期末综合测试-【初中必刷题】2025-2026学年八年级上册数学同步课件（鲁教版 五四制）
2025-12-10
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教辅
内容正文：
数 学
八年级上册 LJ
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期末综合测试
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一、选择题（本大题共24分，每小题2分）
1.［2024山东烟台龙口期中］下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
B
A. B.
C. D.
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【解析】 ，等号右边不是整式的积的形式，故从左到右的
变形不是因式分解，所以A错误； ，等号右边是整式的积的
形式，故从左到右的变形是因式分解，所以B正确； ，等号
右边不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，所以C错误；
，等号右边不是整式的积的形式，故从左到右的变形不
是因式分解，所以D错误.故选B.
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2.［2024山东泰安新泰期末］下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形
的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】A选项，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；B选项，
该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故不合题意；C选项，该图形是轴对称
图形，不是中心对称图形，故不合题意；D选项，该图形既是轴对称图形，又是中
心对称图形，故符合题意.故选D.
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3.［2025山东济宁质检］在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随
机调查了部分学生每人参加活动的项数.根据统计的结果，绘制统计图如下.根据
相关信息，下列说法不正确的是( )
图（1）
图（2）
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A.本次接受抽样调查的学生一共有40名 B.图（1）中 的值为10
C.这组数据的平均数是2 D.这组数据的中位数是3
【解析】 参加3项的人数为5，占总人数的百分比为， 本次接受抽样调
查的学生总数为 ，故选项A正确；参加4项的人数占总人数的百分
比为， ，故选项B正确；这组数据的平
均数为，故选项C正确； 本次接受抽样调查的学生总数为
40， 中位数是从小到大排列后的第20和21个. 项数为1的有13人，项数为2的有
18人， 从小到大排列后的第20和21个都是2， 中位数为2，故选项D错误.故选D.
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4.［2025山东潍坊调研］如图，小林想要通过一步全等图形变
换从左边的等腰直角三角形得到右边的等腰直角三角形，下列
说法正确的个数是( )
B
可由沿 方向平移一定的距离得到；
②可由绕点 顺时针旋转一定的角度得到；
③可由沿直线 翻折得到；
④不可由 通过一次图形变换得到.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【解析】将沿方向平移，当与 重合时，其他
的两边无法重合，故①中的说法错误.如图，连接 ，
，，，， .因为
，且 ，
，，所以可由绕点顺时针旋转 得到，故②
中的说法正确.和关于直线对称，所以可由 沿直线
翻折得到，故③中的说法正确.由②③中的说法正确可知，可由
通过一次图形变换得到，故④中的说法错误.故选B.
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5.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁
丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是( )
D
A.甲种方案所用铁丝最长 B.乙种方案所用铁丝最长
C.丙种方案所用铁丝最长 D.三种方案所用铁丝一样长
【解析】题图中三个图形通过平移线段都可以得到边长分别为， 的长方形，所
以其周长相等，所以三种方案用的铁丝的长度一样.
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6.四边形中，对角线，相交于点 ，给出下列四个条件：
；；； .
从中任选两个条件能使四边形 为平行四边形的选法有( )
B
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
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【解析】从四个中任选两个，共有6种情况，具体如下表：
条件 四边形 是否为平行四边形
①② 是
①③ 是
①④ 是
②③ 否
②④ 否
③④ 是
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7.［2024山东淄博沂源期末］已知一组数据，，，， 的平均数为2，方
差为，那么另一组数据，，，， 的平均数
和方差分别是( )
D
A.2， B.2，1 C.4， D.4，3
【解析】若数据，， ，的平均数是，方差为，则新数据 ，
， ，的平均数为，方差为 数据，，， ，
的平均数是2，方差是，，，，， 的平
均数和方差分别是， .故选D.
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8.［2025河北邯郸期中］“若关于的方程无解，求 的值.”尖尖和丹
丹的做法如下：
尖尖：
去分母，得 ,
移项，得 ,
合并同类项，得 .
原方程无解， ,
. 丹丹：
去分母，得 ,
移项、合并同类项，得
,解得 .
原方程无解，
为增根，
,解得 ,
,解得 .
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下列说法正确的是( )
D
A.尖尖对，丹丹错 B.尖尖错，丹丹对
C.两人的答案合起来也不完整 D.两人的答案合起来才完整
【解析】去分母,得，移项,得 ，合并同类项,得
关于的方程无解，为增根或.当 时，解得
，此时，解得；当时，解得.综上所述, 的
值为3或4.
