13.3.2 三角形的外角 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版（2024） 八年级上册 13.3.2 三角形的外角 第十三章 · 三角形 三角形的外角 知识目标 1.明确三角形外角的定义，能准确识别图形中的外角； 2.理解三角形外角的性质定理，并能运用该性质进行简单计算或证明； 3.通过对比内角与外角的关系，培养几何中“转化”思想。 能力目标 1.在复杂图形中快速定位外角，区分内外角的不同特征； 2.利用外角性质解决求角度数、验证结论等问题，培养从已知条件推导未知的思维路径； 3.将实际问题抽象为几何模型。 素质目标 1.渗透“转化”思想（将未知转化为已知、复杂转化为简单），感悟数学中化归方法的价值； 2.通过探究外角性质的证明过程，体会严谨论证的必要性，培养质疑与验证的习惯。 教学难点 教学重点 熟练运用“外角=两非邻内角和”进行角度计算、比较大小及简单证明 动态图形中外角的识别、自主选择恰当方法实现“转化” 情景导入 1 合作探究 2 抽象概括 3 示范讲解 4 课堂练习 5 课堂小结 6 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 回顾：内角 三角形的 内角和定理 证明 为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法。 内容 三角形内角和等于180 ° 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线。 在平面几何里，辅助线通常画成虚线。 ★作辅助线 直角三角形的两个锐角互余。 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 思考：某建筑系的学生站在C处想检测∠A与∠B的和是否符合设计要求，携带测角工具进行测量，但是∠A太高无法测量，∠B靠近水面也无法测量，你能帮助他求出∠A+∠B吗？ A B C 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 列举实例 思考：把ΔABC中的一边BC延长，得到∠ACD，∠ACD还是三角形的内角吗？ C B A D 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角 三角形的外角 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 三个特征: 1.外角的顶点在三角形的一个顶点上; 2.外角的一条边是三角形的一条边; 3.外角的另一条边是三角形的某条边的延长线 分析问题，寻找对应 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 E C B A D ∠BCE是△ABC的一个外角 ∠DCE不是△ABC的一个外角. 分析问题，寻找对应 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 E C B A D ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；在三角形的每个顶点处有2个外角. 分析问题，寻找对应 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为_______. 研究三角形的外角和时，通常每个顶点处取一个外角。 A B C 1 2 4 3 5 6 ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6. 对顶角 分析问题，寻找对应 如图 在△ABC 中, ∠A = 70°, ∠B = 60°, ∠ACD 是△ABC的一个外角. 能由∠A, ∠B 求出∠ACD 吗? 如果能, ∠ACD与∠A, ∠B 有什么关系? 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 70° 60° ∠ACD是∠ACB的邻补角， 所以∠ACD = 180°-∠ACB = 180°- 50° = 130°. ∵∠A+∠B= 70°+ 60°= 130°， ∴∠ACD =∠A+∠B. 分析问题，寻找对应 已知:如图所示,ΔABC中,D为BC延长线上一点. 求证:∠ACD=∠A+∠B. 证明猜想 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 法一： 证明:∵∠A+∠B+∠ACB=180°, ∴∠A+∠B=180°-∠ACB. ∵∠ACD+∠ACB=180°, ∴∠ACD=180°-∠ACB. ∴∠ACD=∠A+∠B. 分析问题，寻找对应 已知:如图所示,ΔABC中,D为BC延长线上一点. 求证:∠ACD=∠A+∠B. 证明猜想 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 E 法二：过点C作CE∥AB. ( ( ( ( 过点A作AE∥BC. 过点B作BE∥AC. E E ( ( ( ( ( ( ( ( 作平行线 转化角 分析问题，寻找对应 如图，试比较∠1 、∠A的大小； ∠1 、∠B的大小. 证明猜想 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 解：∵∠1=∠A+∠B, ∴∠1＞∠A. 三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角. 同理∠1＞∠B. 三角形的外角 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 三角形内角和定理的推论 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言 ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 口诀：“外角=两非邻内角和” 三角形的外角 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 辨析三角形内角、外角 （1）位置关系：相邻和不相邻. （2）数量关系：外角与相邻内角互补， 外角大于不相邻的任何一个内角. 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少? 例1 解 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. 你还能给出其他解法吗? 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少? 例1 解 如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②， ∠ACD +∠3=180 ° ③， 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°. 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少? 例1 解 过 A 作 AM 平行于 BC， 所以∠ACD = ∠EAM， ∠CBF = ∠BAM， 所以 ∠BAE +∠CBF +∠ACD = ∠BAE +∠BAM +∠EAM = 360°. M 三角形的外角和 三角形的外角和等于 360°. 