第07讲 有理数的混合运算与近似数（知识梳理+4考点8类型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第07讲 有理数的混合运算与近似数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.正确应用有理数混合运算法则； 2.灵活运用运算律，使计算简便； 3.掌握近似数的相关概念，能通过四舍五入的方法得到符合要求的近似数. 1. 有理数混合运算 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2)同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 【补充】加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 2.近似数 近似数的概念：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数. 准确数的概念：与实际完全符合的数值称为准确数. 精确度的概念：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【补充说明】 1）一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度. 2）带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位. 3）对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：356000（精确到万位）的结果是3.6×105. 4）求用科学记数法表示数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：4.0×104的有效数字是4，0. 【考点一 有理数混合运算】 例1．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算： (1)． (2)． 变式1-1．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 变式1-2．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【考点二 有理数混合运算的八种技巧】 【类型一 凑整法】 【解题思路】将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消. 例2．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）计算：． 变式2-1．（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）用简便方法计算： (1) 变式2-2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【类型二 拆项法】 【解题思路】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁. 例3．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下题的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫拆项法． 按此方法计算：． 变式3-1．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1)． (2)． 【类型三 组合法】 【解题思路】找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消，从而简化题目. 例4．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 变式4-1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题： (1)计算： ①______； ②______． (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置 变式4-2．（24-25七年级上·全国·假期作业）简算，并写出简算过程． ． 【类型四 相互转化法】 【解题思路】先统一成分数，再算乘除即可 例5．（23-24六年级下·上海·期中）计算：． 变式5-1．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 变式5-2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【类型五 裂项相消法】例6．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：______； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 变式6-1．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）请你观察： ，，；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)猜想并写出：______； (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 变式6-2．（21-22七年级上·贵州遵义·期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：________； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【类型六 巧用分配律计算】 例7．（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算 变式7-1．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． 变式7-2．（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：； （2）计算：． 【类型七 巧用倒数法计算】 例8．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 变式8-1．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 解：方法1：原式＝； 方法2：原式的倒数＝， 所以原式． 任务： (1)材料中的方法1是先求括号内的 运算，再求括号外的 运算．（填“加法”“减法”“乘法”“除法”） (2)小明联想到材料的方法，给出了如下解法． 解：原式 ． 显然小明的解法是错误的，错误的原因是 ． (3)根据材料中的方法2计算：． 变式8-2．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读材料： 计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：原式的倒数 ． 故原式． 请你根据对材料的理解，选择合适的方法计算：． 变式8-3．（23-24七年级上·吉林白城·阶段练习）数学老师布置了一道思考题：计算，小明仔细思考了一番，用了一种方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为．．．．．第一步 ．．．．．．．第二步 ．．．．．．第三步 ．．．．．第四步．所以． (1)小明的解法第二步到第三步的运算依据是什么？ (2)请你运用小明的解法，计算． 【类型八 变形相加法】 例9．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 变式9-1．