专题2.9 对称图形—圆（章节复习）知识梳理+40个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共95题-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题2.9 对称图形—圆（章节复习） （知识梳理+40个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共95题） 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：圆的定义及性质 3 知识点梳理02：圆的有关概念 3 知识点梳理03：垂径定理 4 知识点梳理04：垂径定理的应用 4 知识点梳理05：确定圆的条件 4 知识点梳理06：三角形的外接圆与外心 4 知识点梳理07：圆心角的概念 4 知识点梳理08：圆角角的概念 5 知识点梳理09：圆内接四边形 5 知识点梳理10：直线与圆的位置关系 5 知识点梳理11：切线的性质与判定定理 6 知识点梳理12：切线长定理 6 知识点梳理13：三角形的内切圆和内心 6 知识点梳理14：圆内正多边形的计算 7 知识点梳理15：与正多边形有关的概念 7 知识点梳理16：正多边形的对称性 8 知识点梳理17：扇形的弧长和面积计算 8 知识点梳理18：扇形与圆柱、圆锥之间联系 8 优选题型 考点讲练 9 考点1：已知半径和圆上两点作圆 9 考点2：点与圆上一点的最值问题 12 考点3：圆心角概念辨析及简单运算 16 考点4：求圆弧的度数 18 考点5：利用垂径定理求平行弦问题 20 考点6：利用垂径定理求同心圆问题 23 考点7：利用垂径定理求解其他问题 25 考点8：垂径定理的实际应用 26 考点9：利用弧、弦、圆心角的关系求解 28 考点10：利用弧、弦、圆心角的关系求证 31 考点11：求特殊三角形外接圆的半径 33 考点12：已知外心的位置判断三角形的形状 35 考点13：判断三角形外接圆的圆心位置 37 考点14：同弧或等弧所对的圆周角相等 40 考点15：半圆（直径）所对的圆周角是直角 43 考点16：90度的圆周角所对的弦是直径 45 考点17：切线的性质和判定的综合应用 48 考点18：应用切线长定理求解 50 考点19：应用切线长定理求证 52 考点20：三角形内切圆与外接圆综合 55 考点21：过圆外一点作圆的切线(尺规作图） 58 考点22：圆内知识综合（圆的综合问题） 61 考点23：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 65 考点24：圆与四边形的综合（圆的综合问题） 69 考点25：正多边形和圆的综合 72 考点26：求正多边形的中心角 74 考点27：已知正多边形的中心角求边数 76 考点28：尺规作图——正多边形 78 考点29：求弧长 80 考点30：求某点的弧形运动路径长度求扇形面积 82 考点31：求图形旋转后扫过的面积 84 考点32：求图形旋转后扫过的面积 87 考点33：求弓形面积 89 考点34：求其他不规则图形的面积 92 考点35：求圆锥侧面积 94 考点36：求圆锥底面半径 95 考点37：求圆锥的高 98 考点38：求圆锥侧面展开图的圆心角 99 考点39：圆锥的实际问题 101 考点40：圆锥侧面上最短路径问题 103 中考智能体 实战演练 106 难度分层 拔尖冲刺 115 基础夯实 115 培优拔高 120 知识点梳理01：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点梳理02：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点梳理03：垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点梳理04：垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 知识点梳理05：确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 知识点梳理06：三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 知识点梳理07：圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点梳理08：圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点梳理09：圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 知识点梳理10：直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点梳理11：切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 知识点梳理12：切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点梳理13：三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 知识点梳理14：圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行， 知识点梳理15：与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点梳理16：正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 知识点梳理17：扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点梳理18：扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 考点1：已知半径和圆上两点作圆 【典例精讲】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【规范解答】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式训练】如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为 ． 【答案】2﹣2 【思路引导】根据正方形的性质得到AD=CD=BC=4，∠ADC=∠BCD=90°，求得CE=DF，根据全等三角形的性质得到∠DAF=∠CDE，推出∠APD=90°，得到点P在以AD为直径的圆上，设AD的中点为G，由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝4，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵CE+CF＝4，CF+DF＝4， ∴CE＝DF， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴∠DAF＝∠CDE， ∵∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠DAP+∠FDP＝90°， ∴∠APD＝90°， ∴点P在以AD为直径的圆上， 设AD的中点为G， 由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示： ∵CD＝4，DG＝2， ∴CG＝＝2 ∴CP＝CG﹣PG＝2﹣2， 故答案为：2﹣2． 【考点评析】本题考查了点与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，确定出CG最小时点G的位置是解题关键，也是本题的难点． 考点2：点与圆上一点的最值问题 【典例精讲】（2025·贵州遵义·模拟预测）综合与探究： 问题情境：如图，和都是等腰直角三角形，，连接，是的中点，连接． (1)【问题发现】 如图1，当点在边上时，连接，则___________，___________； (2)【进阶探究】 如图2，当点在边上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明该结论；若不成立，请说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，将图1中绕点逆时针旋转度（），若，．直接写出的最小值． 【答案】(1)90， (2)成立，见解析 (3) 【思路引导】（1）证明，，，结合三角形的外角的性质可得，可得，即可求解； （2）如图，延长至，使，连接，证明，可得，，，证明，可得，，再进一步求解即可； （3）如图，延长至，使，连接，证明，结合在以圆心，为半径的圆上，可得当共线时，最小，最小值为，再进一步求解即可. 【规范解答】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴（1）中的结论成立. （3）解：如图，延长至，使，连接， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵在以圆心，为半径的圆上， ∴当共线时，最小，最小值为， ∵，，， ∴，， ∴的最小值为， ∴的最小值为. 【考点评析】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，中位线，圆外一点与圆上各点距离的最值，旋转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【变式训练】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知的半径为6，圆心角，C是圆周上的一个动点，分别以，为边作，连．在点C的运动过程中，的最大值为 ． 【答案】12 【思路引导】延长交于点，连接，易证四边形为菱形，为等边三角形，进而得到，进而得到点在以点为圆心，的长为半径的圆上，进而得到的最大值为的直径，即可得出结果． 【规范解答】解：延长交于点，连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上， ∴当为的直径时，的值最大，为； 故答案为：12． 【考点评析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，圆的确定，等边三角形的判定和性质，解题的关键是确定点的运动轨迹． 考点3：圆心角概念辨析及简单运算 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为 ． 【答案】1 【思路引导】根据，，可得四边形是菱形，则可得，进而可得是等边三角形，，由可得，进而可得是等边三角形，则可得． 