卷1 第一章 特殊平行四边形 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 卷1 第一章基础诊断卷（A卷） 考查内容：特殊平行四边形 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） （第1题图） 1.［2025四川成都月考］如图为汽车常备的一种千斤顶的原 理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手 柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当 时， 的度数为( ) D A. B. C. D. 【解析】 四边形是菱形，是对角线， ， 平 分， ，故选D. 时间： 满分：120分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 （第2题图） 2.［2025浙江杭州月考］某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径， 如图，小径，恰好互相垂直，小径的中点与点 被湖隔 开.若测得小径的长为，则， 两点间的距离为( ) A A. B. C. D. 【解析】连接，是 的中点， ，，两点间的距离为 ．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 （第3题图） 3.［2024广东深圳中学模拟］如图，在菱形中，对角线 ， 相交于点．若，，则菱形 的面积为( ) C A.18 B.20 C.24 D.28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 【解析】 四边形是菱形，对角线，相交于点， ， ，， ， ， ，故选C. 上分总结 菱形面积的求法 ①菱形对角线长的乘积的一半；②由对角线分割成的四个小直角三角形的面积和； ③菱形的底边长乘相应的高. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.［2025河北石家庄期中］依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 【解析】A选项， ， 四边形 是矩形，故选项A不 符合题意选项，，， 四边形 是平行四边形， 不能判定为矩形，故选项B符合题意选项， ， ，， 四边形 是平行四边形. 又 ， 平行四边形为矩形，故选项C不符合题意 选项， ，， 四边形是平行四边形. ， ，是直角三角形，且 ， 平行四边形 是矩形，故选项D不符合题意.故选B． 上分总结 判断一个四边形是矩形的依据 ①有三个角是直角的四边形是矩形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 5.［2025辽宁沈阳皇姑区校级月考］如图，正方形中，点 是 对角线上的一点，且，连接，则 的度数为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 四边形是正方形，是其对角线， ， ， ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 6.［2025河南郑州月考］茂名东汇城为了方便司机停泊车辆而设计了图（1）所示 的平行四边形的停车位，如图（2），四边形 为平行四边形，小车实际占用 位置为矩形.若，， ，则 的长为( ) A 图（1） 图（2） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 【解析】 四边形为平行四边形，小车实际占用位置为矩形 ， ，，， ， ， ， ， ， ， ．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 7.［2025山东青岛市南区月考］如图，是矩形对角线 的中 点,是边的中点.若，，则线段 的长为( ) A A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】 四边形是矩形，是对角线 的中点， ， ，.又是边的中点， 是 的中位线，， ， ， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 8.［2024山西中考，中］在四边形中，点，，，分别是边， ， ，的中点，，交于点.若四边形的对角线相等，则线段与 一定满足的关系为( ) A A.互相垂直平分 B.互相平分且相等 C.互相垂直且相等 D.互相垂直平分且相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】如图，连接，，，，，， 分别 是，的中点，是的中位线， ， 同理，，， ， ，， 四边形 是平行四边形. 上分心得 中点四边形 顺次连接四边形各边中点而得到的四边形为中点四边形，中点四边形一定是平行 四边形. ，， 四边形是菱形，与 互相垂直平分.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 1.当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 2.当原四边形对角线互相垂直时，其中点四边形为矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 3.当原四边形对角线互相垂直且相等时，其中点四边形为正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 9.［2025北京海淀区校级期末，中］如图（1），在中，， 为钝角．要在对边，上分别找点，，使四边形 为菱形．现有图（2） 中的甲、乙两种用尺规作图确定点， 的方案，则可得出结论( ) D 图（1） 图（2） A.只有甲正确 B.只有乙正确 C.甲、乙都不正确 D.甲、乙都正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 【解析】方案甲：根据作图可知平分，， 在中，，，， ， ， 四边形是平行四边形.又， 四边形 是菱 形，故方案甲正确.方案乙：根据作图可知， ， ， 四边形是平行四边形.， 四边形 是菱形，故方案乙正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 10.新考法［2025山西太原月考，难］如图，点是正方形 的 边上的一点，线段交于点，连接 ．下列结论一定成立 的是( ) C A. B.平分 C. D.平分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】 四边形是正方形，， ， .在和 中， ， ， ，故选项C一定成立，符合题意.对于选项B、D，当 时，平分成立，平分成立.理由： ， ， ， ， ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 ，平分，平分 ，故选项B、D不一定成立， 不符合题意.对于选项A，当时，成立.理由： , ， ， , ,, ,故选项A不一定成立，不 符合题意．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.开放性试题［2024湖南长沙模拟］已知四边形的对角线,相交于点 ， 且,,要使四边形 为菱形，则可添加的条件是_____________ ______________（添加一个条件即可，不添加其他的点和线）． （答案不唯一） 【解析】 四边形的对角线,相交于点，且,, 四 边形为平行四边形， 当时，为菱形，故答案为 （答案不唯一）． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （第12题图） 12.［2025广东佛山禅城区月考］如图，在矩形中，是 边上一点，是的平分线， ，则 ____ 65 【解析】 四边形是矩形， ， ， ， 是 的平分 线， ，故答案为65． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （第13题图） 13.［2025四川达州月考］如图，在正方形和正方形 中， 点在上，，，是的中点，那么 的长是 _ ___． 【解析】如图，连接, 四边形， 都是正方形， ，， ， ， ．根据勾股定理，得 ， ，则 ．在中，点是 的中点， ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （第14题图） 14.［2025陕西西安期末］如图，菱形 的周长为20，面积 为24，是对角线上一点，过点分别作， 的垂线段 ，，则 等于____． 4.8 【解析】 菱形 的周长为20，面积为24， ，.连接 过点分别作， 的垂线段，， ， ， ．故答案为4.8． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 15.［2025广东深圳龙岗区月考，中］如图，从边长为2的正方形 内部取一点 ，使它与正方形两个相邻的顶点，间的距离及到边的距离都相等，则 等 于__． （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 【解析】如图，过点作于点，延长交于点 ，则 ，垂直平分， 四边形 是正方 形， .又 ， 四边形 是矩形， .