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（第9题图）
9.如图，在中， ，，.若 是
的中位线，延长交的外角的平分线于点 ，
则线段 的长为( )
B
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】 ，是的中位线， ，
,平行且等于，，， ,
平分,, ,
, . 故选B.
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（第10题图）
10.如图，在平行四边形中， ，将平行四边形
沿折叠，点的对应点落在点处，且点，， 在一
条直线上，交于点 ，则图中等边三角形共有( )
B
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】 ，将平行四边形沿折叠，点 落
在点处，且点,,在一条直线上， ,
, 为等边三角形,
,， ,
,和 为等边三角形.故选B.
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11.若，则 的值是( )
A
A. B. C.1 D.3
【解析】原式. ，
，，， 原式 .故选A.
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12.如图，在等腰直角三角形中， ，点是的中点，且 ，
将一块直角三角板的直角顶点放在点处，将直角三角板绕点 旋转，且在旋转过
程中始终保持该直角三角板的两直角边分别与,相交，交点分别为点， ，
则 ( )
B
A. B. C.2 D.
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【解析】连接.由题意可知， ，且点为 的中点，
， ，
， ，
.在和 中，
， ，
.在中，， ，
.故选B.
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二、填空题（本大题共12分，每小题2分）
13.［2024四川达州中考］分解因式： __________.
【解析】 .
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14.［2025山东淄博质检］如图，中， ， ，
，为边上的一动点，以，为邻边作，则线段 长
的最小值是___.
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（第14题图）
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【解析】如图，设与交于点，过作于点 ，
四边形 是平行四边形，
， .由垂线段最短可知，当
与重合，即时，的值最小，此时 的值最小.
，，， 线
段 长的最小值是3.故答案为3.
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15.某次跳绳比赛中，统计甲、乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况如
下表：
班级 参加人数 平均次数 中位数 方差
甲班 45 135 149 180
乙班 45 135 151 130
有下面三个命题：①甲班平均成绩低于乙班平均成绩；②甲班成绩的波动比乙班
成绩的波动大；③甲班成绩优秀人数少于乙班成绩优秀人数（每分钟跳绳的成绩
大于等于150次为优秀）.其中正确的命题是______．（只填序号）
②③
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【解析】两班成绩的平均数相同，①错误；甲班成绩的方差比乙班成绩的方差大，
故甲班成绩的波动比乙班成绩的波动大，②正确；③甲、乙两班参加人数相同，
乙班成绩的中位数大于150次，甲班成绩的中位数小于150次，则甲班成绩优秀人
数少于乙班成绩优秀人数，③正确.
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16.若关于的分式方程的解为非负数，则 的取值范围是_________
__________.
且
【解析】去分母得，解得 关于 的分式方程
的解为非负数，且，且 ，解得
且 .
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17.如图，边长为4的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接 ，
将线段绕点顺时针旋转 得到，连接，则在点运动过程中， 的最
小值是___．
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（第17题图）
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【解析】如图，取的中点，连接,,则 将线
段绕点顺时针旋转 得到， ，
是等边三角形， ，
， ，
， 点在直线上运动.作 于
点，则的最小值即为的值.，且易得 ，
，故答案为1．
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18.某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6 000米的某小
区取件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落
在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，
甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原
1 500
路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲
以返回时的速度继续去小区取件，刚好在事先预计的时间到达该小区．甲、乙两
人之间的距离（米）与甲出发的时间 （分）之间的关系如图所示（给手机及中
途其他耽误时间忽略不计），则甲到达小区时，乙距公司的距离是_______米．
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【解析】设甲开始的速度为米/分，则甲后来的速度为 米/分.由题意可得
，解得.设乙开始的速度为 米/分.由甲、乙相遇
知，，， 甲、乙相遇时乙到公司的
距离为（米），甲到达小区所用时间为
（分）， 甲到小区时，乙到公司的距离为
（米），故答案为1 500．
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三、解答题（本大题共64分.解答应写出文字说明、演算步骤或证
明过程）
19.（6分）［2024河北石家庄调研］解方程：
（1） ；
【解】，解得 .
经检验, 是方程的根.
（2） .
【解】，解得 .
经检验,是方程的增根, 方程无解.
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20.（6分）［2024江西南昌期末］老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结
果，随后用字母代替了原代数式的一部分，如下： .
（1）求代数式 ，并将其化简；
【解】，则， .
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（2） 的值能等于1吗？请说明理由.
