专题04 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系（竞赛培优专项训练）高二数学人教A版2019全国通用

专题02 直线与圆 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 求圆的方程 3 考点二 圆的对称性的应用 7 考点三 与圆有关的轨迹问题 9 考点四 圆中的最值问题 11 考点五 圆的切线长及切线方程问题 15 考点六 圆的弦长与中点弦问题 18 考点七 直线与圆的位置关系的综合应用 19 考点八 圆与圆的位置关系的判定及简单应用 21 考点九 两圆位置关系的综合应用 24 考点十 数学文化题 27 考点十一 利用韦达定理解决直线与圆相交问题 32 考点十二 与圆有关的新定义题 36 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题19道） 【归纳重点知识】 知识点01 圆的方程 1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹） 标准方程 圆心：（a，b），半径： 两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 一般方程 圆心：， 半径： 2．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）若在圆外，则． （2）若在圆上，则． （3）若在圆内，则． 知识点02 直线与圆的位置关系 设圆的半径为，圆心到直线的距离为. 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 几何观点 知识点03 圆与圆的位置关系 设两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，则 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 公共点个数 0 1 2 1 0 的关系 公切线条数 4 3 2 1 0 判断圆与圆位置关系的注意点 对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论．如当时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当时，还需要判断两圆是外切，还是内切． 【熟记重要结论】 1.圆的方程常用结论 （1）二元二次方程表示圆的充要条件是 （2）以为直径端点的圆的方程为． 2．圆的切线方程常用结论 (1)过圆上一点的圆的切线方程为． (2)过圆上一点的圆的切线方程为 ． (3)过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为． 3．圆系方程 (1)同心圆系方程：，其中是定值，是参数； (2)过直线与圆交点的圆系方程： ； （3）过圆和圆交点的圆系方程：（该圆系不含圆，解题时，注意检验圆是否满足题意，以防漏解）． 考点一 求圆的方程 1．如图，已知曲线由一段以坐标原点为圆心的圆弧和双曲线（该双曲线的中心为坐标原点，，为其左，右焦点）右支的一部分组成，圆弧和双曲线弧的公共点为，，若，，三点共线，，，则圆弧的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线与圆的对称性可得，从而求得，利用勾股定理先求得，再得的值，即可得圆弧的半径，从而得圆弧方程. 【详解】由题可知圆弧和双曲线弧的公共点为，，若，，三点共线， 故，所以， 所以， 则，故， 即圆弧的半径为， 则圆弧的方程为. 故选：D. 2．(多选)已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆心，由题意可知，，，求出、的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的方程. 【详解】设圆心，由题意可知，，即，解得， 因为为直角三角形，则为直角三角形，则， 即，解得，则圆的半径为， 圆心为，因此，圆的方程为或， 故选：BC. 3．已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为，则以AP为直径的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】联立直线得到点的坐标，根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，即可写出圆的方程. 【详解】联立，得，，又， 所以由中点坐标公式得的中点坐标为，即圆心坐标为， 由两点间距离公式得半径， 所以圆的方程为． 故答案为：. 4．已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，联立两曲线方程，消去可得关于的一元三次方程，设出圆的一般式，分别将曲线代入圆的方程，化简得到关于的一元三次方程，然后对比，列出方程，即可得到圆的方程，从而得到结果. 【详解】联立方程，消去可得， 设过交点的圆的方程为， 将代入圆的方程，可得， 即， 再将代入，即可得到， 对比， 可得，解得， 所以圆的方程为， 配方可得， 则圆的半径为， 所以外接圆的面积为. 5.的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程； （2）圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，可得出圆的一般方程，再化为标准方程即可. 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 6.在①圆Q经过直线：与直线：的交点，②圆心Q在直线上这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答． 问题：是否存在圆Q，使得点，均在圆Q上，且______？若存在，求圆Q的方程；若不存在，请说明理由． 【分析】设圆心Q的坐标为，圆的半径为r.如果选择①，根据求出的值即得解；如果选择②，根据求出，即得解. 【详解】解：因为点，均在圆Q上，所以圆心Q在线段AB的垂直平分线上． 又直线AB的方程为，所以线段AB的垂直平分线的方程为， 则可设圆心Q的坐标为，圆的半径为r． 如果选①， 由，解得，即直线和的交点为，则圆Q过点， 所以，解得，则， 即存在圆Q，且圆Q的方程为． 如果选②， 由圆心Q在直线上可得，则， 所以． 即存在圆Q，且圆Q的方程为． 考点二 圆的对称性的应用 7.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】将圆的方程化成标准形式得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤，故选A. 8.已知圆经过两点，且圆心在轴上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切. (1)求圆的方程； (2)求反射后光线所在直线的方程. 【分析】（1）设圆心的坐标为，利用，解得，再计算半径即可; （2）找出点关于轴的对称点为，设反射后光线所在直线为，利用直线与圆相切，求出或，写出直线方程即可. 【详解】（1）设圆心的坐标为，则， 即， 即，解得， 圆心的坐标为，圆的半径， 所以圆的方程为. （2）点关于轴的对称点为，反射光线经过点， 当反射光线所在直线的斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意， 当反射光线所在直线的斜率存在时，设方程为：， 即， 设圆心到直线的距离为， 因为反射光线所在直线与圆相切， 所以,所以， 即,解得或, 所以反射后光线所在直线的方程为或. 9.