4.3.1等比数列的通项公式 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列的定义、通项公式、性质及判断证明，通过细胞分裂、庄子“一尺之棰”、投资复利三个现实情境导入，引导学生从具体实例中抽象数量关系，类比等差数列推导方法构建知识脉络，形成从观察到抽象再到应用的学习支架。 其特色在于以真实情境培养数学眼光，用类比推理发展数学思维，借储蓄复利问题强化数学语言表达。通过问题链辨析公比与项的取值，练一练巩固等比中项及通项公式应用，帮助学生提升抽象能力与推理意识，也为教师提供丰富教学案例与分层练习，提升课堂效率。

数列 等比数列的通项公式 情境1：有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂 成8个，···，那么细胞分裂而成的个数依次是 1，2，4，8，…. 一、新课引入 情境2：《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如 果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各 天得到的“棰”的长度依次是 一、新课引入 一、新课引入 情境3：许总年初在澄中对面的一家奶茶店投资30000元，如果年收益 率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为 复利：是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期 的利息 一、新课引入 思考：以上三个数列，每个数列相邻两项之间有什么关系？这三个数 列有什么共同的特点？ 数列①从第2项起,每一项与它前一项的比都等于 ； 数列②从第2项起,每一项与它前一项的比都等于 ； 数列③从第2项起,每一项与它前一项的比都等于 。 2 1.05 特点：从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一常数 1、等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． 二、等比数列的定义 二、等比数列的定义 1、等比数列的定义 q=2 问题1：公比q能否等于0 ？等比数列中的项能否等于0？ 都不能为零 问题2：常数列一定是等差数列吗？一定是等比数列吗？为什么？ 常数列都是等差数列，但却不一定都是等比数列. 如数列0，0，0，0，…是等差不是等比数列. 二、等比数列的定义 2、对等比数列的理解 (1) 0不能作为等比数列的项；0不能作为等比数列的公比； (2) 等比数列的公比可以为正数、可以为负数； 当q>0时，等比数列的各项同号； a1>0,各项为正； a1<0,各项为负； (4) q=1时的等比数列常数列；常数列都是等差数列，但却不一定都是 等比数列；非零常数列既是等差数列又是等比数列； (3) 当q<0时，等比数列的各项正负相间出现； 对任意等比数列，所有的奇数项同号，所有的偶数项同号； 二、等比数列的定义 练一练：判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比. (1) 3, 9, 15, 21, 27, 33，… (2) 1, 1.1, 1.21, 1.331, 1.461，… 不是 是，公比为1.1 不是 (5) 0,1,2,4,8,… (6) 2,0,2,0,2,… 是，公比为－2 不是 不是 (7) 1,a,a2,a3,a4,… a≠0时，是等比数列，公比为a a=0时，不是等比数列 公比q可正可负不可为0 二、等比数列的定义 3、等比中项 由三个数a, G, b组成的等比数列可以看成是最简单的等比数列. 这时，G叫做a与b的等比中项. 若b2=ac，则a，b，c一定成等比数列吗？ ③若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列， 如：a=G=0,b=5时不成等比. 二、等比数列的定义 －60或60 二、等比数列的定义 练一练1：能否在下列两个数中间插入一个数，使这三个数组成一个 等比数列？可以的话，请求出插入的数字 (1)－12， ，0； (2) 2, , 8; (3) －3, , 3; (4) －6, ,－1.5; 练一练2．45和80的等比中项为___________． 类比 不完全归纳法得 an=a1+(n－1)d 不完全归纳法得an=a1qn－1 三、等比数列的通项公式 等差数列an+1－an=d 等比数列 迭代法 迭代法 类比 三、等比数列的通项公式 等差数列an+1－an=d 等比数列 叠加法 叠乘法 叠加得 an=a1+(n－1)d 叠乘得 an=a1qn－1 三、等比数列的通项公式 4、等比数列的通项公式 三、等比数列的通项公式 练一练1：在等比数列{an}中， （1）a1=3，an=192，q=2，求n； （2） a3=12，a4=18，求a1和a2； （3）a3=48，a7=3，求a1和q ； （4）a1+a2=3， a4+a5=24，求an； n=7 an =2n-1 注意：在求等比数列的q时，应特别注意开方运算后q的符号！ A 三、等比数列的通项公式 C C 三、等比数列的通项公式 －2 84 80,40,20,10 三、等比数列的通项公式 9 6 三、等比数列的通项公式 三、等比数列的通项公式 64 三、等比数列的通项公式 B 三、等比数列的通项公式 三、等比数列的通项公式 三、等比数列的通项公式 三、等比数列的通项公式 递增 递增 递减 递减 摆动 等比数列的单调性： 三、等比数列的通项公式 由数列单调性的判断方法： 四、等比数列通项公式的性质 等比数列通项公式的常用性质： 四、等比数列通项公式的性质 等比数列通项公式的常用性质： 四、等比数列通项公式的性质 等比数列通项公式的常用性质： 四、等比数列通项公式的性质 等比数列通项公式的常用性质： 四、等比数列通项公式的性质 等比数列通项公式的常用性质： 四、等比数列通项公式的性质 等比数列通项公式的常用性质： 四、等比数列通项公式的性质 等比数列通项公式的常用性质： 四、等比数列通项公式的性质 C D B 25 6 A 四、等比数列通项公式的性质 128 四、等比数列通项公式的性质 32 8 四、等比数列通项公式的性质 四、等比数列通项公式的性质 C A 练一练9.