专题3.4 方差（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题3.4 方差 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：极差的定义及计算公式 1 知识点梳理02：方差及标准差 2 知识点梳理03：极差、方差及标准差的区别与联系 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：求方差 3 考点2：利用方差求未知数据的值 5 考点3：根据方差判断稳定性 5 考点4：运用方差做决策 8 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 12 基础夯实 12 培优拔高 16 知识点梳理01：极差的定义及计算公式 1.一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差； 2.极差计算公式：极差＝最大值－最小值. 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大，一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 极差反映一组数据两个极端值之间差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不全面的. 知识点梳理02：方差及标准差 1.方差的概念 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平均数，叫做这组数据的方差，通常用来表示，即（方差的基本公式）. 若原数据是有单位的，则方差的单位就是原数据单位的平方. 2.方差的其他公式： （1）或者，方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方； （2），当一组数据较大时，可以仿照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据那么方差公式也可以写成 ，方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方. ①方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小； ②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变； ③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 有时，也会用方差的算术平方根（标准差），即来 描述一组数据的离散程度. 知识点梳理03：极差、方差及标准差的区别与联系 1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数； 2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 3.对于两组数据来说，极差大的那一组，不一定方差大；反过来，方差大的，极差也不一定大. 考点1：求方差 【典例精讲】某校八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（单位：分）： 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 (1)甲队成绩的中位数是_______分，乙队成绩的众数是________分． (2)计算乙队的平均成绩和方差． (3)已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是_______队． 【变式训练1】（2025·广西桂林·二模）如图所示是小明根据甲、乙两名同学6次投篮（每次投篮10个）测试成绩所绘制的折线统计图． (1)分别求甲、乙两名同学投篮测试成绩的平均数； (2)小明认为甲、乙两人成绩更稳定的是甲，请你通过计算验证小明的判断是否正确． 【变式训练2】（2025·山西太原·二模）2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，学校组织“国家安全·青春挺膺”主题演讲比赛，引导青年学生提升国家安全意识和素养，维护国家主权、安全、发展利益．比赛设初赛和决赛两个阶段，初赛有20名选手参加，组委会对两个阶段的选手成绩进行整理，得到如下信息： 信息1：名选手初赛成绩的频数直方图如下（数据分成组：，，，，）： 信息2：初赛成绩在第三组（）的选手成绩如下：              ． 信息3：决赛过程中，由5位教师评委给每位选手打分（百分制），总分排名前3名选手的成绩如下表： 选手 得分 平均数 方差 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 92 ________ 乙 91 92 92 92 92 91.8 0.16 丙 90 94 90 94 92 ________ 3.2 根据上述信息回答下列问题： (1)初赛名选手成绩的中位数为_____分； (2)组委会规定初赛选手中成绩靠前的一半选手进入决赛，若选手成绩并列且不能确定其是否进入决赛时，组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为分，小颖的成绩为分．直接写出他们两人是否能进入决赛； (3)决赛的排名规则是：计算位教师评委评分的平均数和方差，平均数较大的选手排名靠前；若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．请补全上表中空缺的数据，给甲、乙、丙三位选手排出名次，并说明理由． 考点2：利用方差求未知数据的值 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：，这组数据的众数是 ． 【变式训练1】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）若1、2、3、4、x的方差与3、4、5、6、7的方差相等，则 【变式训练2】（24-25九年级上·北京·开学考试）在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式： ，并由公式得出以下信息：①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是4，⑤样本的方差是0.5，那么上述信息中正确的是 ． 考点3：根据方差判断稳定性 【典例精讲】（2025·贵州·中考真题）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲队员成绩的众数为 环，乙队员成绩的中位数为 环； (2)你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？ （填“甲”或“乙”）；如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是 （填“平均数”“众数”或“中位数”）； (3)若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可） 【变式训练1】（2025·福建·中考真题）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【变式训练2】（2025·江苏泰州·二模）甲、乙、丙三位射击爱好者进行了十次打靶射击，靶图中圆环内每个点代表此次打靶的成绩，从外到内每个圆环内的点依次对应获得1到10分的成绩，脱靶记为0分，圆环上的点算内环成绩（例如，处于9分环和10分环之间圆环上的点算10分）． 三人成绩的平均数和中位数统计表 爱好者 甲 乙 丙 平均数 x 中位数 y 8 6 同时，三人的具体成绩统计如下：甲的成绩：4，9，10，10，10，9，10，9，9，8． 乙的成绩：8，8，7，8，7，8，7，8，8，8． 丙的成绩：3，8，5，3，7，2，7，6，8，10． 根据以上信息，回答下列问题： (1)由靶图可知，成绩最稳定的是________（填“甲”、“乙”或“丙”）； (2)统计表中________，________； (3)小明通过研究发现：甲、乙、丙三人的成绩中有一人的成绩，无论对其中哪一个数据进行改变（仅改变一个数值，数据个数不变），此人成绩的中位数和众数都不会变化？请结合数据说明此人是谁． 考点4：运用方差做决策 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期末）老李是广西灵山的一名荔枝果农，想要通过快递将荔枝销往全国各地．