专题2.7 直线与圆的位置关系讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.7 直线与圆的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：判断直线与圆的位置关系】 3 【考点2：由直线与圆的位置关系求参】 4 【考点3：求直线与圆的交点坐标或弦长】 5 【考点4：中点弦】 6 【考点5：已知弦长求方程或参数】 7 【考点6：过圆上一点的切线方程】 8 【考点7：过圆外一点的切线方程】 9 【考点8：切线长】 11 【考点9：切点弦及其方程】 12 【考点10：已知切线求参】 13 【考点11：直线与圆位置关系中的最值问题】 14 【考点12：直线与圆位置关系中的定点定值问题】 16 【考点13：直线与圆的实际应用】 19 【知识梳理】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 2．自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 3．求过圆上的一点的圆的切线方程 (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 4. 求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 5．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 6．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 7．直线与圆的方程的应用 (1)解决实际问题的步骤： ①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据； ②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程； ③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解； ④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释. (2)建系原则 建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则： ①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可 以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴. ②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上. 【考点1：判断直线与圆的位置关系】 1．（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 2．（24-25高二上·全国·单元测试）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 3．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 4．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 5．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 6．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 【考点2：由直线与圆的位置关系求参】 1．（24-25高二下·福建厦门·期末）若轴与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·单元测试）若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【考点3：求直线与圆的交点坐标或弦长】 1．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 2．（2025·江西南昌·一模）直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河南南阳·期末）直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．（22-23高二上·安徽·期中）直线：与圆相交、两点，则 ． 5．经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 . 6．（24-25高二上·天津·期中）已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【考点4：中点弦】 1．（24-25高二下·云南·阶段练习）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 2．若是圆的弦,的中点是,则直线的方程是 A． B． C． D． 3．若圆的弦MN的中点为，则直线MN的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三下·四川成都·专题练习）已知直线与⊙交于两点，设弦的中点为M，则取值范围为 ． 5．（24-25高二下·浙江·期中）已知点，直线被圆所截得弦的中点为N，则的最大值是 . 6．（24-25高二下·上海浦东新·期中）过圆外一点任意作一条割线交圆于、两点. (1)若割线的方程为，求的值； (2)求弦的中点的轨迹. 【考点5：已知弦长求方程或参数】 1．（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高二下·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江西·模拟预测）直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则 . 4．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 5．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知点，动点满足，过点的直线与动点的轨迹相交于两点，若，则直线的方程为 . 6．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【考点6：过圆上一点的切线方程】 1．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知点和点是圆直径的两个端点． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，点，且直线l经过点P. (1)若l与C相切，求l的方程； (2)若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 【考点7：过圆外一点的切线方程】 1．（24-25高二上·河北廊坊·期末）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（    ） A． B． C．±3 D． 2．