第06讲 有理数的乘方（知识梳理+10考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第06讲 有理数的乘方 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解乘方的意义，能进行有理数乘方的运算； 2.会用科学记数法表示较大的数； 3.能将用科学记数法表示的数还原成原数. 1.乘方 基础 n个相同的因数a相乘记作an，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 补充与拓展 正数的任何次幂都是正数.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来. 2.科学记数法 基础 科学记数法的定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为正整数），这种记数法叫做科学记数法． 补充与拓展 1）用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键. ①a是一个整数数位只有一位的数，即1≤a＜10; ②确定n的方法：当原数绝对值大于10时，则n等于原数的整数位数减1； 2）还原用科学记数法表示的数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数； 小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108 【考点一 有理数幂的概念理解】 例1．（23-24七年级上·广西北海·阶段练习）对于式子，下列说法不正确的是（    ） A．指数是3 B．底数是 C．结果为 D．表示3与相乘 变式1-1．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）比较和，下列说法正确的是（    ） A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C． D． 变式1-2．（23-24七年级上·河北唐山·期中）计算（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知的底数为，指数为，的底数为，幂为，则 ． 变式1-4．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）仔细观察下列算式：，． (1) ； (2) ； (3) ． 【考点二 有理数运算的符号规律】 例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）在，，，中负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2-1．（21-22七年级上·江苏扬州·期末）下列代数式的值一定是正数的是（　　） A． B． C． D． 变式2-2．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）若，则的值是（   ） A． B．1 C．0 D． 变式2-3．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）若字母各表示一个有理数，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式2-4．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习） ． 变式2-5．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【考点三 有理数乘方的运算】 例3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知，，且，求的值． 变式3-1．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）已知，求的值． 变式3-2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）现有一组数：、、、、、，请回答下列问题： (1)这组数中所有负数的和为______； (2)若一组数中的服大值与最小值的差称为极差，则这组数的极差为______； (3)画出数轴，并在数轴上表示这一组数，再用“<”连接起来. 变式3-3．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，，且，求的值． 【考点四 根据有理数的乘方判断整除问题】 例4．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）一定能被（    ）整除 A．2020 B．2022 C．2024 D．2025 变式4-1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）能被下列哪个数整除？（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 变式4-2．（19-20七年级下·四川成都·期中）当自然数的个位数分别为0，1，2，…，9时，的个位数如表所示： 个位数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 个位数 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 个位数 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 个位数 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1 ······ 在10，11，12，13这四个数中，当 时，和数能被5整除． 变式4-3．（20-23七年级下·浙江杭州·期中）试说明能被30整除． 【考点五 根据有理数的乘方判断末位数字问题】 例5．（22-23七年级上·河南商丘·阶段练习）观察下列等式：，，，，，，…，那么：的末位数字是（　　） A．0 B．6 C．7 D．9 变式5-1．（21-22七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算：，，，，，…归纳各计算结果中各位数字的规律，猜测的个位数字是 ． 变式5-2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）观察下列算式：，，根据上述算式中的规律，则的末位数字是 ． 变式5-3．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）若与互为相反数，的末位数字是 ． 变式5-4．（22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）观察下列算式： ，，，，，，，，…，则的末位数字是 ． 【考点六 根据有理数的乘方解决进制问题】 例6．（2023七年级上·江苏·专题练习）腾讯公司将等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级标识图为两个皇冠，则其等级为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）我们常用的十进制数，如，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（       ） A．1326天 B．510天 C．336天 D．84天 变式6-2．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）我们平常使用的是十进制数，例如1354这个数可以写成，．