已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由圆的标准方程可得圆心，根据点关于直线对称，建立方程组可求出圆心，可得答案； （2）根据对称写出点的坐标，利用直线的点斜式方程，分别求得截距，结合圆的方程计算，可得答案. 【详解】（1）设圆的圆心关于直线的对称点为， 的中点坐标是，的斜率是， ， 由得：，，， 圆，圆． （2），，，， 直线的方程为：， 令，则，同理可得：， 由，，， 则， 是定值． 考点三 与圆有关的轨迹问题 10.线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解. 【详解】，设为线段中点， ，设，则，即． 则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； 故线段中点的轨迹所围成图形的面积为. 故选：D 11.已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据条件求出点P的轨迹方程，可知点P的轨迹为圆，再根据圆的面积公式求解即可. 【详解】设点P的坐标为. 因为，所以， 整理得，即. 所以点P的轨迹方程为，其轨迹为以为圆心，且半径的圆. 所以轨迹形成的图形面积. 12.已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【分析】（1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果； （2）根据题意，由列出方程，化简即可得到结果. 【详解】（1）圆的方程可变形为， 故的圆心坐标为，半径为2. （2）设，因为点M是的中点，， ， 故， 由此可得， 故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆. 13.已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为． (1)求圆的方程； (2)若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程； 【分析】（1）设圆的方程为，，利用直线与圆相交的弦长公式求出半径长即可； （2）设点，由题意可得圆的半径为，由动圆与圆相外切可得，整理后分类化简即得动点轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为，， 由圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得， 故圆的方程为； （2） 设点，则动圆的半径为，因动圆与圆相外切，则， 即，两边取平方，化简得：， 故当时，，当时，，当时，点在圆上，不合题意. 故动圆圆心的轨迹方程为；. 考点四 圆中的最值问题 14.（多选）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据几何位置关系，结合两点之间距离公式即可判断A；当与圆相切时，最大，进而求得，即可判断B；当，，三点共线，且在，之间时，最大，即可判断C；当为射线与圆的交点时，取得最大值，即可判断D． 【详解】因为，所以点在圆外，点在圆内，如图所示， 对于A，当为线段与圆的交点时，即，此时取得最小值为，故A正确； 对于B，由题知，点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，此时，故B错误； 对于C，因为点在圆上，为圆心，则，所以当最大时，也最大， 当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确； 对于D，当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确． 故选：ACD． 15.在中，，则面积的最大值为 . 【答案】3 【分析】取中点，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，结合，，求出点的轨迹方程，再结合三角形的面积公式，即可求解． 【详解】 取中点，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，故， 设，则, 整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去点，）， 则当时，面积取最大值， 此时. 16.已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹为圆，进而利用点与圆的位置关系算出PA的最大值. 【详解】以BC所在直线为轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，     则，设， 由，得， 整理得，即 因此，点P的轨迹是以为圆心，半径的圆， PA长的最大值等于. 故答案为：.    17.已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为 (1)求圆C的方程； (2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值． 【分析】（1）设出圆心坐标，判断出圆的半径，利用直线截圆所得弦长列方程来求得，从而求得圆的方程. （2）先求得，通过求的最小来求得的最小值. 【详解】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，半径为， 到直线的距离为，所以，解得， 所以圆的方程为. （2）由（1）得，圆的圆心为，半径， ，所以当最小时，最小. 到直线的距离为，所以的最小值为， 所以四边形PACB面积的最小值为. 18．已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【分析】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值． （2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值． 方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值． 【详解】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 19．已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【分析】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【详解】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 考点五 圆的切线长及切线方程问题 20．已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【详解】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 21．若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 22．若过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或. 【分析】分直线斜率是否存在及结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】当直线斜率存在时，设切线的方程为:，即， 圆心到切线的距离为， 由得，化简得到， 此时切线方程为：，即； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，满足题意. 故答案为：或. 23．已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为 . 【答案】 【分析】首先判断直线与圆的位置关系，再由、，将问题化为先求最小值，进而求最小面积. 