3.3.1 二次根式的加法和减法-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（湘教版2024）

数 学 八年级上册 XJ 1 2 第3章 二次根式 3 3.3 二次根式的加法和减法 课时1 二次根式的加法和减法 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 被开方数相同的二次根式 1.［2025湖南益阳期中］下列各组二次根式化简后能够合并的是( ) C A.与 B.与 C.与 D.与 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 6 【解析】与 的被开方数不同,不能够合并，故A选项不符合题意；因为 ，所以与 的被开方数不同,不能够合并，故B选项不符合题意；因为 ，，所以与 的被开方数相同,能够合并，故C选项符 合题意；因为，，所以与 的被开方数不同,不能够 合并，故D选项不符合题意.故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2.［2024湖南永州期末］若最简二次根式可以与合并，则 的值是 ( ) C A.5 B.4 C.2 D.1 【解析】因为，是最简二次根式，且可以与 合并，所 以，解得 ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 知识点2 二次根式的加减运算 3.若，则表示实数 的点会落在 数轴的( ) B A.段①上 B.段②上 C.段③上 D.段④上 【解析】因为，所以 .因为 ，所以，即，故表示实数 的点会落在数轴的 段②上，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 开放性试题［2024湖南邵阳期中］____________________与 的和 为有理数（只写一个答案）. （答案不唯一） 【解析】因为，是有理数，所以满足题意的数可以为 ， 故答案为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 5.计算: （1） . 【解】原式 . （2） . 【解】原式 . （3） . 【解】原式 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 归纳总结 （1）二次根式加减运算的步骤可概括为“一化，二找，三并”.“一化”即将每 个二次根式都化为最简二次根式，“二找”即找出被开方数相同的二次根式， “三并”即把被开方数相同的二次根式合并. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 知识点3 二次根式加减运算的应用 6.［2024湖南郴州期末］将图（1）中的长方形沿虚线分成B，C两部分，恰与正方 形A拼接成如图（2）的大正方形.如果正方形A的面积为2，拼接后的大正方形的面 积为5，则图（1）中原长方形的长是_________. 【解析】设C的长为，宽为，则B的长为，宽为，A的边长为 .因为A的面 积为2，所以.因为拼接后的大正方形的面积为5，所以 ，所以 ，所以题图（1）中原长方形的长为 ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 7.已知三角形的三条边长分别是,, ,求三角形的周长（结果要求化 简）,并选取一个数值代入使得周长的结果为整数. 【解】三角形的周长为.取 , 则 .（代入的数值不唯一） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 刷易错 易错点 误将化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式进行 合并 8.计算： . 解：原式 （1）以上解答过程中，从____开始出现错误； ③ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 （2）请写出本题的正确解答过程. 【解】 . 易错警示 （1）在进行二次根式的加减时，如果化成最简二次根式后，被开方数相同，则可 以合并;被开方数不相同，则不能合并. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 提升 1.［2025四川攀枝花期中，中］ 的值一定是( ) B A.正数 B.非正数 C.非负数 D.负数 【解析】.因为有意义，所以,，所以 ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 2. ［2025湖南常德期中，中］若和都是正整数且，和 是可以 合并的二次根式，下列结论中正确的个数为( ) ①只存在一组和使得 ； ②只存在两组和使得 ； ③不存在和使得 . C A.1 B.2 C.3 D.0 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 【解析】 序 号 判断依据 结 果 ① 和都是正整数且，和 是可以合并的二次根式， ，故， 正 确 ② ，故，或， 正 确 ③ ，当时，,则，与 矛盾 正 确 故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 3.［2025重庆北碚区期末，较难］已知两个二次根式：, ，将这 两个二次根式进行如下操作： 第一次操作：将与的和记为，差记为 ； 第二次操作：将与的和记为，差记为 ； 第三次操作：将与的和记为，差记为 ;…；以此类推. 下列说法：①当时，； ； . 其中正确的有( ) D A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 【解析】①当时，， ， ，， ， ，， ， ,, , , ，按照此规律可得，，， ， ，所以 ，故①正确； ， ， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 ， ， ， ， ， , , , , ，按照此规律可得， ，， ， ，所以，故②正确； ，故③正确.综上，正确的有3个.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 思路分析 ①根据题意找出规律得出，，， ，然后相加即可； ②根据题意得出一般规律：， ， ，，求出 即可； ③根据二次根式混合运算法则，求出 即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 4.［2025湖南湘潭期末，中］在,,, ,这1 999个数中，与 可以合并的共有____个. 19 【解析】因为，，所以在，，， ， 这1 999个数中，与可以合并的有,,,， ， ， 共19个.故答案为19. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 关键点拨 化为最简二次根式，再根据被开方数相同的二次根式能够合并找 到规律即可解题． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 5.［2025吉林长春期中，中］已知，则 等于_____. 5.2 【解析】根据题意可得，.因为 ，所以 ，所以，所以，所以 ，所 以 ，故答案为2. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 6.［2025湖南岳阳期末，中］已知, 是有理数， ，求 的值． 【解】因为 ，所以 ．因为,是有理数，所以 , ，解得, ，所以 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 7.［2025河北石家庄期末，中］若的整数部分用表示，小数部分用 表 示，的整数部分用表示，小数部分用表示，求 的值． 【解】因为，所以， ，所以 ， ， 所以的整数部分，小数部分； 的整数 部分，小数部分 ． 所以 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 刷素养 走向重高 8.核心素养 运算能力［2025四川乐山期末,较难］【阅读学习】小明在学习二次 根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 .善于思考的小明进行了以下探索：设 （其中，，， 均为整数），则有 ，所以， .这样小明就找到 了一种把形如 的式子化为平方式的方法. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 【解决问题】 （1）当，，，均为正整数时，若，用含， 的 式子分别表示， . 【解】因为 ，所以 ， . （2）利用（1）的结论，找一组正整数，，， ，使得 成立，且 的值最小. 【解】当，时，的值最小，此时 ， .故当，，，时， 的值最小. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 （3）化简： . 【解】因为 ， 所以，所以 .因为 ，所以 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 $$