十进制外还有其它进制，都可以和十进制互相转化，例如2进制数1011转化成十进制为，二进制数10011转化成十进制数为 ． 变式6-3．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数： ； 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【考点七 含乘方的数字及图形规律问题】 例7．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（　　） A． B． C． D． 变式7-1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列各数据按规律在横线上填上下一个适当的数： ． 变式7-2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）由图1、图2和图3中正方形个数的关系得到． 类似地，继续结合图形验证你的猜想，并应用其蕴含的规律可得 （结果保留幂的形式） 变式7-3．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）观察下列等式： … (1)请直接写出第⑩个等式； (2)根据上述等式的排列规律，猜想第个等式（是正整数），并验证它的正确性． 变式7-4．（23-24六年级上·山东烟台·期中）观察下列各式，完成下列问题． 将一些边长相等的正方形按如图方式拼图： 图①中小正方形的个数：； 图②中小正方形的个数：； 图③中小正方形的个数：； (1)仿照上例，写出下一个等式 (2)仿照上例，计算：； (3)根据你所总结的规律计算的值． 【考点八 含乘方的新定义问题】 例8．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（） A． B． C．5 D．3 变式8-1．（2023·山东枣庄·一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 变式8-2．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）定义一种新运算，规定：，例如：，那么 ． 变式8-3．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）对于两个有理数a，b，我们对运算“☆”作出如下定义：若，则；若，则． (1)计算：； (2)若，求的值． 【考点九 乘方的应用】 例9．（23-24七年级下·全国·假期作业）长方体的长是厘米，宽是厘米，高是厘米，那么它的体积是 立方厘米． 变式9-1．（2024·河南濮阳·一模）某种细菌平均每20分钟由1个分裂成2个，经过1小时，这种细菌由1个能分裂成 个． 变式9-2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 变式9-3．（2024·北京顺义·一模）小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究： 将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止．例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌．将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第 张纸牌；将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则 （用含n的代数式表示，其中n为自然数）． 变式9-4．（22-23六年级上·山东泰安·期中）当你把纸对折一次时，就得到层，当对折两次时，就得到层，照这样折下去（最多折次）． (1)计算当你对折次时，层数是多少； (2)如果纸的厚度是，求对折次时，总厚度是多少． 变式9-5．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大． (1)求第二个正方体纸盒的棱长； (2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？ 【考点十 科学记数法的表示及还原】 例10．（2024·北京·三模）2024年5月 3日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞行任务．6月2号早上嫦娥六号在月球背面的南极-艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约千米， 将用科学记数法表示为（   ）． A． B． C． D． 变式10-1．（2024·江苏扬州·三模）2024年春节假期扬州市接待游客850万人次，同比增长78%，旅游总收入67.7亿元．将数据67.7亿用科学记数法表示为 ． 变式10-2．（2024·河北石家庄·二模）一个整数8150…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 变式10-3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列各数： (1)__________________； (2)__________________； (3)__________________． 变式10-4．（22-23七年级下·云南文山·阶段练习）卫星绕地球运动的速度是，求卫星绕地球运行走过的路程．（结果用科学记数法表示．） 变式10-5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）某农科所要在长为、宽为的长方形试验基地上培育新品种粮食，现培育每种新品种粮食需要一块边长为的正方形试验田，那么这块试验基地最多能培育多少种新品种粮食？ 变式10-6．（23-24七年级上·全国·课后作业）写出下列用科学记数法表示的数的原数： (1)北京故宫的占地面积约为； (2)长城长约千米； (3)太阳和地球的距离大约是千米； (4)全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 一、单选题 1．（2024·江苏扬州·三模）下列各式计算结果等于2024的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知，那么的值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）若，，则等于（     ） A． B． C． D．或 4．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（    ） A．3 B． C． D． 5．（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 6．（2024·北京丰台·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24六年级下·全国·假期作业）若，则有理数a在数轴上的对应点一定在（　　） A．原点左侧 B．原点或原点左侧 C．原点右侧 D．原点或原点右侧 8．（23-24六年级下·全国·假期作业）用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河北廊坊·二模）已知：，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·河南郑州·三模）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过万亿次，万亿用科学记数法表示为(　　) A． B． C． D． 11．（2024·河北邯郸·三模）杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为的形式，则a的值为（  ） A．