1.2 集合间的基本关系 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本文围绕集合间的基本关系展开，涵盖子集、真子集等核心知识点。承接集合概念的学习，为后续集合运算奠基。通过典例详解与练习提升，培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 本教学设计亮点在于以丰富多样的例题和练习，强化学生对知识的理解与运用。从学生层面看，能提升其分析解决问题能力；从教师层面讲，提供了系统授课资源；从课堂效果而言，有效突破教学难点。

1.2 集合间的基本关系导学案 一、学习目标 1. 理解子集、真子集、集合相等的概念，能准确使用数学符号语言和Venn图语言表示集合间的这些基本关系。 2. 能够清晰区分集合间的包含关系与元素和集合的属于关系，通过具体例子加深对这两种关系差异的理解。 3. 掌握通过分析集合元素特征、列举法以及利用数轴和Venn图等方法来判断集合间关系的技巧。 4. 了解空集的定义、性质，知道空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，并能在解题中正确处理空集的情况 。 5. 探究并掌握含有n个元素的集合的子集、真子集、非空子集、非空真子集个数的规律，并能运用这些规律解决相关问题。 二、学习重难点 1. 重点：集合间的基本关系，包括子集、真子集、集合相等的概念及表示方法，以及如何判断集合间的关系。 2. 难点：类比实数间的关系研究集合间的关系，对空集概念的理解以及在解题中对空集情况的准确处理，还有对集合间关系中数学符号语言和Venn图语言的灵活运用 。 三、知识点自主预习 1. 子集： 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作 ，读作“A包含于B”（或“B包含A”）。用Venn图表示为：（此处画一个Venn图，大圈表示集合B，小圈在大圈里面表示集合A） 2. 集合相等： 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A = B 。 3. 真子集： 如果集合，但存在元素，就称集合A是集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A）。 4. 空集： 一般地，不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集。 5. Venn图：用平面上封闭曲线的内部来代表集合的图称为Venn图。Venn图可以直观地表示集合间的关系，比如常见数集间的关系（自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R），用Venn图表示为（此处画一个表示数集关系的Venn图，N在Z里面，Z在Q里面，Q在R里面）。 6.已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集. 四、典例详解 考点01：求集合的子集（真子集） 例1（1）．（多选）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． （2）．已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 考点02：两个集合间的包含关系 例2.（1）．（多选）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D．空集 （2）．（多选）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 （3）．(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 考点03：两个集合间相等关系 例3.（1）．（多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， （2）．已知，，若集合，则的值为 ． 考点04：求集合的子集（真子集）的个数 例4（1）．设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 （2）．已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 考点05：空集的概念及性质 例5（1）．已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （2）．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥⊆；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 考点06：集合关系的综合应用 例6（1）．①已知，求实数的值； ②已知，求实数，的值. （2）．已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. （3） ．已知全集，，，且，求m的取值范围． 5、 练习提升 1．若集合，，且，则实数的值可以是（    ）． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 2．已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 3．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 6．（多选）若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 7．（多选）已知集合，若，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D． 8．设，，，若，则 ． 9．若集合的子集的个数为2，则的取值集合为 ． 10．已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 11．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 12．已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 集合间的基本关系导学案 一、学习目标 1. 理解子集、真子集、集合相等的概念，能准确使用数学符号语言和Venn图语言表示集合间的这些基本关系。 2. 能够清晰区分集合间的包含关系与元素和集合的属于关系，通过具体例子加深对这两种关系差异的理解。 3. 掌握通过分析集合元素特征、列举法以及利用数轴和Venn图等方法来判断集合间关系的技巧。 4. 了解空集的定义、性质，知道空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，并能在解题中正确处理空集的情况 。 5. 探究并掌握含有n个元素的集合的子集、真子集、非空子集、非空真子集个数的规律，并能运用这些规律解决相关问题。 二、学习重难点 1. 重点：集合间的基本关系，包括子集、真子集、集合相等的概念及表示方法，以及如何判断集合间的关系。 2. 难点：类比实数间的关系研究集合间的关系，对空集概念的理解以及在解题中对空集情况的准确处理，还有对集合间关系中数学符号语言和Venn图语言的灵活运用 。 三、知识点自主预习 1. 子集： 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作 ，读作“A包含于B”（或“B包含A”）。用Venn图表示为：（此处画一个Venn图，大圈表示集合B，小圈在大圈里面表示集合A） 2. 集合相等： 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A = B 。 3. 真子集： 如果集合，但存在元素，就称集合A是集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A）。 4. 空集： 一般地，不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集。 5. Venn图：用平面上封闭曲线的内部来代表集合的图称为Venn图。Venn图可以直观地表示集合间的关系，比如常见数集间的关系（自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R），用Venn图表示为（此处画一个表示数集关系的Venn图，N在Z里面，Z在Q里面，Q在R里面）。 6.已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集. 四、典例详解 考点01：求集合的子集（真子集） 例1（1）．（多选）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. （2）．已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 【答案】(1)，，，，， (2) 【分析】（1）根据集合间的包含关系可直接写出符合题意的集合； （2）对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以． 又，故． 