【详解】由，即，则，半径， 所以到的距离，即直线与圆相离，如下图示，    由题意，且，而， 所以，要使四边形的面积最小，只需最小， 又，即只需最小，显然， 所以，故最小. 24．（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 【分析】（1）利用切线与半径的垂直关系，利用勾股定理求得切线长； （2）法1，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，再根据圆心到直线距离等于半径列式运算求解；法2，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，联立方程组根据判别式等于0求解. 【详解】（1）设从向圆引切线的一个切点为，则， 又因为， 所以，即切线的长为2. （2）解法1：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件； 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 解法2：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件. 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以方程组仅有一组解， 由方程组消去得， 所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 考点六 圆的弦长与中点弦问题 25．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂径定理可知，，结合直线的位置关系，即可求解. 【详解】圆 的圆心为，而点， 所以 由题意可知，， 则，所以 所以弦所在的直线的方程为， 即. 故选：A. 26．已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，且当直线与直线垂直时，弦最短，代入计算，即可得到结果. 【详解】由直线可得， 令，解得，所以直线恒过定点， 且圆的圆心，半径为， 易知当直线与直线垂直时，弦最短，且， 所以. 故选：D. 27．已知直线，圆. (1)若直线与直线平行，且与圆相切，求的直线方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相交于AB两点，，求的直线方程. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）根据题意假设所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得，从而得解； （2）根据题意假设直线的方程，利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，进而利用点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设所求直线方程为， 因为所求直线与圆相切，且圆心为，半径为， ，解得或， 所求直线方程为或； （2）依题意，设直线的方程为， 因为直线与圆相交于A，B两点，， 圆心到直线的距离为，，解得或， 直线的方程为或. 考点七 直线与圆的位置关系的综合应用 28．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程可得，根据圆的方程圆心到直线的距离为，进而可得点到直线的距离的取值范围和面积的取值范围. 【详解】由直线可知，则， 由圆可知圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 设点到直线的距离为， 则，即， 所以面积. 故选：C. 29．已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】写出面积表达式，从而得到当与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可. 【详解】由已知在以为直径的圆上， 所以， 又在圆上， 所以为圆的两条切线， 故 所以四边形面积， 圆的圆心坐标为，半径为， 所以， 所以， 而的最小值为点到直线的距离，此时与直线垂直，垂足为， 且点到直线的距离， 所以四边形面积的最小值为. 故选：B. 30．已知圆和直线．下面四个命题： ①对任意实数与，直线和圆相切； ②对任意实数与，直线和圆有公共点； ③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切； ④对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切． 其中真命题的序号是 ．(写出所有真命题的序号) 【答案】②④ 【分析】写出圆心和半径，应用点线距离公式判断圆心到直线距离与半径大小，即可判断. 【详解】由题设，圆心，半径， 所以到的距离，且， 对任意实数与，直线和圆有公共点，②对； 对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切，④对. 故答案为：②④ 31.已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点． (1)求点的轨迹方程； (2)若的面积为2，求． 【分析】（1）设，求出圆心坐标，利用的数量积为零求出轨迹方程即可； （2）设圆心到直线的距离为，由三角形面积公式求出，再利用弦长公式求解即可； 【详解】（1）    由可得点为线段的中点，设， 圆方程化为标准方程为，所以圆心，半径， 所以， 因为，所以， 整理可得， 所以点的轨迹方程为， （2）设圆心到直线的距离为， 因为为的中点，且，的面积为2，， 所以，即，解得， 由弦长公式可得. 考点八 圆与圆的位置关系的判定及简单应用 32．圆与圆的公切线条数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用两圆的位置关系来确定公切线的条数. 【详解】由圆可得：， 所以该圆心，半径， 又由圆可得：， 所以该圆心，半径， 由于圆心距，而， 所以，即两圆相外切， 所以两圆的公切线有3条， 故选：C. 33．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 34．写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    35.已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1)两圆相交，理由见详解； (2)，4. 【分析】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【详解】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 36．已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【分析】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 考点九 两圆位置关系的综合应用 37.（多选）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可. 【详解】      圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 38.已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 39.