第2章 对称图形-圆（章节复习检测中等卷）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册优选题练习卷

2025-2026学年苏科版数学九年级上册章节复习检测中等卷 第2章 对称图形-圆 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，，分别为的半径，点在圆上，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以C为圆心，为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东江门·期末）若圆锥的底面半径长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 7．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，点A，B，C在上，，，则（   ）． A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，是以线段为直径的上两点（位于两侧），，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，中，内切圆I和边分别相切于点D、E、F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，⊙上三点、、，，，则长为（    ） A． B．6 C．8 D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，是的直径，若，则的度数等于 ． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 13．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，的直径，，则CD的长度为 ． 14．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为 . 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是的切线，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 16．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知，矩形中，，，点E是线段上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取的中点H，连接，．点E在运动过程中，下列结论： ①；②当点H和点G互相重合时，；③平分；④． 正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 17．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，将半径的半圆绕点按顺时针方向旋转，此时点到了点，则图中涂色部分的面积为 ． 18．（24-25九年级上·甘肃临夏·阶段练习）如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图1，A、B是上两点，C是的中点，，的半径为4． (1)①求证：四边形是菱形； ②图中的阴影部分面积为________； (2) 如图2，点P是线段上动点，以为半径作小圆，连接，当P运动到什么位置时，是小圆的切线，并说明理由； 20．（本题6分）（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点 (1)求证：； (2)若 ，的度数为，求的度数． 21．（本题8分）（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，是的两条弦，，垂足分别为E，F．比较和的大小，并证明你的结论． 22．（本题8分）（22-23九年级上·福建莆田·期末）如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． 23．（本题8分）（2025·山东临沂·一模）如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求的长． 24．（本题8分）（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）如图，为的直径，点C为上一点，若，过点C作直线l垂直于射线，垂足为点D． (1)连接，证明； (2)若直线l与的延长线相交于点E，的半径为3，并且，求的长． 25．（本题10分）（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，内接于，为直径，D为的中点．仅用无刻度的直尺作图． (1)在图①中，作的平分线； (2)在图②中，作的平分线． 26．（本题10分）（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）新知 世纪英国著名的历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法： 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交轴于点，，则为方程的两个实数根． 探究 （1）如图，连接，．由勾股定理得 ，，． 在中，， 所以， 化简得，．同理可得 ， 所以，为方程的两个实数根； 运用 （2）按上述方法在图中的轴上画出以方程的两根为横坐标的点，（点在点的左侧）． （3）已知点，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． 拓展 （4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与轴有两个交点M，N，则以点，的横坐标，为根的一元二次方程是 ． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年苏科版数学九年级上册章节复习检测中等卷 第2章 对称图形-圆 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查圆周角定理，先根据圆周角定理得，再根据邻补角的定义可得结论．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【规范解答】解：∵在中，圆周角和圆心角都对着，， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 3．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，，分别为的半径，点在圆上，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理．根据圆周角定理即可解决问题． 【规范解答】解：∵， ∴． 故选：B． 4．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以C为圆心，为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了正方形的性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，理解图示，掌握不规则图形面积的转换，扇形面积的计算是解题的关键． 根据正方形的性质可得弓形弓形，由阴影部分的面积，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接，三点共线    ∵四边形是正方形，点分别为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴弓形弓形， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 5．（24-25九年级上·广东江门·期末）若圆锥的底面半径长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查圆锥的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可． 【规范解答】解：∵圆锥的底面半径长为，母线长为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：B． 6．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理． 根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可． 【规范解答】解：∵的周长为21，， ∴， 设与的三边的切点为，切于， ， ， ， 故选：B． 7．