（多选）（24-25高二上·广东中山·期中）过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 3．（多选）（2025·河北邯郸·一模）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）已知圆，直线. (1)判断直线与圆C的位置关系； (2)求该圆过点的切线方程. 5．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知点，. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若点关于的对称点为点，过作圆的切线，求切线的方程. 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 【考点8：切线长】 1．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 3．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切于点，则光线从点到点所经过的路程的长度为（    ） A． B． C． D．3 4．（2024高三·全国·专题练习）经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025高二·全国·专题练习）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【考点9：切点弦及其方程】 1．（24-25高二上·重庆·期末）过坐标原点O作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4的两条切线，切点为A，B．直线AB被圆截得弦AB的长度为（  　　） A． B． C． D． 2．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·河南南阳·期末）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 4．（24-25高二上·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ． 5．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点为，则劣弧长 . 6．已知圆外一点,过点作圆的切线，，其中是切点. （1）求，所在的直线方程； （2）求，的值； （3）求直线的方程. 【考点10：已知切线求参】 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 2．若圆与直线只有一个公共点，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2025·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·福建福州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南京·二模）若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为 . 6．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆，，为坐标原点. (1)若在圆内，求实数的取值范围； (2)若直线与圆相切，求实数的值， 【考点11：直线与圆位置关系中的最值问题】 1．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二上·全国·专题练习）过点引直线与曲线相交于A，B两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆，下列说法正确的是（    ） A．圆心为 B．圆与轴、轴都相切 C．过点的直线被圆截得的最短弦长为 D．的最大值为 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为 ． 5．（24-25高二上·全国·单元测试）已知P是圆上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的外接圆面积的最大值为 ． 6．（24-25高二上·全国·单元测试）已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 7．（24-25高二上·全国·单元测试）已知点是圆上任意一点． (1)求点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 【考点12：直线与圆位置关系中的定点定值问题】 1．（2025·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 2．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 3．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）已知圆和点． (1)过作圆的切线，求切线的方程； (2)过作直线l交圆于点两个不同的点，且不过圆心，再过点分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在一条定直线上，并求出该直线的方程． 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. (1)过点的直线截所得弦长为，求的方程； (2)若点为上异于，的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 5．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于点B，D，求的面积的取值范围； (3)若直线过点，且与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为与：的交点为，求证：为定值． 6．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知圆，圆过轴上的定点，线段是圆在轴上截得的弦. (1)求定点的坐标； (2)证明：不论取何实数，弦的长为定值1； (3)设，，求的取值范围. 【考点13：直线与圆的实际应用】 1．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 2．（24-25高一上·云南红河·期末）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯去锯这木材，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有一类似问题：一圆柱形木材，有一部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深寸，锯道尺，则该木材埋在墙壁中的截面面积约为（    ）（注：，尺寸） A．30平方寸 B．40平方寸 C．50平方寸 D．60平方寸 3．（24-25高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    4．