专题05 对称、圆与相似三角形（5大考点）（广东专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题05 对称、圆与相似三角形 考点01 轴对称与对称中心 1．（2023·广东深圳·中考真题）下列图形中，为轴对称的图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，轴对称图形概念，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形． 2．（2023·广东·中考真题）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（   ） A． B．   C．   D．   【答案】A 【详解】解：符合轴对称图形的只有A选项，而B、C、D选项找不到一条直线能使直线两旁部分能够完全重合； 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 3．（2024·广东·中考真题）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 考点02 圆心角与圆周角 4．（2023·广东广州·中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 【答案】D 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 5．（2023·广东·中考真题）如图，是的直径，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 6．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 7．（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作点关于的对称点，连接，记交于点，如图所示： ∴ ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 故选：B． 8．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则 °．    【答案】35 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴； 故答案为35． 【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 考点03 扇形面积 9．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵O为中点， ∴， ∵， 在中，， ∴， 同理， ∴， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 考点04 圆的切线问题 11．（2023·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，，所在圆的圆心为．将向右平移个单位，得到（点平移后的对应点为）．    (1)点的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________； (2)在图中画出，并连接，； (3)求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【详解】（1）∵，所在圆的圆心为， ∴，所在圆的圆心坐标是． 故答案为：，． （2）如图所示：即为所求； （3）∵，， ∴的半径为， ∴， ∵将向右平移个单位，得到， ∴，， ∴由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长． 故答案为：． 12．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点A作切线，且（点C在A的上方）； ②连接，交于点D； ③连接，与交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求的长度． 【答案】(1)画图见解析，证明见解析 (2) 【详解】（1）如图所示， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点D在上， ∴为的切线； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴解得． 【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 13．（2024·广东·中考真题）如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解：如图1，即为所作；    （2）证明：如图2，作于，    ∵是的平分线，，， ∴， ∵是半径，， ∴与相切． 14．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （2）由（1）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 15．（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】(1)见解析 (2)①30°；② (3)见解析 【详解】（1）解：， 四边形为平行四边形， 又，且为中点 ， 平行四边形为菱形． （2）①四边形为菱形． ， ， 又， ， ， 切于， ， ； ； ②设半径为， ， ， ，， ； 解得：； （3）由题意，作图如下： 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，切线的性质，解直角三角形，尺规作平行线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 16．（2025·广东·中考真题）如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分． 【答案】证明见解析 【详解】证明：连接， ∵与边相切于点， ∴，即， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴平分． 考点05 相似问题 17．（2023·广东·中考真题）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（   ） A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数 【答案】A 【详解】解：0.618为黄金分割比，所以优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数； 故选A． 【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键． 18．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，点，分别在，上，，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为：． 19．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 20．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵正方形沿折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D. 21．（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 【答案】/ 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 22．（2023·广东·中考真题）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】15 【详解】解：如图，    由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为15． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是 ；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵过点可以引的两条切线，， ∴点在外， ∴， ∵，是的两条切线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，的半径为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，切线长定理，勾股定理，求函数解析式，等角对等边，平行线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 24．（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为 ． 【答案】6 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 为所对的圆周角，所对的圆心角为， ， 将线段绕点顺时针旋转至， ， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， 点为中点， ， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查矩形的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 25．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 26．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【详解】（1）解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 27．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 对称、圆与相似三角形 考点01 轴对称与对称中心 1．（2023·广东深圳·中考真题）下列图形中，为轴对称的图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2023·广东·中考真题）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（   ） A． B．   C．   D．   3．（2024·广东·中考真题）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 考点02 圆心角与圆周角 4．（2023·广东广州·中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 5．（2023·广东·中考真题）如图，是的直径，，则（   ）    A． B． C． D． 6．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 7．（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则 °．    考点03 扇形面积 9．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为 ． 考点04 圆的切线问题 11．（2023·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，，所在圆的圆心为．将向右平移个单位，得到（点平移后的对应点为）．    (1)点的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________； (2)在图中画出，并连接，； (3)求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）． 12．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点A作切线，且（点C在A的上方）； ②连接，交于点D； ③连接，与交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求的长度． 13．（2024·广东·中考真题）如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 14．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 15．（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 16．（2025·广东·中考真题）如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分． 考点05 相似问题 17．（2023·广东·中考真题）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（   ） A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数 18．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，点，分别在，上，，若，则 ． 19．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 22．（2023·广东·中考真题）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．    23．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是 ；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为 ． 24．（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为 ． 25．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 26．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 27．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$