卷1 第一章 特殊平行四边形 上分专题（2） 特殊平行四边形的动态问题-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 上分专题（二） 特殊平行四边形的动态问题 重难上分 攻克难点 4 类型1 点动型 类型2 线动型 类型3 图动型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 点动型 母题学方法 上分攻略 点动型问题涉及单动点和双动点问题，是指动点沿着一定的路径运动，形成新的 图形.解答这类问题通常是利用特殊图形的性质求解. 1.［2025河南焦作月考，中］如图，在菱形中， ， ，点 ，分别为，上的动点， .点从点向点 运动的过程中， 的长度( ) D （第1题图） A.逐渐增加 B.先减小再增加 C.恒等于 D.恒等于4 1 2 3 4 5 6 7 8 7 （第1题图） 【解析】如图，连接 四边形是菱形， ， ，， ， 和都是等边三角形， ， .又 ， ， . 在和 中， ， ， ．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 8 子题练变式 （第2题图） 2.［2025河南郑州二七区校级月考，偏难］如图，在正方形 中，点从点出发，沿边方向向终点 运动， 交于点，以，为邻边构造平行四边形 ， 连接，则 ( ) B A. B. C. D.无法确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （第2题图） 【解析】过点作交的延长线于 ，如图所示，则 四边形为正方形， ， ， ， ，.在和 中， ， 四 边形是平行四边形，，，， ， .又 ，.在 和 中， 1 2 3 4 5 6 7 8 10 ， ， ，，， ， ，为等腰直角三角形， ， ，． 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 3.［2024江苏泰州海陵区期中，偏难］如图，线段的长为12，点在 上 （不与端点重合），以为边向上作等边，过作与垂直的射线 ，点 是上一动点（不与点重合），以，为边作矩形，对角线 与 交于点，连接，则线段 长度的最小值为___. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 12 【解析】如图，连接 四边形是矩形，， ， ，是等边三角形， ， ， ， ， 点一定在的平分线上运动， 当 时，的长最小. ，， 此时 ，即 长度的最小值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 13 4.［2025辽宁沈阳于洪区校级月考］如图，已知平行四边形的对角线 ， 相交于点，，，两动点，同时以 的速度分 别从点，出发在线段上相向运动，点到点，点到点 时停止运动． 1 2 3 4 5 6 7 8 14 （1）求证：当点，在运动过程中不与点重合时，以点，，， 为顶点的 四边形为平行四边形； 【证明】连接，，， 两动点，同时以 的速度分别从点 ，出发在线段上相向运动， 平行四边形的对角线 ， 相交于点，，.当点在上，点在 上时， ，即， 四边形为平行四边形.当点在 上， 点在上时，,即, 四边形 为平行四边形.故 当点,在运动过程中不与点重合时，以点，，， 为顶点的四边形是平行 四边形． 1 2 3 4 5 6 7 8 15 （2）［中］当点，的运动时间为何值时，四边形 为矩形？ 【解】由已知条件可得.由（1）可知四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形．①当点在上，点在 上时， ，，解得.②当点 在上，点在上时， ， ，解得 ． 综上所述，当点，的运动时间为或时，四边形 为矩形． 1 2 3 4 5 6 7 8 16 类型2 线动型 母题学方法 上分攻略 线动型问题是指图形中有某条直线（或线段）运动的综合性问题.直线（或线段） 绕一个点运动、直线（或线段）平移或直线（或线段）上有两个点按各自的路线 在运动，这样的问题都是线动型问题.在解答此类问题时，遇到特殊图形一定要运 用特殊图形的性质，但题目未点明特殊图形时，一定要注意解答问题要具有一般 性，不能用特殊代替一般. 5.［2024浙江慈溪期末］如图，在矩形中， ， ，把边沿对角线平移，移动后的点， 分别对 应点，，连接， . （1）求证：四边形 是平行四边形. 【证明】由平移可知， 四边形 是 矩形，，，，， 四边形 是平行 四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 18 （2）［中］当平行四边形为菱形时，求边 平移的距离. 【解】如图，连接交于 . 四边形是菱形，，.在矩形 中， ，， ， ， ， ，， ， 边 平移的距离为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 19 子题练变式 6.［2024湖北武汉期末］在菱形中， ，点是对角线 上一动 点，将线段绕点顺时针旋转 到，连接 . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 20 （1）如图（1），求证： . 【证明】 四边形 是菱形， ，， ， . 由旋转得， ， ， .在和中， . 1 2 3 4 5 6 7 8 21 （2）［偏难］如图（2），连接并延长，分别交，于点， . ①求证： . 【证明】由（1）得 ， ， . 在上取点，连接,使 ，如图所示, 则， . 在和中， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 22 ②若的最小值为，直接写出菱形 的面积为_____. 【解析】连接,易得是等边三角形.由①知， 易得 .当时，最小，此时最小，则 ， ， 菱形的面积为，故答案为 . 上分总结 等边三角形的面积 若等边三角形的边长为,则 . 1 2 3 4 5 6 7 8 23 类型3 图动型 母题学方法 上分攻略 图动型问题是指某个图形运动的综合性问题.图动型问题常与图形的平移、旋转和 翻折联系在一起.解决图动型问题的总体思路仍然是化动为静，关键在于从相对静 止的瞬间，清晰地发现量与量之间的关系，从而找出解决问题的途径. 7.［2024山东招远期中，中］如图，在菱形中，点 的坐 标为，点的坐标为，点在 轴正半轴上.若将菱 形平移，使得平移后点的对应点与点 重合，则此时 点 的对应点的坐标为( ) D A. B. C. D. 【解析】 点的坐标为，点的坐标为，， ， 四边形是菱形，， ， ， 平移后点的对应点与点 重合， ，， 菱形 向右平移9个单位长度，向上 平移3个单位长度， 点的对应点的坐标为，即 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 25 子题练变式 8.［2023广东深圳模拟］如图（1），等腰直角三角形的直角顶点 为正方形 的中心，点，分别在和上，现将绕点 逆时针旋转 ，连接， （如图（2））. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 26 （1）在图（2）中，当 时，____ . 60 【解析】绕点逆时针旋转 ， . 四边形为正方形， ， . 故答案为60. 1 2 3 4 5 6 7 8 27 （2）［偏难］在图（2）中猜想与 的数量关系与位置关系，并证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 28 【解】， .证明如下： 四边形为正方形， ， . ， . 为等腰直角三角形， . 在和中， ， ， . 如图，延长交于，交于 ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 29 $$