第1章 全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（湘教版2024）
2025-08-05
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45页
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教辅
资源信息
| 学段 | 初中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 初中数学湘教版八年级上册 |
| 年级 | 八年级 |
| 章节 | 小结与评价 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2025-2026 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 3.02 MB |
| 发布时间 | 2025-08-05 |
| 更新时间 | 2025-08-05 |
| 作者 | 众望益飞教育科技（北京）有限公司 |
| 品牌系列 | 初中必刷题&教材划重点·初中同步课件 |
| 审核时间 | 2025-08-05 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/53344118.html |
| 价格 | 3.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
内容正文：
数 学
八年级上册 XJ
1
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第1章因式分解
3
全章综合训练
4
刷中考
刷章测
目 录
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中考
考点1 因式分解的概念
1.［2023山东济宁中考］下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )
C
A. B.
C. D.
【解析】A选项， ，属于整式的乘法，故不符合题意；B选
项， ，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式
分解,故不符合题意；C选项， ，属于因式分解，
故符合题意；D选项，因为 ，所以因式
分解错误，故不符合题意.故选C.
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考点2 利用提公因式法进行因式分解
2.［2023四川成都中考］因式分解： __________.
【解析】.故答案为 .
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3.［2023黑龙江绥化中考］因式分解： ______________.
【解析】原式 ，故
答案为 .
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考点3 利用公式法进行因式分解
4.［2023浙江杭州中考］分解因式： ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 ．故选A.
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5.［2024江苏常州中考］分解因式: __________．
【解析】 .
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考点4 提公因式方法与公式法的综合应用
6.［2024云南中考］分解因式： ( )
A
A. B. C. D.
【解析】原式 ，故选A.
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7.［2024内蒙古通辽中考］分解因式： ___________．
【解析】原式.故答案为 ．
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考点5 因式分解的应用
8.［2024广西中考］如果,,那么 的值为( )
D
A.0 B.1 C.4 D.9
【解析】因为， ，所以
.故选D.
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9.［2023河北中考］若为任意整数，则 的值总能( )
B
A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除
【解析】.因为 为
任意整数，所以 的值总能被3整除，故选B.
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10.［2023四川成都中考］定义：如果一个正整数能表示为两个正整数， 的平
方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”.例如， ，16就
是一个智慧优数，可以利用 进行研究.若将智慧优数从
小到大排列，则第3个智慧优数是____；第23个智慧优数是____.
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【解析】令，则 ，令智慧优数
.因为且为整数，所以 ，3，4，5，6，
7， .当时，（偶数）， 可以取1，2，3，4，5，6，7，8，
，每取一个数，所得的数都为智慧优数;当时， （奇数）;当
时，（偶数）;当时，（奇数）;当 时，
（偶数）;当时，（奇数）， .
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智慧优数
8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，
15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，
24，32，40，48，56，64，72，80，88，
35，45，55，65，75，85，95，
48，60，72，84，96，
去掉重复的智慧优数，将前23个智慧优数按从小到大的顺序排列为8，12，15，16，
20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，
57，所以第3个智慧优数为15，第23个智慧优数为57.
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方法点拨
根据新定义，找到规律，依次列出智慧优数即可求解．
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11.［2024福建中考改编］已知实数，，，，满足， ．
（1）试说明： 为非负数；
【解】因为，，所以， ，则
思路分析 根据题意，可得，,将其代入 中，再利
用提公因式法与公式法进行因式分解，可得原式，根据,, 是实
数，可知，即可证 为非负数．
.
因为，，是实数，所以，所以 为非负数．
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（2）若，，均为奇数，， 是否可以都为整数？说明你的理由．
【解】，不可以都为整数．理由如下：若， 都为整数，其可能情况如下：
，都为奇数；， 为整数，且其中至少有一个为偶数.
①当，都为奇数时，必为偶数.因为，所以 .
因为为奇数，所以必为偶数，这与 为奇数矛盾.
②当，为整数，且其中至少有一个为偶数时，必为偶数.因为 ，所以
.因为为奇数，所以必为偶数，这与 为奇数矛盾.