经过初步了解，老李打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此老李收集了10户果农对两家快递公司的配送速度以及服务质量评分情况，信息如下： 信息一：配送速度得分（满分10分）： 甲 乙 信息二：服务质量得分统计图： 信息三：配送速度和服务质量得分统计表： 项目 配送速度得分 服务质量得分 快递公司 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的________，________，________． (2)综合表中的统计量，你认为老李应选择哪家公司？请任选两个统计量说明理由． (3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？（列出一条即可） 【变式训练1】（2025·福建厦门·三模）学校将举办一年一度的趣味运动会，班级拟从甲、乙、丙、丁四名同学中推选一名参加跳绳单人赛．他们近期1分钟跳绳的成绩(单位：次)如下表所示： 第一次 第二次 第三次 第四次 平均次数 甲 乙 丙 丁 则应推选参赛的是(    ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式训练2】（2025·陕西咸阳·二模）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成如图所示的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全表格： 平均数 中位数 众数 方差 甲      8和9      乙      9      丙      8      (2)在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则 ； （选填“<”“>”或“=”） (3)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． 1．（2025·山东青岛·中考真题）为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下： 甲：，，，，； 乙：，，，，． 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）． 2．（2025·辽宁·中考真题）甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：）的平均数和方差如下表： 运动员 平均数 方差 甲 601 乙 601 则这两名运动员测试成绩更稳定的是 （填“甲”或“乙”）． 3．（2025·北京·中考真题）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4  12.4  12.5  12.7  12.8  12.8  12.8  12.8  12.9  12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 (1)表中m的值为_______； (2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； (3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 5．（2025·甘肃平凉·中考真题）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n的值：______，______； (2)______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）； (3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以，你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可） 基础夯实 1．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）在社会实践活动中，同学们对甲、乙、丙、丁四块稻田五年间的水稻亩产量进行调查．四块稻田五年间的平均亩产量均为每亩980斤，方差分别为，，，，那么五年间水稻亩产量最稳定的稻田是（    ） A．甲稻田 B．乙稻田 C．丙稻田 D．丁稻田 2．（2025·贵州贵阳·一模）甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行20次射击测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）有甲、乙两段楼梯，楼梯台阶的平均高度都是15cm，且甲的方差大于10，乙的方差小于1，则两段楼梯哪个更适合使用（   ） A．甲楼梯 B．乙楼梯 C．甲、乙楼梯都适合 D．甲、乙楼梯都不适合 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）为了迎接运动会，九年级二班举行立定跳远选拔活动，小诚的五次选拔成绩（单位：厘米）如下表： 次数 1 2 3 4 5 平均数 成绩 254 256 255 254 ■ 255 小诚的5次成绩的方差是 ． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）学校篮球队5名场上队员的身高分别为170，173，175，177，180（单位：）．增加一名身高为的成员后，现篮球队成员的身高与原来相比，方差 ．（填“不变”“变大”或“变小”） 6．（2023·北京·一模）甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为，方差分别为，则 ．（填“”，“”或“”） 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某中学举行“庆国庆·校园歌手”比赛，七、八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队进行决赛，两队选出的5名选手成绩如下图所示． (1)根据图示填写下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 ________ 85 ________ 八年级 85 ________ 100 (2)哪个年级的代表队选手成绩较为稳定？为什么？（计算方差说明） 9．（2025·广西南宁·三模）某城市推行“绿色出行”宣传活动，五位评审对甲、乙、丙三位宣传志愿者的表现进行打分，相关得分数据整理如下统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 9 9 a 乙 b 丙 c 8 根据以上信息，完成下列问题： (1)直接写出a，b，c的值， ______， ______， ______； (2)从三位选手中选一位进行表彰，你认为选谁更合适？请选择一个统计量进行说明； (3)如果去掉一个最高分和一个最低分之后乙的中位数记为d，判断d与b的大小关系，并说明理由． 10．（2025·陕西安康·二模）近日，陕西省体育总局发布了2025年体育赛事活动名录，共有88项赛事活动，贯穿全年，涵盖了各级各类人群，做到了“周有活动、月有赛事、季有大赛”，同时也促进体育赛事活动健康有序发展，扩大赛事活动影响．为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园−−探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：，，，，，，，，，； 九年级：，，，，，，，，，． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 8 九年级 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中______，______； (2)A同学说：“我平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； (3)你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由． 培优拔高 11．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图是甲、乙两名同学的5次引体向上练习成绩的折线统计图，下列判断正确的是（  ） A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．甲的最好成绩比乙的最好成绩高 C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 12．（2025·福建漳州·二模）一组数据：2，3，3，5，若添加一个数据5，则不发生变化的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 13．