设，则， 在 中，由勾股 定理，得，解得，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 16.［2025江苏徐州铜山区期中，偏难］如图，在矩形中，， ， 点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作 的垂线 交于点，连接,则 长度的最小值为___. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 【解析】如图，连接， ， 四边形 是矩形， ， 四边形为矩形，， 的长度 上分心得 矩形的对角线 矩形的两条对角线长度相等且互相平分. 最小时，的长度也最小． 点从点沿着向点移动， 当 时， 取最小值．在中， ，， ， ， ，长度的最小值为．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2025宁夏银川期末］（8分）如图，菱形的周长为 ， ,对角线，交于点 ．求： （1）菱形的对角线长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 【解】 菱形的周长为 ， . ，对角线，交于点 ， ， ，, ,…………（2分） 是等边三角形， ， , ， , 菱形的对角线长，长 ．…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）菱形的面积． 【解】菱形的面积为 ．…………（8分） 【关键点拨】本题主要考查的是菱形的性质及面积，熟练掌握菱形的性质并利用 公式准确求出菱形的面积是解题的关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 18.新考法［2025重庆沙坪坝区校级期中］（10分）如图，四边形 是矩形，为上一点， ． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为 （不写作法，保 留作图痕迹）； 【解】如图， 即为所求. …………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 【思路分析】以为圆心，长为半径画弧交于，再分别以， 为圆心，大 于的长为半径在左侧画弧，交于点，连接并延长交于， 即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （2）在（1）的条件下，为了证明 ，小马同学的想法为先证明 ,再利用矩形性质，得到结论.请根据小马同学的想法完成下面的填空． 证明： 四边形是矩形，，， . ，_______.，____.又 ， ____________.，，____， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 【解析】 四边形是矩形，，， ， . ， . 又 ， . ， ， ，．故答案为, ,, ．…………（10分） 【思路分析】按照步骤作答即可． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 19.［2025江苏常州新北区校级月考］（10分）如图， ，点是线段 的中点． （1）求证： ； 【证明】 ，点是线段的中点， ， ， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）若 ，，求 的长． 【解】 ，为线段 的中点， . ， ， ， 的长为6．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 【关键点拨】熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质、含 角的直角三角形的 性质是解此题的关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 20.［2025广东江门月考］（12分）如图， 是平行四边形 的对角线， ，延长至点，使 ， 连接交于点，连接 ． （1）［中］求证：四边形 是矩形； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 【证明】 四边形 是平行四边形， ， . 延长至点,使，，， 四边形 是平行四边 形.…………（3分） ， , 四边形 是矩形.…………（6分） 【思路分析】先证明四边形 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四 边形是矩形，即可得证； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （2）［中］连接，若，，求 的长． 【解】如图，过作于 . 四边形 是矩形， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 ， .…………（8分） ， ， . ， ， 是 的中位线， ， ．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【思路分析】过作于，根据三角线的中位线定理求出 的长，再根据 勾股定理即可求出 的长． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 21.［2025安徽淮北期末］（12分）如图，在 中， ，过点的直线，为 边上 一点，过点作，垂足为，交直线于 ，连 接， ． （1）求证： ； 【证明】，垂足为, ， ，，即， 四边形 是平行四 边形，. …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 （2）［中］当为的中点时，四边形 是什么特殊的四边形？说明你的理由； 【解】四边形 是菱形.…………（5分） 理由：为的中点， . ， . ，即 ， 四边形 是平行四边形. ，为中点， ， 四边形 是菱形.…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 （3）［偏难］在（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形 是正方 形？说明你的理由. 【解】当 时，四边形 是正方形（答案不唯一）.…………（10分） 理由： ， ， . 由（2）可知，四边形 是菱形， ， ， 四边形 是正方形．（理由与条件对应）…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 【关键点拨】解题的关键是灵活运用平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判 定及正方形的判定. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 52 22.探究性试题［2025山东济南育英中学期末］（14分） 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 53 （1）如图（1），四边形是一个正方形花园，， 是它的两个门，且 ．要修建两条路和 ，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什 么？ 【课本再现】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 54 【解】这两条路等长， ．…………（2分） 理由： 四边形 是正方形， ， . ， ， ， ，…………（3分） ， ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 55 【知识应用】 （2）［中］如图（2），若在这个正方形花园的四边各开一个门，，， ，并 修建两条路和，使得 ，则这两条路等长吗？为什么？ 【解】这两条路等长．…………（5分） 理由：如图，过点作，交于，过点作，交于，和 交于点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 56 四边形 是正方形， ，， ， ， 四边形和四边形 是平行四边形，…………（6分） ， . ，, , ， ， . ， ， ， ， ， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【拓展延伸】 （3）［偏难］如图（3），将边长为10的正方形纸片沿折叠，点落在 边上 的点处，与交于点，取的中点，连接，，则 的最小 值为_____，此时 的长度是_____________________． …………（14分） 【解析】连接，则， 当，，三点共线时， 最小， 最小值为的长. ，， ， ，的最小值为 .由折叠易得 ,.，， ， ， 是直角三角形，且 ，.过点作 ，同（2）易知 ，.故答案为， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 58 【关键点拨】本题是四边形综合题，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等 三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质及折叠的性质等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 59 $$