本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及圆的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【规范解答】 解：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：1 【变式训练】（21-22七年级下·浙江舟山·期末）公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度，他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，在同时刻，光线与A城和地心的连线所夹的锐角记为∠1，光线与B城和地心的连线重合，通过测量A，B两城间的路程（即弧AB）和∠1的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知弧AB的长度约为800km，若∠1≈7.2°，则地球的周长约为 km． 【答案】40000 【思路引导】先根据平行线的性质求得∠POQ的度数，从而确定一个周角有多少个这样的角，再结合弧AB的长即可求得答案． 【规范解答】 ， 地球的周长约为 ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，圆心角的涵义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 考点4：求圆弧的度数 【典例精讲】（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为 ． 【答案】/82度 【思路引导】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．关键是由等边三角形的性质得到． 连接，由，，推出是等边三角形，得到，由B点的对应刻度为，即可求出D点的对应刻度． 【规范解答】解：连接，如图， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵B点的对应刻度为， ∴D点的对应刻度是． 故答案为：． 【变式训练】（22-23八年级下·河南洛阳·期中）如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由题意知，根据三角形外角的性质可得，根据等边对等角可得，进而可得． 【规范解答】 由题意知 ∴ ∵量角器为半圆 ∴ ∴ ∴ 故选D． 【考点评析】本题考查量角器的使用、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、圆的性质等知识点，难度较小，解题的关键是读懂题意，得出小量角器上对应的度数为的度数． 考点5：利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)10 【思路引导】（1）由圆的对称性，连接、交于点，连接并延长交于点即可； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，，再利用三角形面积公式计算出，设的半径，则，，利用勾股定理得到，解方程即可． 【规范解答】（1）解：连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图1， 点为所作； （2）连接，如图2， 点为劣弧的中点， ，， 的面积为6， ， 解得， 设的半径，则，， 在中，， 解得， 即的半径为10． 【考点评析】本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【变式训练】（2023·山东济南·一模）如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；③连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【思路引导】根据圆心角、弧、弦的关系得到弧相等，再利用等边三角形的性质得到，再利用垂径定理得到弧相等进而得到平行线，利用两点之间线段最短可知项错误． 【规范解答】解：由作法得：，， ∴， ∴， ∴选项的结论正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴选项的结论正确； 作半径，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴选项的结论正确； ∵圆周角所对的弧为，圆心角所对的弧为， ∴， ∵， ∴， ∴选项错误； 故选：． 【考点评析】本题考查了尺规作图，圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握几何图形的基本作法是解题的关键． 考点6：利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【答案】134 【思路引导】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【规范解答】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【考点评析】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式训练】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【规范解答】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【考点评析】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 考点7：利用垂径定理求解其他问题 【典例精讲】（22-23九年级上·吉林松原·期中）如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理中“知二推三”进行推理论证，即可解题． 【规范解答】解： 为的直径，点为的中点． ， 故选：B． 【变式训练】．（2024九年级上·全国·专题练习）已知：如图，为直径上一点，、为过点的两条弦，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【思路引导】本题利用了垂径定理和全等三角形的判定和性质及在同圆划等圆中，等弧对等弦，等弦对等弧求解． （1）过点作于，作于，根据全等三角形的判定方法得到，根据对应边相等，从而不难求得结论； （2）根据从而得到由等量减去等量还是等量即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：过点作于，作于，连接、， ， ． 又， ， ． ． ，， 点是的中点，点是的中点． ，． ； （2）证明：， ， ． 即． 考点8：垂径定理的实际应用 【典例精讲】（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面宽度，则水的最大深度是 ． 【答案】8 【思路引导】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连结，过点O作半径于点C，根据垂径定理得，再根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：连结，过点O作半径于点C， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，摩天轮最高处离地面的距离是米，最低处离地面的距离是米．摩天轮旋转一周需分钟．若游客从处乘摩天轮旋转一周，则该游客在离地面的距离米以上的时间有 分钟． 【答案】 【思路引导】本题考查的是垂径定理的应用，先根据摩天轮的最高处到地面的距离是米，最低处到地面的距离是2米得出的长，进而求出的半径，再根据游客从处乘摩天轮到地面的距离是米时、的长，证明为等边三角形，得出的度数，进而可得出结论． 【规范解答】解：摩天轮的最高处到地面的距离是42米，最低处到地面的距离是2米， ， ， 设当到点或点时游客从处乘摩天轮到地面的距离是米，连接，，，，则， 处乘摩天轮到地面的距离是米时， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ， ， 摩天轮旋转一周需分钟， 该游客在离地面的距离米以上的时间有（分钟）． 故答案为：． 考点9：利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（2025·广西南宁·一模）图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查圆的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质；首先根据对称与等腰三角形的三线合一得到，再由勾股定理求得半径的长，进而得到，解题即可． 【规范解答】解 与关于直线对称， ，且， 与的半径相等， 设半径为， ， 由勾股定理可知，即， 解得， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知是半圆O的直径，，点C在半圆O上，过点A作，垂足为点D，的延长线与弦交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了垂径定理，弧弦圆心角三者关系以及含30度的直角三角形性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）通过垂径定理可知，再通过直径算出半径，进而得到，再通过勾股定理计算即可； （2）先证得，进而得到的度数，进而通过含30度的直角三角形性质以及勾股定理计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点10：利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的半径． 【答案】(1)，理由见解析 (2)10 【思路引导】此题考查了等弧所对的圆心角相等，垂径定理，勾股定理，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图所示，连接，，得到，，然后证明出即可得到； （2）首先根据垂径定理得到，设的半径为，则，在中利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 如图所示，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，是的直径， ∴， 设的半径为，则， ∴在中，， ∴， ∴， ∴的半径为10． 