专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训（4个知识点+8大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 倒数 题型四 有理数的乘法运算律 题型五 有理数的除法运算 题型六 有理数乘除混合运算 题型七 有理数的乘法的实际应用 题型八 有理数的除法应用 拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合 拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合 拓展训练三 有理数乘除法综合应用 拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题 拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题 知识点一：有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·河北保定·期中）下列各式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D．       2．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）计算 ． 知识点二：有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）若，则的值可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川眉山·课前预习）（1）乘法交换律：ab＝ （2）乘法结合律：（ab）c＝ （3）乘法分配律：a（b＋c）＝ 知识点三：倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川资阳·阶段练习）有理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）的倒数是 ． 知识点四：有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（2025七年级上·江苏·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C．2 D．8 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）把算式写成的依据是 ． 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·陕西西安·期末）计算：（   ） A．1 B． C．6 D． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知有理数a、b、c、d满足，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算 3．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）在这六个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是 ，最小的是 ． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）4个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 1．（24-25七年级上·福建厦门·期中）如果有4个不同的正整数m，n，p，q满足，那么的值为（    ） A．8086 B．8088 C．8084 D．8090 2．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）定义新运算：．请利用此定义计算： ． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，5张卡片分别写了5个不同的整数，同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为，则卡片上表示的数为 ．（写出一个即可） 4．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）计算： 【经典例题三 倒数】 【例3】（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列各组数中，互为倒数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）图所示，在数轴上标出了有理数a，b，c的位置其中0是原点，则，，，大小顺序是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）与互为相反数，则的倒数是 ． 3．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）若两个有理数的和等于两个有理数的积，则称这两个有理数互为“相依数”，如：有理数与3，因为×3．所以有理数与与3是互为相依数，对于有理数，对它进行如下操作：取a的相依数，得到；取的倒数，得到；取的相依数，得到；取的倒数，得到；……；依次按如上的操作得到一组数若，则 ． 4．（24-25七年级上·广西柳州·期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 【经典例题四 有理数的乘法运算律】 【例4】（24-25七年级上·广东茂名·期中）计算：的结果为（    ） A． B．2 C． D．10 1．（24-25七年级上·山东济南·期中）已知4个数，，，它们两两之和为5，8，9，11，12，15，则四个数的乘积的所有可能值为（    ） A．214和304 B．234和314 C．224和324 D．234和334 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）甲、乙、丙三个数的平均数是，甲与乙的比是，乙与丙的比是，乙是 ． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期中）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 4．（24-25七年级上·四川乐山·阶段练习）计算与解释． 在用简便算法计算“”时，轩轩、露露和展晨三人分别用了三种不同的简算方法（如下面方框所示）． (1)请思考轩轩的方法，分析他用了下面哪个运算定律，并将序号填在括号里．（   ） 轩轩： A．乘法分配律    B．乘法交换律    C．乘法结合律 (2)请你思考露露和晨晨的方法，根据他们第2步的计算结果，推理出两人第1步的想法，并补充完整． 露露： = 晨晨： =（ ÷ ）×（ × ） 露露： 晨晨： 【经典例题五 有理数的除法运算】 【例5】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·云南·阶段练习）为了得到的结果，下面想法不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，则值为 ． 3．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）化简下列各分数： ， ， ， ． 4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）在如图所示的竖式中，不同的符号代表不同的数字，请找出每一个符号对应的数字，并把这个竖式写出来． 【经典例题六 有理数乘除混合计算问题】 【例6】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若规定“！”是一种数学运算符号，，的值为（    ） A． B． C． D．1 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）已知a，b，c，d都是负数，且，则的值（　　） A．负数 B．0 C．正数 D．负数或0 2．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）计算的结果是 ． 3．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）给一间房间铺地板，选用边长3分米的方砖需要240块，若选用边长6分米的方砖，需 块． 4．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）请阅读下面的解题过程并回答问题． 计算： 解：原式（第一步）           （第二步） ．          （第三步） (1)以上步骤从第______步开始出现错误，错误的原因是______． (2)请写出正确的解题过程． 【经典例题七 有理数的乘法的实际应用】 【例7】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）把一根长厘米的小棒，按截成三段，用这三段小棒首尾相接正好围成了一个直角三角形．这个三角形的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若高度每增加1千米，气温就下降，现在地面气温是，那么离地面高度为6千米的高空的气温是 ℃ 3．