0.1058 B．1.058 C．10.58 D．1058 二、填空题 12．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ， ， ． 13．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知a，b满足，那么 ． 14．（23-24六年级下·上海普陀·期中）9个2相乘的结果用幂的形式表示为 ． 15．（23-24九年级下·山东青岛·期中）利用如图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是 ． 16．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如果，则，例如，则．根据规定，若，则 ． 17．（23-24七年级上·河南郑州·期中）2023年国庆期间，郑州新彩虹桥顺利通车．通车当天搜索“郑州新彩虹桥”，找到相关结果用科学记数法表示为个，则原数是 个． 三、解答题 18．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列用科学记数法表示的数，原数分别是什么？ (1)； (2)； (3)． 19．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）计算： 20．（24-25七年级上·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 21．（23-24六年级下·全国·假期作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 22．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）观察下列算式： ① ② ③ … (1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母n的式子表示出来，并用学过的整式乘法的有关知识，说明其成立的理由． 23．（23-24六年级下·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题． 材料一：因为，所以． 材料二：求的值． 解：设①， ①两边同时乘以3得，则② 用得， 所以， 即， 所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：_________，_________； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_________粒米（用幂表示）； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的乘方 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解乘方的意义，能进行有理数乘方的运算； 2.会用科学记数法表示较大的数； 3.能将用科学记数法表示的数还原成原数. 1.乘方 基础 n个相同的因数a相乘记作an，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 补充与拓展 正数的任何次幂都是正数.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来. 2.科学记数法 基础 科学记数法的定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为正整数），这种记数法叫做科学记数法． 补充与拓展 1）用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键. ①a是一个整数数位只有一位的数，即1≤a＜10; ②确定n的方法：当原数绝对值大于10时，则n等于原数的整数位数减1； 2）还原用科学记数法表示的数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数； 小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108 【考点一 有理数幂的概念理解】 例1．（23-24七年级上·广西北海·阶段练习）对于式子，下列说法不正确的是（    ） A．指数是3 B．底数是 C．结果为 D．表示3与相乘 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数的乘方的定义解答． 【详解】解：式子中： 指数是3，故A选项正确； 底数是，故B选项正确； 结果为，故C选项正确； 表示3个相乘，故D选项错误； 故选D． 变式1-1．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）比较和，下列说法正确的是（    ） A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查有理数乘方计算，乘方定义：根据乘方的底数及指数定义判断A，B；计算乘方，由此判断C，D． 【详解】，， ∴它们底数不相同，指数相同，， 故A，B，D错误，C正确； 故选：C． 变式1-2．（23-24七年级上·河北唐山·期中）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数幂，根据相同的数相加，用乘法，相同的数相乘用乘方，进行作答即可． 【详解】解：； 故选D． 变式1-3．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知的底数为，指数为，的底数为，幂为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，有理数幂．根据有理数幂的概念，求出，再代入代数式计算即可．掌握有理数幂的概念，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 变式1-4．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）仔细观察下列算式：，． (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的乘方的意义，有理数的乘法运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的乘方的意义，有理数的乘法运算进行计算即可求解； （3）根据（1）（2）得出结论，即可求解． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． （3） 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数乘方的意义，熟练掌握幂的概念是解题的关键． 【考点二 有理数运算的符号规律】 例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）在，，，中负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 本题考查负数的定义、绝对值的化简、有理数的乘方，利用运算法则将各式化简是解题的关键． 【详解】解：，，，， 其中是负数的有，，，共3个， 故选：C． 变式2-1．（21-22七年级上·江苏扬州·期末）下列代数式的值一定是正数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正负数、非负数的性质，绝对值的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，一定是正数，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正负数、非负数的性质，绝对值的性质，熟练掌握正负数的判断方法及非负数的性质的正确应用是解题关键． 