在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段都相切. (1)求圆的方程及的值； (2)若直线与圆相交于两点且，求的值； (3)在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）因为、已知，所以通过到的距离求半径，即可得到圆的方程，再根据半径求点坐标，注意到点坐标的特殊性，这条直线是垂直于轴的． （2）将、点坐标设出来，数量积坐标化，将直线方程与圆的方程联立，韦达定理代入即可求解． （3）假设、的坐标，根据两点距离公式与建立等式，再根据A、P分别满足直线和圆的方程化简等式，最后根据等式恒成立的条件求解. 【详解】（1）因为， 因为圆与相切，所以半径等于到的距离． 又直线，所以圆的半径，所以圆． 圆与相切，又过点与圆相切的直线有或， 所以直线，所以．即， 所以直线， 又到的距离为，所以，解得或（舍）， 所以． （2）设，，则. 由，可得， ，解得. 所以，， 故. 所以，所以. 故. （3）设. 则，. 若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点， 都有为常数, 等价于对圆上任意点恒成立. 即. 整理得. 因为点在直线上，所以. 由于在圆上，所以. 故对任意恒成立. 所以显然，所以. 故， 因为，解得或. 当时，，此时重合，舍去. 当时，， 综上，存在满足条件的定点，此时. 考点十 数学文化题 40．射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemoine）线.在平面直角坐标系中若三角形三个顶点的坐标为，，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的外接圆方程，求出在处的切线方程，即可求出的坐标，由题意即可求得答案. 【详解】设的外接圆方程为， 则，解得， 即外接圆方程为，即， 故该外接圆在处的切线方程为； 直线的方程为，令，则，即得， 外接圆在处的切线方程为； 直线的方程为，令，则，即得， 则直线的方程为，即， 即该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为. 故选：A. 41．·17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知两定点，，动点满足，动点P的轨迹为曲线E，直线与曲线E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 (1)求曲线E的方程; (2)求的取值范围; (3)求证： 【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程并化简即可求出P的轨迹方程； （2）利用两点间的距离公式，消元转化，再结合曲线的性质特征求解即可； （3）利用点差法、斜率公式和中点公式，再结合曲线的性质特征求解即可； 【详解】（1）由题意， 整理可得， 曲线E的方程为； （2）， 由曲线E的方程可知， ，即， 解得，， ， 的取值范围为； （3）设，，， 由题意可知， 则， ， 由题意可知， ， 由题意，， ， 由可知，， 则，， ， ， 42．我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切. (1)直接写出的反射光线所在直线的方程； (2)求圆的方程； (3)点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程. 【分析】（1）利用对称性质求出反射光线所在直线的方程. （2）设出圆心坐标，利用切线性质，结合点到直线距离公式求出圆心坐标即得. （3）由（2）求出点坐标，设出点坐标，利用直角三角形边角关系、切线长定理及三角形面积公式求出点坐标，再借助光的反射性质求出直线的方程. 【详解】（1）设的反射光线所在直线上任意点为，则该点关于轴对称点在直线上， 所以的反射光线所在直线的方程为. （2）设点，而圆与直线相切，且圆半径为3， 则，即， 整理得或，又点在第一象限，即，因此，点， 所以圆的方程为. （3）由（2）知，点到轴距离为3，即轴与圆相切于点， 由一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，得点在点的右侧， 设，则，连接，， ，， 又， 整理得，解得，即点， 直线的斜率为，由光的反射性质知，，则直线的斜率为， 直线的方程为，即. 43公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点距离之比为（且）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆. (1)已知两定点，，若动点满足，求点的轨迹方程； (2)已知，是圆上任意一点，在平面上是否存在点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【分析】（1）设，根据列方程，化简求得的轨迹方程. （2）假设存在满足条件，设，根据已知条件列方程组，求得，进而确定正确答案. 【详解】（1）设，则由可得， 即，整理得点的轨迹方程为：； （2）假设存在满足条件，即有， 设，整理可得①， 又因为点在圆上，则②， 将②代入①可得， 由题可得，解得，， 所以， 故存在点满足条件. 考点十一 利用韦达定理解决直线与圆相交问题 44.已知圆，回答下列问题. (1)已知圆D过点，圆心在直线上，截y轴弦长为，求C与D相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求. 【分析】（1）根据题意，由圆的标准方程可得圆的方程，然后与圆方程作差可得公共弦所在直线方程，再结合弦长公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，联立直线与圆方程，结合韦达定理以及向量数量积的坐标运算代入计算，即可得到，从而得到结果. 【详解】（1）设圆的方程为， 圆心在直线上，则， 且截y轴弦长为，则①， 由圆过点，则②， 联立①②可得或， 当时，，则圆的方程为， 当时，，则圆的方程为， 当圆的方程为时， 且圆， 两圆方程作差可得公共弦所在直线方程为，即， 又圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 则C与D相交所得公共弦长为； 当圆的方程为时， 且圆， 两圆方程作差可得公共弦所在直线方程为， 又圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 则C与D相交所得公共弦长为； 综上所述，C与D相交所得公共弦长为或. （2）由题设可知直线l的方程为， 设， 将代入方程， 整理得， 所以，， ， 因为， 解得，经检验，直线与圆有交点， 所以直线l的方程为， 故圆心C在直线l上，所以. 45．已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)已知过点的直线恰与圆相切，求直线的方程； (3)圆关于直线对称圆是圆，设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于x轴的对称点为，如果直线与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）结合题目条件，得圆心C的坐标和半径，从而得结论； （2）分直线斜率存在与不存在两种情况，设出直线的方程，利用直线与圆的位置关系，建立方程，即可求解； （3）利用关于直线对称的圆的方程得圆Q的方程，再利用题目条件得、，且得到，，再利用直线的点斜式方程得直线和的方程，令得m与n，最后利用圆的方程，计算得结论． 【详解】（1）因为圆经过点和，又易知中点，， 所以的中垂线方程为，即， 又圆心在直线上，由，解得，所以圆心， 又圆的半径，所以圆的标准方程为. （2）当直线斜率存在时，设直线， 由（1）知圆为， 因为直线与圆相切，则，整理得到，此时直线， 当直线斜率不存在时，直线，满足题意， 综上，直线的方程为或. （3）设关于直线的对称点为， 则，解得， 所以关于直线的对称点为，而圆关于直线的对称圆是圆， 所以圆的方程为， 因为点关于原点和x轴的对称点分别为、，所以、， 又因为， 当时，点的坐标为，则直线与轴垂直，不满足题意，所以． 