（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 6．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 直线与圆的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：判断直线与圆的位置关系】 3 【考点2：由直线与圆的位置关系求参】 6 【考点3：求直线与圆的交点坐标或弦长】 9 【考点4：中点弦】 11 【考点5：已知弦长求方程或参数】 15 【考点6：过圆上一点的切线方程】 18 【考点7：过圆外一点的切线方程】 21 【考点8：切线长】 25 【考点9：切点弦及其方程】 28 【考点10：已知切线求参】 32 【考点11：直线与圆位置关系中的最值问题】 35 【考点12：直线与圆位置关系中的定点定值问题】 41 【考点13：直线与圆的实际应用】 49 【知识梳理】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 2．自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 3．求过圆上的一点的圆的切线方程 (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 4. 求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 5．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 6．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 7．直线与圆的方程的应用 (1)解决实际问题的步骤： ①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据； ②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程； ③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解； ④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释. (2)建系原则 建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则： ①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可 以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴. ②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上. 【考点1：判断直线与圆的位置关系】 1．（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离与半径之间的大小关系，判断直线和圆的位置关系. 【详解】已知圆：，则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，即直线经过圆心. 故选：C. 2．（24-25高二上·全国·单元测试）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 【答案】C 【分析】先计算圆心到直线的距离，通过比较圆心到直线的距离和圆半径的大小关系，若距离等于半径则相切，小于半径则相交，大于则相离，同时，若圆心坐标满足直线方程，则直线过圆心. 【详解】圆的圆心为， 圆心到直线的距离为：，      所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心． 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】化简直线方程可得直线过定点，点在圆上，进而即得. 【详解】由可得， 直线的方程整理为， 则直线恒过点，又点在圆上， 故直线与圆相交或相切． 故选：D 4．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离， 故直线与圆C相离． 故选：C. 5．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【分析】根据直线过定点，且点在圆内，可得直线与圆相交，即可得解. 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线过点， 又， 则点在圆内， 所以直线与圆相交，有个公共点， 故选：C. 6．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 【答案】BC 【分析】根据点与圆的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项． 【详解】由圆，得圆心，半径． 对于A，若在圆上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故A错误． 对于B，若在圆内，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故B正确． 对于C，若在圆外，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确． 对于D，若在直线上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故D错误． 故选：BC. 【考点2：由直线与圆的位置关系求参】 1．（24-25高二下·福建厦门·期末）若轴与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与圆相切可得出的值. 【详解】圆心到轴的距离为，且轴与圆相切，所以， 故选：A． 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 3．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， 由直线与圆、圆都相切，则，解得. 故选：C 4．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：由圆心在直线上得，可得，结合二次函数性质求范围；法二：由圆心在直线上得，应用基本不等式得，即可得范围. 【详解】法一：由题设，故圆心， 因为圆心在直线上，所以，即， 因为， 所以当时，有最大值，即的取值范围为； 法二：因为圆心在直线上，所以，即， 又因为，当且仅当，即时取等号. 故选：B 5．（24-25高二上·全国·单元测试）若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为3，将问题转化为圆心到直线的距离小于3即可． 【详解】圆， 故圆心为，半径为6． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3， 则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即， 解得， 故选：C． 