变式2-2．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）若，则的值是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查偶次方和绝对值的非负性，理解偶次方的性质和非负数的性质是解答关键．根据非负数的性质求出a、b的值再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴当，则，． ∴，． ∴ ． 故选：A． 变式2-3．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）若字母各表示一个有理数，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值、非负数的性质等知识点，掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零成为解题的关键． 根据绝对值、非负数的非负数的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A.由，，则，故该选项正确，不符合题意； B. 由，，则，故该选项正确，不符合题意； C. 由，，则，故该选项正确，不符合题意； C. 当且互为相反数时，故该选项错误，符合题意． 故选：D． 变式2-4．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习） ． 【答案】0 【分析】由的偶次方等于1，的奇次方等于，，可计算，有1006个奇次方，1005个偶次方，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵的偶次方等于1，的奇次方等于， 则， 由次可知有1006个奇次方，1005个偶次方， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，利用的偶次方等于1，的奇次方等于，组合计算是解决问题的关键． 变式2-5．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【答案】 奇数 0 【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当整数为奇数时，； 当整数为奇数时，则为偶数， ∴， 当整数为偶数时，则为奇数， ； 故答案为：奇数，0 【点睛】本题考查的是负1的奇次方与偶次方，熟记乘方的含义与乘方的符号确定方法是解本题的关键． 【考点三 有理数乘方的运算】 例3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知，，且，求的值． 【答案】的值为或． 【分析】本题考查了绝对值，有理数的乘方，代数式求值，找出满足条件的、的值是解题关键．根据绝对值和有理数的乘法，求出、的值，再代入计算，即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ， ，或，， 当，时，， 当，时，， 即的值为或． 变式3-1．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，有理数的乘方．根据绝对值和偶次方的非负性，求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 变式3-2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）现有一组数：、、、、、，请回答下列问题： (1)这组数中所有负数的和为______； (2)若一组数中的服大值与最小值的差称为极差，则这组数的极差为______； (3)画出数轴，并在数轴上表示这一组数，再用“<”连接起来. 【答案】(1) (2)8 (3)数轴表示见解析， 【分析】本题考查了极差、数轴以及有理数大小比较的方法． （1）找出其中的负数，再根据有理数加法法则计算即可； （2）根据极差的定义解答即可； （3）把各点表示在数轴上，根据“在数轴上右边的数总比左边的数大”用“＜”号连接即可． 【详解】（1）， ∴这组数中所有负数的和为：， 故答案为：； （2）若一组数中的最大值与最小值的差称为极差，则这组数的极差为： ， 故答案为：8； （3）如图所示： 故． 变式3-3．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义、乘方运算的逆运算以及有理数的混合运算，解答时，根据题意分别求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴或 当时，， 当时，， ∴的值为． 【考点四 根据有理数的乘方判断整除问题】 例4．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）一定能被（    ）整除 A．2020 B．2022 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】根据乘法分配律的逆运算得到，即可得出结论． 【详解】解： ， ∴一定能被2022整除， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律的逆运算． 变式4-1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）能被下列哪个数整除？（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了数的整除、有理数的乘方的运算，先计算出，即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 能被整除， 故选：C． 变式4-2．（19-20七年级下·四川成都·期中）当自然数的个位数分别为0，1，2，…，9时，的个位数如表所示： 个位数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 个位数 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 个位数 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 个位数 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1 ······ 在10，11，12，13这四个数中，当 时，和数能被5整除． 【答案】10、11、13 【分析】根据表格中的规律，分别求出2001、2002、2003、2004这几个数的个位在n=10、11、12、13时的值，通过判断这4个数字的个位数字和是否是0或5来判断是否能被5整除 【详解】根据表格中的规律，可得下表：        n个位数 10 11 12 13 个位数 1 1 1 1 个位数 4 8 6 2 个位数 9 7 1 3 个位数 6 4 6 4 个位数的和的个位数 0 0 4 0 由表格知道，当n=10、11、13时，的个位数字都是0，能够被5整除 故答案为：10、11、13 【点睛】本题考查了归纳总结的能力，解题关键是利用乘方的规律来确定个位数字，求出结果的个位数字之和判断是否能够被5整除. 变式4-3．（20-23七年级下·浙江杭州·期中）试说明能被30整除． 【答案】理由见解析． 【分析】先利用有理数的乘方的逆运算将进行变形，再提取公因子，由此即可得出答案． 【详解】 则 因为是整数 所以能被30整除． 【点睛】本题考查了有理数的乘方的逆运算、乘法的分配律，掌握有理数的乘方的逆运算是解题关键． 【考点五 根据有理数的乘方判断末位数字问题】 例5．（22-23七年级上·河南商丘·阶段练习）观察下列等式：，，，，，，…，那么：的末位数字是（　　） A．