（多选题）已知数列 为等比数列，则( ) ABD A.数列，， 成等比数列 B.数列，， 成等比数列 C.数列，， 成等比数列 D.数列，， 成等比数列 四、等比数列通项公式的性质 B 四、等比数列通项公式的性质 B 四、等比数列通项公式的性质 四、等比数列通项公式的性质 四、等比数列通项公式的性质 B 四、等比数列通项公式的性质 B 8 四、等比数列通项公式的性质 解析:(1)由题意，知： 解得： 又∵ 即： ，解得：或 ∵，∴， ∴ 四、等比数列通项公式的性质 解析：由（1）得： 又∵ ，且 ∴ 是首项为，公差为的等差数列。 ∴ ∴ 四、等比数列通项公式的性质 解析：∵数列是等比数列，∴ ∴ 月初本金 月末本利和 1个月 2个月 3个月 12个月 四、等比数列通项公式的性质 解析： （1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列 则是等比数列。 首项 公比 所以， 所以，12个月后的利息为10490.97-10000491（元） 利息=本利和-本金 四、等比数列通项公式的性质 储蓄复利公式：本金为元，每期利率为，存期为期，则本利和为： （2）设季度利率为,这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数 列,则也是一个等比数列， 解析： 首项 所以, 因此,以季度复利计息,存4个季度后的利息为 元 解不等式，得 ∴当季度利率不小于时, 按季结算的利息不少于按月结算的利息。 四、等比数列通项公式的性质 五、等差、等比数列的判断和证明 判断或证明一个数列是等差数列的常用方法： 五、等差、等比数列的判断和证明 判断或证明一个数列是等比数列的常用方法： 五、等差、等比数列的判断和证明 五、等差、等比数列的判断和证明 五、等差、等比数列的判断和证明 例3.设数列满足，其中。 求证是等比数列。 证明： ∵ ∴ ∴ 是首项，公比为2的等比数列。 五、等差、等比数列的判断和证明 五、等差、等比数列的判断和证明 五、等差、等比数列的判断和证明 练一练2.已知数列的首项，，， 求证：数列是等比数列，并求出的通项公式。 解析：由题意知：， ∴ 则 ∴数列是首项为，公比为的等比数列。 ∴，即。 五、等差、等比数列的判断和证明 (1)证： (2)解： 五、等差、等比数列的判断和证明 练一练3. 例4.已知是数列的前项和，且。 若，试证明数列为等比数列。 解析:∵ ∴当时，，解得 ∴当时， ∴ 即 ∴ 又∵，∴ 且 ∴ 数列是以为首项，2为公比的等比数列。 五、等差、等比数列的判断和证明 练一练.已知数列的前项和为,且. (1)求的值; (2)设,证明数列是等比数列,并求数列的通项公式. 解析:(1)∵数列的前项和为，且， 当时,由,解得: 当时,由,解得: 当时,由,解得: 五、等差、等比数列的判断和证明 解析：(2)∵ ，∴ 两式相减，得：，即： 又∵ ，∴ ∴ ∴，且 ∴数列是以6为首项，2为公比的等比数列，∴ ∴ 五、等差、等比数列的判断和证明 练一练.已知数列的前项和为,且. (1)求的值; (2)设,证明数列是等比数列,并求数列的通项公式. 用递推公式表示： {an}成等比数列 ⇔ eq \f(an＋1,an)＝q，(n∈N*，an≠0，q≠0) 或eq \f(an,an－1)＝q，(n∈N*，n≥2，an≠0，q≠0) 或an2＝an＋1·an－1，(n∈N*，n≥2，an≠0，q≠0) 例如．求下面几个数列的公比 ①1,2,4,8,16，… ②1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，… ③1，－1,1，－1,1，… ④eq \f(1,2)，－1,2，－4,8，… 由等比数列的定义，可知：a，G，b等比数列 ⇔ G2＝ab>0. 注意：①两个同号的数之间才存在等比中项； ② a与b的等比中项G＝±eq \r(ab)，两个且互为相反数。 eq \f(G,a)＝eq \f(b,G) ±eq \r(ab) 两 相反数 ab＞0 　下表是等差中项与等比中项概念的对比，请填充完整. 对比项 等差中项 等比中项 定义 若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项 若a，G，b成 数列，则G叫做a与b的等比中项 定义式 A－a＝b－A 公式 A＝eq \f(a＋b,2) G＝ 个数 a与b的等差中项唯一 a与b的等比中项有 个，且互为 备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当 时，a与b才有等比中项 等比 解析：设45和80的等比中项为G，则 G2＝45×80， ∴G＝±60 问题.如果等比数列{an}的首项是a1，公差是q，其通项公式是什么？ 问题.如果等比数列{an}的首项是a1，公差是q，其通项公式是什么？ 通项公式的变形： ⇔an＝amqn－m 即：等比数列任意两项之比等于公比的脚标之差次方。 等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则其通项公式：an=a1qn－1. 通项公式的特点：等比数列{an}的通项公式an＝an=a1qn－1， 是关于n的指数型y=k·an函数，底数为公比。 练一练2.在等比数列{an}中,a5=－16，a8=8则a11=( ) 　 A －4 B ±4 C －2 D ±2 练一练4.（2019卷3,5）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项为和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=( ) A． 