当时，点的坐标为，则直线与轴垂直，不满足题意，所以， 因此直线的方程为，直线的方程为， 在方程中，令得，即， 在方程中，令得，即， 又因为、是圆Q上的两个动点，所以，， 因此， 因此为定值． 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于第（3）问，利用点斜式表示出直线直线和，进而求得，再结合圆方程进行求解即可. 46．已知圆，点，为坐标原点. (1)若，求圆过点的切线方程； (2)若圆与直线交于，两点，点为线段中点，直线的斜率为，求的面积； (3)若圆上存在点，满足，求的取值范围. 【分析】（1）把代入，设出切线方程，利用点到直线距离公式计算即得. （2）联立直线与圆的方程，结合韦达定理及给定的斜率求参，再应用面积公式计算即得. （3）求出点的轨迹方程，利用两圆有公共点列出不等式求解即得. 【详解】（1）当时，圆的圆心，半径， 而点到直线的距离为2，因此圆过点的切线斜率存在，设方程为， 则，解得或， 所以所求切线方程为或. （2）由消去得，， 设，则， 点为线段中点,所以,直线的斜率为， 整理得,，则，解得， 设为到的距离，, , 设为到的距离，, 所以. （3）设点，由，得， 整理得，即，因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 依题意圆与圆有公共点，即，则， 整理得，解得， 所以的取值范围是. 考点十二 与圆有关的新定义题 47.在平面直角坐标系中，设点，若点满足，其中为定点，则称点是点关于点的“相关点”. (1)已知点，若点是点关于点的“相关点”，且，求的值. (2)已知圆，点，点是圆上的动点，点是点关于点的“相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求正数的取值范围. 【分析】（1）利用向量夹角公式和圆的方程来求解的值； （2）设，根据 “相关点”，则，，得到设，可得结合，得最后根据点的轨迹与圆有公共点，求得的取值范围即可. 【详解】（1）因为，，点是点关于点的 “相关点”， 所以，， 则，即 因为，所以， 又，，则， 两边平方得，即，即， 解得 （2）设，因为在圆：上，所以 点是点关于点的 “相关点”，则，， 所以， 即 设，则，可得 因为，所以，整理得 因为点的轨迹与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足. 连不等式前面可化为. 两边同时平方可得，展开得. 可得. 因为，所以，即，即恒成立，所以， 即不等式的解集为. 连不等式后边可化为. 两边同时平方可得，展开得. 移项可得， 又，可得，解得. 因为不等式的解集为，不等式的解集为， 所以原不等式的解集为. 48.现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）根据题设定义得到，再利用两点间的距离公式，即可求解； （2）（i）根据条件可得直线为圆和的公共弦所在直线，即可求解；（ii）根据题设得到圆的方程为，再根据题设有，联立，消可得，结合条件，利用根与系数的关系，即可求解. 【详解】（1）设，因为点为圆的“上进点”， 所以，即，又，得到， 所以的轨迹方程为，点的轨迹是以为圆心､为半径的圆. （2）（i）因为为圆“”的“牵连点”，所以同时为圆与圆的“上进点”， 由为圆的“上进点”，得，所以， 即点在圆上， 由为圆的“上进点”，由（1）知点在圆上， 所以点是圆和的交点. 因为均为圆“”的“牵连点”， 所以直线为圆和的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得，故直线的方程为. （ii）因为的圆心为，半径为， 又的圆心为，半径为， 所以直线的方程为，与联立得的中点坐标为， 点S到直线的距离为，则， 所以圆的方程为， 假设轴上存在点满足题意，设. 则，即，整理得. 将，代入上式可得， 整理得①， 联立，消可得，， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以， 故轴上存在点，满足题意恒成立. 49.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（2）的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值. 【分析】（1）根据直线与圆相切得到方程，化简即可； （2）转化为方程无实数解，则判别式小于0，则得到范围，再根据直线族：为抛物线的切线即可； （3）根据相切可得直线的方程为，根据点到直线的距离求出，换元，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题可得，直线族为圆M的切线， 故满足， 所以满足． （2）将点代入，可得关于的方程， 因为点不在直线族上， 故方程无实数解， 所以，那么，故， 因为区域的边界为抛物线， 下证：是的包络曲线． 证明：联立直线与，可得， 所以， 故直线族：为抛物线的切线. 因此直线族的包络曲线的方程为. （3）由（2）得曲线的方程为， 设在直线上， 则，即. 设， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立，可得， 即. 因为直线与相切， 所以，即. 因为，所以，，解得. 所以直线的方程为，化简得， 同理可得直线的方程为. 因为点在切线上，所以， 所以直线的方程为，即. 将代入， 得，化简得. 则原点到直线的距离. 设，则, 所以， 所以. 当时，，则重合，不符合题意， 所以， 所以. 令，则. 对于二次函数，其对称轴为， 则时，的最小值为， 所以有最大值，则的最大值为. 1．（2024·全国“章鱼杯”竞赛）记直线与直线的交点的轨迹为，则使得直线与恰有一个交点的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出直线所过定点分析可知，求出点的轨迹方程，再应用直线和圆的位置关系判断即可. 【详解】直线与直线的交点的轨迹为， 直线方程可化为， 由可得，所以直线过定点， 直线方程可化为， 由可得，所以直线过定点， 设线段的中点为，设点，因为，则两直线垂直，即， 由直角三角形的几何性质可得， 即，化简可得， 所以点的轨迹为圆， 直线过定点，在轨迹上， 直线与恰有一个交点则直线与圆相切， 过圆上的一点做切线只有一条故使得直线与恰有一个交点的的个数是1个. 故选：B. 2．（2023·全国“加速杯”竞赛）设圆的圆心为，点，，为直线上一点．若圆上存在两点A，B，使得点满足，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，利用平面向量的基本运算化简得到，根据为圆上两点圆上的两点得到的范围，设点，代入不等式中，求出的取值范围，要求解得面积，则求出点到直线的距离，及的长，利用三角形面积公式结合参数的取值范围即可解决问题. 【详解】由题意如图所示： 因为，所以，所以， 因为为圆上两点，且圆的圆心半径为， 所以，所以， 因为为直线上一点，所以设，且 所以有，解得：， 又，所以， 所以， 所以点到直线的距离为：， 因为，所以，又，所以 所以，面积的取值范围为：. 故选：A. 3．（2022·浙江宁波竞赛）已知A，B分别在两圆上运动，且在上存在点P，使得，则线段中点M轨迹的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先考虑轴的情形，此时可设，从而可得M的轨迹为线段，当弦在圆上转动时，则可得M的轨迹为圆环，从而可求其面积，我们也可以作矩形，利用向量关系可求可得M的轨迹为圆环，从而可求其面积. 