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 变式9-2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）阅读下面文字，回答后面问题：求的值． 解：令① 将等式两边同时乘5，得 ② ②①，得， ． 问题： (1)求的值； (2)求的值． 【考点三 求一个数的近似数】 例10．（24-25七年级上·全国·假期作业）用四舍五入法将下列各数按括号中的要求取近似数． (1)0.6328（精确到0.01）； (2)7.9122（精确到个位）； (3)47155（精确到百位）； (4)130.06（精确到0.1）； (5)4602.15（精确到千位）． 变式10-1．（23-24七年级上·全国·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上． （）（精确到）； ； （）（精确到十分位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到个位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到千分位）． ． 变式10-2．（22-23七年级上·广西崇左·阶段练习）按要求完成下列各题： (1)用科学记数法表示以下各数：300000= ； ；11万= ；亿= ． (2)按要求去以下各数的近似数： （精确到个位）； （精确到）； （精确到千位）；2567000≈ （精确到万位） 变式10-3．（2022七年级上·浙江·专题练习）用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)0.4605（精确到0.01）； (2)3.955（精确到十分位）； (3)132.5667（精确到千分位）； (4)86.4（精确到个位）； (5)1.820648（精确到小数点后第四位）； (6)4.6298（精确到千分位）． 【考点四 支出一个近似数精确到哪一位】 例11．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列各数精确到什么位？请分别指出来． (1)． (2)． (3)． (4)万． 变式11-1．（2022七年级·全国·专题练习）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 变式11-2．（2022七年级下·上海·专题练习）写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位？ (1)2000； (2)4.523亿； (3)； (4)0.00125． 一、单选题 1．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，将四条长为，宽为的长方形纸条垂直相交平放在桌面上，则桌面被盖住的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习），括号里应该填（    ） A． B．0 C．1 D． 3．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）为了求的值，可令则，因此，所以，仿照以上计算出的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·河南新乡·期中）下列计算：①；②；③；④．其中错误的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）清晨蜗牛从树根沿着树干往上爬，树高，白天爬，夜间下滑，它从树根爬上树顶，需（　　） A．9天 B．10天 C．11天 D．12天 8．（23-24七年级上·广东广州·期中）用四舍五入法对2.06032分别取近似值，其中错误的是（    ） A．2.1（精确到 B．2.06（精确到百分位） C．2.0（精确到十分位） D．2.0603（精确到 9．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到千位 10．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）期中考试后，小明用计算器计算出他六科的平均成绩为分．对小明这六科的平均成绩，下面用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到千分位） B．（精确到） C．（精确到） D．（精确到个位） 二、填空题 11．（23-24七年级上·广东深圳·期中）对于任意有理数a，b，规定，如，则 ． 12．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）计算： ． 13．（23-24七年级上·湖北孝感·期中）计算：的值为 ． 14．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： ． 15．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算 ． 16．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在学习了有理数的运算后，小明定义了新的运算“※”，当时，；当时，．例如∶，，利用“加、减、乘、除”以及新运算法则进行运算，下列运算中正确的是 ． ①； ②； ③； ④． 三、解答题 17．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）计算： 18．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ，，，． (1)独立思考：解答王老师提出的问题：第5个式子为______，第n个式子为______． (2)实践探究：在（1）中找出规律，并利用规律计算：； (3)问题拓展，求； 19．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算，能简算的要简算． (1)(2) (3)(4) 20．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求轴长精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到2.80m，原轴的长度范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 21．（23-24七年级上·全国·课后作业）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到百分位）； (2)（精确到万位）； (3)（精确到百位）． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 有理数的混合运算与近似数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.正确应用有理数混合运算法则； 2.灵活运用运算律，使计算简便； 3.掌握近似数的相关概念，能通过四舍五入的方法得到符合要求的近似数. 1. 有理数混合运算 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2)同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 【补充】加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 2.近似数 近似数的概念：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数. 准确数的概念：与实际完全符合的数值称为准确数. 