【变式训练】（22-23九年级上·河北石家庄·期中）已知：不在同一直线上的三点，，，求作：，使它经过点，，，作法：如图． （1）连接，作线段的垂直平分线； （2）连接，作线段的垂直平分线，与直线交于点； （3）以为圆心，长度为半径作，则即为所求． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论正确的是（        ） A．连接，则点是的内心 B．若与直线，分别交于点，，则 C．连接，，则接，不是的半径 D．连接，则点在线段的垂直平分线上 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，圆的外心，线段垂直平分线的性质与判定，根据内心与外心的定义即可判断；根据垂径定理即可判断；根据半径的定义即可判断；根据线段垂直平分线的性质与判定定理即可判断，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接，， 、由作图方法可知点是三条线段垂直平分线的交点， ∴点是外心，不一定是内心，故说法错误，不符合题意； 、∵，， ∴，， ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴不一定成立，故说法错误，不符合题意； 、由题意可得，是的半径，故说法错误，不符合题意； 、∵，（线段垂直平分线的性质）， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上，故说法正确，符合题意； 故选：． 考点11：求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【规范解答】解：∵中，，，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【考点评析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键． 【变式训练】（24-25九年级上·河北沧州·期末）在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线上的一点，C是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】如图，作的外接圆，圆心为O，取中点H，作直线，分别与交于点两点，过点A作于点G，连接，则为的直径，根据是的外接圆，且点H为中点，证明是等边三角形，求出，设的半径为x，则，，在中，利用勾股定理求出，进而得到，根据三角形三边关系得到当点A，Q重合时，即点重合，有最大值，最大值为的长，即可解答． 【规范解答】解：如图，作的外接圆，圆心为O，取中点H，作直线，分别与交于点两点，过点A作于点G，连接， 则为的直径， 是的外接圆，且点H为中点， ，， ， 四边形是内接四边形，且， ， 是等边三角形， ， ， 设的半径为x，则，， 在中，，即， 解得：， ， ， ， 当点A，Q重合时，此时点重合，最大，最大值为的长， 此时，， 故选：C． 【考点评析】本题考查了三角形外接圆的性质，垂径定理，三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，利用三角形三边关系找到中边上高的最大值是解题的关键． 考点12：已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】（2020·河北·二模）如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的外接圆和外心，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积，连接，，由题意得出，，可证得，根据三角形的面积公式可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】连接，，如图， ∵是的外心，、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， 故选：． 【变式训练】（2022·河北邯郸·二模）如图，点是的边上一点，，，相交于点． (1)求证：； (2)若． ①当时，求的度数； ②当的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)① ；② 【思路引导】（1）先证明∠D=∠B，∠DAE=∠BAC，再结合AD=AB即可得证； （2）①先根据全等三角形性质及等腰三角形性质求出∠EAC、∠B的度数，再等量代换即可； ②根据锐角三角形外心的性质求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②． ∵的外心在其内部， ∴为锐角三角形， ∴，， ∴． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形外心的定义等知识点．灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键． 考点13：判断三角形外接圆的圆心位置 【典例精讲】（24-25九年级上·广东惠州·期末）在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)请在图中标出的外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1)圆心位置见解析， (2)图见解析 【思路引导】本题考查了利用旋转变换作图，三角形的外接圆． （1）根据三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，作出两边的垂直平分线，交点即为所求的点，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可； （2）根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转后对应点、的位置，再与点顺次连接即可． 【规范解答】（1）解：圆心位置如图所示，； （2）如图所示，为所求三角形． 【变式训练】（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知在平面直角坐标系中位置如图． (1)利用格点画出的外接圆，并写出圆心的坐标为______； (2)画出绕点C按顺时针方向旋转后的； (3)画出关于O点的中心对称图形． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了作图—旋转变换、作三角形外接圆，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据三角形外接圆圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点作图即可，再结合图形即可得出圆心的坐标； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）根据中心对称的性质作图即可． 【规范解答】（1）解：如图，分别作线段、的垂直平分线，相交于，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求，由图可得：圆心的坐标为， （2）解：如图：即为所求； （3）解：如图：即为所求． 考点14：同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，A、是上的两点，A是的中点，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，掌握在同圆中等弧所对的圆周角相等成为解题的关键． 根据A是的中点可得，再根据圆周角定理即可解答． 【规范解答】解：∵A是的中点， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使．延长至点，连接，使． (1)求证：； (2)如图2，若过圆心，平分，，． ①求证：； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【思路引导】（1）由四点共圆得，而，等量代换得到，故，即可作答； （2）①连接并延长交圆与点G，证明得出即可证明结论成立； ②作于点M，作于点N，根据求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图，连接并延长交圆与点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∵过圆心，过圆心 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ②作于点M，作于点N ∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∴都是等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴ ∴都是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 【考点评析】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 考点15：半圆（直径）所对的圆周角是直角 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，是的直径，点A，C在上， 连接交于点G，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查圆周角定理、弧弦圆周角之间的关系、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 先根据直径所对圆周角得到，再根据等弧所对角相等得到，最后根据圆周角定理得到，再根据三角形外角的性质即可解答． 【规范解答】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若＝，＝，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质是解此题的关键． （1）根据已知可得，根据垂径定理，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而根据（1）的结论可得是的中位线，求得，进而求得，即可求解． 【规范解答】（1）证明：是半圆的直径， ＝， ， ， ， 是半圆的半径， 为的中点； （2）解：由（1）可知，＝， 是半圆的直径， ＝＝＝＝， 由（）可知，为的中点， 是的中位线， ＝＝， ＝﹣＝﹣＝， 即的长为． 考点16：90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知四边形内接于，且于点． (1)如图1，过圆心作于点． ①若半径为5，，求的长； ②试判断与的数量关系，并写出证明过程． (2)如图2，记，，，的面积分别为，，，，当时，求证：． 