【详解】法一：先考虑轴时的情形，如图：设， 不妨设，，所以， 设，则， 则在递增，此时； 当时，， 因为在上均为减函数，故在上为减函数， 且在上的值域为，故在上为增函数， 此时，所以，此时M的轨迹为线段． 则当弦在圆上转动时，上述线段会扫出一个内径为，外径为的圆环，易得面积为． 法二：如图，作矩形，其对角线的交点即为，连接 取OP的中点E，连接， 则, 同理， 故，即，即在圆上. 则，则点M在中点E为圆心，1为半径的圆上. 若记， 则点M的轨迹方程为， 即， 当变化时，x，y需满足，可得． 所以当P变化时，点M的轨迹为，内径为，外径为的一个圆环，此圆环的面积为． 故选：C. 4．（多选）（2023·湖南湘西教师解题大赛）已知直线与轴交于点，点在直线上，圆上有且仅有一个点满足，则点的横坐标的取值可以为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】AD 【分析】根据，则在以为直径的圆上，从而可得以为直径的圆与圆只有一个公共点即可求解. 【详解】设， 因为，所以在以为直径的圆上， 又由题意可得，,所以中点为， ， 所以以为直径的圆方程为， 即， 由圆，可得， 两圆的方程相减可得， 所以方程只有一个解， 所以圆心到直线的距离 ，得， 解得或， 故选:AD. 5．（2024·广西竞赛）若正实数，满足，则的最大值为 ． 【答案】10 【分析】设，，可得，，进而可得，可求的最大值. 【详解】设，． 则，， 所以，所以， 故． 从而的最大值为10． 6．（2024·重庆竞赛）若点关于直线对称的点在圆上，则 . 【答案】 【分析】点在圆上，由题意分析可知对称点必是圆与圆的公共点，由此可求出，即可得出答案. 【详解】注意点在圆上，且关于直线对称的点必然在圆上， 因为联立两圆方程解得：， 圆与圆仅有唯一公共点， 因此对称点只能是.因为，， 由余弦定理可得：， 所以，因此. 7.（2024·广东肇庆高二竞赛）已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为 . 【答案】或 【分析】由已知可设圆心为，半径，再根据直线与圆相切，可得解. 【详解】由已知圆的圆心在直线上， 则设， 又圆与轴相切， 所以半径， 圆的方程为 因为圆与直线相切， 所以， 化简得，解得或， 所以圆的方程为或. 8.（2024·广东肇庆高二竞赛）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆：，点，平面内一定点（异于点），对于圆上任意动点，都有比值为定值，则定点的坐标为 . 【答案】 【分析】设的坐标为，动点，，然后列式化简,得到的轨迹方程,结合圆：,对应系数相等列方程组,即可求得点的坐标. 【详解】设的坐标为，动点，， 则， ， ， ， 可得， 又点的轨迹方程， 可得，解得（舍）或， 则的坐标为. 9．（2024·山东泰安冬季竞赛）已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则梯形ABDC面积为 . 【答案】 【分析】取AB中点M，求出OM，由梯形的中位线性质和面积公式即可求解. 【详解】直线l的方程可化为， 所以直线l过定点， 又，所以直线l与圆的两个交点都在x轴上方， 取AB中点M， 易知为边长为2的等边三角形， 则， 因为，且M为AB中点， 所以为梯形ABDC的中位线，故， 所以梯形ABDC的面积为， 故答案为： 10．（2023·安徽高二竞赛）圆上有一定点是该圆上的两动点．如果为常数，可证必与某个圆相切，则的方程为 ． 【答案】 【分析】利用面积公式，转化为等式即点到的距离为定值，即可求解圆的方程. 【详解】设到的距离为，则， 又所以点到的距离为定值， 与圆相切． 11．（2023·安徽阜阳高二竞赛）直线与圆相交于A，B两点，且（O为坐标原点），则 ． 【答案】 【分析】由结合向量加减法的意义可得为等腰直角三角形，再由点到直线距离及垂径定理求解即可. 【详解】因，由向量加法和减法的几何意义知， 以线段OA，OB为一组邻边的平行四边形两条对角线长相等， 从而这个平行四边形是矩形，即，又，则是等腰直角三角形， 所以，从而O到直线的距离为， 所以，得. 12．（2024·四川竞赛）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】由圆心距与半径的关系可得到两圆相离，再由题意与圆的知识即可求解． 【详解】如图所示，   得到圆心； 得到圆心； 由于，所以两圆相离，因为为上的动点，， 所以要使取得最大值，只需最大即可， 因为，则的最大值为. 故答案为：3. 13．（2024·四川宜宾初赛）已知直线与圆：相交于，两点，且为钝角三角形，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】可得为等腰直角三角形时，点C到直线的距离，要使为钝角三角形，需满足. 【详解】圆：化为， 故圆心，半径为2， 当为等腰直角三角形时， 点C到直线的距离，解得， 为钝角三角形，，当时，， 则可得的取值范围为. 【点睛】解决本题的关键是判断出要使为钝角三角形，需满足点C到直线的距离. 14．（2024·广东肇庆高二竞赛）已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为 . 【答案】或 【分析】由已知可设圆心为，半径，再根据直线与圆相切，可得解. 【详解】由已知圆的圆心在直线上， 则设， 又圆与轴相切， 所以半径， 圆的方程为 因为圆与直线相切， 所以， 化简得，解得或， 所以圆的方程为或， 故答案为：或. 15．（2024·广东肇庆高二竞赛）点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】求出动直线过定点，再由得出点在以为直径的圆上运动，进而得出点的轨迹方程. 【详解】将动直线整理为， 联立，可得，所以动直线过定点. 又，所以点在以为直径的圆上运动， 设，则， ， 即. 16．（2023·安徽高二竞赛）圆上有一定点是该圆上的两动点．如果为常数，可证必与某个圆相切，则的方程为 ． 【答案】 【分析】利用面积公式，转化为等式即点到的距离为定值，即可求解圆的方程. 【详解】设到的距离为，则， 又所以点到的距离为定值， 与圆相切． 故答案为： 17．（2024·贵州“圆周率”杯竞赛）已知，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据题意得到，设，，得到的轨迹方程为：，且点在上，从而得到，再解不等式即可. 【详解】 变形得， 设，， 因为点的轨迹方程为：，且点在上， 所以， 整理得：，即， 解得. 所以的最大值为. 18．（2024·广东肇庆高二竞赛）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆：，点，平面内一定点（异于点），对于圆上任意动点，都有比值为定值，则定点的坐标为 . 【答案】 【分析】设的坐标为，动点，，然后列式化简,得到的轨迹方程,结合圆：,对应系数相等列方程组,即可求得点的坐标. 【详解】设的坐标为，动点，， 则， ， ， ， 可得， 又点的轨迹方程， 可得，解得（舍）或， 则的坐标为. 19．（2024·山东泰安冬季竞赛）已知圆心为的圆被直线截得的弦长为． (1)求圆N的方程； (2)点与点C关于直线对称，求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程． 【分析】（1）根据圆心到直线的距离结合弦长公式计算，得到圆方程. （2）确定圆心为，根据两圆的位置关系计算，得到答案. 【详解】（1）圆心到直线的距离等于，圆N被直线截得的弦长为， 则圆N的半径， 圆N的方程为． （2）点与点C关于直线对称，点C的坐标为． 设所求圆的方程为， 圆C与圆N外切，故，得． 