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，点A，B，C在上，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查圆周角定理及三角形内角和定理，解题关键是利用圆周角定理求圆心角，再借三角形内角和算角的度数． 根据圆周角定理即可得到的度数，设和交于点D，在中，利用三角形内角和定理即可求出的度数； 根据对顶角相等可得的度数，接下来在中，利用三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：设和交于点D， ∵和为所对的圆心角和圆周角度数，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，是以线段为直径的上两点（位于两侧），，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆和三角形的知识，解题的关键是熟练掌握圆周角、等腰三角形的性质；根据直径所对圆周角的性质，得；再根据直角三角形两锐角互余、圆周角的性质，得，再根据等腰三角形、三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【规范解答】∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，中，内切圆I和边分别相切于点D、E、F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 连接，由三角形内角和公式可得，根据切线的性质得到，利用四边形的内角和得到，再利用圆周角定理即可解答． 【规范解答】解：， ， 如图：连接， 内切圆和边分别相切于点， ， ， ， ∴． 故选：D． 10．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，⊙上三点、、，，，则长为（    ） A． B．6 C．8 D． 【答案】D 【思路引导】连接，过点作垂线，利用圆周角定理可得，根据已知条件可知，为等腰三角形，从而可得，，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图：连接，过点作的垂线，垂足为点D， ， 与是同弧所对的圆周角和圆心角，且， ， 是圆的半径，且， ，为等腰三角形， ，， ， 在中，， ． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质，正确画出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，是的直径，若，则的度数等于 ． 【答案】/30度 【思路引导】根据“直径所对的圆周角等于”可得，根据“同弧所对的圆周角相等”可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 【答案】在外 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，点与圆的位置关系的应用．注意：已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外．先解一元二次方程，根据点与圆的位置关系求解即可． 【规范解答】解： ， ， 解得， 点到圆心的距离 ， 的半径是4， 在外， 故答案为：在外． 13．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，的直径，，则CD的长度为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质．利用圆周角定理求得，，再利用直角三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：为的直径， ， 由圆周角定理得， 则． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为 . 【答案】 【思路引导】　本题考查了圆内接四边形“对角互补”的性质，理解圆的有关性质是解题的关键．利用圆内接四边形的对角互补，可先求出；再依据圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），计算出的大小。 【规范解答】解：在中，， ， 是弧所对的圆心角，是弧所对的圆周角， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是的切线，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查切线的性质，切线长定理，根据切线长定理，得到，等边对等角求出的度数，切线的性质得到，角的和差关系求出的度数即可． 【规范解答】解：∵是的切线，是的直径， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 16．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知，矩形中，，，点E是线段上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取的中点H，连接，．点E在运动过程中，下列结论： ①；②当点H和点G互相重合时，；③平分；④． 正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【思路引导】根据旋转性质、矩形性质等条件判断，确定①正确；通过判定四边形是正方形，得到，确定②正确；由得到四点共圆，利用圆周角定理即可得到平分，确定③正确；由题意得到，结合，点是线段上的一个动点，从而确定当运动到点时，最短，，；当运动到点时，最长，，，即可确定，确定④错误；综上所述即可得到答案． 【规范解答】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和， ∴，故①正确； 当互相重合时，如图1所示： ∵是中点，，， ∴是等腰直角三角形，且，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故②正确； ∵， ∴四点共圆，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； 过作，交延长线于点，如图3所示： ∵AH平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵四点共圆， ∴， ∵， ∴， 在和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴最短时，最短；最长时，最长， 当运动到点时，最短，此时，； 当运动到点时，最长，此时，； ∴，故④错误； 综上所述，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【考点评析】本题综合性强、难度较大，涉及旋转性质、矩形性质、两个三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、角平分线定义、动点最值问题等，熟练掌握相关知识点，熟记相关判定与性质是解决问题的关键． 17．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，将半径的半圆绕点按顺时针方向旋转，此时点到了点，则图中涂色部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了求不规则图形的面积、旋转的性质、求扇形面积等知识点，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 由旋转的性质可得、，根据，再运用扇形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：∵将半径的半圆绕点按顺时针方向旋转， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·甘肃临夏·阶段练习）如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ． 【答案】/104度 【思路引导】本题考查了三角形内切圆与内心，熟练掌握三角形内心的意义是解题的关键． 先利用三角形内角和定理求出，可得平分，平分，最后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵是的内切圆，点是内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图1，A、B是上两点，C是的中点，，的半径为4． (1)①求证：四边形是菱形； ②图中的阴影部分面积为________； (2)如图2，点P是线段上动点，以为半径作小圆，连接，当P运动到什么位置时，是小圆的切线，并说明理由； 【答案】(1)①见解析；② (2)当时，是小圆的切线，见解析 【思路引导】对于（1），①根据等弧所对的圆心角相等，即可得出和都是等边三角形，再根据“四边相等的四边形是菱形”得出答案； ②根据扇形的面积减去三角形的面积可得结果； 对于（2），根据等边三角形的性质可得，且，可得是小圆的切线． 