精确度的概念：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【补充说明】 1）一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度. 2）带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位. 3）对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：356000（精确到万位）的结果是3.6×105. 4）求用科学记数法表示数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：4.0×104的有效数字是4，0. 【考点一 有理数混合运算】 例1．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数的混合运算顺序，首先计算乘方，然后计算乘法和除法，最后从左向右依次计算即可； （2）根据有理数的混合运算顺序，首先计算乘方，然后计算乘法和除法，最后从左向右依次计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1-1．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 变式1-2．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)17 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）先计算乘除，再计算减法即可； （2）先计算小括号里的，再计算乘除，最后计算减法即可； （3）先计算小括号，再计算中括号，即可求解； （4）先计算除法，并运用乘法分配律将括号展开，再进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【考点二 有理数混合运算的八种技巧】 【类型一 凑整法】 【解题思路】将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消. 例2．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）计算：． 【答案】9 【分析】本题考查有理数混合运算，先根据数的特征分组，再将小数化为分数，利用同分母分数加减运算求解，最后由有理数的加法运算求解即可得到答案，熟练掌握分数加减运算是解决问题的关键． 【详解】解： ． 变式2-1．（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）用简便方法计算： (1) 【答案】(1) 【详解】（1）解：原式 ； 变式2-2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算： （1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合计算法则求解即可； （4）根据有理数的加减混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【类型二 拆项法】 【解题思路】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁. 例3．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下题的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫拆项法． 按此方法计算：． 【答案】 【分析】按照题目中的拆项法解答即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，读懂题意、掌握解法是关键． 变式3-1．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的关键． 【类型三 组合法】 【解题思路】找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消，从而简化题目. 例4．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2） 每两个数为一组，结果是3； 则 即一共有337组； 原式． 变式4-1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题： (1)计算： ①______； ②______． (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置 【答案】(1)①，② (2)第2023次爬行后蚂蚁在原点处 【分析】（1）根据题目所给计算方法进行计算即可； （2）将向右爬行记为正，向左爬行记为负，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； ① ； ② 故答案为：，； （2）解：将向右爬行记为正，向左爬行记为负， ， ∴第2023次爬行后蚂蚁在原点处． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算的实际应用，解题的关键是熟练正确理解题意，根据题意正确列出算式． 变式4-2．（24-25七年级上·全国·假期作业）简算，并写出简算过程． ． 【答案】 【分析】本题考查四则混合运算，正确发现共分为25组，每组得数是2的规律是解题关键．通过观察，两组数字为一组，共分为25组，每组得数是2，进而计算即可． 【详解】解： （个） ． 【类型四 相互转化法】 【解题思路】先统一成分数，再算乘除即可 例5．（23-24六年级下·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把带分数化为假分数，再把除法化为乘法，然后计算，即可作答． 【详解】解： ． 变式5-1．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解： 变式5-2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解题的关键，正确掌握混合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行，有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． （）根据加法运算律计算即可； （）根据加法运算律计算即可； （）根据乘法运算律逆运算计算即可； （）根据乘除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ， ； （4）解： ， ． 【类型五 裂项相消法】例6．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：______； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 变式6-1．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）请你观察： ， ， ；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)猜想并写出：______； (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算： （1）根据题目中的等式，可以写出相应的猜想； （2）根据题目中的式子，通过裂项求和法可以求得所求式子的值； （3）根据题目中式子的特点，先提，再通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ； （3） ． 