0 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据的次幂，次幂，次幂，次幂可知，其尾数次后，开始循环，由此即可求出答案． 【详解】解：∵的尾数的结果是，从共有组，余下， ∴原式 尾数和为 ，即尾数为， 故选：． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算以及规律变化，解题的关键是找出运算结果末尾数字变化的规律． 变式5-1．（21-22七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算：，，，，，…归纳各计算结果中各位数字的规律，猜测的个位数字是 ． 【答案】1 【分析】根据题目中的式子可以计算出前几个数字，从而可以发现个位数字的变化规律，进而可以得到的个位数字． 【详解】解：由，，，，，，，…，可知计算结果中的个位数字以1、3、7、5为一个循环组依次循环， ∵， ∴的个位数字是1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，求出所求式子的个位数字． 变式5-2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）观察下列算式：，，根据上述算式中的规律，则的末位数字是 ． 【答案】7 【分析】根据前几个乘方运算结果的末位数字的变化规律，得到每4次一循环，进而可得答案． 【详解】解：根据已知算式： 的末位数字为3， 的末位数字为9， 的末位数字为7， 的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为9， ……， 由此得到，末位数字以3、9、7、1每4次一个循环， ∵， ∴的末位数字是7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查数字类规律探究，通过观察、分析、归纳发现变化规律是解答的关键． 变式5-3．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）若与互为相反数，的末位数字是 ． 【答案】6 【分析】由题意可得；分别找到的尾数规律即可． 【详解】解：由题意得： ∵的末位数字是5，的末位数字是5 ∵的末位数字是3，的末位数字是9，的末位数字是7，的末位数字是1，的末位数字是3… ∴的末位数字是3，的末位数字是9，的末位数字是7，的末位数字是1 ∵ ∴的末位数字是1 ∴的末位数字是6 故答案为：6 【点睛】本题考查了相反数的性质，涉及了找规律．熟记相关结论即可． 变式5-4．（22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）观察下列算式： ，，，，，，，，…，则的末位数字是 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，本题得到2的指数幂的结果的个位数每4次循环，结合，从而可得答案，掌握探究的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，，，…， ∴个位数每4次循环， ∵每4个数的个位数之和为， ∴和的个位为0， ∵， ∴可分为组， ∴其运算结果中的个位为0； 故答案为：0． 【考点六 根据有理数的乘方解决进制问题】 例6．（2023七年级上·江苏·专题练习）腾讯公司将等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级标识图为两个皇冠，则其等级为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等级规则可得一个皇冠是级，由此即可得． 【详解】解：由题意得：两个皇冠的等级是， 即其等级为， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确列出运算式子是解题关键． 变式6-1．（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）我们常用的十进制数，如，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（       ） A．1326天 B．510天 C．336天 D．84天 【答案】B 【分析】类比于十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数． 【详解】解：绳子上表示的七进制数为：， 故选：B． 【点睛】考查了有理数的混合运算，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． 变式6-2．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）我们平常使用的是十进制数，例如1354这个数可以写成，．十进制外还有其它进制，都可以和十进制互相转化，例如2进制数1011转化成十进制为，二进制数10011转化成十进制数为 ． 【答案】19 【分析】根据题意得出二进制与十进制的转换方法，计算即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：19． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，弄清题中的转换方法是解本题的关键． 变式6-3．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数： ； 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2) (3)42天 【分析】本题考查了有理数乘方的应用； （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）将八进制数“4372”转化为十进制数； （3）因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 【考点七 含乘方的数字及图形规律问题】 例7．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察第一个口子中数字的规律是1开头的自然数，第二个口子中的数字是对应自然数的，最上面的口子中的数是下面两个数的和，本题考查了规律探索，熟练掌握规律探索的方法是解题的关键． 【详解】解；根据题意有，， 故选：A． 变式7-1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列各数据按规律在横线上填上下一个适当的数： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，观察出数字的变化规律是解题的关键． 先观察给出的数字，然后归纳规律，最后利用规律即可解答． 【详解】解：由题意得出规律：第n个分数的分子为n，第奇数个分数为正，第偶数个分数为负；分母依次是2、5、10、17、……、， 则第6个数为：． 故答案为：． 变式7-2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）由图1、图2和图3中正方形个数的关系得到． 类似地，继续结合图形验证你的猜想，并应用其蕴含的规律可得 （结果保留幂的形式） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，数字类规律探索，根据所给算式得出规律是解题的关键．观察所给算式可知从1开始的自然数的立方的和等于所有自然数的和的平方，进而计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ，…， ∴， 故答案为：． 变式7-3．