16 B． 8 C．4 D． 2 练一练3.在等比数列{an}中，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3等于( 　) A．4 B．8 C．－4或4 D．－8或8 解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q4－1＝15,a1q3－q＝6))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＝2,a1＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＝\f(1,2),a1＝－16)). 当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝1,q＝2))时，a3＝4；当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－16,q＝\f(1,2)))时，a3＝－4. 练一练7.等比数列{an}中，公比q＝2，前3项和为21，则a3+a4+a5= 。 练一练8.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列， 则这4个数依次为______________． 解析:设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5， ∴q5＝eq \f(1,32)， ∴q＝eq \f(1,2) ∴这4个数依次为80,40,20,10. 练一练5.在等比数列{an}中，若8a2+a5=0，则数列{an}的公比q= . 练一练6.等比数列{an}的公比q>0, 已知a2=1，an+2+an+1=6an，则{an}的前3项和为 。 练一练9.在等比数列{an}中， (1)若a5＝4，a7＝6，则a9＝ ； (2)若a3＝20，a6＝160，则an＝ ； (3)若a2+a5＝18，a3+a6＝9，ak＝1，则k= ,an＝ 。 化简：3q2－10q＋3＝0，解得q1＝eq \f(1,3)，q2＝3 (1)当q＝eq \f(1,3)时，a1＝18， ∴an＝18×(eq \f(1,3))n－1＝2×33－n (2)当q＝3时，a1＝eq \f(2,9)， ∴an＝eq \f(2,9)×3n－1＝2×3n－3 综上，当q＝eq \f(1,3)时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3 方法二　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则： ∴3q2－10q＋3＝0，解得q＝eq \f(1,3)或q＝3 练一练10.已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝eq \f(20,3)，求{an}的通项公式． 解析：方法一：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则： 由定义：a2＝eq \f(a3,q)＝eq \f(2,q)，a4＝a3q＝2q， ∴eq \f(2,q)＋2q＝eq \f(20,3) 例1.(16年全国卷I）设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5， 则a1a2···an的最大值为 . 解析：设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝eq \f(1,2)， 则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝eq \f(1,2)， 所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64。 例2.已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为 (　　) A．eq \f(1,3) B．3 C．±eq \f(1,3) D．±3 解析:设等差数列为{an}，公差为d，d≠0，则：aeq \o\al(2,3)＝a2·a6， ∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)， 化简得：d2＝－2a1d，∵d≠0，∴d＝－2a1， ∴a2＝－a1，a3＝－3a1， ∴q＝eq \f(a3,a2)＝3 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝9，,d＝－6.)) ⑴当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16； ⑵当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 例3.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 解析：方法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，eq \f(a＋d2,a)， 由条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－d＋\f(a＋d2,a)＝16，,a＋a＋d＝12.)) (1)当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16； (2)当a＝3，q＝eq \f(1,3)时，所求四个数为15,9,3,1. 例3.