变式6-2．（21-22七年级上·贵州遵义·期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：________； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据题中材料即可得结果； （2）根据（1）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （3）先变形，再由阅读感知把每个分数进行裂项，最后进行加减乘运算即可． 【详解】解：（1）； （2） （3） 【点睛】本题是材料阅读题，考查了有理数的四则混合运算，关键是读懂题中的材料，根据材料提供的方法灵活应用． 【类型六 巧用分配律计算】 例7．（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，先把原式整理得，再运算括号内，最后运算乘法，即可作答． 【详解】 变式7-1．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 变式7-2．（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）先将化成，再运用乘法分配律计算即可； （2）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【类型七 巧用倒数法计算】 例8．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 【答案】一；（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算的有关知识，含乘方的有理数混合运算，有理数的乘除运算： 没有除法分配律，故解法一错误； （1）先计算乘方和括号里面的内容，再将除法化成乘法进行计算即可； （2）先计算括号里的内容，再将除法化成乘法进行计算即可． 【详解】解：没有除法分配律，故解法一错误， 故答案为：一； （1）原式 ； （2）原式 ． 变式8-1．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 解：方法1：原式＝； 方法2：原式的倒数＝， 所以原式． 任务： (1)材料中的方法1是先求括号内的 运算，再求括号外的 运算．（填“加法”“减法”“乘法”“除法”） (2)小明联想到材料的方法，给出了如下解法． 解：原式 ． 显然小明的解法是错误的，错误的原因是 ． (3)根据材料中的方法2计算：． 【答案】(1)减法，除法 (2)除法没有分配律 (3)1 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则判断即可； （2）根据除法法则解答即可； （3）仿照材料中的方法2计算即可． 【详解】（1）材料中的方法1是先求括号内的减法运算，再求括号外的除法运算， 故答案为：减法，除法； （2）错误的原因是：除法没有分配律， 故答案为：除法没有分配律； （3）原式的倒数 ， 所以原式＝1． 变式8-2．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读材料： 计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：原式的倒数 ． 故原式． 请你根据对材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】． 【分析】仿照阅读材料中的方法求出原式的值即可． 【详解】解：原式的倒数是： ， 故原式． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式8-3．（23-24七年级上·吉林白城·阶段练习）数学老师布置了一道思考题：计算，小明仔细思考了一番，用了一种方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为．．．．．第一步 ．．．．．．．第二步 ．．．．．．第三步 ．．．．．第四步．所以． (1)小明的解法第二步到第三步的运算依据是什么？ (2)请你运用小明的解法，计算． 【答案】(1)乘法分配律； (2)． 【分析】（1）根据题目中的解答过程可以看出第二步到第三步的依据，本题得以解决； （2）根据题目中的例子可以解答本题． 【详解】（1）根据题意可得， 第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； （2） 原式的倒数为 ∴． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【类型八 变形相加法】 例9．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案； （2）设，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料，设①， 将等式两边同时乘以3，则②， 由，得：， ， ； （2）根据材料，设③， 将等式两边同时乘以④， 由，得：， , ． 变式9-1．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用类比的数学思想解决问题是解题关键．仿照题干，令，进而得到，然后作差，整理即可得到所求式子的值． 【详解】解：令，则， ， ， 即的值为． 变式9-2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）阅读下面文字，回答后面问题：求的值． 解：令① 将等式两边同时乘5，得 ② ②①，得， ． 问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类变化规律、有理数的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）令将等式两边同时乘2得，由即可求得答案； （2）令，将等式两边同时乘3得，求出，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：令 将等式两边同时乘2得， 得； （2）解：， 令， 将等式两边同时乘3得， 得， ， ． 【考点三 求一个数的近似数】 例10．（24-25七年级上·全国·假期作业）用四舍五入法将下列各数按括号中的要求取近似数． (1)0.6328（精确到0.01）； (2)7.9122（精确到个位）； (3)47155（精确到百位）； (4)130.06（精确到0.1）； (5)4602.15（精确到千位）． 【答案】(1)0.63 (2)8 (3) (4)130.1 (5) 【分析】本题考查四舍五入法取近似数，按精确度找出要保留的最后一个数位，再按下一个数位上的数四舍五入即可得到答案，熟练掌握四舍五入法取近似数是解决问题的关键． （1）把千分位上的数字2四舍五入即可； （2）把十分位上的数字9四舍五入即可； （3）先用科学记数法表示，然后把十位上的数字5四舍五入即可； （4）把百分位上的数字6四舍五入即可； （5）先用科学记数法表示，然后把百位上的数字6四舍五入即可． 【详解】（1）解：（精确到0.01）； （2）解： （精确到个位）； （3）解：（精确到百位）； （4）解： （精确到0.1）； （5）解：（精确到千位）． 变式10-1．（23-24七年级上·全国·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上． （）（精确到）； ； （）（精确到十分位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到个位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到千分位）． ． 【答案】 【分析】根据近似数的精确度进行求解即可． 