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）观察下列等式： … (1)请直接写出第⑩个等式； (2)根据上述等式的排列规律，猜想第个等式（是正整数），并验证它的正确性． 【答案】(1)第⑩个等式： (2) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握根据上述等式，找到规律，进行解答，即可． （1）根据上述等式，找到知识规律探究，即可； （2）根据（1）中的规律，进行验证，即可． 【详解】（1）∵， ， …， ∴第个式子为：， ∴第第⑩个等式为：． （2）题目中的式子用含的形式分别表示出来是：， 验证，如下： ∵等式左边等式右边， ∴结论正确． 变式7-4．（23-24六年级上·山东烟台·期中）观察下列各式，完成下列问题． 将一些边长相等的正方形按如图方式拼图： 图①中小正方形的个数：； 图②中小正方形的个数：； 图③中小正方形的个数：； (1)仿照上例，写出下一个等式 (2)仿照上例，计算：； (3)根据你所总结的规律计算的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)2500 (3)1500 【分析】本题考查数字类、图形类规律探究，找到变化规律并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例子直接写出等式即可； （2）根据所给几个等式，发现规律，进而求解即可； （3）先求得，，然后作出即可求解． 【详解】（1）解：观察前几个等式的左右变化，得：， （2）解：根据题意，得， ∴； （3）解：∵， ， ∴ ． 【考点八 含乘方的新定义问题】 例8．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（） A． B． C．5 D．3 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，“有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算”，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用已知运算公式代入，进而计算得出答案． 【详解】由题意可得： 故选：D． 变式8-1．（2023·山东枣庄·一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 变式8-2．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）定义一种新运算，规定：，例如：，那么 ． 【答案】 【分析】根据，即可代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，涉及有理数的乘方运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 变式8-3．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）对于两个有理数a，b，我们对运算“☆”作出如下定义：若，则；若，则． (1)计算：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，非负数的性质，有理数的四则混合计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）由，直接按照进行代值计算即可； （2）先根据非负数的性质求出a、b的值，再计算出，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点九 乘方的应用】 例9．（23-24七年级下·全国·假期作业）长方体的长是厘米，宽是厘米，高是厘米，那么它的体积是 立方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的应用，根据长方体体积计算公式列式计算即可． 【详解】解：立方厘米， ∴它的体积为立方厘米， 故答案为：． 变式9-1．（2024·河南濮阳·一模）某种细菌平均每20分钟由1个分裂成2个，经过1小时，这种细菌由1个能分裂成 个． 【答案】8 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据1小时中有3个，得到细菌分裂了3次，归纳总结即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：（次， 则经过1小时后这种细菌由1个分裂成（个． 故答案为：8． 变式9-2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 【答案】256 【分析】此题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：∵第1次后可拉出2根， 第2次后可拉出根， 第3次后可拉出根， … ∴第8次后可拉出根，， 故答案为：256． 变式9-3．（2024·北京顺义·一模）小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究： 将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止．例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌．将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第 张纸牌；将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则 （用含n的代数式表示，其中n为自然数）． 【答案】 1 【分析】题目主要考查规律探索，理解题意，找出相应的规律是解题关键 8张纸牌顺序从上到下为，(将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮)，1，2，3，4，5，6，7，8，按照规则依次即可得出结果；根据题意找出相应规律即可得出结果． 【详解】解：8张纸牌顺序从上到下为，(将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮)，1，2，3，4，5，6，7，8， 前四轮去掉了2，4，6，8， 还剩下4张纸牌从上至下为1，3，5，7， 再经过2轮去掉3，7， 还利2张纸牌、从上至下为1，5， 再经过1轮，去掉5， 最终剩下的是原来的第1张纸牌； 由条件中4张纸牌，按上述规则操作后，最后留下的第1张纸牌， 将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌， ∴； 故答案为：1；． 变式9-4．（22-23六年级上·山东泰安·期中）当你把纸对折一次时，就得到层，当对折两次时，就得到层，照这样折下去（最多折次）． (1)计算当你对折次时，层数是多少； (2)如果纸的厚度是，求对折次时，总厚度是多少． 【答案】(1)64 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是解题的关键． （）根据题意总结规律即可得解； （）先算出层数，再乘即可得出结果． 【详解】（1）解：纸对折一次时，就得到层，即层； 当对折两次时，就得到层，即层； 当对折三次时，就得到层，即层； 当折纸的次数是时，折得的层数是（且为正整数）； ， 所以对折次时，层数是； （2）解：， 所以对折次时，总厚度是． 变式9-5．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大． (1)求第二个正方体纸盒的棱长； (2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？ 