【答案】(1)①3； ②，证明见详解 (2)见详解 【思路引导】（1）①连接，则，由垂径定理得，由勾股定理即可求得的长； ②延长，与交于点，连接．由三角形中位线定理得；设，则；由可得，从而得； （2）通过面积关系，利用根式及完全平方公式运算，得到，再用两平行线间距离相等，得到，进而． 【规范解答】（1）解：①连接，则， ∵于点， ∴， ∴． ②． 证明：延长，与交于点，连接． ∵为直径， ∴． 在中， ∵O，H分别为，的中点， ∴，即， 设，则． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：由两边同时平方化简得： ∵（等高，面积之比等于底之比） ∴ ∴，即， ∴，，即 因为和共底，则它们的高相等，由平行线之间的距离处处相等 ， ∴， ∴， ， ∴． 【考点评析】本题是圆的综合，考查了圆周角定理，直径对的圆周角是直角，垂径定理，弧、弦、圆心角及圆周角的关系，三角形中位线定理，勾股定理，完全平方公式等知识，涉及较多的知识点，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林长春·期末）请按要求完成下列图形，确定圆心的位置，并简要说明方法与依据． (1)在图①中，只允许使用三角尺． (2)在图②中，只允许使用直尺和圆规． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查确定圆心，圆周角定理，垂直平分线的性质； （1）把三角尺直角顶点放在圆上，连接三角尺直角边与圆的交点，得到线段，，由圆周角所对弦是直径得到，为直径，它们交点即为圆心； （2）圆上任取两条弦，，再分别作，的垂直平分线，交点即为圆心，此时． 【规范解答】（1）解：圆心如图： 理由如下：线段，所对的圆周角都是，即可根据圆周角所对弦是直径得到，为直径，它们交点即为圆心； （2）圆心如图： 理由如下：由，的垂直平分线可得，则为圆心． 考点17：切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与 交于点是的直径，弦的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，过作于点，首先得到平分，由切线得到，然后得出，即可证明是的切线； （2）过点作，垂足为，得四边形为矩形，且，然后得到为等边三角形，得到，进而求解即可． 【规范解答】（1）证明：连接，过作于点 且为的中点 平分 与相切于点 是的切线； （2）解：过点作，垂足为． 得四边形为矩形，且 ， 又 为等边三角形 为等边三角形 ， ． 【考点评析】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解答此题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，点为上一点，连接并延长至点．过点作的切线，点为切点，连接．点为上一点，，连接，，，．求证：为的切线． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题主要考查了圆的切线的证明、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质和判定定理成为解题的关键．由圆的性质可得，根据圆周角定理可得，切线的性质可得，然后证明，进而得到即可证明结论； 【规范解答】证明： 、、在圆上 ， ， 为的切线 ， 在和中 ， ， ， 为的切线． 考点18：应用切线长定理求解 【典例精讲】（2025·江苏南京·二模）如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． (1)若，则的长为___________； (2)求证． 【答案】(1)3 (2)见解析 【思路引导】本题考查了内切圆的定义和性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，，，，根据内切圆的定义得，，，，，进而得，，，，，，则，，再由得，即可得出结论； （2）由证明得，同理可得，，，进而可推出，再由可得结论． 【规范解答】（1）解：如图，连接，，，， ∵四边形是的外切四边形，切点分别为，，，， ∴，，，，， ∴，，，， 设，， ∴，， ∴， ∴，即， 故答案为：3； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴ ， 又∵， ∴． 【变式训练】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）已知如图，的外切等腰梯形的中位线，求梯形的腰长．（梯形中位线是指连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半）． 【答案】 【思路引导】本题考查了梯形的中位线、圆外切四边形的性质，先根据梯形中位线的性质可得，再根据圆外切四边形的性质可得，由此即可得． 【规范解答】解：∵圆外切等腰梯形的中位线是， ∴， ∵等腰梯形是的外切等腰梯形， ∴， ∴， 即梯形的腰长为． 考点19：应用切线长定理求证 【典例精讲】（24-25九年级上·重庆江北·期末）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 【答案】(1) (2)解答见解析 【思路引导】此题主要考查了新定义圆的外切四边形，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键． （1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论； （2）根据切线长定理即可得出结论； 【规范解答】（1）解：与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H， 猜想， （2）解：已知：四边形的四边，，，都于相切于G，F，E，H， 求证：， 证明：，和相切， ， 同理：，，， ， 即： 【变式训练】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，求的面积． 解：设的内切圆分别与相切于点的长为． 根据切线长定理，得． 根据勾股定理，得． 整理，得． 所以 ． 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索． 如图（2）所示，已知的内切圆与三边相切于点． 【探究发现】 （1）若，求证：的面积等于． 【逆向思维】 （2）若，求证． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查切线长定理，勾股定理及其逆定理，整式的运算，熟练掌握切线长定理，勾股定理及其逆定理是解题的关键。 （1）设,仿照例题利用勾股定理得，再根据即可得到； （2）由，得, 因此=,利用勾股定理的逆定理可得. 【规范解答】解：（1）设. 根据切线长定理，得，，. ∴，， ∵， ∴在中，， 即. 整理，得. ∴ . ∴的面积等于． （2）由（1）可知，， ∵， ∴. 整理，得. ∴ . ∴是直角三角形，. 考点20：三角形内切圆与外接圆综合 【典例精讲】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知锐角中，O是的中点，甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法如下．对于甲、乙二人的做法，正确的是（   ） 甲的作法 …（如图） 乙的作法 以A为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【思路引导】本题重点考查三角形的外接圆与外心、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定等知识，连接，由甲的作法可知，于点P，所以，则，所以的外心为点O，可判断甲正确；由乙的作法可知，假设的外心为点O，则，推导出，与已知条件不符合，可判断乙不正确，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：如图1，连接， 由甲的作法可知，于点P， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴的外心为点O， 故甲正确； 如图2，连接， 由乙的作法可知， 假设的外心为点O，则， ∴，与已知条件不符合， ∴的外心不一定为点O， 故乙不正确， 故选：A． 【变式训练】（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，过点作于，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由，，推出，得到，根据勾股定理可求的长，即可得出结果． 【规范解答】（1）证明： 为的直径， ， 点是的内心， ，， ， ，， ， ； （2）解：连接，过点作于，如图所示： 为的直径，的半径是，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【考点评析】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 考点21：过圆外一点作圆的切线(尺规作图） 【典例精讲】（2025·江西抚州·二模）如图是的正方形网格，网格边长为1，的顶点均在格点上．已知的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图，保留作图痕迹． (1)作的外接圆的直径； (2)过点B作的外接圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了无刻度直尺作图，三角形的外接圆，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直径所对圆周角为，结合网格的特征，取格点，则，即交圆于点D，连接即可； （2）由（1）知为的外接圆的直径，利用网格的特征，取中点，即为的外接圆的圆心，连接，再利用网格的特征，取格点E，作直线，可得，即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，直径即为所求． （2）解：如图，切线即为所求． AI 【变式训练】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）已知A是上一点．如图，过点A作出的一条切线，切点为A（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）． （2）已知P是外一点．