6．（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 【考点3：求直线与圆的交点坐标或弦长】 1．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由几何法求出弦长，再由面积公式计算． 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 所以， 故选：A． 2．（2025·江西南昌·一模）直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线方程与圆的方程联立，求出，利用两点之间的距离公式即可求得结果. 【详解】 设，联立，消去y整理得：， 解得，故， 利用两点之间的距离得， 故选：C 3．（24-25高三上·河南南阳·期末）直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】直线与圆方程联立，求出点坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算，可求. 【详解】联立解得：，， 所以. 故选：D 4．（22-23高二上·安徽·期中）直线：与圆相交、两点，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，联立方程求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算作答. 【详解】由解得或，不妨令， 所以. 故答案为： 5．经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出的值，即可确定所求圆的方程. 【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为： ∵所求圆过点 ∴ 解得 所以圆的方程为，化简得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键. 6．（24-25高二上·天津·期中）已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. 【详解】（1）由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； （2）圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 【考点4：中点弦】 1．（24-25高二下·云南·阶段练习）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，由垂径定理得到，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程. 【详解】由题意知直线的斜率存在，且 ∴， ∵，∴， 直线的方程为，即， 故选：C. 2．若是圆的弦,的中点是,则直线的方程是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：先根据中点与圆心连线垂直PQ得斜率，再根据点斜式得方程. 详解：因为的中点与圆心连线垂直PQ，所以, 所以直线的方程是, 选B. 点睛：本题考查圆中弦中点性质，考查基本求解能力. 3．若圆的弦MN的中点为，则直线MN的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，则可求得斜率，进而求得直线方程. 【详解】由圆方程可知圆心，则，由题可知，所以，又MN过点，根据点斜式公式可知直线MN的方程是. 故选：B. 4．（2024高三下·四川成都·专题练习）已知直线与⊙交于两点，设弦的中点为M，则取值范围为 ． 【答案】 【分析】易知直线l过定点，且点P在圆C内，结合MP垂直于MC，可得动点M的轨迹方程为，由此容易得出的范围． 【详解】将圆C的方程为化为标准方程为，则圆心为， 直线，易知直线恒过定点 又,所以点在圆内，如下图所示： 由于MP垂直于MC，则点M的轨迹为以CP为直径的圆， 所以动点M的轨迹方程为， 圆的圆心为， 又，， 可得， 即的取值范围为． 故答案为：． 5．（24-25高二下·浙江·期中）已知点，直线被圆所截得弦的中点为N，则的最大值是 . 【答案】 【分析】先确定点的轨迹为圆，再根据圆外一点到圆上的点的距离的最值的求法确定的最大值. 【详解】如图： 因为直线过点， 设直线与圆相交于两点，为中点，则. 当点重合时，在中，为中点，所以. 所以弦的中点在以为圆心，1为半径的圆上，易知点也在该圆上. 所以. 故答案为： 6．（24-25高二下·上海浦东新·期中）过圆外一点任意作一条割线交圆于、两点. (1)若割线的方程为，求的值； (2)求弦的中点的轨迹. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得的值； （2）设点，由化简可得出点的轨迹方程，结合实际条件可得出点的轨迹. 【详解】（1）圆的圆心为原点，半径为， 圆心到直线的距离为，所以. （2）设点，当直线不过原点时，连接，则， 且，， 由题意可得，化简得， 当直线过原点时，点与点重合，此时点的坐标也满足方程， 所以点的轨迹是点为圆心，半径为，且位于圆内的一段弧. 【考点5：已知弦长求方程或参数】 1．（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【详解】因为圆，所以圆心为，半径为. 设圆心到直线距离为：. 因为直线与圆截得的弦长为. 所以. 解得：. 故选：. 2．（24-25高二下·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程可得圆的半径，利用三角形面积计算，求得圆心到直线的距离，可得答案. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得. 故选：C． 3．（2025·江西·模拟预测）直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则 . 【答案】 【分析】根据垂径定理可求弦心距，故可求参数的值. 【详解】由，得， 知点到直线的距离为， 所以，得. 故答案为：. 4．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 5．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知点，动点满足，过点的直线与动点的轨迹相交于两点，若，则直线的方程为 . 【答案】或. 【分析】首先利用两点距离公式求出 动点的轨迹，然后根据弦长和半径求出圆心到直线的距离，最后根据点到直线距离公式求出直线的方程. 【详解】设，因为，所以 ，化简得. 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆. 因为弦长，所以圆心到直线的距离. 设直线的方程为，即. 所以圆心到直线的距离为， 解得，所以直线的方程为或. 即或. 故答案为：或. 6．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 【考点6：过圆上一点的切线方程】 1．