（24-25七年级上·四川资阳·期末）某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价．乘车路程区段与对应票价（部分）如下表： 乘车路程区段 0~5 6~10 11~15 16~25 … 票价/元 1 2 3.2 4.6 … 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数字是23，则该学生乘车的费用为 元． 4．（24-25七年级上·广东汕头·期中）“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数），若9月30日的游客人数为1万人，进园的人均消费为200元． 日期（10月） 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 (1)10月4日的游客人数为_________万人； (2)七天内游客人数最多的是10月_________日，游客人数为_________万人； (3)此风景区一方面给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面拉动了内需，促进了消费．请帮该景区计算“十一”期间所有游园人员在此风景区的总消费是多少万元？ 【经典例题八 有理数的除法应用】 【例8】（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）一个正方形的周长是厘米，则这个正方形的边长为（    ）厘米 A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·广东汕尾·期末）如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）小明在计算除法时，把被除数472错看成427，结果商比原来小5，但余数恰好相同，则该题的余数是 ． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的 ． 4．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）体育课上，全班男同学进行了100米测验，达标成绩为15秒，下表是某小组8名男生的成绩斐然记录，其中 “＋”表示成绩超过15秒． 0 (1)这个小组男生的达标率为多少？（） (2)这个小组男生的平均成绩是多少秒？ 【拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，数轴上有一根木棒AB重合在数轴上，当点A移动到点B原来的位置时，点B移动到的位置对应的数是20，当点B移动到点A原来的位置时，点A移动到的位置对应的数是 5（单位是） (1)这根木棒有多长 (2)请你借助上述方法解决问题：一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要49年才能出生呢，你若是我这么大的话，我就 137 岁了”，你能求出爷爷的年龄吗？ 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点C对齐刻度．    (1)在图1的数轴上，______个单位长度；在图2中，______cm；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的______cm，在数轴上点所对应的数______． (2)在图2的数轴上标出下列数字：，0，1． (3)在图1的数轴上有一动点，当时，求点在图2中对应刻度尺上的读数． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为　　　　　 　cm． (2)由题(1)的启发,请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题: 问题:一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合】 1．（24-25七年级上·辽宁辽阳·阶段练习）列式计算： （1）求绝对值大于1而不大于5的所有负整数的和． （2）-2除以4与的积，商是多少？ 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）如果点P到点A、点B的距离相等，直接写出x的值； （2）当点P以每秒3个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使PB＝3AB？ （3）利用数轴，根据绝对值的几何意义，找出满足|x+1|+|x﹣3|＝6的所有x的值． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）定义新运算：运算的运算法则为：两数进行“”运算时，同号得正，并把绝对值相乘；异号得负，并把绝对值相除；与任何数进行“”运算，或任何数与进行“”运算时，都得；． 比如：①；②；③．求： (1)的值； (2)的值． 【拓展训练三 有理数乘除法综合应用】 1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）某地的气象观测资料表明，高度每增加，气温大约下降，该地地面温度为． (1)求距地面高度处的温度； (2)若高空某处气温为，求此处距地面的高度． 2．（24-25七年级上·广东江门·期末）近年来，跑步锻炼成为一项受大众欢迎的健身运动，许多与运动有关的手机应用程序应运而生，小林给自己设定：以每天跑步a千米为基准，超过的部分记为正，不足的部分记为负，手机应用程序统计小林一周跑步情况，记录如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与基准的差/千米 已知小林周六和周日共跑了12千米． (1)求a的值； (2)小林本周共跑了多少千米？ 3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）新一代标准动车组“复兴号”是中国自主研发，具有完全知识产权的新一代高速列车，是中国科技创新的又一重大成果，一列“复兴号”动车正在匀速行驶中，经过某长度为的大桥用时，桥头一监测仪监测到该动车通过监测仪正前方所用时间为． (1)求该动车的长度； (2)该动车通过大桥的速度是多少千米/时？ 【拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题】 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）利用裂项技巧计算时，最恰当的方案可以是（　　） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出： ． (2)探究并计算：． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题】 1．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）（中考新考法·新定义）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义一种新的运算：． (1)计算与，此运算满足乘法交换律吗？ (2)计算与，此运算满足乘法结合律吗？ 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：，．例如：，．若，则称有理数，为“开心数对”． 例如：，，，所以2、3就是一对“开心数对”． (1)下列各组数是“开心数对”的是________；（请填序号） ①，；②，；③， (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“开心数对”，计算：． 1．（2025·广东清远·模拟预测）的倒数是（　　） A． B． C．-20 D．20 2．（24-25七年级上·四川内江·期末）的倒数的相反数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）算式运算过程中应用了（   ） A．加法结合律 B．加法交换律 C．乘法结合律 D．乘法分配律 4．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知且．则x的值为（   ） A．0或1 B．0 C．0或或1 D．0或1或 5．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）已知（取计算结果的末位数字），（取计算结果的末位数字），（取计算结果的末位数的值为（    ） A．2020 B．4040 C．4048 D．4042 6．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）计算： ． 7．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）的倒数是 ，与它的倒数的乘积是 ． 8．（24-25七年级上·河南·阶段练习）阅读下列材料： ①，，… ②，，… ③，，… 利用由①②③组中你发现的等式规律计算： ．        9．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）对于两个非零整数x，y，如果满足这两个数的积等于它们的和的6倍，称这样的x，y为友好整数组，记作<x，y> ，<x，y>与<y，x>视为相同的友好整数组．