由已知得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为,,,,,． （2）当时，是的一个子集， 此时对于方程，有，所以． 当时，因为，所以当时，，即， 此时，因为，所以不是的子集； 同理，当时，，也不是的子集； 当时，，也不是的子集． 综上，满足条件的的取值范围是． 考点02：两个集合间的包含关系 例2.（1）．（多选）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D．空集 【答案】AB 【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于A，应该为，对于B，应该为，故A、B错误． 对于C，，故C正确．对于D，空集，故D正确． 故选：AB. （2）．（多选）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ABD 【分析】AB选项，根据空集的性质判断；CD选项，根据子集的定义判断. 【详解】空集只有一个子集，故A错； 空集时任何非空集合的真子集，故B错； 因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确； 例如，，，满足且，此时，故D错. 故选：ABD. （3）．(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分情况讨论当和时，列方程解方程即可. 【详解】当时，满足，此时； 当时，，此时， 因为，所以或， 即；或 综上所述，或或， 故选：BCD. 考点03：两个集合间相等关系 例3.（1）．（多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】由两集合相等定义可判断集合是否相同. 【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确； B选项，均为点集，但包含的元素不同，则两集合不同，故B正确； C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确； D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误. 故选：ABC （2）．已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】由两集合相等及分式的分母不为0可求出n，再利用集合相等和互异性求m，代入计算即可. 【详解】因为，，所以，故，所以解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故答案为： 考点04：求集合的子集（真子集）的个数 例4（1）．设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】D 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. （2）．已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由集合子集，真子集的运算，集合中必有，且为集合{1,2,3,4,5}的子集. 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 考点05：空集的概念及性质 例5（1）．已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【详解】因为集合，非空集合，且， 所以，解得：． 故选：C． （2）．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥⊆；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【答案】D 【分析】利用子集的概念及性质可判断①，利用相等集合的概念可判断②，利用空集的定义可判断③、⑥，利用元素与集合的关系进行判断④，利用集合与集合间的关系可判断⑤． 【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确； 根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确； 因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 所以①④⑥正确 故选：D. 考点06：集合关系的综合应用 例6（1）．①已知，求实数的值； ②已知，求实数，的值. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用，再分，，三种情况讨论，利用集合的性质，即可求解； （2）利用集合相等的条件，建立方程组，即可求解. 【详解】（1）若时，解得，此时，，不满足集合的互异性，所以， 若时，解得或，当时，，，所以满足题意， 当时，，，不满足集合的互异性，所以， 若，解得（舍）或（舍）， 综上，实数的值为. （2）因为，则或， 由，解得，由，解得， 经检验，和均符合题意， 综上，或. （2）．已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. （3）．已知全集，，，且，求m的取值范围． 【答案】 【分析】分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 5、 练习提升 1．若集合，，且，则实数的值可以是（    ）． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 【答案】C 【分析】因为，所以．逐一令解方程，注意检验元素的互异性即可. 【详解】因为，所以． 当时，集合不满足集合元素的互异性； 当时，或（舍去），即， 此时，，满足； 当时，或， 当时，，，满足， 当时，，，满足． 所以或或． 故选：C． 2．已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 【答案】D 【分析】利用列举法求出集合，再利用包含、真包含关系求出集合的个数. 【详解】集合， 则，当集合中不含其他元素时，； 当集合中含有其他元素时，集合中除元素1，2外，还含有3或4或5或6或7，但不能同时全部含有， 集合的个数即为集合的真子集的个数，即． 故选：D 3．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系即可求解. 【详解】是有理数，所以，①正确；是实数，所以，②错误； 中含有元素0，所以不是空集，③错误；自然数集真包含于整数集，所以，④正确．综上，正确结论的个数为2． 故选：B. 4．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 5．（多选）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【答案】AC 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 6．（多选）若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【分析】求出集合所有非空子集中“幸福关系”个数逐项判断可得答案. 【详解】具有“幸福关系”的元素组有：1；，2；三组． 含一组的幸福集合有，，，共3个； 含两组的幸福集合有，，，共3个； 含三组的幸福集合有，共1个， 所以的非空子集中幸福集合的个数为，故A错误； 其中含的幸福集合个数为4，不含1的幸福集合个数为3，故B正确C错误； 元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确. 故选：BD. 7．（多选）已知集合，若，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】AC 【分析】由，分类讨论即可求解； 【详解】， 因为， 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时； 故选：AC 8．设，，，若，则 ． 【答案】0 【分析】根据集合相等求出的值，计算即得结果. 【详解】∵集合， ∴ ∴. 故答案为：. 9．若集合的子集的个数为2，则的取值集合为 ． 【答案】 【分析】由子集个数知，解方程求参数，即可得. 【详解】由题设，集合有且仅有1个元素， 所以，可得或1，故的取值集合为. 故答案为： 10．已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 【答案】7 【分析】结合子集和真子集的概念求解即可. 【详解】由⫋，则集合中一定有元素， 且至少含有其中一个元素， 则这样的集合共有个. 故答案为：7. 11．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 12．已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据判别式求解出结果； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【详解】（1）因为有实根， 所以，解得， 所以. （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 学科网（北京）股份有限公司 $$