综上所述，， 不可以都为整数．
若,都为整数，其可能情况有,都为奇数；, 为整数，且其中至少有
一个为偶数，分别进行论证即可．
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章测
一、选择题（本大题共24分，每小题4分）
1.［2025重庆渝中区期末］下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是
( )
B
A. B.
C. D.
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【解析】A选项， 是整式乘法运算，故本选项不符合题意；B选
项， 是因式分解，故本选项符合题意；C选项，
，等号右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，
故本选项不符合题意；D选项， ，等号右边含有不是整式的式子，
不是因式分解，故本选项不符合题意.故选B.
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2.［2025湖南怀化期末］多项式 的公因式是( )
A
A. B. C. D.
【解析】的公因式为 ，故选A.
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3.［2025河北邢台质检］下列多项式不能用公式法因式分解的是( )
C
A. B. C. D.
【解析】A选项， ，故该选项不符合题意；B选项，
，故该选项不符合题意；C选项， 不
是平方差的形式，不能运用公式法因式分解，故该选项符合题意；D选项，
，故该选项不符合题意.故选C.
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4.王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：， ，
3，，， 分别对应六个字：底，爱，我，数，学，娄，现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
C
A.我爱数学 B.爱娄底 C.我爱娄底 D.娄底数学
【解析】因为
，呈现的密
码信息可能是我爱娄底，故选C.
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5.已知能被 之间的两个整数整除，则这两个整数是( )
C
A.25，27 B.26，28 C.24，26 D.22，24
【解析】 ，故选C.
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6.已知，均为正整数且满足，则 的最小值是
( )
A
A.20 B.30 C.32 D.37
【解析】， ，
，.因为， 均为正整数，
，所以或或 或
所以或20，所以 的最小值为20.故选A.
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思路分析
利用因式分解把等式变形为 ,再讨论各种可能情况,从而得出
的最小值.
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二、填空题（本大题共24分，每小题4分）
7.已知，则 ___.
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【解析】因为 ，所以
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8.［2025湖南常德期中］因式分解的结果为 ，其中
，，都为整数，则 的最小值是_____．
【解析】因为 ，所以
,，所以,异号.因为,, 都为整数，所以
，
所以或或或3或7或17，所以的最小值为，即 的最小
值为 .
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9.我们在学习数学公式时，可以用几何图形来推理论证.受此启发，在学习因式分
解之后，小明同学将如图（1）所示的一张边长为的正方形纸片剪去2个长为 ，
宽为的长方形以及3个边长为 的正方形之后，再剪切拼接成了如图（2）所示的
长方形.观察图（1）和图（2）的阴影部分，请从因式分解的角度，用一个含有 ,
的等式表示从图（1）到图（2）的变化过程:_______________________________.
图（1）
图（2）
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【解析】题图（1）阴影部分面积为 ，题图（2）阴影部分是长为
，宽为的长方形，因此面积为 .因为两个图形阴影部分
面积相等，所以 ，故答案为
.
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10.计算： ___.
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【解析】原式 ，故答案为1.
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11.［2025内蒙古赤峰期末］若，则 的值为
___．
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【解析】因为，所以 ，故答案为6.
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12.已知，， ，那么
的值等于___.
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【解析】因为，， ，所
以，， ，所以
.
故答案为3.
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思路分析
先求出,,的值，再将代数式化为 ，
最后代入，， 的值即可求解.
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三、解答题（本大题共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
13.［2025湖南湘潭期末］分解因式：
（1） ；
【解】 .
（2） ；
【解】原式 .
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（3） ；
【解】
.
（4） .
【解】 ．
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14.如图，在一个边长为的正方形木板上，锯掉四个边长为 的小正方形.请你计
算当， 时，剩余部分的面积.（要求:计算过程需用到因式分解）
【解】 .
答：剩余部分的面积为 .
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15.［2025福建漳州期中］阅读理解：当一个多项式既不能用提公因式法又不能用
公式法因式分解时，这里再介绍一种因式分解的方法，叫分组分解法．比如：
，这种分组法是分组后用提公因式法分解.比如：
，这种分组法是分组后用公式法分解．
根据以上信息分解下列因式：
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（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
【解】原式 .
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（3） ．
【解】原式 ．
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16.【方法提取】
数学学习活动是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学习了平方差公式，
在平方差公式的基础上，可以对式子 进行如下推导
．
对于 ，称为立方差公式．
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【公式推导】 请推导立方和公式： ．
【解】
【公式应用】 请利用上面的公式进行因式分解：（直接写结果）
（1） ____________________；
【解析】 ．故答案为
.
．
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（2） ___________________________
【解析】 ．故答案为
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