请写出一个友好整数组 ，这样的友好整数组一共有 组 ． 10．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）某校运会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时，甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙．那么，开始时乙每分钟比甲多跑 米，甲加速后，每分钟比原来多跑 米． 11．（24-25七年级上·四川眉山·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25七年级上·四川内江·阶段练习）脱式计算、能简算的要简算． (1) (2) (3) 13．（24-25七年级上·四川内江·期中）一个数的是的倒数，求这个数． 14．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）阅读下列材料：计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数．所以原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)计算：______． (3)请你选择合适的解法计算：． 15．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）． (1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和． (2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表： 类别 实木地板 柔光砖 木纹砖 平均费用（元/） 200 90 80 问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 倒数 题型四 有理数的乘法运算律 题型五 有理数的除法运算 题型六 有理数乘除混合运算 题型七 有理数的乘法的实际应用 题型八 有理数的除法应用 拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合 拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合 拓展训练三 有理数乘除法综合应用 拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题 拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题 知识点一：有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·河北保定·期中）下列各式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多个非零有理数相乘，负数的个数为奇数时，积为负数，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A. 中有两个负数一个正数，积为正数，不符合题意；     B. 中有两个负数一个正数，积为正数，不符合题意；     C. ，积为零，不符合题意；         D. 中有三个负数，积为负数，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查多个有理数的乘法，掌握“多个非零有理数相乘，负数的个数为奇数时，积为负数”是关键． 2．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数的乘法法则运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点二：有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）若，则的值可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可变形为：，即． 【详解】∵， ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查乘法分配律．掌握运算定律是解题关键． 2．（24-25七年级上·四川眉山·课前预习）（1）乘法交换律：ab＝ （2）乘法结合律：（ab）c＝ （3）乘法分配律：a（b＋c）＝ 【答案】 ba a（bc） ab＋ac 【解析】略 知识点三：倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川资阳·阶段练习）有理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置．乘积是1的两数互为倒数，直接利用倒数的定义得出答案． 【详解】解：的倒数是． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查倒数的概念，乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴有理数的倒数是． 故答案为：． 知识点四：有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（2025七年级上·江苏·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，直接根据有理数除法计算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）把算式写成的依据是 ． 【答案】除以一个数等于乘以这个数的倒数 【分析】根据有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，进行作答即可． 【详解】解：把算式写成的依据是除以一个数等于乘以这个数的倒数， 故答案为：除以一个数等于乘以这个数的倒数． 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·陕西西安·期末）计算：（   ） A．1 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘法，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键； 根据有理数乘法法则：同号为正，异号为负，即可解答． 【详解】解：； 故选：D． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知有理数a、b、c、d满足，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟记同号得正、异号得负是解题的关键．根据有理数的乘法，同号得正、异号得负对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．若，则不一定正确，如：； B．若，则不一定正确，如：； C．若，则，则，正确； D．若，则不一定正确，如：； 故选C． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法运算，熟练掌握有理数的运算法则是解答的关键．根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）在这六个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是 ，最小的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘法法则．根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，而正数大于一切负数，可知同号两数相乘的积大于异号两数相乘的积，则只有两种情况，与，比较即可，异号两数相乘，再看绝对值可得最小值． 【详解】解：乘积最大的是，最小的是， 故答案为：，． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数乘法运算；理解新定义运算是解题的关键． （1）按照新定义表示出算式，再按有理数乘法运算法则进行运算，即可求解； （2）按照新定义分步表示出算式，再按有理数乘法运算法则进行运算，即可求解； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）4个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 【答案】D 【分析】利用几个非零有理数相乘，积的符号是负数的个数决定，当负数的个数为奇数个时，积为负，当负数的个数为偶数个数时，积为正，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ∵4个有理数相乘，积的符号是负号， ∴这4个有理数中，负数的个数为1个或3个， ∴正数有3个或1个， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的乘法的应用，熟练掌握有理数乘法中负数的个数决定积的符号是解题的关键． 1．（24-25七年级上·福建厦门·期中）如果有4个不同的正整数m，n，p，q满足，那么的值为（    ） A．8086 B．8088 C．8084 D．