（2025·福建厦门·二模）现有甲、乙、丙、丁四个甜玉米试验品种，农科院计划为某地选出一个品种在该地不同区域推广种植．工作人员在该地不同区域选取了4块土壤条件具有代表性的试验田进行试验，得到各试验田中这四种甜玉米的产量（单位：公顷），统计结果如图所示．根据统计结果，最适合在该地不同区域推广种植的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 14．（2023·辽宁锦州·三模）某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是 ． 15．（2025·河南平顶山·二模）某市举办的朗诵比赛，由名评委给选手打分（百分制，分数均为整数），比赛结果的评价规则为：平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．下面是名评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分表： 评委 评委 评委 评委 评委 甲 乙 丙 若方差 ，且丙在三位选手中的排序居中，表中的值为 ． 16．（24-25八年级上·山西运城·期末）某外贸公司要出口一批规格为的鸡腿，现有甲、乙、丙个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质也很相近，如图是质检员分别从个工厂的产品中抽样调查的只鸡腿的质量、如果只考虑鸡腿的规格，那么外贸公司应该买 厂的鸡腿.（填“甲”或“乙”或“丙”）. 17． （24-25八年级上·宁夏中卫·期末）为了调查某厂生产的一批袋装茶叶的质量是否达标，从这批装装茶叶中抽出袋进行称量，得出与标准质量上下波动的数据如下：，，，，，，，，，．则在这组数据中：平均数为；中位数是；极差是；众数是；方差为，以上说法不正确的是 （只填序号）． 18．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 1.88 九年级竞赛成绩 8 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：表中的______，______，______； (2)该校九年级学生共有900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ (3)求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差，并比较八、九年级哪个年级成绩更稳定？ 19．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某市农业科学研究所几年前在甲、乙两座山上各栽种了100棵苹果树，成活率是，现已结果成熟．为了分析收成情况，分别从两座山上随机各采摘了4棵树上的苹果，每棵苹果树的产量如图所示． (1)分别计算甲、乙两座山苹果样本的平均数，并估算出甲、乙两座山苹果的产量总和； (2)试通过计算说明哪座山上的苹果产量较稳定． 20．某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下： 甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9； 甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 b 8 0.4 乙 a 9 c 3.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格是a＝　　，b＝　　，c＝　　．（填数值） （2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是　 ．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是　 ； （3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数　 　，中位数　 ，方差　 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 方差 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：极差的定义及计算公式 1 知识点梳理02：方差及标准差 1 知识点梳理03：极差、方差及标准差的区别与联系 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：求方差 3 考点2：利用方差求未知数据的值 6 考点3：根据方差判断稳定性 8 考点4：运用方差做决策 12 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 28 知识点梳理01：极差的定义及计算公式 1.一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差； 2.极差计算公式：极差＝最大值－最小值. 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大，一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 极差反映一组数据两个极端值之间差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不全面的. 知识点梳理02：方差及标准差 1.方差的概念 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平均数，叫做这组数据的方差，通常用来表示，即（方差的基本公式）. 若原数据是有单位的，则方差的单位就是原数据单位的平方. 2.方差的其他公式： （1）或者，方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方； （2），当一组数据较大时，可以仿照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据那么方差公式也可以写成 ，方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方. ①方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小； ②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变； ③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 有时，也会用方差的算术平方根（标准差），即来 描述一组数据的离散程度. 知识点梳理03：极差、方差及标准差的区别与联系 1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数； 2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 3.对于两组数据来说，极差大的那一组，不一定方差大；反过来，方差大的，极差也不一定大. 考点1：求方差 【典例精讲】某校八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（单位：分）： 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 (1)甲队成绩的中位数是_______分，乙队成绩的众数是________分． (2)计算乙队的平均成绩和方差． (3)已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是_______队． 【答案】(1)9.5；10 (2)分， (3)乙 【思路引导】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，熟练掌握相关数据的计算方法，是解题的关键. （1）根据中位数和众数的确定方法，进行求解即可； （2）根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可； （3）根据方差进行判断即可． 【规范解答】（1）解：将甲队数据排序后，位于中间的2个数据是9和10， ∴中位数为（分）； 乙队数据中出现次数最多的是10，故众数为10分； 故答案为：9.5；10 （2）（分）； ； （3）∵，甲队成绩的方差是1.4，； 故成绩较为整齐的是乙队； 故答案为：乙． 【变式训练1】（2025·广西桂林·二模）如图所示是小明根据甲、乙两名同学6次投篮（每次投篮10个）测试成绩所绘制的折线统计图． (1)分别求甲、乙两名同学投篮测试成绩的平均数； (2)小明认为甲、乙两人成绩更稳定的是甲，请你通过计算验证小明的判断是否正确． 