专题03 空间向量及其运算的坐标表示讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册《阶梯册》考点训练

专题03 空间向量及其运算的坐标表示 知识点一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 知识点二、空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 知识点三、向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设． （1）； （2）； （3）若则 考点01空间向量的坐标表示 1．在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，以为正交基底，则 ． 4．已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 . 考点02空间向量的坐标运算 5．已知，则 . 6．在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．空间中有四点，，，，若点平面，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．若，，是空间的一组基底，则（   ） A． B． C． D． 考点03空间向量数量积（坐标形式) 10．若，，则等于（    ） A． B． C．5 D．7 11．已知向量，，满足，则 ． 12．已知正方体的棱长为，对角线与相交于点，则有（    ） A． B． C． D． 13．已知，其中若，则 . 14．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 考点04空间向量的模（坐标形式） 15．在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 16．已知向量，则 . 17．已知向量且共面，则 ． 18．已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（    ） A． B．3 C．8 D．9 19．如图，在棱长为的正方体中，，分别在，上，且，，则（   ） A． B． C． D． 20．现有一段底面周长为厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到达P点，另一只从B沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q点，则此时线段PQ长（单位：厘米）为（   ） A． B．12 C． D． 考点05空间向量的夹角问题（坐标形式) 21．已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 22．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则（    ） A． B． C． D． 23．已知空间三点，则以为邻边的平行四边形的面积为 ． 24．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于 （，不重合）. 25．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是 ． 26．已知向量，，其中，，． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 考点06空间向量的投影向量（坐标形式) 27．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 28．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 29．已知空间四点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 考点07空间向量的平行关系（坐标形式） 30．已知 ，且，则（    ） A．-5 B． C．4 D． 31．已知向量，，若，，三点共线，则 32．已知，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 33．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则M点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 34．已知，，．是否存在点D，使四边形ABDC为等腰梯形，且?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 35．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点08空间向量的垂直关系（坐标形式） 36．已知空间向量，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 37．已知平面向量，若互相垂直且至少有一个为单位向量，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．或1 38．在正四棱柱 中， 是正四棱柱内 (含表面)的动点，且 ，则点 在正四棱柱内运动所形成的图形的面积为 . 39．已知在直三棱柱中，，，，是的中点，若，则 ． 40．如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求的值； (3)求证：． 考点09空间向量数量积最值范围（坐标形式） 41．如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 42．已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 43．已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 44．点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．在棱长为3的正方体中，为线段的三等分点（在之间），一动点满足，则的取值范围是 ． 考点10空间向量模的最值范围（坐标形式） 46．如图，是棱长为1的正方体内部（含表面）一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 47．在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ． 48．如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ． 49．在棱长为2的正方体中，点E是棱的中点，P是底面内一动点，满足，则线段长度的取值范围是 ． 易错01 向量为锐（钝）角时忘去掉平行的情况 1．（多选）已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．1 2．知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 刷基础 1．设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．设、，向量，，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 4．棱长为的正方体中，点是的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，点为的中点，，则（    ）     A． B． C． D． 6．在正方体中，为棱的中点，点、分别在线段、上，且，，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．所成的角的余弦值为 D．所成的角的余弦值为 7．已知，若平面，则（    ） A．11 B． C．3 D． 8．已知空间向量，，其中，若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影向量为 . 10．已知，向量，若，则 . 11．在空间直角坐标系中，已知，若点在平面内，则 . 12．如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系． (1)写出点，的坐标； (2)写出点在轴和平面上的投影点的坐标； (3)写出向量的坐标并求点到点的距离． 刷能力 1．