8090 【答案】B 【分析】因为m，n，p，q都是四个不同正整数，所以、、、都是不同的整数，四个不同的整数的积等于4，这四个整数为，由此求得m，n，p，q的值，问题得解 【详解】解：因为， 每一个因数都是整数且都不相同， 那么只可能是，这四个数的和为0， 则， 所以，． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，一个正整数通过分解把它写为四个不同的整数的乘积，要考虑有两个正因数，两个负因数，从而再结合题意解决问题． 2．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）定义新运算：．请利用此定义计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的乘法计算法则，明确新运算的计算法则是解决这个问题的关键． 根据新运算的运算法则首先求出的值，然后再计算后面的值，从而得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为： 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，5张卡片分别写了5个不同的整数，同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为，则卡片上表示的数为 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据要求找出符合条件的a的值即可． 【详解】解：∵5张卡片分别写了5个不同的整数， ∴，0，2，6， ∵同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为，且， ∴3张卡片上各数之积最小为时，抽取的卡片是，2，6， ∴a可能是1，，，． 故答案为：1（或或或）． 【点睛】本题主要考查了有理数的运算，解题的关键是根据3张卡片上各数之积最小为，确定a可能的取值． 4．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法法则进行计算即可求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ． 【经典例题三 倒数】 【例3】（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列各组数中，互为倒数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义：乘积是的两个数互为倒数，逐项求出这两个数的乘积进行判断即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，∴和不是倒数； 、，和不是倒数； 、，和不是倒数； 、，和是倒数； 故选：． 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）图所示，在数轴上标出了有理数a，b，c的位置其中0是原点，则，，，大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数轴上的位置判断a、b、c的大小，再取特殊值进去比较其倒数大小即可． 【详解】根据a、b、c在数轴上的位置，可以取特殊值判断其倒数的大小， 可以取、、， 则、、， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴、倒数和有理数比较大小的知识点，采用特殊值法代入比较是解题的关键． 2．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）与互为相反数，则的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性以及倒数等知识，根据相反数的定义得出，然后利用绝对值的非负性求出a，b 的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴的倒数为． 故答案为． 3．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）若两个有理数的和等于两个有理数的积，则称这两个有理数互为“相依数”，如：有理数与3，因为×3．所以有理数与与3是互为相依数，对于有理数，对它进行如下操作：取a的相依数，得到；取的倒数，得到；取的相依数，得到；取的倒数，得到；……；依次按如上的操作得到一组数若，则 ． 【答案】1011 【分析】根据题意求出前几个数，发现其规律再进行求解即可． 【详解】解：当时，由题意可求得， 故的值6次一循环的规律出现， 且 而， ∴ ＝ ＝1011． 故答案为：1011． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 4．（24-25七年级上·广西柳州·期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了有理数的除法． （1）由，和互为倒数关系，可得； （2）先计算的值，再求出它的倒数即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ． ∴． 【经典例题四 有理数的乘法运算律】 【例4】（24-25七年级上·广东茂名·期中）计算：的结果为（    ） A． B．2 C． D．10 【答案】B 【分析】根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键在于能够熟练掌握有理数乘法的分配律． 1．（24-25七年级上·山东济南·期中）已知4个数，，，它们两两之和为5，8，9，11，12，15，则四个数的乘积的所有可能值为（    ） A．214和304 B．234和314 C．224和324 D．234和334 【答案】C 【分析】不妨设，根据，，，之间的大小关系，得出方程组，得出它们的解，再进行验证求解． 【详解】解：设 则，，， 解得：，，，，或者，，，， 当，，，时，， 当，，，时，． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，合情推理是解题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）甲、乙、丙三个数的平均数是，甲与乙的比是，乙与丙的比是，乙是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，根据题意可得甲乙丙，进而列出算式即可求解，根据题意求出甲、乙、丙之间的比是解题的关键． 【详解】解：∵甲与乙的比是，乙与丙的比是， ∴甲乙丙， ， ， ∴乙是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期中）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·四川乐山·阶段练习）计算与解释． 在用简便算法计算“”时，轩轩、露露和展晨三人分别用了三种不同的简算方法（如下面方框所示）． (1)请思考轩轩的方法，分析他用了下面哪个运算定律，并将序号填在括号里．（   ） 轩轩： A．乘法分配律    B．乘法交换律    C．乘法结合律 (2)请你思考露露和晨晨的方法，根据他们第2步的计算结果，推理出两人第1步的想法，并补充完整． 露露： = 晨晨： =（ ÷ ）×（ × ） 【答案】(1)A； (2)；；；；8． 【分析】本题考查了数的简便运算． （1）轩轩的方法是把分解成，然后8和分别与相乘，再把相乘的积相加，这符合乘法分配律； （2）露露的方法是把分解成，然后根据乘法交换律，把和的位置进行交换；晨晨的方法是根据积不变的规律，一个因数乘几（0除外），另一个因数除以相同的数，积不变进行求解，为了计算简便把除以8，乘8即可． 【详解】（1）解：由计算过程可知轩轩是使用了乘法分配律进行简便运算； 故选：A； （2）解：补充如下： 露露： 晨晨： 故答案为：；；；；8． 【经典例题五 有理数的除法运算】 【例5】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数的运算法则和运算顺序，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原选项的计算错误，不符合题意； B、，原选项的计算错误，不符合题意； C、，原选项的计算错误，不符合题意； D、，原选项的计算正确，符合题意； 故选D． 1．（24-25七年级上·云南·阶段练习）为了得到的结果，下面想法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分数除法．熟练掌握分数除法法则，商不变性质，等分线段，是解决问题的关键． 根据分数除法意义与法则，商不变性质，等分线段，逐一判断，即得． 【详解】解：A、2可以化为，得到两个分母相同的分数相除，根据商不变的性质可以化为分子相除， ∴A想法合理． B、根据可得：， ∴B想法不正确； C、根据分数除法法则得到， ∴C想法正确； D、把平均分成5份，每份是， ∴D想法正确． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，则值为 ． 