圆C的方程为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与圆 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 求圆的方程 3 考点二 圆的对称性的应用 5 考点三 与圆有关的轨迹问题 6 考点四 圆中的最值问题 7 考点五 圆的切线长及切线方程问题 9 考点六 圆的弦长与中点弦问题 10 考点七 直线与圆的位置关系的综合应用 10 考点八 圆与圆的位置关系的判定及简单应用 11 考点九 两圆位置关系的综合应用 13 考点十 数学文化题 14 考点十一 利用韦达定理解决直线与圆相交问题 17 考点十二 与圆有关的新定义题 20 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题19道） 【归纳重点知识】 知识点01 圆的方程 1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹） 标准方程 圆心：（a，b），半径： 两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 一般方程 圆心：， 半径： 2．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）若在圆外，则． （2）若在圆上，则． （3）若在圆内，则． 知识点02 直线与圆的位置关系 设圆的半径为，圆心到直线的距离为. 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 几何观点 知识点03 圆与圆的位置关系 设两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，则 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 公共点个数 0 1 2 1 0 的关系 公切线条数 4 3 2 1 0 判断圆与圆位置关系的注意点 对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论．如当时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当时，还需要判断两圆是外切，还是内切． 【熟记重要结论】 1.圆的方程常用结论 （1）二元二次方程表示圆的充要条件是 （2）以为直径端点的圆的方程为． 2．圆的切线方程常用结论 (1)过圆上一点的圆的切线方程为． (2)过圆上一点的圆的切线方程为 ． (3)过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为． 3．圆系方程 (1)同心圆系方程：，其中是定值，是参数； (2)过直线与圆交点的圆系方程： ； （3）过圆和圆交点的圆系方程：（该圆系不含圆，解题时，注意检验圆是否满足题意，以防漏解）． 考点一 求圆的方程 1．如图，已知曲线由一段以坐标原点为圆心的圆弧和双曲线（该双曲线的中心为坐标原点，，为其左，右焦点）右支的一部分组成，圆弧和双曲线弧的公共点为，，若，，三点共线，，，则圆弧的方程为（    ） A． B． C． D． 2．(多选)已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为，则以AP为直径的圆的方程为 ． 4．已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为 . 5.的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 6.在①圆Q经过直线：与直线：的交点，②圆心Q在直线上这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答． 问题：是否存在圆Q，使得点，均在圆Q上，且______？若存在，求圆Q的方程；若不存在，请说明理由． 考点二 圆的对称性的应用 7.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8.已知圆经过两点，且圆心在轴上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切. (1)求圆的方程； (2)求反射后光线所在直线的方程. 9.已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由圆的标准方程可得圆心，根据点关于直线对称，建立方程组可求出圆心，可得答 考点三 与圆有关的轨迹问题 10.线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 11.已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是 ． 12.已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 13.已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为． (1)求圆的方程； (2)若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程； 考点四 圆中的最值问题 14.（多选）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 15.在中，，则面积的最大值为 . 16.已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ．  17.已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为 (1)求圆C的方程； (2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值． 18．已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 19．已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 考点五 圆的切线长及切线方程问题 20．已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 21．若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 22．若过点作圆的切线，则切线方程为 . 23．已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为 . 24．（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 考点六 圆的弦长与中点弦问题 25．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 26．已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 27．已知直线，圆. (1)若直线与直线平行，且与圆相切，求的直线方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相交于AB两点，，求的直线方程. 考点七 直线与圆的位置关系的综合应用 28．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 30．已知圆和直线．下面四个命题： ①对任意实数与，直线和圆相切； ②对任意实数与，直线和圆有公共点； ③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切； ④对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切． 其中真命题的序号是 ．(写出所有真命题的序号) 31.已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点． (1)求点的轨迹方程； (2)若的面积为2，求． 