【答案】(1)甲、乙两名同学投篮测试成绩的平均数都是7 (2)小明的判断正确，见解析 【思路引导】本题主要考查了算术平均数和方差的求解，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．准确分析计算是解题的关键． （1）根据平均数的定义即可求解； （2）分别计算甲乙的方差，比较方差大小即可，根据方差越小，成绩越稳定，即可判断． 【规范解答】（1）解：甲同学投篮的个数为：， ∴平均数为：； 乙同学投篮的个数为：， ∴平均数为：， 答：甲、乙两名同学投篮测试成绩的平均数都是7； （2）解：小明的判断正确，利用如下： ， ， ∵， ∴甲成绩更稳定， ∴小明的判断正确． 【变式训练2】（2025·山西太原·二模）2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，学校组织“国家安全·青春挺膺”主题演讲比赛，引导青年学生提升国家安全意识和素养，维护国家主权、安全、发展利益．比赛设初赛和决赛两个阶段，初赛有20名选手参加，组委会对两个阶段的选手成绩进行整理，得到如下信息： 信息1：名选手初赛成绩的频数直方图如下（数据分成组：，，，，）： 信息2：初赛成绩在第三组（）的选手成绩如下：              ． 信息3：决赛过程中，由5位教师评委给每位选手打分（百分制），总分排名前3名选手的成绩如下表： 选手 得分 平均数 方差 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 92 ________ 乙 91 92 92 92 92 91.8 0.16 丙 90 94 90 94 92 ________ 3.2 根据上述信息回答下列问题： (1)初赛名选手成绩的中位数为_____分； (2)组委会规定初赛选手中成绩靠前的一半选手进入决赛，若选手成绩并列且不能确定其是否进入决赛时，组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为分，小颖的成绩为分．直接写出他们两人是否能进入决赛； (3)决赛的排名规则是：计算位教师评委评分的平均数和方差，平均数较大的选手排名靠前；若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．请补全上表中空缺的数据，给甲、乙、丙三位选手排出名次，并说明理由． 【答案】(1) (2)小文不一定进入决赛，小颖一定能进入决赛 (3)甲的方差为，丙的平均数为；第一名为甲，第二名为丙，第三名为乙．理由见解析 【思路引导】本题考查了中位数的定义，求方差与平均数，掌握中位数，平均数，方差的意义是解题的关键； （1）根据中位数的定义，即可求解； （2）根据题意，小文的成绩为分，而分的同学有名，则小文不一定进入决赛，小颖的成绩为分，大于中位数，则一定能进入决赛． （3）先计算甲的方差为，丙的平均数为，根据甲和丙的平均数相同，甲的方差较小，乙的平均数小于丙的平均数，即可求解． 【规范解答】（1）解：初赛名选手成绩中第一组有3人，第二组有4人 初赛成绩在第三组（）的选手成绩从小到大排列为：，，，，，，，． 第和个数据是第三组的第3个和第4个数据，即， ∴初赛名选手成绩的中位数为 （2）因为初赛名选手成绩的中位数为， 组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为分，而分的同学有名， 则小文不一定进入决赛， 小颖的成绩为分，大于中位数，则一定能进入决赛． ∴小文不一定进入决赛，小颖一定能进入决赛 （3）甲的方差为 丙的平均数为 甲的方差为，丙的平均数为 甲和丙的平均数相同，甲的方差较小，乙的平均数小于丙的平均数， ∴第一名为甲，第二名为丙，第三名为乙． 考点2：利用方差求未知数据的值 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：，这组数据的众数是 ． 【答案】9 【思路引导】本题主要考查方差和众数，解题的关键是由计算方差的算式得出这组数据．由计算方差的算式得出这组数据为7、7、8、9、9、9，再根据众数的定义求解即可． 【规范解答】解：由题意知，这组数据为7、7、8、9、9、9， 所以这组数据的众数为9， 故答案为：9． 【变式训练1】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）若1、2、3、4、x的方差与3、4、5、6、7的方差相等，则 【答案】0或5 【思路引导】本题考查了方差的计算公式，解一元二次方程，熟练掌握公式是解题的关键． 根据方差的计算公式建立方程，解一元二次方程即可． 【规范解答】解：3、4、5、6、7的平均数为：， 则方差为：， 1、2、3、4、x的平均数为：， ∴由题意得，， 化简得，， 解得或， 故答案为：0或5． 【变式训练2】（24-25九年级上·北京·开学考试）在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式： ，并由公式得出以下信息：①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是4，⑤样本的方差是0.5，那么上述信息中正确的是 ． 【答案】①③④ 【思路引导】根据方差的概念，得到这组数据为：3，3，4，6，再根据极差，中位数，众数，平均数的概念，得到其大小，由此得到答案． 【规范解答】解：根据题意得： ， ∴样本的容量是4，故①说法正确； 这组数据为：3，3，4，6， 则中位数为：，故②说法错误； 样本的众数为：3，故③说法正确； 样本平均数为：，故④说法正确； 方差为：，故⑤说法错误； 则上述信息正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【考点评析】本题考查了方差，中位数，众数，算术平均数以及总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握相关概念是解答本题的关键． 考点3：根据方差判断稳定性 【典例精讲】（2025·贵州·中考真题）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲队员成绩的众数为 环，乙队员成绩的中位数为 环； (2)你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？ （填“甲”或“乙”）；如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是 （填“平均数”“众数”或“中位数”）； (3)若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可） 【答案】(1)， (2)甲；平均数 (3)见解析 【思路引导】本题考查了众数、平均数、中位数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据众数和中位数的定义计算即可得解； （2）求出甲、乙队员成绩的平均数和方差，比较即可得解，再结合中位数、众数的定义求解即可； （3）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的众数为环； 乙队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，乙队员成绩的中位数为环； （2）解：， ， ， ， 故，， ∴甲队员射击的整体水平高一些， 如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩为、、、、、、、、、、， 此时平均数为，众数为，中位数为， 故会发生改变的统计量是平均数； （3）解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的中位数为环，甲队员成绩的众数为环， 由（2）可得， ∵丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员， ∴补全丙队员的成绩如下： 此时丙队员10次成绩的众数为、中位数为、平均数均，均大于甲队员． 【变式训练1】（2025·福建·中考真题）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】(1)，见解析 (2)甲，见解析 (3)选甲更合适．理由见解析 【思路引导】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键． （1）先求出乙的方差，然后比较即可； （2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可； （3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可． 