【解】 的值不能等于1.理由如下：
当时， .
当时，，原式无意义， 的值不能等于1.
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21.（6分）［2025山东威海期中］我们已经学过利用提公因式法和公式法进行因
式分解.对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行因式分解，即先将一个
多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行因式分解.如：
（1）分解因式： ；
【解】 .
分解因式：
.
利用上述方法解决下列问题：
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（2）已知的三边长，，满足，判断 的形状，
并说明理由.
【解】等腰三角形.理由：由题意可得 ，
，， 是等腰三角形.
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22.（8分）甲、乙两支篮球队进行了5场比赛，将比赛成绩（整数）绘制成了折线
统计图（实、虚线未标明球队）如下：
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（1）填写下表：
平均数/分 中位数/分 方差
甲队 91
乙队 90 70.8
90
28.4
87
【解】由表格及统计图中数据可知，实、虚线分别代表甲队、乙队，则甲队的平
均数是 （分）；甲队的方差是
；把
乙队的成绩从小到大排列，中位数是87分.故答案为90， ，87.
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（2）如果从两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计，从平均数、方
差以及获胜场数这三个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更有可
能取得好成绩？
【解】从平均数来看，甲、乙两队平均数相同；从方差来看，甲队方差小，乙队
方差大，说明甲队成绩比较稳定；从获胜场数来看，甲队胜3场，乙队胜2场，说
明甲队成绩较好.因此选派甲球队参赛更有可能取得好成绩．
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23.（9分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为 ，等边三角形
经过平移或轴对称或旋转都可以得到 .
（1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是___个单位长度；
与关于某直线对称，则对称轴是_____；绕原点 顺时针旋转得到
，则最小旋转角是______.
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轴
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（2）如图，连接，交于点，求 的度数.
【解】由旋转得， .
是等边三角形， ，
，
.
又，，即 .
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24.（9分）［2024山东日照中考］【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读
书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏
书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍.
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高 ；
素材二：用18 000元购买A种书架的数量比用9 000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的 .
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【问题解决】
问题一： 求出A，B两种书架的单价；
【解】设B种书架的单价是元，则A种书架的单价是 元.
根据题意得，解得 .
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
.
答：A种书架的单价是1 200元，B种书架的单价是1 000元.
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问题二： 设购买个A种书架，购买总费用为元，求与 的函数关系式，并求出
费用最少时的购买方案；
【解】 现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买个A种书架， 购买
个B种书架. 购买A种书架数量不少于B种书架数量的， ，解得
.
购买总费用为 元，A种书架的单价是1 200元，B种书架的单价是1 000元，
，即 .
，随的增大而增大， 当时， 取得最小值，此时
， 费用最少时的购买方案为购买8个A种书架，12个B种书架.
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问题三： 实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价 元，B种书架每
个涨价元，按问题二的购买方案需花费21 120元，求 的值.
【解】根据题意得，解得 .
的值为120.
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25.（9分）如图，在中，对角线，相交于点， ，
，.点从点出发沿方向匀速运动，速度为 ，连接
并延长交于点.设运动时间为 .
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（1）求当为何值时，四边形 是平行四边形.
【解】 四边形 是平行四边形，
，， ，
.
在和中,
，
.
当时，四边形是平行四边形，,解得 ,故当
时，四边形 是平行四边形.
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（2）设四边形的面积为，当时，求 的值.
【解】如图，过作于，过作于 .
，，， 在中，由勾股定理得 .
由三角形的面积公式得 ，
， .
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为的中线，,即 ,
.
四边形是平行四边形， .
， .
当时，，的面积为 ，
.
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26.（11分）已知点是等边内的任意一点，连接，， .
（1）如图所示，已知 ， ，将绕点 按顺时针
方向旋转 得到 .
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①求 的度数；
【解】 ， ，
.由旋转的性质可知， ， ，
.
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②猜想线段，， 之间的数量关系，并证明.
【解】线段，，之间的数量关系是 .证明如下：
图（1）
如图（1），连接绕点按顺时针方向旋转 得到 ，
,，，是等边三角形， .
由①知 ，在中，, .
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（2）设 ， .当 ， 满足什么关系时， 有
最小值？并说明理由.
【解】当 时， 有最小值.理由如下：
图（2）
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如图（2），将绕点按顺时针方向旋转 得到，连接 ,
,，，, 是等边三角
形,， ，
, 当点，，，共线时,
有最小值， ,
, .
综上，当 时， 有最小值.
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