如图，过点P作出的两条切线，切点分别为点E、F（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）． （3）在（2）的条件下，若点D在上（点D不与E、F两点重合），且，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【思路引导】本题考查了切线的作法，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角；同弧所对的圆周角是圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补． （1）连接，过点A作，直线即为所求； （2）连接，作的垂直平分线，交于点Q，以点Q为圆心，为半径画圆，与相交于点E和点F，连接，即为所求； （3）先根据四边形内角和为360度，得出，再进行分类讨论：当点在优弧上时，根据圆周角定理即可解答；当点在劣弧上时，根据圆的内接四边形的性质即可解答． 【规范解答】解：（1）如图，直线即为所求； （2）如图所示：即为所求； （3）∵，， ∴， 如图， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， 故答案为：或． 考点22：圆内知识综合（圆的综合问题） 【典例精讲】（21-22九年级上·江苏盐城·期末）【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长． 【答案】（1）45；（2）；（3）见解析；（4）①；② 【思路引导】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识． （1）由圆周角定理可得出答案； （2）取的中点O，连接．由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （3）作出等边三角形，由圆周角定理作出图形即可； （4）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案；②作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【规范解答】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：45； （2）如图2，的中点O，连接． ， ， ， ∴点A、B、C、D共圆， ， ， ； （3）作图如下：由图知，；同理． （4）①． 在上截取，连接，以为直径作，交于E，交于F，连接，过圆心O作于H且交圆O于G，过G作的切线交于K，交于Q，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， ∴满足的点恰好有两个，则的取值范围为， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接． ， ． 在中，， ． ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，， ， ． 【变式训练】（22-23九年级上·天津北辰·期末）已知为的直径，，为上一点，连接，． (1)如图①，若为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）根据圆周角定理得到，，进而求出，根据勾股定理求出； （2）根据切线的性质得到，证明四边形为矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，根据垂径定理解答即可． 【规范解答】（1）解：为的直径， ， 为的中点， ， ， ； （2）是的切线， ， ，， 四边形为矩形， ， 在中，，，， 则， ， ， ． 【考点评析】本题考查的切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 考点23：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 【典例精讲】（2025·陕西汉中·二模）如图，以的边为直径的与边相交于点，过点作于点． (1)求证：为的切线； (2)若的直径为8，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握切线的判定方法，矩形的判定和性质是关键． （1）连接，如图，可得为的中位线，则，结合题意得到，由此即可求解； （2）过点作于点，如图，可得为等腰直角三角形，则，再证明四边形为矩形，由此即可求解． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， ， 为的中位线， ， ， ， 为的半径， 为的切线． （2）解：过点作于点，如图， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， 的直径为， ， ， ， ， 四边形为矩形， ． 【变式训练】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 【答案】（1）12；（2）；（3） 【思路引导】本题考查轨迹圆及利用轨迹圆求最小值，涉及圆的基本知识，正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识；确定动点轨迹是解题的关键． （1）直接利用点到直线的所有连线中垂线段最短即可求解； （2）根据题意得点的轨迹在以为直径的圆上部分，连接，交圆于点，此时的即为的最小，然后根据正方形的性质及勾股定理即可求解； （3）连接，根据题意得：，以为直径作圆Q，，得出点E在以为直径作圆Q上，然后结合图形确定当点Q、E、C三点共线时，取得最小值，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：过点作，如图所示：    由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变， 可知此时最大， 最大值为， 故答案为：12； （2）根据题意得是定值，， ∴点的轨迹在以为直径的圆上部分，如图，    连接，交圆于点， 此时的即为的最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）如图，连接， 根据题意得：， 以为直径作圆Q，， ∴点E在以为直径作圆Q上， 连接， 当点Q、E、C三点共线时，取得最小值， ∵，，． ∴，， ∴， ∴的最小值为． 考点24：圆与四边形的综合（圆的综合问题） 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，本题综合性强，熟练掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）将还原后点的对应点为，连接、，则，，求出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，证出，由等腰三角形的性质得出，，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； 【规范解答】（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示： 则，， ， ； （2）（2）由（1）得， ，， ， 点是翻折所得的中点， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由三角形内角和定理得：， 解得， 即． 【变式训练】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查角度的最值问题，矩形的判定，圆的基本性质，通过角度构造圆是解决问题的关键． 构造的外接圆，当为圆的切线时，的角度最大，易证为矩形，通过勾股定理求得的长度，从而得到结果． 【规范解答】解：如图所示，为的外接圆， 延长交于点，连接，则， ，当的半径最小时，最大， ∵点C在上， ∴当为的切线时，最大． 连接，过点O作于点F，则， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ． 故选择：C． 考点25：正多边形和圆的综合 【典例精讲】（24-25九年级上·山东济宁·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【思路引导】连接，，交于，求出中心角，得到为等边三角形，根据垂径定理推论得到，，则，那么，由勾股定理得，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接，，交于， 六边形是的内接正六边形， ，，， ∴为等边三角形， ，， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ， ， ， 故选：C． 【考点评析】】本题考查正多边形与圆，垂径定理及其推论，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，点A在上，半径，以点A为圆心，在上依次截取长度等于半径r的弦，，，，，连接，则六边形的面积为 ．（请用含r的式子表示） 【答案】 【思路引导】本题考查圆的性质，等边三角形的判定与性质以及多边形面积的计算，解题的关键是判断出六边形是由六个全等的等边三角形组成． 先根据圆的半径和弦长相等判断出各个三角形的形状，再根据等边三角形面积公式求出一个三角形的面积，最后乘以三角形的个数得到六边形的面积． 【规范解答】解：如图，连接，过O点作交与H， 由题意六边形是正六边形，即可以分成六个全等的等边三角形，且． 在等边中，，，， ， ∴正六边形的面积． 故答案为： 考点26：求正多边形的中心角 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是 ．      【答案】/30度 【思路引导】本题考查正多边形和圆，熟练掌握求正多边形的中心角和圆赒角定理是解题的关键. 连接、，先求出，再根据圆周角定理求解即可. 【规范解答】解：连接、，如图，    ∵正六边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：. 【变式训练】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形变化—旋转、勾股定理、等边三角形的判定与性质，连接、，设交轴于点，由正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理求出，再根据旋转为一个循环，由此即可得出答案． 【规范解答】解：如图，连接、，设交轴于点， ，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴， ，轴，，， 是等边三角形，， ，， ， ， 将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转°，次一个循环， 第次旋转结束时，点的坐标为， ， 第次旋转结束时，点A的坐标为， 故选：A． 