已知向量，在向量上的投影向量为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，已知正方体的三个顶点坐标分别为，则该正方体的外接球球心坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知长方体中，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，平面平面，正方形的边长为4，四边形为矩形，，点在上，若三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，则 . 7．空间中由4个点构成的四面体体积是多少？ 8．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 刷期中期末真题 1．（2024·25高二下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·25高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·25高二下·江苏扬州·期中）已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 4．（2024·25高二上·上海嘉定·期中）已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（2024·25高二上·广东·期末）（多选）已知向量，则（    ） A． B．同方向上的单位向量的坐标为 C． D．在上的投影向量的模为 6．（2024·25高二下·河南周口·期末）如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为 ． 7．（2024 25高二上·陕西西安·阶段练习）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 8．（2024·25高二上·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点， 所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为，设，， ， 所以， 所以， 所以，， 所以， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 空间向量及其运算的坐标表示 知识点一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 知识点二、空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 知识点三、向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设． （1）； （2）； （3）若则 考点01空间向量的坐标表示 1．在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点关于轴的对称点为点，则， 因为点关于平面的对称点为点，则， 因此，. 故选：A. 2．已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为，且， 则，所以，即. 故选：A 3．如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，以为正交基底，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得，又，， 所以其单位正交基底， 所以． 故答案为： 4．已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 . 【答案】 【详解】因为点在平面上的射影分别为， 所以， 则，所以. 故答案为： 考点02空间向量的坐标运算 5．已知，则 . 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为：. 6．在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，，所以，， 所以． 故选：D 7．空间中有四点，，，，若点平面，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】， 设． 故选：B 8．已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设向量在基底下的坐标为，则， 整理得， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为． 故选：B 9．若，，是空间的一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，，共面， 则，所以， 即，解得，，， 所以，若，，是空间的一组基底，则． 故选：B． 考点03空间向量数量积（坐标形式) 10．若，，则等于（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【详解】，，则， ，， ， 故选：A 11．已知向量，，满足，则 ． 【答案】 【详解】解：因为，，， 所以，∵，则，解得． 故答案为：． 12．已知正方体的棱长为，对角线与相交于点，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、建立空间直角坐标系， 则、、、、、、 、、. 对于A选项，，，，A对； 对于B选项，，，B错； 对于C选项，，，C错； 对于D选项，，，，D错. 故选：A. 13．已知，其中若，则 . 【答案】 【详解】由题意可得，， ， 则. 故答案为： 14．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【详解】作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， ，即 ，即C正确, 故选：C. 考点04空间向量的模（坐标形式） 15．在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点与点关于平面对称，则对称的点的横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标不变，可得， 所以， ， 故选：A． 16．已知向量，则 . 【答案】3或 【详解】， 所以，解得或， 故答案为：3或 17．已知向量且共面，则 ． 【答案】3 【详解】因为共面，所以存在，使， 即. 所以， 所以. 故答案为：3 18．已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（    ） A． B．3 C．8 D．9 【答案】B 【详解】向量，，线段AB的中点为D，则, 而，于是， 所以. 故选：B 19．如图，在棱长为的正方体中，，分别在，上，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 又，， 则，， 所以，， 即，， 故选：A. 20．现有一段底面周长为厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到达P点，另一只从B沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q点，则此时线段PQ长（单位：厘米）为（   ） A． B．12 C． D． 【答案】B 【详解】应用圆柱的特征取上下底面的圆心连线为轴，BO所在直线为y轴， 再过作的垂线为轴，如图建系， 过向圆作垂线垂足为，，设圆半径为，所以， 设，所以圆弧的长度为：，， 则， 同理，过向圆O作垂线垂足为，则， 所以. 故选：B. 考点05空间向量的夹角问题（坐标形式) 21．已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以，即与的夹角为. 故选：B 22．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知向量是单位向量，则，即， 因为向量与的夹角为，根据向量夹角公式可得： ，即， 联立方程，将代入可得： ，解得， 当时，；当时，， 因为向量是单位向量，则，即， 又因为向量与的夹角为，根据向量夹角公式可得： ，即， 联立方程，将代入可得： ，解得， 当时，；当时，， 根据向量夹角公式，， 当时，；当时，， 所以. 故选：B. 23．已知空间三点，则以为邻边的平行四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】因为， ， 所以，， ， 所以， 所以以为邻边的平行四边形的面积为. 故答案为：. 24．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于 （，不重合）. 【答案】0 【详解】两个单位向量，与向量的夹角都等于， 则，又，， ，而，， 由，得，若，则，此时，点重合，不符合题意， 因此，，，所以. 故答案为：0 25．