【答案】或3 【分析】此题考查了绝对值，以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据已知等式得到，确定出，，中负因式有0个或2个，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】解：由，得到， ，，中有0个或2个负数， 当2个都为负数时，原式； 当0个为负数时，原式． 或3 故答案为：或3 3．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）化简下列各分数： ， ， ， ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：，，，． 【点睛】此题考查了有理数除法运算，解题的关键是掌握有理数除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）在如图所示的竖式中，不同的符号代表不同的数字，请找出每一个符号对应的数字，并把这个竖式写出来． 【答案】 【分析】本题考查除法竖式的推导，根据除数和商的个位上的数字相同，并且积是两位数，可得只能是4，5，6，7，8，9这6个数字中的一个，逐项验证可得答案． 【详解】解：由除数和商的个位上的数字相同，并且积是两位数，可得只能是4，5，6，7，8，9，且满足， 当时，根据可得，，此时商为14，除数是4，被除数为，与被除数是三位数矛盾，不合题意； 当时，根据可得，，与“不同的符号代表不同的数字”矛盾，不合题意； 当时，根据可得，，与“不同的符号代表不同的数字”矛盾，不合题意； 当时，根据可得，，此时商为47，除数是7，被除数为，与被除数中十位、个位数字相同矛盾，不合题意； 当时，根据可得，，此时商为68，除数是8，被除数为，符合题意； 当时，根据可得，，此时商为89，除数是9，被除数为，与被除数中十位、个位数字相同矛盾，不合题意； 综上可知，，，， 故这个竖式为： 【经典例题六 有理数乘除混合计算问题】 【例6】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若规定“！”是一种数学运算符号，，的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了乘除混合运算．理解题意，确定运算规则是解题的关键． 根据求解作答即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）已知a，b，c，d都是负数，且，则的值（　　） A．负数 B．0 C．正数 D．负数或0 【答案】C 【分析】先根据绝对值的非负性可得，从而可得，，，，再根据有理数的乘除法法则即可得． 【详解】解：， ， ，，，， 都是负数， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值、有理数的乘除法法则，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 2．（24-25七年级上·四川眉山·课后作业）计算的结果是 ． 【答案】4 【分析】根据乘除混合运算，按照顺序自左到右依次计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）给一间房间铺地板，选用边长3分米的方砖需要240块，若选用边长6分米的方砖，需 块． 【答案】60 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意运算顺序，以及正方形的面积的求法，解答此题的关键是要明确：正方形的面积边长边长． 首先根据正方形的面积边长边长，求出边长3分米的方砖的面积，然后用它乘240，求出这间房间的底面积，最后用这间房间的底面积除以边长6分米的方砖的面积，求出需要边长6分米的方砖多少块即可． 【详解】解： （块）． 答：若选用边长6分米的方砖，需60块． 故答案为：60． 4．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）请阅读下面的解题过程并回答问题． 计算： 解：原式（第一步）           （第二步） ．          （第三步） (1)以上步骤从第______步开始出现错误，错误的原因是______． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二，运算顺序错误 (2)，过程见解析 【分析】本题考查了有理数的乘除法混合运算，解决此题的关键是要注意同级运算是从左到右，一步一步计算． （1）运算过程中应该先把除变乘，再进行下一步计算，但是题目未按照运算顺序计算； （2）按照有理数乘除法的混合运算，先判定符号，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而得到结果即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ． 故答案为：二，运算顺序错误。 （2）解： ， ， ， ． 【经典例题七 有理数的乘法的实际应用】 【例7】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）把一根长厘米的小棒，按截成三段，用这三段小棒首尾相接正好围成了一个直角三角形．这个三角形的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，根据直角三角形的面积等于两条直角边积的一半列出算式计算即可求解，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴这个三角形的面积是平方厘米， 故选：． 1．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，理解题意成为解题的关键． 根据增长率求出依次求出2021年、2022年、2023年基地黄桃产量，然后对比即可解答． 【详解】解：2021年基地黄桃产量为， 2022年基地黄桃产量为， 2023年基地黄桃产量为， 因此突破的年份是2023年． 故选B． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若高度每增加1千米，气温就下降，现在地面气温是，那么离地面高度为6千米的高空的气温是 ℃ 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据“地面气温是，高度每增加千米，气温就下降”，即可列式计算． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·四川资阳·期末）某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价．乘车路程区段与对应票价（部分）如下表： 乘车路程区段 0~5 6~10 11~15 16~25 … 票价/元 1 2 3.2 4.6 … 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数字是23，则该学生乘车的费用为 元． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，利用乘法的费用等于票价乘以路程，列出算式进行求解即可． 【详解】解：， （元）； 故答案为： 4．（24-25七年级上·广东汕头·期中）“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数），若9月30日的游客人数为1万人，进园的人均消费为200元． 日期（10月） 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 (1)10月4日的游客人数为_________万人； (2)七天内游客人数最多的是10月_________日，游客人数为_________万人； (3)此风景区一方面给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面拉动了内需，促进了消费．请帮该景区计算“十一”期间所有游园人员在此风景区的总消费是多少万元？ 【答案】(1)2.7 (2)3，3 (3)2960万元 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的应用： （1）根据所给数据列加减算式计算可得答案； （2）求出7天中每天的游客人数，比较大小即可； （3）将7天游客人数相加，乘以200即可． 【详解】（1）解：10月4日的游客人数为：（万人）， 故答案为：2.7； （2）解：由题意知， 10月1日的游客人数为：（万人）， 10月2日的游客人数为：（万人）， 10月3日的游客人数为：（万人）， 10月4日的游客人数为：（万人）， 10月5日的游客人数为：（万人）， 10月6日的游客人数为：（万人）， 10月7日的游客人数为：（万人）， 由， 可知七天内游客人数最多的是10月3日，游客人数为3万人， 故答案为：3，3； （3）解：由（2）可知，“十一”期间所有游客数量为： （万人）， （万元）， 答：“十一”期间所有游园人员在此风景区的总消费是2960万元． 【经典例题八 有理数的除法应用】 【例8】（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）一个正方形的周长是厘米，则这个正方形的边长为（    ）厘米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的边长正方形的周长，列式计算即可得到答案． 