考点27：已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【思路引导】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【规范解答】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO， ∴， ∴这个正多边形的边数为=10． 故选：B． 【考点评析】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 【变式训练】（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【思路引导】连接，先根据圆内接正多边形的性质可得点在上，且是和的角平分线，从而可得，再根据角的和差可得，然后根据圆周角定理可得，最后根据正多边形的性质即可得． 【规范解答】解：如图，连接， 四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形， 点在上，且是和的角平分线，， ， ， ， 恰好是圆O的一个内接正边形的一边， ， 故选：D． 【考点评析】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键． 考点28：尺规作图——正多边形 【典例精讲】（2020九年级下·山东青岛·学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【答案】见解析 【思路引导】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可． 【规范解答】如图，四边形ABCD即为所求作． 【考点评析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【变式训练】（20-21九年级上·湖北武汉·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行； （2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF； （3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【思路引导】（1）连接AC，BD交于点O，作直线OE交BC于F，作直线AF即可． （2）连接AE，BF交于点G，连接BD，CE交于点H，作直线GH即可． （3）作直径BE，CF，作直线EF即可． 【规范解答】解：（1）如图1，直线AF即为所求作． （2）如图2，直线GH即为所求作． （3）如图3，直线EF即为所求作． 【考点评析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，平行四边形的性质，正多边形和圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点29：求弧长 【典例精讲】（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在上，，以，为边作． (1)当经过圆心O时（如图1），求的度数； (2)当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出，再求出，再根据平行四边形的性质得出； （2）连接、，根据切线性质得出，证明，得出， 说明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【规范解答】（1）解：∵经过圆心O， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴； （2）解：连接、，如图所示： ∵与相切， ∴， ∴， ∵在中， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式训练】（2025·安徽马鞍山·三模）如图，为的直径，，为上一点，过点作交于点，，连接，，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，求弧长，等边对等角等等，先由等边对等角得到，再由圆周角定理得到，则由垂径定理可得，据此根据弧长公式求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴的长为， 故选：C． 考点30：求某点的弧形运动路径长度求扇形面积 【典例精讲】．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别为、、． (1)在图中画出将绕原点逆时针旋转后得到的； (2)点的坐标为________，点的坐标为________； (3)在旋转过程中，求点所经过的路径长． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查的是画旋转图形，坐标与图形，求解点旋转后的路径长； （1）分别确定绕原点逆时针旋转后得到的对应点，再顺次连接即可； （2）根据图形可得答案； （3）根据弧长公式计算即可. 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可得，，； （3）解：， 在旋转过程中，点B所经过的路径长为. 【变式训练】（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，在正方形网格中，已知的顶点都在格点上，根据平面直角坐标系中所给的条件解答下列问题： (1)作出关于原点中心对称的，写出点的坐标； (2)作出绕点C 逆时针旋转后的，求出点B的运动路径长． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，求弧长，两点距离计算公式，正确画出对应的图形是解题的关键． （1）关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，并顺次连接即可画出对应的三角形；由旋转的性质可得，再由两点距离计算公式求出，最后根据弧长公式求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：如图所示，即为所求； 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴点B的运动路径长为．． 考点31：求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在扇形中，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积等知识，连接，，过C作于D，先证明是等边三角形， 得出，根据三线合一性质和勾股定理可求出，最后根据求解即可． 【规范解答】解：连接，，过C作于D， 由题意知：， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，是直径，C是圆上的一点，点D在的延长线上，直线是的切线． (1)求证：． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查直线与圆的位置关系的应用，面积的求法，三角形的解法． （1）连接，得到，然后可得结论； （2）推出，通过求解三角形，推出，然后求解面积． 【规范解答】（1）证明：如图，连接OC． 是直径， ． ， ， ． 直线CD是的切线， ， ， ． （2）解：，， ， ， ． ，， ， ． 考点32：求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，若，，则点运动路径长度及边扫过的面积分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【思路引导】根据旋转的性质得到，得出，根据三角形内角和定理求出，根据弧长公式，扇形面积公式求出点运动路径长度及边扫过的面积即可． 【规范解答】解：直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上， ， ， ， ， 点运动路径长度为， 边扫过的面积为， 故选：B． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，弧长公式，扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)画出绕点B逆时针旋转后得到的，并求出旋转到扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【思路引导】本题考查作图-旋转变换、勾股定理、扇形面积的计算； （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可；利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． 由勾股定理得，， ∴旋转到扫过的面积为． 考点33：求弓形面积 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北黄石·期末）如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接、，交于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，矩形的判定和性质等知识点，熟练地掌握切线的判定方法是解决本题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是以的边为直径的圆，，，与交于点D． (1)求证：是的切线； (2)求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】此题考查了切线的判定，等边对等角，求弓形面等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先根据等边对等角得到，然后求出，即可证明； （2）如图所示，连接，首先求出，，然后根据阴影部分面积代数求解即可． 【规范解答】（1）∵， ∴ ∴ ∵是以的边为直径的圆， ∴是的切线； （2）如图所示，连接 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴阴影部分面积． 考点34：求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，边长为4的正方形的顶点在上，顶点在内，的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，连接，由四边形是正方形，得到，根据勾股定理得到，再根据图中阴影部分的面积得到结论． 