【规范解答】（1）， 即． 因为， 所以， 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． （2）由已知得，获奖分数线的平均数为， 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． （3）选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适． 【变式训练2】（2025·江苏泰州·二模）甲、乙、丙三位射击爱好者进行了十次打靶射击，靶图中圆环内每个点代表此次打靶的成绩，从外到内每个圆环内的点依次对应获得1到10分的成绩，脱靶记为0分，圆环上的点算内环成绩（例如，处于9分环和10分环之间圆环上的点算10分）． 三人成绩的平均数和中位数统计表 爱好者 甲 乙 丙 平均数 x 中位数 y 8 6 同时，三人的具体成绩统计如下：甲的成绩：4，9，10，10，10，9，10，9，9，8． 乙的成绩：8，8，7，8，7，8，7，8，8，8． 丙的成绩：3，8，5，3，7，2，7，6，8，10． 根据以上信息，回答下列问题： (1)由靶图可知，成绩最稳定的是________（填“甲”、“乙”或“丙”）； (2)统计表中________，________； (3)小明通过研究发现：甲、乙、丙三人的成绩中有一人的成绩，无论对其中哪一个数据进行改变（仅改变一个数值，数据个数不变），此人成绩的中位数和众数都不会变化？请结合数据说明此人是谁． 【答案】(1)乙 (2)；9 (3)乙，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了中位数，众数和平均数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键． （1）根据靶图可知乙的射击成绩最集中，据此可得答案； （2）根据平均数和中位数的定义求解即可； （3）无论改变乙中哪个数据，8至少有6次，仍然最多，且中间两个数还是8，所以中位数和众数依然还是8，据此可得结论． 【规范解答】（1）解：由靶图可知，乙的射击成绩最集中，即稳定性最好； （2）解：由题意得，甲的平均数为，即 把甲的10次射击成绩按照从低到高排列为4，8，9，9，9，9，10，10，10，10，处在最中间的两个数分别为9，9，则甲的中位数为，即； （3）解：据乙的成绩分析：由于8出现的次数有7次，7出现3次，无论改变其中哪个数据，8至少有6次，仍然最多，且中间两个数还是8，所以中位数和众数依然还是8，所以乙符合． 考点4：运用方差做决策 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期末）老李是广西灵山的一名荔枝果农，想要通过快递将荔枝销往全国各地．经过初步了解，老李打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此老李收集了10户果农对两家快递公司的配送速度以及服务质量评分情况，信息如下： 信息一：配送速度得分（满分10分）： 甲 乙 信息二：服务质量得分统计图： 信息三：配送速度和服务质量得分统计表： 项目 配送速度得分 服务质量得分 快递公司 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的________，________，________． (2)综合表中的统计量，你认为老李应选择哪家公司？请任选两个统计量说明理由． (3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？（列出一条即可） 【答案】(1)，， (2)老李应选择甲公司，理由见解析 (3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了统计表、折线统计图、中位数、众数和方差，理解并掌握它们的概念和意义并能结合题意分析问题是解题的关键． （1）根据中位数与众数、平均数的定义即可求解； （2）根据方差的意义进行判断即可； （3）根据题意求解即可（言之有理即可）． 【规范解答】（1）解：乙公司配送速度得分从小到大排列为：，，，，，，，，，， 一共个数据，其中第个与第个数据分别为，， 所以中位数， 甲公司配送速度得分出现的次数最多，所以众数； 乙公司服务质量的平均分为： 故答案为：，，； （2）老李应选择甲公司 理由如下：服务质量得分甲和乙的平均数相同，从折线统计图中可以看出，甲的数据波动更小，数据更稳定，即．老李应选择甲公司；（答案不唯一） （3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一，言之有理即可）． 【变式训练1】（2025·福建厦门·三模）学校将举办一年一度的趣味运动会，班级拟从甲、乙、丙、丁四名同学中推选一名参加跳绳单人赛．他们近期1分钟跳绳的成绩(单位：次)如下表所示： 第一次 第二次 第三次 第四次 平均次数 甲 乙 丙 丁 则应推选参赛的是(    ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【思路引导】本题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的同学参赛． 【规范解答】解：甲的平均数为 ，乙的平均数为，丙的平均数为，丁的平均数为， 甲、丁的平均数较高，故在甲、丁选一个参赛； 甲的方差为， 丁的方差为， 因为甲的方差比丁小，成绩更稳定，所以应推选参赛的是甲． 故选：A． 【变式训练2】（2025·陕西咸阳·二模）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成如图所示的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全表格： 平均数 中位数 众数 方差 甲      8和9      乙      9      丙      8      (2)在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则 ； （选填“<”“>”或“=”） (3)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． 【答案】(1)9， 9， 8 (2) (3)选甲更合适，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了中位数、平均数和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，离散程度越大，稳定性也就越小，反之稳定性就越大． （1）直接根据中位数、平均数、众数的定义，进行计算即可得到答案； （2）先求出去掉一个最低分和一个最高分之后的平均数，再求出方差，进行比较即可得到答案； （3）根据平均数和方差的意义解答即可． 【规范解答】（1）解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8， ∴甲得分的中位数为9， 由乙得分的条形统计图可知，乙得分的排序为：7，9，9，9，10， ∴乙得分的中位数为9， 由丙得分的扇形统计图可知，人，人， 即丙得分分别为：8，8，8，10，10， ∴8出现的次数最多， ∴丙得分的众数为8． 故答案为： 9， 9， 8； （2）解：去掉一个最高分和一个最低分之后，甲得分的平均数为 ， 甲得分的方差 ， ， 故答案为：； （3）解：选甲更合适．理由如下： 因为甲、乙、丙三人的平均得分一样，但是甲得分的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲更合适． 1．（2025·山东青岛·中考真题）为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下： 甲：，，，，； 乙：，，，，． 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【思路引导】本题考查了方差的意义，理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键． 分别求出甲乙的方差，根据方差的意义求解即可． 【规范解答】解：甲的平均数为：， ∴； 乙的平均数为：， ∴， ∵， ∴甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲， 故答案为：甲． 2．