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若，则， 当时，则，解得，此时，方向相同， 故的夹角为锐角时，且， 故答案为： 26．已知向量，，其中，，． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2)0 【详解】（1）由题意，则， 所以，； （2）， ． 考点06空间向量的投影向量（坐标形式) 27．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 向量在向量上的投影向量为. 故选：. 28．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于空间向量，， 则向量在向量上的投影向量为 . 故选：. 29．已知空间四点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【详解】由题意得，，，， 则，，， 设两向量所成的角为θ， 则向量在向量上的投影向量为 ， 故答案为： 考点07空间向量的平行关系（坐标形式） 30．已知 ，且，则（    ） A．-5 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】因为 ，且， 所以，解得. 故选：D. 31．已知向量，，若，，三点共线，则 【答案】 【详解】因为，，三点共线， 所以，共线，即，又， 故存在实数t使得，又，， 所以，，， 所以，， 所以， 故答案为：. 32．已知，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 则，，， 所以. （2）由题意可得：， 因为，且， 设，即， 则，解得. 33．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则M点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面平面，平面平面， 而，则平面，平面， 设点的坐标为，设，连接，则， 又，，则，， 由平面，平面，平面平面，则， 又，则四边形是平行四边形，于是，即， 于是，解得，所以点的坐标为. 故选：C    34．已知，，．是否存在点D，使四边形ABDC为等腰梯形，且?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【详解】由已知得，，则三点不共线. 假设存在点满足条件， 则，． 因为四边形是等腰梯形，且，所以． 即 所以， 解得或． 当，，时， ，且三点不共线， 故此时四边形为平行四边形，不合题意； 当，，时，点与点重合，不合题意． 故假设不成立，即不存在满足条件的点． 35．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选择作为基底，； ，由已知点在平面内，即与，共面，可得， 又由是的中点，可得，代换可得： ； 与共线，即，可得：，即 ，解得. 故选：C 考点08空间向量的垂直关系（坐标形式） 36．已知空间向量，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由，有， 则， 即，解得. 故选：C. 37．已知平面向量，若互相垂直且至少有一个为单位向量，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．或1 【答案】B 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，，，，满足题意； 当时，，， ，，不合题意， 所以. 故选：B. 38．在正四棱柱 中， 是正四棱柱内 (含表面)的动点，且 ，则点 在正四棱柱内运动所形成的图形的面积为 . 【答案】 【详解】根据题意建立如图所示空间直角坐标系， ， 则 由，则，设，由题意可知， ， 则，， 由，则， 故的轨迹为矩形，且顶点为， 又，故. 故答案为: . 39．已知在直三棱柱中，，，，是的中点，若，则 ． 【答案】 【详解】解：以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设， 则由题意：，，， 则，，， 解得，即． 故答案为： 40．如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【详解】（1）解：建立如图所示空间直角坐标系： ， 则， 所以， 则； （2）由（1）知， 所以， 则， 所以； （3）由（1）知， 所以， 则， 所以． 考点09空间向量数量积最值范围（坐标形式） 41．如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为底面平面， 所以, 因为四边形为正方形，所以， 所以两两垂直， 所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 所以 ， 因为， 所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4. 故选：A 42．已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因点Q在直线上运动，则，有，于是有， 因此，，， 于是得， 则当时，，此时，点Q， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为， 故选：D. 43．已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】 如图，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设点，，， 则，， ， 当时，的最小，最小值为. 故选：A. 44．点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，设，, ， 因为 所以当时，有最小值， 当或时，都取得最大值， 故选:D. 45．在棱长为3的正方体中，为线段的三等分点（在之间），一动点满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，设， 因为，则， 整理可得， 可知点的轨迹为以为球心，半径的球， 取的中点分别为，的中点为， 则， 可得 ， 又因为，则在球外， 则，即， 可得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.利用空间直角坐标系求点点的轨迹； 2.根据数量积的性质可得，进而可求范围. 考点10空间向量模的最值范围（坐标形式） 46．如图，是棱长为1的正方体内部（含表面）一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以A为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， 则. 故，当时取到最大值． 故选：C． 47．在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ． 【答案】 0 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，，， ，， 所以当时，，． 因为，，所以， 所以，，． 所以， 所以，． 当时，取得最小值，最小值为1； 当或，时，取得最大值，最大值为． 所以． 故答案为：0，    48．如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ． 【答案】 【详解】以D为原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，则， ，又，所以， 即，则． 当时，，设，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF， 所以，， ， 当时，，当时，， 所以线段的长度的取值范围是． 故答案为： 49．在棱长为2的正方体中，点E是棱的中点，P是底面内一动点，满足，则线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【详解】以为原点，以分别为轴， 轴，轴正方向建立空间直角坐标系. 则，设，则 ， 由，则，即，则， 所以， 所以 当时，线段取得最小值； 当时，线段取得最大值； 所以线段长度的取值范围是 故答案为： 易错01 向量为锐（钝）角时忘去掉平行的情况 1．（多选）已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】AC 【详解】由题意得，再去掉其共线反方向的情况， 则，解得，当，共线时，解得， 故且，对照选项知AC正确，BD错误. 故选：AC. 2．知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2)且 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 刷基础 1．