考点八 圆与圆的位置关系的判定及简单应用 32．圆与圆的公切线条数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 34．写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 35.已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 36．已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 考点九 两圆位置关系的综合应用 37.（多选）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 38.已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 39.在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段都相切. (1)求圆的方程及的值； (2)若直线与圆相交于两点且，求的值； (3)在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 考点十 数学文化题 40．射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemoine）线.在平面直角坐标系中若三角形三个顶点的坐标为，，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（    ） A． B． C． D． 41．17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知两定点，，动点满足，动点P的轨迹为曲线E，直线与曲线E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 (1)求曲线E的方程; (2)求的取值范围; (3)求证： 42．我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切. (1)直接写出的反射光线所在直线的方程； (2)求圆的方程； (3)点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程. 43公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点距离之比为（且）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆. (1)已知两定点，，若动点满足，求点的轨迹方程； (2)已知，是圆上任意一点，在平面上是否存在点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 考点十一 利用韦达定理解决直线与圆相交问题 44.已知圆，回答下列问题. (1)已知圆D过点，圆心在直线上，截y轴弦长为，求C与D相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求. 45．已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)已知过点的直线恰与圆相切，求直线的方程； (3)圆关于直线对称圆是圆，设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于x轴的对称点为，如果直线与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由． 46．已知圆，点，为坐标原点. (1)若，求圆过点的切线方程； (2)若圆与直线交于，两点，点为线段中点，直线的斜率为，求的面积； (3)若圆上存在点，满足，求的取值范围. 考点十二 与圆有关的新定义题 47.在平面直角坐标系中，设点，若点满足，其中为定点，则称点是点关于点的“相关点”. (1)已知点，若点是点关于点的“相关点”，且，求的值. (2)已知圆，点，点是圆上的动点，点是点关于点的“相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求正数的取值范围. 48.现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 49.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（2）的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值. 1．（2024·全国“章鱼杯”竞赛）记直线与直线的交点的轨迹为，则使得直线与恰有一个交点的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023·全国“加速杯”竞赛）设圆的圆心为，点，，为直线上一点．若圆上存在两点A，B，使得点满足，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·浙江宁波竞赛）已知A，B分别在两圆上运动，且在上存在点P，使得，则线段中点M轨迹的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2023·湖南湘西教师解题大赛）已知直线与轴交于点，点在直线上，圆上有且仅有一个点满足，则点的横坐标的取值可以为（    ） A． B． C．3 D．5 5．（2024·广西竞赛）若正实数，满足，则的最大值为 ． 6．（2024·重庆竞赛）若点关于直线对称的点在圆上，则 . 7.（2024·广东肇庆高二竞赛）已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为 . 8.（2024·广东肇庆高二竞赛）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆：，点，平面内一定点（异于点），对于圆上任意动点，都有比值为定值，则定点的坐标为 . 9．（2024·山东泰安冬季竞赛）已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则梯形ABDC面积为 . 10．（2023·安徽高二竞赛）圆上有一定点是该圆上的两动点．如果为常数，可证必与某个圆相切，则的方程为 ． 11．（2023·安徽阜阳高二竞赛）直线与圆相交于A，B两点，且（O为坐标原点），则 ． 12．（2024·四川竞赛）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 13．（2024·四川宜宾初赛）已知直线与圆：相交于，两点，且为钝角三角形，则实数的取值范围为 ． 14．（2024·广东肇庆高二竞赛）已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为 . 15．（2024·广东肇庆高二竞赛）点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 . 16．（2023·安徽高二竞赛）圆上有一定点是该圆上的两动点．如果为常数，可证必与某个圆相切，则的方程为 ． 17．（2024·贵州“圆周率”杯竞赛）已知，则的最大值为 ． 18．（2024·广东肇庆高二竞赛）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆：，点，平面内一定点（异于点），对于圆上任意动点，都有比值为定值，则定点的坐标为 . 19．（2024·山东泰安冬季竞赛）已知圆心为的圆被直线截得的弦长为． (1)求圆N的方程； (2)点与点C关于直线对称，求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$