（2025·辽宁·中考真题）甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：）的平均数和方差如下表： 运动员 平均数 方差 甲 601 乙 601 则这两名运动员测试成绩更稳定的是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【思路引导】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，成绩越稳定，据此可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴甲的方差小于乙的方差， ∴这两名运动员测试成绩更稳定的是甲， 故答案为：甲． 3．（2025·北京·中考真题）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4  12.4  12.5  12.7  12.8  12.8  12.8  12.8  12.9  12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 (1)表中m的值为_______； (2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； (3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 【答案】(1) (2) (3)乙、丁、甲、丙 【思路引导】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数定义即可求解； （2）根据方差计算公式求解，再比较即可； （3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可． 【规范解答】（1）解：甲的10次测试成绩排列为：， ∴中位数， 故答案为：； （2）解：乙的10次测试成绩平均数为：， ∴方差为： ∴， 故答案为：； （3）解：丙的平均数， ∴丙的平均数最大，则实力最弱， ∵方差， ∴乙实力最强， ∵丁的测试成绩中位数为， ∴第次成绩和为， ∴前5次测试成绩小于平均数， ∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次， ∴丁比甲强， ∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙， 故答案为：乙、丁、甲、丙． 4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 【答案】D 【思路引导】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义（位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数）解答即可． 本题考查数据统计量的变化情况，需逐一分析平均数、方差、众数和中位数在去掉极端值后的变化． 【规范解答】解：原数据去掉最高分10和最低分（其中一个）后，剩余数据为． 原平均数总和为 ，平均数为． 去掉后总和为 ，平均数为 ，则平均数变化，故A选项不符合题意． 方差与每个数据与平均数的差值有关．因平均数改变，所有数据的离差平方和必然变化，方差随之改变，故B选项不符合题意． 原众数为（出现2次）．去掉一个后，剩余数据中所有数均出现1次，众数消失或变为无众数，故众数变化，故C选项不符合题意． 原数据中位数为第4个数即．去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个数的中位数为第3个数（仍为），故中位数不变． 故选： D． 5．（2025·甘肃平凉·中考真题）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n的值：______，______； (2)______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）； (3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以，你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可） 【答案】(1) (2)乙 (3)不对，理由见解析（答案不唯一，合理即可） 【思路引导】本题考查求中位数，众数，利用方差判断稳定形，利用方差作决策，熟练掌握相关数据的计算方法和表示意义，是解题的关键： （1）将乙中数据排序后，第5个和第6个数据的平均数即为中位数，甲中数据出现次数最多的为众数，求出的值即可； （2）根据方差判断稳定性即可； （3）根据方差作决策即可． 【规范解答】（1）解：乙中数据排序后，第5个和第6个数据分别为：和， ∴； 甲中数据出现次数最多的是，故； 故答案为：； （2）由表格可知：甲的方差大于乙的方差， ∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定； 故答案为：乙； （3）小瑜说的不对，理由如下： 两人成绩的平均数相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员参赛． 基础夯实 1．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）在社会实践活动中，同学们对甲、乙、丙、丁四块稻田五年间的水稻亩产量进行调查．四块稻田五年间的平均亩产量均为每亩980斤，方差分别为，，，，那么五年间水稻亩产量最稳定的稻田是（    ） A．甲稻田 B．乙稻田 C．丙稻田 D．丁稻田 【答案】D 【思路引导】本题考查了根据方差判断稳定性． 直接比较方差作答即可． 【规范解答】解：∵， ∴丁稻田产量最稳定， 故选：D 2．（2025·贵州贵阳·一模）甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行20次射击测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【思路引导】本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义即可得出结论． 【规范解答】解： ，，，，且， 丁的方差最小， 成绩最稳定的是丁． 故选：D． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）有甲、乙两段楼梯，楼梯台阶的平均高度都是15cm，且甲的方差大于10，乙的方差小于1，则两段楼梯哪个更适合使用（   ） A．甲楼梯 B．乙楼梯 C．甲、乙楼梯都适合 D．甲、乙楼梯都不适合 【答案】B 【思路引导】本题考查利用方差作决策，根据方差越小，数据越稳定，波动越小，进行判断即可． 【规范解答】解：∵甲、乙两段楼梯，楼梯台阶的平均高度都是15cm，且乙的方差小于甲的方差， ∴乙楼梯更适合使用； 故选B． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）为了迎接运动会，九年级二班举行立定跳远选拔活动，小诚的五次选拔成绩（单位：厘米）如下表： 次数 1 2 3 4 5 平均数 成绩 254 256 255 254 ■ 255 小诚的5次成绩的方差是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了平均数，方差等知识点，解题的关键是熟练掌握方差的公式． 根据平均数的公式先求出第5次的成绩，然后利用方差公式进行求解即可． 【规范解答】解：第5次的成绩为：， ∴方差为： 故答案为：． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）学校篮球队5名场上队员的身高分别为170，173，175，177，180（单位：）．增加一名身高为的成员后，现篮球队成员的身高与原来相比，方差 ．（填“不变”“变大”或“变小”） 【答案】变小 【思路引导】本题主要考查了方差的计算，分别计算出原来的方差和现在的方差即可得到答案． 【规范解答】解：原来的平均身高为， 原来的方差为， 现在的平均身高为， 现在的方差为， ∵， ∴现篮球队成员的身高与原来相比，方差变小， 故答案为：变小． 6．（2023·北京·一模）甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为，方差分别为，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题考查了平均数和方差．根据平均数和方差的计算公式分别进行解答即可． 【规范解答】解：， ， ∴， ， ∴；． 故答案为：； 7．（24-25八年级下·浙江温州·期中）甲、乙、丙三名运动员在次射击训练中，平均成绩都是环，甲的方差为（环2），乙的方差为（环2），丙的方差为（环2），则这三名运动员中次训练成绩最稳定的是 ． （填“甲”或“乙”或“丙”）． 【答案】丙 【思路引导】本题考查了方差，解题的关键是正确理解方差的意义． 