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 解析：方法二　设四个数依次为eq \f(2a,q)－a，eq \f(a,q)，a，aq，(q≠0) 由条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2a,q)－a＋aq＝16,\f(a,q)＋a＝12))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝8,q＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3,q＝\f(1,3))). 例4.（等比数列的单调性）观察下面几个等比数列中项的变化趋势： ①1,2,4,8,16，… ②－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，－eq \f(1,16)，… ③9,3,1，eq \f(1,3)，eq \f(1,9)，… ④－1，－2，－4，－8，－16，… ⑤1，－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，… 通过上面的分析，可以得出下列结论： ①当q＜0时，等比数列是摆动数列；②当a1＞0，q＞1时，等比数列是递增数列； ③当a1＞0，0＜q＜1时，等比数列是递减数列； ④当a1＜0，q＞1时，等比数列是递减数列； ⑤当a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列． 等比数列单调递增⇔a1(q－1)>0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＞0,q＞1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＜0,0＜q＜1))； 等比数列单调递减⇔a1(q－1)<0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＞0,0＜q＜1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＜0,q＞1)). 性质1.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq. 特别地，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则am·an＝ak2. 证明：∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1， ∴am·an＝(a1qm－1)( a1qn－1)＝aeq \o\al(2,1)·qm＋n－2， 同理，ap·aq＝aeq \o\al(2,1)qp＋q－2， ∵m＋n＝p＋q， ∴am·an＝ap·aq. 性质1.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq. 特别地，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则am·an＝ak2. 证明：∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1， ∴am·an＝(a1qm－1)( a1qn－1)＝aeq \o\al(2,1)·qm＋n－2， ∵ak＝a1qk－1， ∴aeq \o\al(2,k)＝(a1qk－1)2＝aeq \o\al(2,1)·q2k－2 ∵m＋n＝2k， ∴am·an＝aeq \o\al(2,k). 性质1.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq. 特别地，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则am·an＝ak2. 注意：必须是两项相乘等于两项相乘，否则不一定成立． 例如，a15≠a7.a8，但a6.a9＝a7.a8；a1.a21≠a22，但a1.a21＝a112. q2 q2 q3 性质2.若{an}是等比数列，公差为q，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公比为qm的等比数列. 即：等比数列{an}中，下脚标（项数）成等差，所对项成等比。 例如:(1){an}是等比数列，则a1，a3，a5，…仍成等比数列，公比为 ； (2){an}是等比数列，则a4，a6，a8，…仍成等比数列(首项不一定选a1)，公比为 ； (3){an}是等比数列，则a1，a4，a7，…仍成等比数列，公比为 ； a33 a83 a73 性质3.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 若m＋n＋p＝3k(m，n，p，k∈N*)，则am.an.ap＝ak3. 例如:(1)数列{an}是等比数列，则a1.a3.a5= 。 (2)数列{an}是等比数列，则a1.a3.a20= 。 (3)数列{an}是等比数列，则2a5.a11= 。 例如:数列{an}的通项an=3×24n－3，则数列{an}是首项a1=6，公比q=24=16的等比数列. 性质4.数列{an}的通项是形如an=a·qkn+b(k,q,m≠0)的形式是等比数列，是首项为a·qk+b公比为qk的等比数列. 例如:数列{an}的通项an=32n－1，则数列{an}是首项a1=3，公比q=9的等比数列. 性质6.若数列{an}为等比数列，公比为q，则数列{anan+1}、{an2}、{an+an+1}、{ }、{ }、也是等比数列。 性质5.若数列{an}为等比数列，公比为q，且an>0，bn＝lg an，则数列{bn}是等比数列． 证明：∵bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an＝lg(eq \f(an＋1,an))＝lg q(常数)． ∴{bn}为等比数列． 练一练1.