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程. 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 2．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先求得半径，然后根据点斜式求得切线方程. 【详解】由于点在圆上， 所以，所以圆， 所以圆心，， 所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为， 化简得. 故答案为： 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得则，得到切线的斜率为，且，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，则， 则过点的圆的切线的斜率为，且 所以过点的圆的切线的切线方程为， 即，即. 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 【答案】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知点和点是圆直径的两个端点． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标公式得出圆心，应用两点间距离得出半径，进而得出圆的方程； （2）先应用斜率乘积为得出斜率，再点斜式得出切线方程. 【详解】（1）由题意可得的中点， ∴圆心，故半径， ∴圆的标准方程为． （2）∵为圆的切线，∴，则， ∵，∴， ∴过点的切线方程为，即切线的方程为． 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，点，且直线l经过点P. (1)若l与C相切，求l的方程； (2)若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径得到方程，求出直线方程； （2）写出直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，即可求出弦长. 【详解】（1）的圆心为，半径为5， 过的直线斜率不存在时，直线为， 此时到直线的距离为，故与圆相交，不合题意， 过的直线斜率存在时，设为，即， 由题意得，解得， 此时直线l的方程为，即， 综上，直线l的方程为； （2）l的倾斜角为，故斜率为， 故直线l的方程为，即， 圆心到直线的距离， 故l被圆C截得的弦长为. 【考点7：过圆外一点的切线方程】 1．（24-25高二上·河北廊坊·期末）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（    ） A． B． C．±3 D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，结合光的反射定律求出过作圆的切线斜率即可. 【详解】依题意，点关于直线的对称点，由光的反射定律知，反射光线必过点， 而圆：的圆心，半径1， 显然过点的圆的切线斜率存在，设切线方程为，即， 由，得，所以. 故选：A 2．（多选）（24-25高二上·广东中山·期中）过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 【答案】CD 【分析】根据题意，分直线的斜率存在以及不存在讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】圆，圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 直线与圆相切； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离等于半径，即，解得； 综上所述，直线的斜率为或者不存在. 故选：CD 3．（多选）（2025·河北邯郸·一模）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出圆的圆心和半径，再按直线的斜率是否存在分类，结合圆的切线性质求解. 【详解】圆的圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为1，不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切得：，解得或， 所以直线的方程为：或. 故选：AC 4．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）已知圆，直线. (1)判断直线与圆C的位置关系； (2)求该圆过点的切线方程. 【答案】(1)相交 (2)和 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【详解】（1）圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. （2）若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 5．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知点，. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若点关于的对称点为点，过作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由已知点求得线段中点与直线斜率，根据直线垂直可得中垂线斜率，可得答案. （2）由配方法整理圆的一般方程，可得圆心与半径，由题意求得对称点，分斜率存在与不存在两种情况，设出直线方程，利用切线的性质及点线距离公式，可得答案. 【详解】（1）由题意可知的中点为， 直线的斜率，所以的中垂线的斜率为， 所以的垂直平分线的方程为， 化简得. （2）依题意，圆，则圆心，半径， 设点关于的对称点为， 则线段的中点，直线的斜率， 可得，解得，则点， 若直线的斜率不存在，即直线的方程为，此时直线与圆相切，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 故圆心到直线的距离，解得， 此时直线的方程为，即 综上所述，直线的方程为或. 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 【考点8：切线长】 1．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】求出圆的圆心坐标和半径，求出，根据勾股定理求出. 【详解】圆心，半径， ， 由勾股定理得. 故选：B. 2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆切线的性质及已知求得，再由二倍角正切公式求值. 【详解】化为，圆心为，半径为2 所以点到圆心的距离为，则切线长为， 所以，则. 故选：D 3．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切于点，则光线从点到点所经过的路程的长度为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】设点关于x轴的对称点为，然后利用圆的性质可求即可. 