，即满足，后人把 这个 数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在 中， 已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则 的面 积为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 【解析】如图，过点作于点， ， .在中， . ，是边 的两个“黄金分割”点， ， ， ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （第15题图） 15.［2025广东揭阳期末，难］如图，矩形的对角线 ， 相交于点，过点作，交于点.若 ， ，则 的长为___． 2 【解析】 四边形是矩形，其对角线，相交于点 ， ，，， ， ，， ， ， ，,即，解得 或 （舍去）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （第16题图） 16.［2025河南平顶山期末，难］如图， 中三个顶点的坐标 分别为，，，为的一条中线，以 为位似 中心，把每条边扩大到原来的2倍，得到，则 的 长为______． 或 【解析】 点,,的坐标分别为，， ， ，为 的一条中线， .以为位似中心，把 每条边扩大到原来的2倍，得到 ，则.当点在第一象限时， ； 当点在第三象限时，.综上所述，的长为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2025湖南娄底期末］（8分）如图，中，是边 上的 高，，，作矩形，使它的一边 在 上，顶点，分别在，上，与的交点为 ，且矩形 的长是宽 的2倍． （1）求证： ； 【证明】 四边形为矩形， ， ，， . 又 ， ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）试求矩形 的周长． 【解】设，则，.由（1）可知， ， ，, 矩形的周长为 .………… （8分） 【关键点拨】掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 18.［2025江苏靖江期中］（10分）如图，的顶点与线段 的端 点，均在边长为1的正方形网格的格点上． （1）请找一个格点，使得，并画出 . 【解】如图，点及即为所求（点及 位置不唯 一）.…………（4分） （2）①在（1）的条件下，与 的相似比是 _ ______________________________； （或）…………（7分） 【解析】由（1）可知，，与的相似比是 ．故答 案为（或 ）． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 ②____________________ ． 45…………（10分） 【解析】如图，取点关于的对称点，连接并延长，交网格线于格点 ， 连接，，则， ， . 由勾股定理得， ， ，，， ， 为等腰直角三角形， ， ．故答案 为45． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 【关键点拨】掌握相似三角形的性质及判定是解题关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 19.［2025浙江杭州上城区质检］（10分）如图，点为 的边上一点，连接并延长至点，使得，点 在线 段上，且，， ． （1）若，求 的长． 【解】 ， 易得 ，…………（2分） ， ， ．…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）若 ，平分，求 的长． 【解】如图，过作于 . ， . 平分， ， ，， ， ， ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 ，，， 易得， ， ， ， .…………（8分） ,， ， ．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【关键点拨】根据相似三角形的判定与性质即可求解． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 20.项目式学习［2025河南驻马店期末，中］（12分）某“综合与实践”小组开展测 量本校旗杆高度的实践活动．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地 测量，测量报告如下： 课题 测量旗杆的高度 成员 组长： 组员： ， ， 测量工 具 皮尺，标杆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 测量示 意图 _____________________________________________________ 说明：在水平地面上直立一根标杆 ，观测者沿着直线 后退到点 ，使眼睛、标杆的顶端 、旗杆的 顶端 在同一直线上 测量数 据 观测者与标杆的距离 观测者与 旗杆的距 离 标杆 的长 观测者的眼睛离 地面的高度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解决思 路 如图，过点作于点，交于点 请根据以上测量结果及该小组的思路,求出学校旗杆 的高度． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【解】由题意得，， ， .…………（2分） ， . ， , ，…………（6分） ， ， ，…………（10分） ， 学校旗杆的高度为 ．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 【关键点拨】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与 性质是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 21.［2025甘肃武威月考］（12分）如图，在中，点，， 分别在边，，上，连接，，，与交于点． 已知四边形是平行四边形，且 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 （1）［中］若，求线段， 的长． 【解】 四边形 是平行四边形， ，， ， 易得， . ， ，…………（3分） . ，, . ， 易得， ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【思路分析】根据平行四边形的性质得出，， ，即可判 定， ，再根据相似三角形的性质求解即可； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 （2）［难］若四边形的面积为48，求 的面积． 【解】， ， . ， . 四边形的面积为48， . ，，， ， ．…………（12分） 【思路分析】根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求出 ，再 结合比例的性质求解即可． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 22.［2025四川巴中巴州区期中］（14分）如图，，且，是 的中点，是边上的动点，与相交于点，连接 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 （1）求证： ； 【证明】，点是 的中点， ． 又 ， 四边形 为平行四边形，…………（2分） ， ． 又 ， .…………（4分） 【关键点拨】掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 （2）［中］若是的中点，，求 的长； 【解】 四边形 为平行四边形， . ， .…………（5分） 是的中点， ， ， .…………（6分） ， .…………（8分） 【关键点拨】见（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 （3）［难］若，平分，点是线段上的动点，连接， , 是否存在点使得？若存在，求出 的度数；若不存在，请 说明理由． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 【解】存在.， . 平分， ， ， . ， ， ， .…………（10分） ， ， .…………（12分） ， 是等边三角形， ， ， ， ．…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 52 【关键点拨】找到与所求的角相等的角以及证明 是等边三角形是解决问题 的关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 53 $$