【答案】(1)第二个正方体纸盒的棱长为 (2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算的应用，解题的关键熟练掌握正方体的体积公式和表面积公式． （1）先求出第一个正方体的体积，再求出第二个正方体的体积，得出其棱长即可； （2）根据正方体的表面积公式列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：第一个正方体纸盒的体积为：， 第二个正方体纸盒的体积为：， ∵， ∴第二个正方体纸盒的棱长为； （2）解：， 答：第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多． 【考点十 科学记数法的表示及还原】 例10．（2024·北京·三模）2024年5月 3日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞行任务．6月2号早上嫦娥六号在月球背面的南极-艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约千米， 将用科学记数法表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【详解】解：依题意，数据用科学记数法表示为， 故选：B． 变式10-1．（2024·江苏扬州·三模）2024年春节假期扬州市接待游客850万人次，同比增长78%，旅游总收入67.7亿元．将数据67.7亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：数据67.7亿用科学记数法表示为， 故答案为：． 变式10-2．（2024·河北石家庄·二模）一个整数8150…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 【答案】8/八 【分析】本题主要考查科学记数法与原数的转化，将科学记数法表示的数转化为原数，即可求出0的个数． 【详解】解：， 原数中有8个0， 故答案为：8． 变式10-3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列各数： (1)__________________； (2)__________________； (3)__________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】（1）； 故答案为：； （2） 故答案为：； （3） 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 变式10-4．（22-23七年级下·云南文山·阶段练习）卫星绕地球运动的速度是，求卫星绕地球运行走过的路程．（结果用科学记数法表示．） 【答案】米 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据路程=速度×时间列出算式计算即可解答. 【详解】由题意可得， (米). 答：卫星绕地球运行所行的路程是米. 变式10-5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）某农科所要在长为、宽为的长方形试验基地上培育新品种粮食，现培育每种新品种粮食需要一块边长为的正方形试验田，那么这块试验基地最多能培育多少种新品种粮食？ 【答案】这块试验基地最多能培育20种新品种粮食 【分析】本题考查了有理数的乘法及科学记数法，长方形中能找到多少个符合要求的正方形，就可以培育多少种新品种粮食． 【详解】解：（种）． 答：这块试验基地最多能培育20种新品种粮食． 变式10-6．（23-24七年级上·全国·课后作业）写出下列用科学记数法表示的数的原数： (1)北京故宫的占地面积约为； (2)长城长约千米； (3)太阳和地球的距离大约是千米； (4)全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 【答案】(1)720000 (2)6300 (3)150000000 (4) 【分析】（1）将的小数点向右移动5位即可； （2）将的小数点向右移动3位即可； （3）将的小数点向右移动8位即可； （4）将的小数点向右移动14位即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题主要考查了将用科学记数法表示的数化为原数，解题的关键是掌握用科学记数法表示的数的形式，其中，n为整数，小数点向右移动的位数等于n的值． 一、单选题 1．（2024·江苏扬州·三模）下列各式计算结果等于2024的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 根据有理数的混合运算法则进行计算． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意： D、，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知，那么的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，乘方运算，先根据，求出，再代入求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）若，，则等于（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了乘方、绝对值、代数式的值，先由，得到，，再分别代入数值计算即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 即等于或， 故选：D 4．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可. 【详解】解：∵，，，， 而， ∴平方最大的数是3； 故选A 5．（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为，右边第2位的计数单位为，右边第3位的计数单位为，右边第4位的计数单位为，……，依此类推，可求出结果． 【详解】解：根据题意得： （只）， 答：他所放牧的羊的只数是310只． 故选：B． 6．（2024·北京丰台·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的了有理数与数轴，有理数的运算，解题的关键是会利用数轴进行判断．利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可． 【详解】解：根据题意，得，，， ∴， ∴，， ∴选项A正确，选项B、C、D错误． 故选：A． 7．（23-24六年级下·全国·假期作业）若，则有理数a在数轴上的对应点一定在（　　） A．原点左侧 B．原点或原点左侧 C．原点右侧 D．原点或原点右侧 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，有理数与数轴，根据题意分时，分别讨论，化简绝对值，即可求解． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 所以或时，； 所以有理数a表示的点位于原点或原点左侧． 故选：B． 8．（23-24六年级下·全国·假期作业）用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 9．（2024·河北廊坊·二模）已知：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义，相同因数和的意义，根据乘方的定义，加法的意义计算即可求解，掌握乘方的意义及相同因数和的意义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 10．