【详解】解：一个正方形的周长是厘米， 这个正方形的边长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的除法的应用，正确列式计算是解此题的关键． 1．（24-25七年级上·广东汕尾·期末）如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的计算，通过观察发现日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数之间的内在联系，是完成本题的关键．通过观察可知，日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数，据此特点对题目中的四个选项中的数据进行分析即可． 【详解】解：日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数． A、，不能整除，不符合要求； B、，不能整除，不符合要求； C、，符合日历中数竖列上相邻的三个数的特点； D、，不能整除，不符合要求； 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）小明在计算除法时，把被除数472错看成427，结果商比原来小5，但余数恰好相同，则该题的余数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的除法，根据题意，是商的5倍，即可求出商，再进行运算可得余数． 【详解】因为把被除数472错看成427，结果商比原来小5，但余数恰好相同， 所以是商的5倍， 所以原来的商为， 所以原来的余数为， 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法的应用，根据两个图中瓶子空余部分的体积相等，可得答案． 【详解】解：由图可得，第一个图中水的高度为，第二图中空余部分的高度为， 两个图中瓶子空余部分的体积相等， 水的体积占瓶子容积的， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）体育课上，全班男同学进行了100米测验，达标成绩为15秒，下表是某小组8名男生的成绩斐然记录，其中 “＋”表示成绩超过15秒． 0 (1)这个小组男生的达标率为多少？（） (2)这个小组男生的平均成绩是多少秒？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数正负数的意义，有理数的除法的应用，解决问题的关键是理解题意，正确列式计算； （1）根据正负数的意义，找出达标人数，再利用达标率公式计算即可；         （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：这个小组男生的达标率成绩为：，，0，，，，共6名， 所以这个小组男生的达标率为； （2）解：这个小组男生的平均成绩是秒． 【拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，数轴上有一根木棒AB重合在数轴上，当点A移动到点B原来的位置时，点B移动到的位置对应的数是20，当点B移动到点A原来的位置时，点A移动到的位置对应的数是 5（单位是） (1)这根木棒有多长 (2)请你借助上述方法解决问题：一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要49年才能出生呢，你若是我这么大的话，我就 137 岁了”，你能求出爷爷的年龄吗？ 【答案】(1) (2)75岁 【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则此木棒长为； （2）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒的长，当点移动到点时，此时点所对应的数为，当点移动到点时，此时点所对应的数为137，所以可知爷爷比小红大，可知爷爷的年龄． 此题考查了学生的分析能力，数轴两点间的距离，数轴上表示有理数，有理数的混合运算，学以致用的能力．解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看作一个整体（木棒，而后把此转化为上一题中的问题． 【详解】（1）解：由数轴观察知三根木棒长是， 则此木棒长为． （2）故这根木棒长． 解：借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒的长， 当点向左移动到点时， 此时点所对应的数为． 当点向右移动到点时， 此时点所对应的数为137． ∴（岁） 可知爷爷比小红大岁， 可知爷爷的年龄为岁． 故爷爷的年龄为75岁． 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点C对齐刻度．    (1)在图1的数轴上，______个单位长度；在图2中，______cm；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的______cm，在数轴上点所对应的数______． (2)在图2的数轴上标出下列数字：，0，1． (3)在图1的数轴上有一动点，当时，求点在图2中对应刻度尺上的读数． 【答案】(1)9，，， (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了数轴，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式直接求解即可； （2）在图二的数轴上表示出三个数即可； （3）按照两个数轴的比例得出在图二中的数值即可． 【详解】（1）解：在图1的数轴上，个单位长度；在图2中，；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，在数轴上点所对应的数． 故答案为：9，，，； （2）解：∵， ∴在处， ∵， ∴0在处， ∵， ∴1在处． 如图，    （3）解：∵， ∴D在图2中对应刻度尺上的的长度为：， ∴或， ∴点D在图2中对应刻度尺上的读数为：或． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为　　　　　 　cm． (2)由题(1)的启发,请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题: 问题:一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【答案】（1）5 （2）70岁 【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是20-5=15（cm），则此木棒长为5cm； （2）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为-40，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为125，所以可知爷爷比小红大[125-（-40）]÷3=55，可知爷爷的年龄． 【详解】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是20-5=15（cm）， 则此木棒长为：15÷3=5cm， 故答案为：5． （2）借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB， 类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为-40， 小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为125， ∴可知爷爷比小红大[125-（-40）]÷3=55， 可知爷爷的年龄为125-55=70． 答：爷爷的年龄是70岁． 【拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合】 1．（24-25七年级上·辽宁辽阳·阶段练习）列式计算： （1）求绝对值大于1而不大于5的所有负整数的和． （2）-2除以4与的积，商是多少？ 【答案】（1）-14;（2）1． 【详解】试题分析：（1）列举出绝对值大于1而不大于5的所有负整数，然后相加即可． （2）此题要求“商是多少”，所以最后一步计算应为除法，题意可缩为：-2除以积，商是多少． 试题解析：（1）绝对值大于1而不大于5的所有负整数有：-2、-3、-4、-5， 故：-2-3-4-5=-14， 所以绝对值大于1而不大于5的所有负整数的和为-14． （2）-2÷[4×（-）]=-2÷（-2）=1 考点：1．绝对值．2．有理数的混合运算． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）如果点P到点A、点B的距离相等，直接写出x的值； （2）当点P以每秒3个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使PB＝3AB？ （3）利用数轴，根据绝对值的几何意义，找出满足|x+1|+|x﹣3|＝6的所有x的值． 【答案】（1）x=1；（2）若向x轴负向运动，3s后可使PB＝3AB；若向x轴正向运动，5s后可使PB＝3AB；（3）x=-2或4． 【分析】（1）点P到点A、点B的距离相等，点P必在A、B中间； （2）先求出使PB＝3AB的P点，再用距离除以速度； （3）找到与A、B两点距离之和为6的点． 