4.5 相似三角形的性质及其应用 课件 2025-2026学年浙教版数学九年级上册

4.5 相似三角形的性质及其应用 年 级：九年级 学 科：初中数学（浙教版） 问题1 前面，我们已经学习了相似三角形的哪些知识？ 问题2 类比全等三角形的研究路径，接下来我们要研究 什么内容？ 相似三角形的定义，判定 相似三角形的性质 类比定方向 问题3 根据全等三角形的研究思路，我们可以研究相似 三角形哪些几何量之间的关系？ 三条对应边的关系、三个对应角的关系； 对应高、中线、角平分线的关系； 周长和面积等. 性质探究1 问题3 根据全等三角形的研究思路，我们可以研究 相似三角形哪些几何量之间的关系？ 问题4 如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么 关系呢？ 相似三角形的对应角相等； 对应边长比例. 猜想： 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比与相似比有什么关系呢？ A' B C A B' C' 三条对应边的关系、三个对应角的关系； 对应高、中线、角平分线的关系； 周长和面积等. 性质探究 猜想： 相似三角形对应高的比等于 . D' A' D B C A B' C' 求证： ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ 又∵AD、A′D′是高， ∴∠ADB=∠A′D′B′= 90° ∴△ADB∽△A′D′B′ 证明： 性质定理： 如图，△ABC∽△ A′B′C′, 相似比为k，AD、A′D′是分别为BC、B′C′边上的高． 相似比 类比探究 猜想： 相似三角形对应角平分线的比等于 . D' A' D B C A B' C' 如图，△ABC∽△ A′B′C′, 相似比为k，AD、A′D′分别为对应角∠BAC,∠B′A′C′的角平分线． 求证： 证明： 性质定理： ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠BAC=∠B′ A′ C′， 又∵AD、A′D′是角平分线， ∴∠BAD=∠B′A′D′ ， ∴△ADB∽△A′D′B′ 相似比 类比探究 猜想： 相似三角形对应中线的比等于 . D' A' D B C A B' C' 如图，△ABC∽△ A′B′C′, 相似比为k，AD、A′D′是分别为BC、B′C′边上的中线． 求证： 证明： 性质定理： 相似比 性质归纳 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比与对应中线的比都等于相似比. D' A' D B C A B' C' 性质定理： 结论拓展 猜想： 相似三角形对应线段的比等于相似比. D' A' D B C A B' C' 如图，△ABC∽△ A′B′C′, 相似比为k，AD、A′D′是分别为BC、B′C′边上的对应线段． 求证： 证明： 性质定理： 性质探究2 思考： （1）相似三角形周长的比与相似比有什么关系呢？ A' B C A B' C' （2）相似三角形面积的比与相似比有什么关系呢？ 性质探究2 思考： 相似三角形周长的比等于相似比. A' B C A B' C' 猜想： （1）相似三角形周长的比与相似比有什么关系呢？ 如图，△ABC∽△ A′B′C′, 相似比为k. 求证： 证明： 性质定理： 性质探究2 思考： 相似三角形面积的比等于 . 猜想： （2）相似三角形面积的比与相似比有什么关系呢？ 如图，△ABC∽△ A′B′C′, 相似比为k. 求证： 证明： A' B C A B' C' D' D 相似比的平方 性质定理： 性质归纳 性质定理： A' B C A B' C' 相似三角形的周长之比等于相似比； 相似三角形的面积之比等于相似比的平方； 相似三角形对应线段的比等于相似比. 学以致用 （1）两个相似三角形的相似比为2∶3，它们的对应角平分线之比为 ，周长之比为 ，面积之比为 ； （2）若两个相似三角形面积之比为16∶9，则它们的对应高之比为 ，对应中线之比为 . （3）如图若点D、E分别在AC、AB上，∠ADE＝∠B，F、G分别是BC、BE的中点，设AD＝3，AB＝5，则 = ． C A B E D F G 2∶3 4∶9 2∶3 4∶3 4∶3 5∶3 例题讲解 例3 在△ABC和△DEF中AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,若△ABC的 边BC上的高为6，面积为 ，求△DEF的边EF上的高和面积. D B C A E F 分析： △DEF的边EF上的高和面积. △ABC的边BC上的高和面积. 转化 例题讲解 D B C A E F 解： 例3 在△ABC和△DEF中AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,若△ABC的 边BC上的高为6，面积为 ，求△DEF的边EF上的高和面积. 研究路径 研究方法 定 义 判 定 性 质 应 用 周 长 对应边 对应线段 对应角 面积 研究对象 类 比 全等三角形 相似三角形 相似比 相似比的平方 相 等 分别相等 梳理建构 $$