（2024·河南郑州·三模）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过万亿次，万亿用科学记数法表示为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万亿， 故选：B． 11．（2024·河北邯郸·三模）杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为的形式，则a的值为（  ） A．0.1058 B．1.058 C．10.58 D．1058 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】105800000用科学记数法表示为， 故选B 二、填空题 12．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ， ， ． 【答案】 4 【分析】本题考查了去括号法则、有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则、去括号法则计算即可，熟记相关法则，正确计算出结果是解题的关键． 【详解】解：；；； 故答案为：，4，． 13．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知a，b满足，那么 ． 【答案】10 【分析】本题考查有理数的乘方等知识．利用有理数的乘方求出，的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：， ，， ． 故答案为：10． 14．（23-24六年级下·上海普陀·期中）9个2相乘的结果用幂的形式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，解答此题的关键是要明确同底数幂的乘法的运算方法．9个2相乘，结果用幂的形式表示时，底数为2，指数为9，所以可以表示为． 【详解】解：9个2相乘的结果用幂的形式表示为． 故答案为：． 15．（23-24九年级下·山东青岛·期中）利用如图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是 ． 【答案】② 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据班级序号的计算方法一一进行计算即可． 【详解】解：①第一行数字从左到右依次为1，0，1，0，序号为，表示该生为10班学生； ②第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为，表示该生为6班学生； ③第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9班学生； ④第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为7班学生． 故答案为：②． 16．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如果，则，例如，则．根据规定，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查新定义的问题及乘方运算可进行求解；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得， ∴； 故答案为2． 17．（23-24七年级上·河南郑州·期中）2023年国庆期间，郑州新彩虹桥顺利通车．通车当天搜索“郑州新彩虹桥”，找到相关结果用科学记数法表示为个，则原数是 个． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示的数还原成原数．科学记数法的表示形式为的形式中，原数的整数位数等于．原数等于把a的小数点向右移动n位所得的数，若向右移动，位数不够则用0补上．据此解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题 18．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列用科学记数法表示的数，原数分别是什么？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了把科学记数法表示的数变回原数，将用科学记数法表示的数还原成原数时，将a的小数点向右移动n位即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 19．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和科学记数法，先运用积的乘方运算法则运算，然后运用科学记数法记数是解题的关键． 【详解】解： ． 20．（24-25七年级上·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 【答案】(1)，底数为，指数为5 (2)，底数为，指数为6 【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：， 底数为，指数为5； （2）解：， 底数为，指数为6． 21．（23-24六年级下·全国·假期作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．设，然后两边同乘以3，进而按照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：设 则 所以， 即． 22．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）观察下列算式： ① ② ③ … (1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母n的式子表示出来，并用学过的整式乘法的有关知识，说明其成立的理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了数字型规律，有理数的混合运算，整式的乘法运算： （1）根据题干信息，直接作答即可； （2）根据前4个算式，得出含有的式子的规律，即可作答．检查等式左边的数值与右边的数值是否相等，若相等即写出的式子一定成立，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， 第4个算式： （2）解：一定成立，理由如下： 依题意，① ② ③ ④ …… 以此类推 第个算式 ： 等式的右边的数 等式的左边的数为， 即等式左边的数值与右边的数值是相等，故一定成立． 23．（23-24六年级下·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题． 材料一：因为，所以． 材料二：求的值． 解：设①， ①两边同时乘以3得，则② 用得， 所以， 即， 所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：_________，_________； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_________粒米（用幂表示）； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查的是乘方的应用，理解乘方的含义与阅读部分提示的求和方法是解本题的关键； （1）直接利用乘方的含义可得答案； （2）先根据规律得到，再结合阅读部分的求和方法可得答案． 【详解】（1）解：，； （2）①∵第一格放一粒米，第二格放二粒即粒，第三格放四粒即粒，第四格放八粒即粒，， ∴国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放粒； ②由题意可得：， ∴， 两式相减可得：； ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$