(1)若等比数列{an}满足a1=8，a2a3=－8，则a4= ( ) A.－2 B．1 C．－1 D．2 (2)已知等比数列{an}中an+1>an，且a3＋a7=3，a2a8=2，则（ ） A. eq \f(1,2) 　　 B. eq \f(2,3) 　C. eq \f(3,2) 　D. 2 (3)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a52，a2=1，则a1= ( ) A.eq \f(1,2) 　　　　　 B. eq \f(\r(2),2) 　　　 C. eq \r(2) 　　 D.2 练一练3.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝_____. 解析：∵a3a5＝aeq \o\al(2,4)＝4，an>0， ∴a4＝2 ∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4＝a47＝43×2＝128. 练一练2.(1)若a7·a12=5，则a8·a9·a10·a11=______. (2)在等比数列{an}中，若a3=4，a7=9，则a5=_______. (3)已知是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5= ( ) A.5 B.10 C.15 D.20 练一练4.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝215， 则a2·a5·a8·…·a29的值为 ． 解析：a1·a2·a3·…·a30＝(a1a30)·(a2a29)·…·(a15·a16)＝(a1a30)15＝215， ∴a1a30＝2. a2·a5·a8·…·a29＝(a2a29)·(a5a26)·(a8a23)·(a11a20)·(a14a17) ＝(a2a29)5＝(a1a30)5＝25＝32. 练一练6.（2019卷1,14）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1=eq \f(1,3)，a42=a6， 则a1 + a2 + a3+ a4+ a5=_______． 练一练5.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 解析：设这8个数组成的等比数列为{an}， 则：a1＝1，a8＝2. 插入的6个数的积为： a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8 练一练8.等比数列{an}各项均为正数且a4a7＋a5a6=16则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10=（ ） A. 15 B.10 C. 12 　 D.4+log25 练一练7.各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15＝(　　) A．100 B．－100 C．10 000 D．－10 000 解析：∵lg(a3a8a13)＝lg aeq \o\al(3,8)＝6， ∴aeq \o\al(3,8)＝106⇒a8＝102＝100. 又a1a15＝aeq \o\al(2,8)＝10 000. 例1.如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9 C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9 解析：∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号， ∴b＝－3，且a，c必同号. ∴ac＝b2＝9. 例2.已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以eq \f(1,2)为首项的等比数列， 则eq \f(m,n)＝( ) A.eq \f(3,2) B.eq \f(3,2)或eq \f(2,3) C.eq \f(2,3) D．以上都不对 解析：设a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a<c<d<b，则a·b＝c·d＝2，a＝eq \f(1,2)，故b＝4，根据等比数列的性质，得到c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝eq \f(9,2)，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝eq \f(9,2)，则eq \f(m,n)＝eq \f(3,2)或eq \f(m,n)＝eq \f(2,3)。故选B。 例3.已知{an}为等比数列． (1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解析：(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝aeq \o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq \o\al(2,5)＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0，且a3＋a5＝5. (2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9. ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95. ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log3(a5a6)5 ＝log395＝5log39＝10. 例4.