【详解】∵圆， ∴圆心，半径为1， 设点关于x轴的对称点为，则， ∴， 所以光线从P点到Q点所经过的路程的长度为. 故选：B. 4．（2024高三·全国·专题练习）经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点为，由圆的几何性质可得，则切线长为，求出的最小值，结合勾股定理可得出切线长的最小值. 【详解】直线上任取一点作圆的切线， 设切点为，由圆，得，圆心，半径为， 由圆的几何性质可得，所以切线长为． 当与直线垂直时，取最小值， 因为，所以切线长的最小值为. 故选：A. 5．（2025高二·全国·专题练习）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分斜率存在或不存在两种情况，若存在，设直线的方程，利用计算即可； （2）在中利用勾股定理即可. 【详解】（1）圆的方程可化为， 则圆的圆心为，半径， ①当直线的斜率不存在，则直线方程为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，可设直线的方程是，即， 由圆心到直线l的距离，解得， 此时直线的方程是， 综上，直线的方程是或. （2）由（1）得直线的方程是， 则, 所以. 【考点9：切点弦及其方程】 1．（24-25高二上·重庆·期末）过坐标原点O作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4的两条切线，切点为A，B．直线AB被圆截得弦AB的长度为（  　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图像,再根据垂径定理分别求得的长度即可. 【详解】如图所示,易得,故 . 故选：B 2．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的圆心，求出以为直径的圆的方程为，把圆与圆相减，得直线AB的方程． 【详解】设坐标原点为，以为直径的圆的方程为，即， 把圆与圆相减，得：， 直线经过两圆的交点，即切点. 所以直线即为圆与圆的公共弦所在的直线， AB方程为:. 故选：B. 3．（22-23高二下·河南南阳·期末）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】 根据题意可得为等边三角形，可得结果. 【详解】圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为1，    由题意知，,,,, 所以,所以. 所以,且, 所以为等边三角形， 所以. 故选:C． 4．（24-25高二上·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ． 【答案】 【分析】利用切线长公式求出切线长度；求出以为直径的圆的方程，两圆相减得到AB直线方程 【详解】圆，则圆心，半径， 在中，，， ，． 以为直径的圆的方程，即以为圆心， 以为半径的圆的方程为：， 又圆，两圆方程相减可得． 故答案为：； 5．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点为，则劣弧长 . 【答案】 【分析】首先转换圆C的标准方程，再结合题意进行计算即可. 【详解】 易知圆C的标准方程为：，且设切线为， 则必有，解得，, ，故劣弧长. 故答案为：. 6．已知圆外一点,过点作圆的切线，，其中是切点. （1）求，所在的直线方程； （2）求，的值； （3）求直线的方程. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】（1）求出圆心和半径，这样可以判断切线斜率一定存在，设出切线的点斜式方程，利用圆心到切线的距离等于半径，得到方程，解方程求出斜率，写出切线方程； （2）利用两点间距离公式，可以求出的长度，再利用切线的性质和勾股定理，可以求出，的值； （3）切线方程与圆方程联立，求出切线与圆的交点坐标，利用两点式求出直线方程. 【详解】（1)由圆心,点及半径知，切线斜率一定存在.设切线方程为，即. ∵圆心到切线的距离等于半径，∴， 即,解得或.故切线方程为或,即所在的直线方程分别为，. (2)∵，∴. (3)由解得 ∴. 由解得 ∴. 故直线的方程为，即. 【点睛】本题考查了圆的切线方程、圆的切线长，以及圆切点直线方程，考查了数学运算能力，抓住平面几何图形的性质是解题的关键. 【考点10：已知切线求参】 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】圆的方程化为标准式并确定圆心和半径，根据直线与圆相切及点线距离公式列方程求参数. 【详解】由，则， 所以圆心，半径，， 由题设，则. 故选：A. 2．若圆与直线只有一个公共点，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件可知直线是已知圆的切线，由点到直线距离公式求解即得. 【详解】因圆与直线只有一个公共点， 则直线与圆切线，圆心到该直线距离为半径1， 即，而，则有， 所以的值为2. 故选：C 3．（2025·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得圆心到直线l的距离，解该不等式即可得解. 【详解】因为圆的半径为， 且过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且， 所以圆心到直线l的距离，解得或， 故实数的取值范围是. 故选：D 4．（24-25高三上·福建福州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识即可求出点的坐标. 【详解】由圆的圆心为， 由图知，当直线关于直线对称时，与直线垂直. (理由：设直线切圆于点，易得平分， 又直线关于直线对称，故直线平分的邻补角，故可得) 故直线的方程为，即， 由解得：，即点的坐标为. 故选：B. 5．（2025·江苏南京·二模）若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为 . 【答案】 【分析】求出过点且与直线垂直的直线方程，再令求出，即可得解. 【详解】设过点且与直线垂直的直线为， 则，解得， 所以，即圆心在直线，又圆心在轴上， 令，可得，所以圆心坐标为. 故答案为： 6．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆，，为坐标原点. (1)若在圆内，求实数的取值范围； (2)若直线与圆相切，求实数的值， 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用点与圆的位置关系列式求解. （2）求出直线的方程，利用切线性质，结合点到直线距离公式计算得解. 【详解】（1）圆，则， 由在圆内，得，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，圆的圆心，半径， 直线方程为：，即，由直线与圆相切，得，解得， 所以实数的值为. 【考点11：直线与圆位置关系中的最值问题】 1．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以， 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：， 整理得： 故选：B 2．