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 快速抢答 例2 A B D C 1 2 4 3 > > ∠DAC ∠C ∠BAD ∠B ∠1= ______+______ ∠2= ______+______ ∠2____∠3 ∠2____∠4 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图，下列各角是△ABC 的外角的是（ ） A.∠4 B.∠3 C.∠2 D.∠1 例3 1 A B C 3 2 4 B 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例4 下面的推理题把小明难住了.他希望同学们能尽快的帮他解决下面的问题. 根据下列线索推理出这个三角形有关的角. 线索1：在△ABC中，∠B=∠C ； 线索2：它的一个外角是100º； 问题：它的各个内角各是多少度？ 100° B C A 50°，50°，80° 或80°，80°，20°. 解：它的各个内角分别为 100° B C A 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结   1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数： ∠1 = 40° ∠2 = 140° ∠1 = 110° ∠2 = 70° ∠1 = 50° ∠2 = 140° （1） （2） （3） 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结   1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数： （4） （5） （6） ∠1 = 55° ∠2 = 70° ∠1 = 80° ∠2 = 40° ∠1 = 60° ∠2 = 30° 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.如图，是一个五角星，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数. 解：∵∠AFG =∠B +∠D， ∠AGF =∠C +∠E， ∠A +∠AFG +∠AGF =180°， ∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180°. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 解一：连接BC. ∵ ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∠A= 51°, ∴ ∠ABC+∠ACB =180°-51°=129°. ∵∠ABD=20°,∠ACD=30°, ∴ ∠DBC+∠DCB = ∠ABC+∠ACB-(∠ABD+ ∠ACD )=129°-50°=79°. ∴ ∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB) =180°- 79°=101°. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 解二：延长BD交AC于点E. ∠1=∠A+∠B， ∠BDC=∠1+∠C. ∴∠BDC=∠A+∠B+∠C =51°+20°+30°=101°. E 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.（2025·辽宁·中考真题）如图，点C在∠AOB的边OA上，CD⊥OB，垂足为D，DE//OA，若∠EDB=40°，则∠ACD的度数为( ) A.50° B.120° C.130° D.140° [答案]C [分析]本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到∠O=∠EDB，再根据三角形的外角的性质，求出∠ACD的度数即可 [详解]解::CD⊥OB，DE // OA.∠EDB=40°， ∴∠CDO=90°,∠O=∠EDB=40°， ∴∠ACD=∠CDO+∠O=90°+40°=130°; 故选C. 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.（2025·山东威海·中考真题）如图，直线CF//DE，∠ACB=90°，∠A=30°.若∠1=18°.则∠2等于( ) A.42° B.38° C.36° D.30° [答案]A [详解]∵∠ACB=90°，∠1=18° ∴∠GCD=180°-∠ACB-21=72° ∵CF//DE ∴∠CDE=∠GCD=72° ∵∠LA=30° ∴∠2=2CDE-∠A=42°. 故选:A. 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点4，E，C，F在同一条直线上， ∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠DEF=60°.当AD//BC时，∠ADE的大小为( ) A.5° B.15° C.25° D.35° [答案]B [详解]解:∵∠BAC=90°，∠B=45°， ∴∠ACB=45°， ∵AD//BC, ∴∠DAE=∠ACB=45°， ∴∠DEF= ∠DAE+∠ADE=60° ∴∠ADE=15°; 故选:B. 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 4.（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若AB//CD，∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数为( ) A.40° B.35° C.30° D.20° [答案]A [详解]解：∵AB//CD，∠1=30°， ∴∠A=∠1=30°， ∵∠2=70°, ∠2=∠3+∠A. ∴∠3=70°-30°=40°; 故选:A. 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 5.（2024·四川攀枝花·中考真题）将一把直尺与一块含有30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠3=65°，则∠2为( ) A.50° B.55° C.60° D.65° [答案]A [详解]解：如图所示， ∵AB//CD ∴∠BAC=∠3=65° ∴∠1=90°-∠BAC=25° ∴∠2=∠1+∠E=55° A B C D 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 我亲历了什么 我知道了什么 我会什么 理解三角形的外角的概念 口诀：“外角=两非邻内角和” 对比内角与外角的关系 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 三角形的外角 定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于360°. 外角与相邻内角互补， 外角大于不相邻的任何一个内角. 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 课后作业 A层：P9：习题13.3：8题. B层：P9：习题13.3：11题. 下 课 $$