【详解】解：（）（精确到）； （）（精确到十分位） ； （）（精确到）； （）（精确到个位）； （）（精确到）； （）（精确到千分位）； 故答案为：；；；；；． 【点睛】此题考查了近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，熟练掌握近似数与精确度的概念是解题的关键． 变式10-2．（22-23七年级上·广西崇左·阶段练习）按要求完成下列各题： (1)用科学记数法表示以下各数：300000= ； ；11万= ；亿= ． (2)按要求去以下各数的近似数： （精确到个位）； （精确到）； （精确到千位）；2567000≈ （精确到万位） 【答案】(1)；；； (2)；；； 【分析】（1）根据科学记数法的含义逐一表示各数即可； （2）根据四舍五入的要求，分别对各数取近似值即可． 【详解】（1）解： ；； 11万； 亿． （2）（精确到个位）； （精确到）； （精确到千位）； （精确到万位）． 【点睛】本题考查的是科学记数法的含义，近似数的含义，掌握使用科学记数法表示绝对值较大的数以及根据要求确定近似值是解本题的关键． 变式10-3．（2022七年级上·浙江·专题练习）用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)0.4605（精确到0.01）； (2)3.955（精确到十分位）； (3)132.5667（精确到千分位）； (4)86.4（精确到个位）； (5)1.820648（精确到小数点后第四位）； (6)4.6298（精确到千分位）． 【答案】(1)0.46 (2)4.0 (3)132.567 (4)86 (5)1.8206 (6)4.630 【分析】求近似数：精确到哪一位，看下一位，采用四舍五入法；接下来，根据用四舍五入法取近似数的方法，对每一个数直接进行解答即可． 【详解】（1）解：0.4605（精确到0.01）≈0.46； （2）解： 3.955（精确到十分位）≈4.0； （3）解：132.5667（精确到千分位）≈132.567； （4）解：86.4（精确到个位）≈86； （5）解：1.820648（精确到小数点后第四位）≈1.8206； （6）解：4.6298（精确到千分位）≈4.630． 【点睛】本题主要考查运用“四舍五入”法求一个数的近以数，解题的关键是要看清精确到哪一位，就根据它的下一位上数是否满5，再进行四舍五入． 【考点四 支出一个近似数精确到哪一位】 例11．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列各数精确到什么位？请分别指出来． (1)． (2)． (3)． (4)万． 【答案】(1)精确到千分位 (2)精确到个位 (3)精确到百分位 (4)万精确到百位 【分析】（1）根据近似数的定义及求解方法即可求解； （2）根据近似数的定义及求解方法即可求解； （3）根据近似数的定义及求解方法即可求解； （4）根据近似数的定义及求解方法即可求解． 【详解】（1）解：精确到千分位． （2）解：精确到个位． （3）解：精确到百分位． （4）解：万精确到百位． 【点睛】本题主要考查近似数的概念及计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 变式11-1．（2022七年级·全国·专题练习）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 【答案】(1)万位 (2)百位 (3)千万位 (4)千位 【分析】（1）根据近似数的精确度求解； （2）根据近似数的精确度求解； （3）根据近似数的精确度求解； （4）根据近似数的精确度求解． 【详解】（1）解：∵600万的末尾为万位， ∴600万精确到万位； （2）解：∵7.03万的末尾为百位， ∴7.03万精确到百位； （3）解：∵5.8亿的末尾为千万位， ∴5.8亿精确到千万位； （4）解：∵3.30×105的末尾为千位， ∴3.30×105亿精确到千位； 【点睛】本题考查了近似数和有效数字∶近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，熟练掌握近似数的意义是解题的关键． 变式11-2．（2022七年级下·上海·专题练习）写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位？ (1)2000； (2)4.523亿； (3)； (4)0.00125． 【答案】(1)有效数字：2、0、0、0，精确到个位 (2)有效数字：4、5、2、3，精确到十万位 (3)有效数字：7、3、3，精确到千位 (4)有效数字：1、2、5，精确到十万分位 【分析】根据近似数和有效数字的概念求解即可． 【详解】（1）有效数字：2、0、0、0，精确到个位； （2）有效数字：4、5、2、3，精确到十万位； （3）有效数字：7、3、3，精确到千位； （4）有效数字：1、2、5，精确到十万分位． 【点睛】此题考查了近似数和有效数字的概念，解题的关键是熟练掌握近似数和有效数字的概念． 一、单选题 1．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，将四条长为，宽为的长方形纸条垂直相交平放在桌面上，则桌面被盖住的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用4个长方形纸条的面积减去4个重叠的正方形面积即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 2．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习），括号里应该填（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的理解，理解和，积，商的含义是解本题的关键，先计算，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴括号内填的是； 故选A 3．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）为了求的值，可令则，因此，所以，仿照以上计算出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题目中的例子，可令，则，可得，然后作差求解即可． 【详解】解：令，则， ， ， 故选：D 4．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5．（23-24七年级上·河南新乡·期中）下列计算：①；②；③；④．其中错误的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则以及运算顺序逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①，故①错误； ②，故②错误； ③，故③错误； ④，故④错误 故选：D． 6．（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则逐项判断即可，熟练掌握有理数的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符号题意； 故选：D． 7．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）清晨蜗牛从树根沿着树干往上爬，树高，白天爬，夜间下滑，它从树根爬上树顶，需（　　） A．9天 B．10天 C．11天 D．12天 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得：（天）， 则它从树根爬上树顶，需10天． 故选：B． 8．（23-24七年级上·广东广州·期中）用四舍五入法对2.06032分别取近似值，其中错误的是（    ） A．2.1（精确到 B．