比较三名运动员成绩的方差，根据“方差越小，数据的波动越小”，即可选出成绩最稳定的运动员． 【规范解答】解：∵甲的方差为（环2），乙的方差为（环2），丙的方差为（环2） ∴丙的方差甲的方差乙的方差， ∴这三名运动员中次训练成绩最稳定的是丙， 故答案为：丙 ． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某中学举行“庆国庆·校园歌手”比赛，七、八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队进行决赛，两队选出的5名选手成绩如下图所示． (1)根据图示填写下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 ________ 85 ________ 八年级 85 ________ 100 (2)哪个年级的代表队选手成绩较为稳定？为什么？（计算方差说明） 【答案】(1)见解析 (2)七年级的代表队选手成绩较为稳定，理由见解析 【思路引导】（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可； （2）方差越小成绩越稳定，据此分别求出两个年级的方差即可得到结论． 【规范解答】（1）解：由题意得，七年级的平均数为分， ∵七年级5位选手中得分为85分的人数最多， ∴七年级的众数为85分； 把八年级5位选手的得分按照从低到高排列为70分，75分，80分，100分，100分， ∴八年级的中位数为80分； 填表如下； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 85 85 85 八年级 85 80 100 （2）解：七年级的代表队选手成绩较为稳定，理由如下： 七年级的方差为， 八年级的方差为， ∵， ∴七年级的代表队选手成绩较为稳定． 9．（2025·广西南宁·三模）某城市推行“绿色出行”宣传活动，五位评审对甲、乙、丙三位宣传志愿者的表现进行打分，相关得分数据整理如下统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 9 9 a 乙 b 丙 c 8 根据以上信息，完成下列问题： (1)直接写出a，b，c的值， ______， ______， ______； (2)从三位选手中选一位进行表彰，你认为选谁更合适？请选择一个统计量进行说明； (3)如果去掉一个最高分和一个最低分之后乙的中位数记为d，判断d与b的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)；9； (2)选择甲更合适，理由见解析 (3)，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了中位数，方差，平均数，熟知方差，中位数，平均数的计算方法是解题的关键． （1）根据平均数，中位数和方差的定义求解即可； （2）甲平均数和中位数都最大，且方差最小，据此可得结论； （3）根据中位数的定义求出d的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解；由题意得，； 把乙5个得分按照从低到高排列为7分，9分，9分，9分，10分， ∴乙得分的中位数为9分，即； ； （2）解：选择甲更合适，理由如下： 因为甲的平均数，中位数，都是三人中最大的，且方差是三人中最小的， ∴选择甲更合适； （3）解；，理由如下： 去掉一个最高分和一个最低分之后乙3个得分为9分，9分，9分，此时中位数为9分，即，则． 10．（2025·陕西安康·二模）近日，陕西省体育总局发布了2025年体育赛事活动名录，共有88项赛事活动，贯穿全年，涵盖了各级各类人群，做到了“周有活动、月有赛事、季有大赛”，同时也促进体育赛事活动健康有序发展，扩大赛事活动影响．为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园−−探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：，，，，，，，，，； 九年级：，，，，，，，，，． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 8 九年级 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中______，______； (2)A同学说：“我平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； (3)你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由． 【答案】(1)8；9 (2)八 (3)九年级，理由见解析 【思路引导】本题考查了求中位数、求众数、方差的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）根据中位数的定义即可得出结论； （3）两组数据的平均数相同，比较方差的大小即可得出结论． 【规范解答】（1）解：将八年级10名学生的平均每周锻炼时长从小到大顺序排列，中位数为第5位和第6位的平均数， 中位数， 由九年级10名学生的平均每周锻炼时长可得，众数， ，． 故答案为：8；9． （2）解：A同学平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是八年级的学生． 故答案为：八． （3）解：九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由如下： 因为八、九年级的平均数相等，而九年级的方差小于八年级的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好（答案不唯一）． 培优拔高 11．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图是甲、乙两名同学的5次引体向上练习成绩的折线统计图，下列判断正确的是（  ） A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．甲的最好成绩比乙的最好成绩高 C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 【答案】A 【思路引导】本题考查了折线统计图，平均数、中位数与方差．从折线图中得到必要的信息是解决问题的关键．根据统计量的确定方法确定相应的统计量，再判断即可． 【规范解答】解：A、由折线统计图可以看出甲成绩的波动小于乙成绩的波动，即甲的成绩比乙的成绩稳定，故选项A正确，符合题意； B、由折线统计图可以看，甲的最好成绩为9，乙的最好成绩为10， 所以甲的最好成绩比乙的最好成绩低，故选项B不正确，不符合题意； C、甲的成绩的平均数为（个），乙的成绩的平均数为（个） 所以甲的成绩的平均数与乙的成绩的平均数相同，故选项C不正确，不符合题意； D、甲的成绩的中位数与乙的成绩的中位数均为8个，故选项D不正确，不符合题意． 故选：A． 12．（2025·福建漳州·二模）一组数据：2，3，3，5，若添加一个数据5，则不发生变化的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平均数、众数、中位数、方差等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．分别计算原数据的平均数、众数、中位数、方差和添加一个数据5后的平均数、众数、中位数、方差，即可获得答案． 【规范解答】解：一组数据：2，3，3，5， 其平均数为，众数为3， 方差为， 中位数为， 这组数据添加一个数据5后， 平均数为，众数为3和5， 方差为， 中位数为， 所以，不发生变化的统计量是中位数， 所以选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 13．（2025·福建厦门·二模）现有甲、乙、丙、丁四个甜玉米试验品种，农科院计划为某地选出一个品种在该地不同区域推广种植．工作人员在该地不同区域选取了4块土壤条件具有代表性的试验田进行试验，得到各试验田中这四种甜玉米的产量（单位：公顷），统计结果如图所示．根据统计结果，最适合在该地不同区域推广种植的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数据的稳定性判断和平均数作决策，从统计结果可以看出甲和丁在不同的试验田产量不稳定，丙的平均产量高于乙，即可作出判断． 【规范解答】解：从统计结果可以看出甲和丁稳定性不好，丙的平均产量高于乙，故丙的稳定性和产量是最好的， 故选∶C 14．（2023·辽宁锦州·三模）某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是 ． 