【规范解答】（1）①连，如图， 是的中点，， . 又， 和都是等边三角形， ， 四边形是菱形． ②； 如图所示，过点O作，交于点D， ∵， ∴． 根据勾股定理，得． ∴， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：． （2）解：连接， 当点P运动到的中点时，是小圆的切线． 理由如下： 由①可知是等边三角形，点P是的中点， ，且， ∴是小圆的切线． 所以，当是的中点，是小圆的切线． 【考点评析】本题主要考查了菱形的判定，求扇形的面积，切线的判定，等边三角形的判定和性质，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积差是解题的关键． 20．（本题6分）（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点 (1)求证：； (2)若 ，的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）利用，可得，再根据圆内接四边形性质可得，即可得到结论； （2）利用，可得，根据圆周角定理得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到的度数； 【规范解答】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 即： （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【考点评析】本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握垂径定理是是解决本题的关键． 21．（本题8分）（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，是的两条弦，，垂足分别为E，F．比较和的大小，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【思路引导】根据垂径定理得到，再由，即可证明． 【规范解答】解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点评析】本题主要考查了垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解题的关键． 22．（本题8分）（22-23九年级上·福建莆田·期末）如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路引导】（1）分别以A，B为圆心，大于为半径在两侧作圆弧，连接圆弧的交点，与的交点为O，以O为圆心，为半径画圆即可； （2）连接，得，根据三角形外角与内角的关系求出，结合已知可得，运用角所对的直角边等于斜边的一半求出，最后由代入求解即可． 【规范解答】（1）解：如图， （2）由（1）可知，连接 又 故的半径为：2 【考点评析】本题考查了尺规作图，圆的基本性质，与三角形有关的角的计算以及“角所对的直角边等于斜边的一半”；利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键． 23．（本题8分）（2025·山东临沂·一模）如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，求弧长，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）由切线的性质可得，则，再由等边对等角和三角形外角的性质得到，再证明，，即可证明． （2）先证明，则，由圆周角定理得到，进一步求出，据此利用弧长公式求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ∴， ， ， ， 为直径， ， ，即， ． （2）解：如图，连接，由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的长为． 24．（本题8分）（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）如图，为的直径，点C为上一点，若，过点C作直线l垂直于射线，垂足为点D． (1)连接，证明； (2)若直线l与的延长线相交于点E，的半径为3，并且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）利用等腰三角形的性质，得，由，得，从而问题得证； （2）由得；由得，则，由勾股定理即可求得结果． 【规范解答】（1）证明：∵，如图， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵，如图， ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：． 【考点评析】本题考查了圆的切线判定，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 25．（本题10分）（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，内接于，为直径，D为的中点．仅用无刻度的直尺作图． (1)在图①中，作的平分线； (2)在图②中，作的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了垂径定理，三角形的内心，解题的关键是： （1）连接并延长交于E，连接即可； （2）连接、相交于E，连接并延长交于F，连接并延长交于G，连接即可． 【规范解答】（1）解∶如图，即为所求， 理由∶连接， ∵D为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求； （2）解∶如图，即为所求， 理由∶∵O为的中点，D为的中点， ∴F为的中点（三角形的中线交于同一点）， 同（1）可证， ∴， ∴， ∴即为所求． 26．（本题10分）（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）新知 世纪英国著名的历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法： 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交轴于点，，则为方程的两个实数根． 探究 （1）如图，连接，．由勾股定理得 ，，． 在中，， 所以， 化简得，．同理可得 ， 所以，为方程的两个实数根； 运用 （2）按上述方法在图中的轴上画出以方程的两根为横坐标的点，（点在点的左侧）． （3）已知点，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． 拓展 （4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与轴有两个交点M，N，则以点，的横坐标，为根的一元二次方程是 ． 【答案】（）；（）见解析；（）与轴相切，理由见解析；（）． 【思路引导】本题考查了勾股定理，一元二次方程解的概念，直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，读懂题中材料提供的方法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照已知中的推理过程即可得到，从而问题解决； （）以，两点为端点的线段为直径画圆，圆与轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点即为所画的点； （）由题意得有两个相等的实数根，从而可得与轴只有一个交点，即与轴相切； （）仿照（）的过程即可求解． 【规范解答】解：（）如图，连接，， 由勾股定理得，，，， 在中，， ∴， 化简得：， ∴为方程的一个实数根， 故答案为：； （）以，两点为端点的线段为直径画圆，圆与轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点即为所画的点，如图所示； （）与轴相切，理由如下： 由题意知，与轴两个交点的横坐标为于方程的两个根， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， 对应地，与轴只有一个交点，即与轴相切； （）如图， 由勾股定理得，，， 在中，， ∴，化简得：， 同理可得：， 所以为方程的两个实数根， 故答案为：． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$