【规范解答】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 【变式训练】（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，，于点．若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】连接，．由圆周角定理可得，根据点是的中点，可知，即可证为等腰直角三角形，结合勾股定理可求出，最后根据，结合扇形面积公式和三角形面积公式求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，． ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴． 故选A． 【考点评析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等知识，正确连接辅助线是解题关键． 考点35：求圆锥侧面积 【典例精讲】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，直角中，，，，直角将沿着它的一条边旋转一周，得到一个什么图形？试求出其表面积和点运动的路程． 【答案】两个同底的圆锥；所得图形的表面积为：；点C运动的路程为： 【思路引导】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确求出圆锥的侧面积是解题关键．直接利用直接三角形的性质得出旋转后的几何图形，进而利用圆锥侧面积求法得出答案． 【规范解答】解：过点作于点， ，，， ， 直角将沿着它的一条边旋转一周，得到两个同底的圆锥， 所得图形的表面积为：， 点运动的路程为：． 【变式训练】（23-24九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】（1）根据扇形面积公式计算； （2）根据弧长公式计算． 本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图、扇形面积公式、弧长公式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：圆锥的母线长为， 扇形的半径为， 扇形面积为：， 圆锥的侧面积为； （2）解：设扇形的半径为， 圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长为， 扇形弧长为， 则， 解得：， ∴扇形的半径为． 考点36：求圆锥底面半径 【典例精讲】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 【答案】 【思路引导】本题考查圆锥的底面圆的半径的求法，熟练掌握圆锥的弧长等于底面周长是解题的关键； 本题考查圆锥的底面圆的半径的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点，圆锥的底面圆的半径扇形的弧长． 【规范解答】解：连接，依题意，线段是圆的直径． ， ， ∴圆锥的底面圆的半径； 【变式训练】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)在图中画出经过三点的圆弧所在圆的圆心的位置，则圆心的坐标是______，的半径是______； (2)用扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______． 【答案】(1)图见解析，， (2) 【思路引导】（1）连接，作的垂直平分线交于点M，则点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，设点，根据求出k的值即可得出点M的坐标； （2）先利用勾股定理的逆定理证明，由此可求出扇形的弧长，进而根据扇形围成圆锥的底面圆的周长为，可得出这个圆锥底面圆的半径． 【规范解答】（1）解：连接，作的垂直平分线交于点M，如图所示： 则点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，， ∵，， ∴轴， ∴点M的横坐标为， 设点M的纵坐标为k，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点； ∴， ∴的半径是． 故答案为：，； （2）解：由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴扇形的弧长为：， ∴将扇形围成圆锥的底面圆的周长为， 设这个圆锥底面圆的半径是R， 则， ∴， 即这个圆锥底面圆的半径是． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形，垂径定理，圆锥的侧面展开图，圆锥的计算，理解三角形的外接圆与外心，坐标与图形，垂径定理，圆锥的侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，熟练掌握弧长公式，圆的周长公式是解决问题的关键． 考点37：求圆锥的高 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，求此圆锥高的长度． 【答案】 【思路引导】本题考查圆锥的计算，设圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后利用勾股定理计算出的长即可．解题的关键是掌握：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【规范解答】解：设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意，得：， 解得：， 即， ∴， ∴此圆锥高的长度为． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是多少？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了弧长公式、圆锥的计算，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解题关键． （1）根据弧长公式计算即可； （2）设这个圆锥的半径是，根据题意列方程，求出，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：扇形的圆心角是，半径是， 这个扇形的弧长为； （2）解：设这个圆锥的半径是， 则， 解得：， 这个圆锥的高是． 考点38：求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径，母线．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形围成圆锥时，，恰好重合，则的大小是 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查的是求解圆锥的展开图的扇形的圆心角的大小，先求解底面圆的周长，再利用弧长公式建立方程求解圆心角即可． 【规范解答】解：∵圆锥的底面圆直径， ∴底面周长为：， ∵母线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 【变式训练】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，熟练掌握圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解题关键．将圆锥沿母线展开，根据两点之间线段最短可知：即为盘山公路的长度；设展开图的圆心角为，根据圆锥的底面周长是展开的扇形的弧长，可得，从而求得n的值；再利用勾股定理即可求得的长，从而完成解答． 【规范解答】解：如图，将圆锥展开得展开图，为的中点，连接，则是这条盘山公路的长度，设展开图的圆心角为． ∴， ∵圆锥的底面半径是， ∴的长为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 考点39：圆锥的实际问题 【典例精讲】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算． 【规范解答】（1）解：根据题意得， ， ∴； （2）解：，，， 而， ， ． 【变式训练】（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ． 【答案】 /180度 【思路引导】（1）勾股定理求出圆锥的高即可； （1）利用圆锥底面周长等于扇形的弧长，列式计算即可． 【规范解答】解：（1）由题意，得，圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为； 即：水深cm； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴， ∴展开滤纸的圆心角为； 故答案为：． 【考点评析】本题考查求圆锥的高，以及求扇形的圆心角．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，是解题的关键． 考点40：圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 【答案】(1) (2)20.7 【思路引导】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【规范解答】（1）解：如图1， ，则， ∴， 如图2， ，作于D，则， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【考点评析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． 【变式训练】（22-23八年级上·重庆·期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，将圆锥沿母线剪开，其侧面展开图如图2所示，若，，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】6 【思路引导】连接，作于点，根据题意，结合两点之间线段最短，得出即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，进而即可得出结果． 【规范解答】解：如图，连接，作于点， ∴即为蚂蚁爬行的最短距离， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 故答案为： 【考点评析】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质、定理． 