（2025高二上·全国·专题练习）过点引直线与曲线相交于A，B两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】面积取最大值时，，圆心到直线的距离为1，由此能求出直线的斜率． 【详解】由，得，则，即， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的半圆，如图．    则当面积取最大值时，，半圆的圆心为，半径， 所以，，所以圆心到直线的距离为． 设直线的斜率为，则直线的方程为， 圆心到直线的距离，解得， 因为，所以． 故选：A. 3．（多选）（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆，下列说法正确的是（    ） A．圆心为 B．圆与轴、轴都相切 C．过点的直线被圆截得的最短弦长为 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】将圆的方程化成标准方程得圆心坐标可判断A；再根据直线与圆的位置关系判断B；先求得圆心到直线的距离的最大值，再用求得最短弦长即可判断C；令，由直线与圆有公共点求得的范围即可判断D. 【详解】列表解析｜直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 由，得，圆心为． B √ 因为圆的半径为2，圆心为，所以圆与轴、轴都相切． C √ 因为，所以点在圆内．设圆心到过点的直线的距离为，则，而被截得的弦长为，则弦长最短为. D × 令，则直线与圆有公共点，所以，解得，所以的最大值为． 故选：ABC. 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】先判断直线AB与圆相离，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径的和求解即可. 【详解】由得直线AB的方程为，即． 圆化为标准形式为， 圆心的坐标为，半径， 则圆心到直线AB的距离， 所以直线AB与圆相离， 所以点到直线AB的距离的最大值为． 故答案为： 5．（24-25高二上·全国·单元测试）已知P是圆上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的外接圆面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，确定两圆心与半径及位置关系作出图像，由相切可知PC为四边形PACB的外接圆的直径，然后求出PC得最大值即可求解. 【详解】如图，圆C：，即圆，则圆心． 圆，即圆，设圆心为D，半径为r， 则，．因为P是圆上一动点， 所以． 因为PA，PB分别切圆C于点A，B，所以PC为四边形PACB的外接圆的直径， 所以四边形PACB的外接圆的面积的最大值为． 故答案为：. 6．（24-25高二上·全国·单元测试）已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆，表示该圆上的点与原点的连线的斜率，表示圆上的点到直线的距离，从而由直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】方法一  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆． 设，则直线与圆有公共点（将所求问题转化为直线与圆有公共点进行求解是解题的关键）， 所以，解得，所以的最大值为． 表示圆上的点到直线的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以，即． 方法二  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆， 所以可以看作是圆：上一点与原点连线的斜率， 如图所示，OA，OB与圆分别相切于A，B，所以，连接MA，OM， 所以，所以， 所以圆上一点与原点连线的斜率的最大值为．设 所以 且， 所以．    故答案为：，. 7．（24-25高二上·全国·单元测试）已知点是圆上任意一点． (1)求点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为． 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，数形结合，进而求点到直线距离的最大值和最小值； （2）方法一：设，转化为直线与圆有公共点；方法二：利用三角换元求最值． 【详解】（1）由题意，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为． 点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）方法一：设，则直线与圆有公共点， ，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 方法二：设，则， 其中，解得， 即的最大值为，最小值为． 【考点12：直线与圆位置关系中的定点定值问题】 1．（2025·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且定值为 【分析】（1）先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可； （2）设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可. 【详解】（1）依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 2．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)13 【分析】（1）由直线系方程求出定点，再由圆心到直线的距离求出半径即可得解； （2）设过点的直线方程，代入圆的方程，利用韦达定理及弦长公式 即可得解. 【详解】（1）由可得， 当时，解得， 故直线恒过定点， 所以圆心到切线的距离， 即圆的半径为2, 所以圆的方程为：， 故圆的一般方程为 （2）点到圆心的距离，故点在圆外， 如图， 过点的直线与圆相交时斜率存在，故设过点的直线方程为， 代入圆的方程可得， 当时， 设，， 则， 所以 . 即为定值13. 3．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）已知圆和点． (1)过作圆的切线，求切线的方程； (2)过作直线l交圆于点两个不同的点，且不过圆心，再过点分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在一条定直线上，并求出该直线的方程． 【答案】(1)和； (2)证明见解析，. 【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况求切线方程即可； （2）设，，，根据，得到，再结合，得到，同理得到，即可得到直线的方程为，再根据在上，即可得到点的轨迹方程； 【详解】（1）当斜率不存在时，显然与圆相切； 当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， ∴，解得，则，整理得 综上，切线方程为和． （2）设，，，，， ∴由，则，即，又，故, 同理，∴直线为，又在上， ∴，故恒在直线上． 