2.06（精确到百分位） C．2.0（精确到十分位） D．2.0603（精确到 【答案】C 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：A．（精确到，正确，不符合题意； B．（精确到百分位），正确，不符合题意； C．（精确到十分位），原说法错误，符合题意； D．（精确到，正确，不符合题意； 故选C． 9．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数和有效数字，掌握精确度的概念是解题的关键，根据近似数的精确度分别进行判断即可． 【详解】解：A、精确到千分位，所以A选项错误； B、万精确到千位，所以B选项错误； C、精确到千分位，所以C选项正确； D、3000精确到个位，所以D选项错误． 故选：C 10．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）期中考试后，小明用计算器计算出他六科的平均成绩为分．对小明这六科的平均成绩，下面用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到千分位） B．（精确到） C．（精确到） D．（精确到个位） 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：A、（精确到千分位），故选项不符合题同意； B、（精确到），故选项符合题同意； C、（精确到），故选项不符合题同意； D、（精确到个位），故选项不符合题同意； 故选：B． 二、填空题 11．（23-24七年级上·广东深圳·期中）对于任意有理数a，b，规定，如，则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：15． 12．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，按照先乘方，再乘除，最后算加减的顺序计算即可． 【详解】 故答案为：． 13．（23-24七年级上·湖北孝感·期中）计算：的值为 ． 【答案】612.5 【分析】本题主要考查了有理数的运算，解题时要熟练掌握并能灵活变形是关键． 依据题意，将式子变形，再变形后分母是连续几个数的和，进而计算可以得解． 【详解】解： ， 故答案为：612.5． 14．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是找清楚有几个 ．根据观察可知每一个括号里的结果都是，从1到两两相减一共个，进而可计算结果． 【详解】原式 ． 故答案为∶ ． 15．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，理解有理数乘方中的底数，以及正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数是解题关键． 【详解】解∶ 原式， 故答案为∶ ． 16．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在学习了有理数的运算后，小明定义了新的运算“※”，当时，；当时，．例如∶，，利用“加、减、乘、除”以及新运算法则进行运算，下列运算中正确的是 ． ①； ②； ③； ④． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了新定义运算，新定义的运算法则实质是取两数中的较大值，根据此运算法则一一判断即可． 【详解】解：①，计算正确； ②，等号两边不相等，原式错误； ③无论a和b的关系如何，和都能取得其中的最大值，则原式计算正确； ④无论a、b和c的大小关系如何，和都能取得其中的最大值，则原式计算正确； 故正确的有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题 17．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）计算： 【答案】100000000 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，乘法运算律．根据乘法结合律计算即可． 【详解】解： ． 18．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ，，，． (1)独立思考：解答王老师提出的问题：第5个式子为______，第n个式子为______． (2)实践探究：在（1）中找出规律，并利用规律计算：； (3)问题拓展，求； 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查数字规律及有理数的混合运算； （1）根据已知条件得到第一个式子的分母是，第二个式子的分母是，第三个式子的分母是，由此即可求解第五个式子和第个式子； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解； （3）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解． 【详解】（1）解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， ∴第5个式子为， ， ∴第n个式子为， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 19．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及乘方，乘法分配律，加减混合运算，掌握有理数混合运算的计算法则是解题的关键，利用运算定律可以使计算更加简便． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）先计算乘除法，再计算加法即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可得解； （4）先计算小括号内的，以及乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求轴长精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到2.80m，原轴的长度范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【答案】(1) (2)小王加工的轴不合格 【分析】（1）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位， 应当看末位数字实际在哪一位； （2）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格． 【详解】（1）解：近似数的要求是精确到， 所以原轴的范围是. （2）解：原轴的范围是， 故轴长为与的产品不合格，即小王加工的轴不合格． 【点睛】本题考查了近似数及有效数字，小数的位数不同它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． 21．（23-24七年级上·全国·课后作业）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到百分位）； (2)（精确到万位）； (3)（精确到百位）． 【答案】(1) (2)12341万 (3) 【分析】（1）根据精确到百分位，对千分位四舍五入，取近似数，即可求解． （2）根据精确到万位，对千位四舍五入，取近似数，即可求解． （3）根据精确到百位，对十位四舍五入，取近似数，即可求解． 【详解】（1）2.715（精确到百分位）≈ （2）（精确到万位）≈万 （3）（精确到百位）≈ 【点睛】本题考查了求近似数，熟练掌握四舍五入求近似数的方法是解题的关键． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$