【详解】解：（1）到点A、点B的距离相等的点位于A、B的中点，即x=1的点； （2）若P向数轴负方向运动， 使PB＝3AB，AB=4 则PB=12 所以P点对应的数是3-12=-9， 从原点到-9对应点的距离是9，P移动的速度是3个单位/s 所以到达-9处需要时间=； 若P向数轴正方向运动， 使PB＝3AB，AB=4 则PB=12 所以P点对应的数是3+12=15 从原点到15对应点的距离是15，P移动的速度是3个单位/s 所以到达15处需要时间=． 综上，当以数轴负向运动时，3秒后可使PB＝3AB；当以数轴正向运动时，5秒后可使PB＝3AB． （3）由题可得，要找出与A、B两点距离之和为6的点，因为AB=4，所以必定在线段AB两侧 在线段AB右侧的点为x=4的点，与B距离为1，与A距离为5； 在线段AB左侧的点为x=-2的点，与A距离为1，与B距离为5． 【点睛】这道题考查的是数轴上两点间距离的概念和绝对值的几何意义．熟练掌握这些知识点是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）定义新运算：运算的运算法则为：两数进行“”运算时，同号得正，并把绝对值相乘；异号得负，并把绝对值相除；与任何数进行“”运算，或任何数与进行“”运算时，都得；． 比如：①；②；③．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义运算，从左至右的顺序进行计算即可求解； （2）根据新定义，先计算括号内的，然后再按顺序进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，理解新定义是解题的关键． 【拓展训练三 有理数乘除法综合应用】 1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）某地的气象观测资料表明，高度每增加，气温大约下降，该地地面温度为． (1)求距地面高度处的温度； (2)若高空某处气温为，求此处距地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际运用，解题的关键是求出温度差； （1）根据高度每增加，气温大约下降，列式计算，即可解题； （2）根据题意得到温度差，再除以，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 答：此高空比地面高． 2．（24-25七年级上·广东江门·期末）近年来，跑步锻炼成为一项受大众欢迎的健身运动，许多与运动有关的手机应用程序应运而生，小林给自己设定：以每天跑步a千米为基准，超过的部分记为正，不足的部分记为负，手机应用程序统计小林一周跑步情况，记录如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与基准的差/千米 已知小林周六和周日共跑了12千米． (1)求a的值； (2)小林本周共跑了多少千米？ 【答案】(1)5.2 (2)38.2千米 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握正数和负数的意义，有理数的混合运算法则． （1）根据小林周六和周日共跑了12千米，列出方程进行求解即可； （2）用表格中所有数据的和进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； 故； （2）（千米）； 答：小林本周共跑了38.2千米． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）新一代标准动车组“复兴号”是中国自主研发，具有完全知识产权的新一代高速列车，是中国科技创新的又一重大成果，一列“复兴号”动车正在匀速行驶中，经过某长度为的大桥用时，桥头一监测仪监测到该动车通过监测仪正前方所用时间为． (1)求该动车的长度； (2)该动车通过大桥的速度是多少千米/时？ 【答案】(1) (2)50千米/时 【分析】(1)设该动车的长度为，根据题意可知：(桥的长度+火车长度)火车长度，从而可以列出方程，求解即可； (2)根据(1)即可求解 【详解】（1）解：设该动车的长度为， 根据题意得：， 解得， 答：该动车的长度为； （2）解：该动车通过大桥的速度为：(千米/时)， 答：该动车通过大桥的速度是50千米/时． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 【拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题】 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）利用裂项技巧计算时，最恰当的方案可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则进行作答即可． 【详解】解：计算最简便的方法是， 故选：D． 2．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出： ． (2)探究并计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意和题目中的例子，可以解答本题； （2）根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ＝1 ＝1 ； 【点睛】本题考查了有理数的加减，根据例题掌握裂项相减是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 【拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题】 1．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）（中考新考法·新定义）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查有理数的乘法运算，弄清定义运算的实质是解题的关键； （1）根据新定义的法则，列出算式进行计算即可； （2）根据新定义的法则，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义一种新的运算：． (1)计算与，此运算满足乘法交换律吗？ (2)计算与，此运算满足乘法结合律吗？ 【答案】(1)此运算满足乘法交换律，理由见解析 (2)运算不满足乘法结合律，理由见解析 【分析】（1）由定义的新运算可知，，进一步计算即可得出答案，同理求出的值，并根据结果判断是否满足乘法交换律即可 （2）先由新定义可得，进一步利用新定义计算即可得出答案，再算出的值，然后根据结果判断是否满足乘法结合律即可． 【详解】（1）解：此运算满足乘法交换律，理由如下： ； ． 故此运算满足乘法交换律． （2）运算不满足乘法结合律，理由如下： ； ． 故此运算不满足乘法结合律． 【点睛】本题考查实数的运算，明确新定义，能够根据新定义进行运算是解题的关键． 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：，．例如：，．若，则称有理数，为“开心数对”． 例如：，，，所以2、3就是一对“开心数对”． (1)下列各组数是“开心数对”的是________；（请填序号） ①，；②，；③， (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“开心数对”，计算：． 【答案】(1)①③， (2) (3) 【分析】（1）根据已知新运算公式分别计算，再根据“开心数对”的定义判断即可； （2）根据已知新运算公式，结合有理数混合运算法则，即可计算求值； （3）根据“开心数对”的定义，将代数式变形，再进行计算即可． 【详解】（1）解：①，， ，， ，即，是“开心数对”； ②，， ，， ，即，不是“开心数对”； ③， ，， ，即，是“开心数对”； 故答案为：①③； （2）解： ； （3）解：两个连续的非零整数都是“开心数对”， ． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，有理数的混合运算，正确理解“开心数对”的定义，掌握相关运算法则是解题关键． 1．（2025·广东清远·模拟预测）的倒数是（　　） A． B． C．-20 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘法、倒数的定义等知识点，掌握有理数乘法法则是解题的关键． 先根据有理数乘法法则计算，然后再求倒数即可． 【详解】解：，的倒数是． 故选A． 2．（24-25七年级上·四川内江·期末）的倒数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数和相反数的概念，解题的关键是掌握倒数和相反数的定义． 先根据倒数定义求出的倒数，再根据相反数定义求出该倒数的相反数即可． 【详解】原数为，其倒数为， 的相反数为， 故选：D． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）算式运算过程中应用了（   ） A．加法结合律 B．加法交换律 C．乘法结合律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】本题考查了运算律，根据乘方分配律即可求解． 【详解】解：算式运算过程中应用了乘法分配律 故选：D． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知且．