【点睛】关键点点睛：（1）过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况； （2）求动点轨迹时，主要是要利用题目中的条件取列等式，然后利用等式去导出动点横纵坐标的关系； （3）存在，使为定值，关键在于对任意点都要满足，也就是等式的成立跟，的值无关，将等式整理成关于，的等式，让，的系数等于零，同时保证等式成立，解方程，有解则存在，无解则不存在． 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. (1)过点的直线截所得弦长为，求的方程； (2)若点为上异于，的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 【答案】(1)或. (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，然后结合圆的弦长公式代入计算，即可得到结果； （2）分别由直线的方程得到点的坐标，代入计算，即可证明. 【详解】（1）根据垂径定理可得圆心到直线的距离. ①当斜率不存在时，直线的方程为：， 直线截所得弦长，符合题意： ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为，解得. 综上所述，直线的方程为或. （2）根据题意，，，设（且），则， 直线方程是，令，得， 直线方程是，令，得， 所以 ， 即为定值. 5．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于点B，D，求的面积的取值范围； (3)若直线过点，且与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为与：的交点为，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出圆心坐标，借助两点间距离公式求出圆心和半径即可得圆的方程； （2）按直线的斜率存在与否分类，借助点到直线的距离公式求解即可. （3）设出直线的方程，求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算即得. 【详解】（1）设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆上， 得，即， 解得，即，圆的半径， 所以圆的方程为． （2）设圆心到直线的距离为， 则， 因为直线与圆交于两点，所以． 所以， 由于，则，因此， 所以的面积的取值范围为． （3）当斜率不存在时，于圆C相切，不合题意； 如图，直线的斜率必定存在，且不为0， 设其方程为，即， 由，解得，即． 因为为PQ的中点，所以直线CM与垂直，则直线CM的方程为， 由，解得，即． 因此， 所以为定值． 6．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知圆，圆过轴上的定点，线段是圆在轴上截得的弦. (1)求定点的坐标； (2)证明：不论取何实数，弦的长为定值1； (3)设，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将代入圆方程，得到关于的二次方程，由该方程对恒成立列式求解即可； （2）根据圆方程求出圆心和半径，利用弦长公式证明即可； （3）令求出点坐标进而得到，在中利用余弦定理求出，利用面积公式求出，根据的范围和基本不等式求出范围即可. 【详解】（1）圆过轴上的定点， 将代入圆得， 整理为关于的二次方程得， 因为该方程对恒成立，所以，解得， 所以定点的坐标为. （2）将圆化为标准方程得， 所以该圆圆心为，半径为， 所以由弦长公式可得， 所以不论取何实数，弦的长为定值1. （3）在圆方程中令可得， 解得或，不妨令，， 又由（1）可知的坐标为，所以，， 由基本不等式可知，当且仅当即时等号成立， 在中由余弦定理可得，所以， 因为，所以， 因为，又， 所以， 所以的取值范围为. 【考点13：直线与圆的实际应用】 1．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米）， 故选：C. 2．（24-25高一上·云南红河·期末）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯去锯这木材，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有一类似问题：一圆柱形木材，有一部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深寸，锯道尺，则该木材埋在墙壁中的截面面积约为（    ）（注：，尺寸） A．30平方寸 B．40平方寸 C．50平方寸 D．60平方寸 【答案】C 【分析】设该圆的半径为，根据圆的性质可知垂直平分弦，且，在中根据勾股定理求出半径，进而可得，再利用扇形面积公式和三角形面积公式即可求解. 【详解】设该圆的半径为，则， 因为，解得. 又因为，所以， 所以扇形的面积， 三角形的面积， 所以阴影部分面积为， 故该木材埋在墙壁中的截面面积约为50平方寸. 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    【答案】0.65 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【详解】    以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为 ，              设圆拱所在的圆的方程是， 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得，                         故圆拱所在的圆的方程是，                       将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为0.65m． 故答案为：0.65 4．（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)不会有触礁危险，理由见解析 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【详解】（1） （2）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 6．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 【答案】；4 【分析】根据题意建立数学模型，即台风中心到达点时开始受影响，计算出直线与圆相交的弦长，利用对称性得到，再计算开始影响时间即可. 【详解】以气象台A为原点建立直角坐标系， 则台风中心移动的轨迹在直线上， 距离气象台150km的轨迹为， 则台风中心经过图中弦时，气象台会受到影响， 又原点到直线的距离，所以弦， 即， 设经过时间后开始影响，持续时间为 则，， 所以气象台所在地大约小时后受到影响，持续时间为4小时. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$