设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量在基底下的坐标为可得， 又， 所以， 即可得向量在基底下的坐标是. 故选：A 2．（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BC 【详解】对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，由，得存在实数，使得，则， 即，解得，，B正确； 对于C，当时，，，，C正确； 对于D，当时，，，D错误. 故选：BC 3．设、，向量，，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【详解】因为，所以，解得，则， 因为，则，解得，即， 所以，因此. 故选：D. 4．棱长为的正方体中，点是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，，故. 故选：C. 5．如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，点为的中点，，则（    ）     A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形， 则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，的中点， ，， 所以. 故选：C 6．在正方体中，为棱的中点，点、分别在线段、上，且，，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．所成的角的余弦值为 D．所成的角的余弦值为 【答案】A 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为，则、、、， ，，故，结合图形可知， 故选：A. 7．已知，若平面，则（    ） A．11 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】平面，平面，平面， 所以，， 所以， 因为， 可得， 解得则 故选：B. 8．已知空间向量，，其中，若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为空间向量，，且， 所以，即. 因为， 所以，即， 当且仅当，即时取等号. 所以的最大值是. 故选：D 9．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影向量为 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 故答案为：． 10．已知，向量，若，则 . 【答案】 【详解】由得，， 解得，所以. 故答案为：. 11．在空间直角坐标系中，已知，若点在平面内，则 . 【答案】5 【详解】点在平面内，所以四点共面， 则， 所以， 所以，则，即， 所以满足即可 故答案为： 12．如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系． (1)写出点，的坐标； (2)写出点在轴和平面上的投影点的坐标； (3)写出向量的坐标并求点到点的距离． 【答案】(1)，． (2)， (3)，． 【详解】（1）由图可得：，． （2）点在轴上的投影点为，在平面上的投影点为． （3），. 刷能力 1．已知向量，在向量上的投影向量为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得，则向量在向量上的投影向量为： ， 所以， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 2．在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 过点作⊥于点，设，， 则，所以， 显然∽，故，即， 故，则， ， ， ， 故当时，取得最小值，最小值为 故选：B 3．在空间直角坐标系中，已知正方体的三个顶点坐标分别为，则该正方体的外接球球心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， ， 则， 由为正方体的三个顶点，故为该正方体的体对角线， 则该正方体的外接球球心坐标中点，即为. 故选：B. 4．已知长方体中，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为， 因为，那么， 所以， 所以、、、四点共面， 由得，解得， 所以的最小值为. 故选：B.    5．如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C 6．如图，平面平面，正方形的边长为4，四边形为矩形，，点在上，若三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，则 . 【答案】1或3 【详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设，，，，， 因为三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上， 所以， 根据两点距离公式可得： ，，, 解得：，所以， 因为，解得：或， 所以或. 故答案为：1或3. 7．空间中由4个点构成的四面体体积是多少？ 【答案】 【详解】设是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系， 可以发现是三棱锥的高，三角形是的底面， 故所求为. 8．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设． ，， 由于，所以，即． 又，所以， 由于，所以当时取得最小值． （2），， 因为，所以，即． 又． 由于，所以（利用二次函数的性质求解）， 即当或1时，取得最小值，因此的最大值为， 即与夹角的最大值为． 刷期中期末真题 1．（2024·25高二下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由向量，， 可得，， 因为，所以存在实数使得， 即，解得. 故选：B. 2．（2024·25高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量在坐标平面上的投影向量是. 故选：C. 3．（2024·25高二下·江苏扬州·期中）已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 【答案】C 【详解】对于A，由与关于平面对称，得，，A正确； 对于B，由及共面向量定理得共面，B正确； 对于C，，则点不共面，C错误； 对于D，，由点共线，得， 则，解得，，D正确. 故选：C 4．（2024·25高二上·上海嘉定·期中）已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】因正四棱柱的底面为边长为2的正方形，高为3， 故可建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 体对角线向量为，此时， ，， ，， ，， 综上，集合中元素的个数为1个. 故选：A. 5．（2024·25高二上·广东·期末）（多选）已知向量，则（    ） A． B．同方向上的单位向量的坐标为 C． D．在上的投影向量的模为 【答案】BD 【详解】因为，，所以. 对于A：因为，故A错误； 对于B：因为，即方向上的单位向量是，故B正确； 对于C：因为，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：BD. 6．（2024·25高二下·河南周口·期末）如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】设为下底面中心，构建如下图示的空间直角坐标系， 结合题设知，，且，， 所以，，故， 所以，可得， 而，则， 又，故时，. 故答案为： 7．（2024 25高二上·陕西西安·阶段练习）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 【答案】 【详解】因为点Q在直线OP上运动， 所以，则，则 则， 所以 当时，取最小值，此时 故答案为：. 8．（2024·25高二上·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点， 所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为，设，， ， 所以， 所以， 所以，， 所以， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$