则x的值为（   ） A．0或1 B．0 C．0或或1 D．0或1或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到、、的符号有三种情况（，，或，，或，，）是解决问题的关键；由，，可得、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，由此可得、、的符号有三种情况（，，或，，或，，），再根据绝对值的性质分三种情况求得的值即可求解． 【详解】∵，， ∴、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值， ∴，，或，，或，，， 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ 综上，当，时， 故选：B． 5．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）已知（取计算结果的末位数字），（取计算结果的末位数字），（取计算结果的末位数的值为（    ） A．2020 B．4040 C．4048 D．4042 【答案】C 【分析】根据题意，可以写出前几项，即可发现末位数字的变化特点，从而可以求出所求式子的值． 【详解】解：∵f（1）=2（取1×2的末位数字）， f（2）=6（取2×3的末位数字）， f（3）=2（取3×4的末位数字）， f（4）=0（取4×5的末位数字）， f（5）=0（取5×6的末位数字）， f（6）=2（取6×7的末位数字）， f（7）=6（取7×8的末位数字）， f（8）=2（取8×9的末位数字）， f（9）=0（取9×10的末位数字）， f（10）=0（取10×11的末位数字）， f（11）=2（取11×12的末位数字）， …， 可知末位数字以2，6，2，0，0依次循环出现， ∵2022=404×5+2， ∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2022）， =（2+6+2+0+0）×404+2+6， =10×404+8， =4048， 故选：C． 【点睛】本题考查数字的变化类，有理数的乘法混合计算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． 6．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除可以解答本题． 【详解】解： ． 故答案为：1． 7．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）的倒数是 ，与它的倒数的乘积是 ． 【答案】 1 【分析】根据倒数的定义解答即可． 本题考查了倒数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：的倒数是，与它的倒数的乘积是1． 故答案为：，1． 8．（24-25七年级上·河南·阶段练习）阅读下列材料： ①，，… ②，，… ③，，… 利用由①②③组中你发现的等式规律计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，找到题目中式子的规律是解题关键． 根据①中的规律写出第n个式子，根据②中的规律总结即可得到第n个式子，按照题目①②③中的规律计算即可． 【详解】解：根据题意得：①组中第n个等式为：； ②组的第n个等式为：； ∴原式               ， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）对于两个非零整数x，y，如果满足这两个数的积等于它们的和的6倍，称这样的x，y为友好整数组，记作<x，y> ，<x，y>与<y，x>视为相同的友好整数组．请写出一个友好整数组 ，这样的友好整数组一共有 组 ． 【答案】 见解析 9 【分析】由友好整数组的定义和x，y为整数及数的整除性，分析计算可得答案． 【详解】由已知可得若为友好整数组，则xy≠0，且xy=6（x+y） ∴（x-6）y=6x，显然当x=6时该等式不成立， ∴x≠6 ∴ ∵y是整数 ∴是整数 ∴当x-6=1，即x=7时，y=42，故＜7，42＞是一个友好整数组． ∵x，y是整数 ∴是整数，且x-6是整数 ∵xy≠0，且＜x，y＞与＜y，x＞视为相同的友好整数组． ∴x-6=±1或±2或±3或±4或-6， ∴这样的友好整数组一共有2+2+2+2+1=9（组）． 故答案为：＜7，42＞；9． 【点睛】本题考查了新定义在有理数的乘除法问题中的应用，读懂定义并根据数的整除性来计算是解题的关键 10．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）某校运会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时，甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙．那么，开始时乙每分钟比甲多跑 米，甲加速后，每分钟比原来多跑 米． 【答案】 16 96 【分析】根据在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，可知这5分钟甲比乙多跑400米，可求出甲比乙每分钟多跑80米，进而计算出前15分钟乙比甲多跑的路程，可得开始时乙每分钟比甲多跑16米，然后可得答案． 【详解】解：因为在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙， 所以甲加快速度后，甲比乙每分钟多跑米， 因为在第15分钟时，甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙， 所以前15分钟，乙比甲多跑米， 所以开始时乙每分钟比甲多跑米， 所以甲加速后，每分钟比原来多跑米， 故答案为：16，96． 【点睛】本题考查了追击问题，有理数混合运算的实际应用，能够根据已知条件求出前15分钟，乙比甲多跑的距离是解题的关键． 11．（24-25七年级上·四川眉山·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则． （1）利用有理数的乘除混合运算法则进行计算即可； （2）利用有理数的乘除混合运算法则进行计算即可； （3）利用有理数的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 12．（24-25七年级上·四川内江·阶段练习）脱式计算、能简算的要简算． (1) (2) (3) 【答案】(1)1 (2)1 (3)2.6 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律，熟知有理数乘法运算律是解题的关键． （1）先把转化为，再运用乘法分配律的逆运算法则，进行符合运算； （2）运用乘法交换律，乘法结合律，先计算和再把它们的积相乘； （3）运用乘法分配律，计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．（24-25七年级上·四川内江·期中）一个数的是的倒数，求这个数． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键；根据倒数的定义直接计算即可． 【详解】解：由题意知，这个数为：， 所以这个数为． 14．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）阅读下列材料：计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数．所以原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)计算：______． (3)请你选择合适的解法计算：． 【答案】(1)一 (2)15 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握倒数法，是解题的关键： （1）除法没有分配律，解法一错误； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）利用倒数法进行计算即可。 【详解】（1）解：除法没有分配律，故解法一错误； 故答案为：一； （2）； （3）原式的倒数 ， 所以原式． 15．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）． (1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和． (2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表： 类别 实木地板 柔光砖 木纹砖 平均费用（元/） 200 90 80 问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？ 【答案】(1)67； (2)15095元 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，根据图形列出算式是解决本题的关键． （1）先求出每个卧室的边长，再根据图形求出客厅和卧室的面积之和即可； （2）根据题意列出算式即可求解． 【详解】（1）解：∵主卧与次卧是两个面积相等的正方形， ∴卧室的边长为m， ∴客厅的长为m， ∴两个卧室和客厅的面积总和； （2）解：（元） 学科网（北京）股份有限公司 $$