【答案】乙 【思路引导】本题考查了方差，根据统计图中数据计算出两位同学成绩的方差，即可进行判断． 【规范解答】解：甲同学成绩的平均数为：（分） 甲同学成绩的方差为； 乙同学成绩的平均数为：（分） 乙同学成绩的方差为 由此可得，甲乙同学成绩的平均数相同，乙同学成绩的方差小于甲同学成绩的方差， 所以选择乙参加比赛， 故答案为：乙． 15．（2025·河南平顶山·二模）某市举办的朗诵比赛，由名评委给选手打分（百分制，分数均为整数），比赛结果的评价规则为：平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．下面是名评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分表： 评委 评委 评委 评委 评委 甲 乙 丙 若方差 ，且丙在三位选手中的排序居中，表中的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平均数和方差，先求出甲、乙的平均分，再根据评价规则解得即可求解，理解题意是解题的关键． 【规范解答】解：甲的平均分，方差为， 乙的平均分，方差为， ∵方差，丙在三位选手中的排序居中， ， 解得：， 当时， 丙的平均分，方差为， 此时乙在三位选手中的排序居中，不合题意舍去， 当时， 丙的平均分，方差为， 此时丙在三位选手中的排序居中， 故， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·山西运城·期末）某外贸公司要出口一批规格为的鸡腿，现有甲、乙、丙个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质也很相近，如图是质检员分别从个工厂的产品中抽样调查的只鸡腿的质量、如果只考虑鸡腿的规格，那么外贸公司应该买 厂的鸡腿.（填“甲”或“乙”或“丙”）. 【答案】乙 【思路引导】本题考查了统计图、平均数、方差，平均数反映了数据的集中趋势，方差反映了数据的波动大小；计算三厂家鸡腿质量的平均数及方差进行比较：三个厂家鸡腿的质量从平均数上看乙、丙两个厂家的平均数相同，从方差上看乙厂家的方差小，所以鸡腿的质量波动较小，所以应选乙厂家的鸡腿． 【规范解答】解：从三个厂家的统计图中可以看出： 甲厂家恰好是的只有个，而乙厂家和丙厂家都有个； ， ， ； 甲厂家鸡腿的平均质量是，乙、丙两个厂家的平均质量均为； ， ， ， 从方差可以看出：甲厂家和丙厂家的鸡腿质量的波动较大，乙厂家鸡腿质量的波动较小； 故应选乙厂家的鸡腿． 故答案为： 乙． 17．（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）为了调查某厂生产的一批袋装茶叶的质量是否达标，从这批装装茶叶中抽出袋进行称量，得出与标准质量上下波动的数据如下：，，，，，，，，，．则在这组数据中：平均数为；中位数是；极差是；众数是；方差为，以上说法不正确的是 （只填序号）． 【答案】 【思路引导】本题考查了平均数、中位数、极差、众数、方差等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平均数、中位数、极差、众数、方差的定义逐个判断即可解答． 【规范解答】解：这组数据的平均数为：，故错误； 这组数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， 所以中位数为，故正确； 这组数据的最大值为，最小值为， 所以极差为，故错误； 这组数据出现次数最多的数据为， 所以众数为，故正确； 由知平均数为， 所以方差，故错误； 故答案为：． 18．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 1.88 九年级竞赛成绩 8 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：表中的______，______，______； (2)该校九年级学生共有900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ (3)求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差，并比较八、九年级哪个年级成绩更稳定？ 【答案】(1)，，， (2)108 (3)，九年级更稳定 【思路引导】本题主要考查了折线统计图，中位数、众数、方差，用样本估计总体，熟练掌握中位数、众数、方差的意义是解题的关键． （1）根据众数，中位数和平均数的意义求解即可； （2）用900乘以满分人数所占的百分比，即可； （3）先求出方差，再根据方差越小成绩越稳定进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵九年级得8分的人数14人，人数最多， ∴； 把八年级竞赛成绩按照从低到高的顺序排列处在第25名和第26名的成绩分别为8分，8分， ∴； 八年级平均成绩， 故答案为：8；8；8． （2）解：人， ∴估计满分有108人； （3）解：， ∵， ∴九年级成绩更稳定． 19．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某市农业科学研究所几年前在甲、乙两座山上各栽种了100棵苹果树，成活率是，现已结果成熟．为了分析收成情况，分别从两座山上随机各采摘了4棵树上的苹果，每棵苹果树的产量如图所示． (1)分别计算甲、乙两座山苹果样本的平均数，并估算出甲、乙两座山苹果的产量总和； (2)试通过计算说明哪座山上的苹果产量较稳定． 【答案】(1)40（千克），40（千克），7840（千克） (2)乙山上的苹果产量较稳定 【思路引导】（1）根据算术平均数的计算方法计算即可，用平均数乘以数量后求和即可； （2）计算甲乙的方差，比较大小解答即可． 本题考查了平均数的计算，样本估计总体，方差，熟练掌握计算是解题的关键． 【规范解答】（1）解：（千克），（千克）； 估计甲、乙两座山苹果的产量总和为（千克）． （2）解：， ． ∵， ∴乙山上的苹果产量较稳定． 20．（19-20八年级上·河南平顶山·期末）某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下： 甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9； 甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 b 8 0.4 乙 a 9 c 3.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格是a＝　　，b＝　　，c＝　　．（填数值） （2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是　 ．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是　 ； （3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数　 　，中位数　 ，方差　 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】（1）a、b、c的值分别是8、8、9；（2）甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是9，众数是9，获奖次数较多；（3）不变；变小；变小． 【思路引导】（1）根据平均数，中位数和方差的概念计算即可得出答案； （2）通过对比甲，乙两同学的方差，中位数和众数即可得出答案； （3）首先计算乙同学之后的平均数，中位数和方差，然后与之前的进行比较即可得出答案． 【规范解答】（1）， 因为甲中8共出现3次，次数最多，所以b=8 因为乙的有效次数中按顺序排列后处于中间位置的是9，所以中位数c=9； 故答案为a、b、c的值分别是8、8、9； （2）， ∴甲的方差较小，成绩比较稳定， ∴选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛； ∵乙的中位数是9，众数也是9， ∴获奖可能性较大， ∴根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛； （3）∵原来的平均数是8，增加一次也是8， ∴平均数不变． ∵六次成绩排序为5，7，8，9，9，10， ∴处于中间位置的数为8，9， ∴中位数为 ， ∴中位数变小． 后来的方差为， ∴方差变小． 【考点评析】本题主要考查数据的分析，掌握平均数，中位数，众数和方差的概念是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$