一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729， 则该数列的项数是 (　　) A.13 B.12 C.11 D.10 解析.设该等比数列为{an}，其前n项积为Tn， 则由已知得a1·a2·a3＝3，an－2·an－1·an＝9， (a1·an)3＝3×9＝33， ∴a1·an＝3，又Tn＝a1·a2·…·an－1·an， Tn＝an·an－1·…·a2·a1， ∴Teq \o\al(2,n)＝(a1·an)n，即7292＝3n，∴n＝12. (2)已知等比数列{an}满足a1=3，且4a1、2a2、a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于（ ） A．33 B．84 C．72 　　 D．189 (3)已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1、S2、S4成等比数列，则 等于　　　； (4)已知数列1, a1, a2, 4成等差数列，1, b1, b2, b3, 4成等比数列，则 _____． 例5.(1)已知等差数列{an}，公差d≠0,a1、a3、a4成等比数列，则 = ; 例6.设数列{an}是公比大于1的等比数列，a1+a2+a3=7且a1+3 ， 3a2，a3+4构成等差 数列。 （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn=lna3n+1,n∈N∗ ，求数列{bn}的前n项和Sn。 例6.设数列{an}是公比大于1的等比数列，a1+a2+a3=7且a1+3 ， 3a2，a3+4构成等差 数列。 （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn=lna3n+1,n∈N∗ ，求数列{bn}的前n项和Sn。 例7.已知数列{an}为等比数列，且a7+a8+a9+a10= ，a8⋅a9= ， 求 的值。 例8.用10000元购买某个理财产品一年. (1)若以月利率0.400%的复利计息,12个月能获利多少利息(精确到1元)？ (2)若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.（精确到10−5） 法1：定义法： 数列{an}是等差数列⇔an＋1－an＝d，n∈N*或an－an－1＝d，n∈N*，n≥2 法2：等差中项法： 数列{an}是等差数列⇔2an＋1＝an＋an＋2，n∈N* 或2an＝an＋1＋an－1，n∈N*，n≥2 法3：通项公式法： 数列{an}是等差数列⇔an＝kn＋b，n∈N* 法1：定义法： 数列{an}是等比数列⇔eq \f(an＋1,an)＝q(非零常数)； 法2：等比中项法： 数列{an}是等比数列⇔aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)； 法3：通项公式法： 数列{an}是等比数列⇔an＝a·qkn+b(a1q≠0，n∈N*)． 例1.已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2). (1)数列{eq \f(1,an)}是否为等差数列？说明理由． (2)求an. 注意数列{eq \f(1,an)}的理解：数列{an}：a1，a2，a3，…，an，… 即：数列{eq \f(1,an)}就是数列{an}各项的倒数构成的新数列。 例1.已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2). (1)数列{eq \f(1,an)}是否为等差数列？说明理由． (2)求an. 解析：(1)数列{eq \f(1,an)}是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)， ∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋2,2an)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,an)， ∴eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)， 即：{eq \f(1,an)}是首项为eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)，公差为d＝eq \f(1,2)的等差数列． (2)由上述可知eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)d＝eq \f(n,2)， ∴an＝eq \f(2,n) 所以：数列{bn}是首项b1= ，公差d= 的等差数列. (2)解：由(1)知 例2.已知数列{an}，满足a1＝4，an＝4－ ，(n≥2)， . (1)证明：数列{bn}等差数列； (2)求{an}的通项公式. (1)证明： 小结：由递推关系证明一个新数列是等差或等比数列的解题角度： 角度1：反解带入法； 角度2：强行拼凑法； 角度3：偷工减料法。 特别注意新数列的首项的值。 ∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)解　由(1)知{an＋1}是等比数列． ∴an＋1＝(a1＋1) 2n－1＝2n ∴an＝2n－1 ∴an＋1＋1＝2(an＋1) 练一练1.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1， (1)求证：数列{an＋1}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． (1)证明　∵an＋1＝2an＋1 ∴eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝2，且a1＋1＝2. $$