1．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线定理，需熟练掌握“弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角”得到的度数是解决本题的关键． 根据可求解的度数，再由可求解的度数，根据结合切线定理即可求解． 【规范解答】解：连接，，，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 则有， 又∵直线为的切线， ∴， 则， 又∵， ∴， 在中，， 又∵， ∴． 故选：C ． 2．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【规范解答】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴的长为； 故选B． 3．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【答案】（1）图见解析（2）变强（3），理由见解析（4）见解析（答案不唯一） 【思路引导】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解题的关键． （1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接，分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心，连接，过点作，则为圆的切线，即为所求； （2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可； （3）连接，等边对等角，得到，切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可； （4）可以根据，进行判断，根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可． 【规范解答】解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接； ②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心； ③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强， 故材料的疏水性随着接触角的变大而变强； 故答案为：变强； （3），理由如下： 连接，则：， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵水滴弧的长度为：， ∴， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． 4．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）证明见解析 （3） （4） 【思路引导】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【规范解答】解：（1）相等，垂直； （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查圆内接四边形的性质和圆周角定理.先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到解题即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 又∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 基础夯实 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，、切于点、，点是上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了切线的性质，利用了圆周角定理，切线的性质，四边形的内角和为求解，连接，构造垂直是解题关键．连接，，由圆周角定理可知，、分别切于点、，利用切线的性质可知，根据四边形内角和可求得． 【规范解答】解：连接，， 由圆周角定理可知， 、分别切于点、， 利用切线的性质可知， 根据四边形内角和可求得． 故选：． 2．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，是的直径，，点C是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据平角求角度数是解题的关键．利用圆心角、弧、弦的关系，结合直径所对圆心角为平角的性质来求解的度数． 【规范解答】解：， 是的直径， ， ， 点C是的中点， ， ，且， ， ． 故选：B． 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条直线上，则图中 是弦， 是直径， 是以A为端点的劣弧， 是以A为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上） 【答案】 ，， ，，   ， 【思路引导】本题考查圆中弦，直径，劣弧，优弧的定义，掌握知识点是解题的关键．根据圆的弦，直径，劣弧，优弧的定义即可解答． 【规范解答】解：由图，得：，，是弦，是直径，，，是以A为端点的劣弧，  ，是以A为端点的优弧． 故答案为：，，；；，，；  ，． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O，A重合），过点B作的垂线交于点C．以为邻边作矩形，连接．若，，则的长为 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，矩形的性质，连接，由矩形的性质得到，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，，，将绕点B顺时针旋转一定的角度得到，点的对应点分别是，连接． (1)如图1，当点E恰好在上时，求的大小； (2)如图2，若，点F是的中点，判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)如图3，若点F为中点，求证：C、E、F三点共线． 【答案】(1) (2)平行四边形，见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可求，即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，即可求解； （3）通过证明点、点、点、点四点共圆，点，点，点，点四点共圆，可得，，可得结论； 【规范解答】（1）【小问1详解】 解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ，，， ， ； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 点是边的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，，， ，为等边三角形， ， ，，， ， ， ， 而， 四边形是平行四边形； （3）证明：如图，连接，，， 将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ，， 为中点， ， ， 而， 点、点、点、点四点共圆， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， 点，点，点三点共线； 【考点评析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，圆的有关知识，平行四边形的判定，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 培优拔高 6．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点，连接，．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【思路引导】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．根据折叠的性质可得；根据线段中点的定义可得；根据垂径定理可作判断③延长交于E，连接，根据垂径定理可作判断④． 【规范解答】解：过D作，交于，连接、， 由折叠得：，， ∴，故B正确； ∵点D是的中点， ∴，故A正确； ∵， ∴， 由折叠得：， ∴；故C正确； 延长交于E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴不平分，故D错误； 故选：D． 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）有下列四个命题：①直径是弦；②垂直平分弦的直线一定经过圆心；③平分弦所对两条弧的直线一定垂直平分弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查圆的性质，涉及垂径定理和直径的定义，利用圆的概念和垂径定理判断即可． 【规范解答】解：①直径是圆中最长的弦，故①正确； ②垂直于弦且平分弦的直线必过圆心，故②正确； ③平分弦所对两条弧的直线一定垂直平分弦，故③正确； ④平分非直径的弦的直径垂直弦，故④错误； 故选：C． 8．（2025·陕西榆林·三模）如图，是的内接三角形．若，则 °． 【答案】120 【思路引导】连接．利用等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理解答即可． 【规范解答】解：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴ ， ∴． 故答案为：120． 【考点评析】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 9．（2025·陕西延安·二模）如图，正五边形的边长为2，以顶点为圆心，的长为半径画弧，交正五边形于点，则图中的长为 ．（结果保留） 【答案】 【思路引导】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，根据正五边形的性质求出五边形的内角的度数，即扇形圆心角度数，再根据弧长的计算方法进行计算即可． 【规范解答】解：∵五边形是正五边形， ∴， 而正五边形的边长为2， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片，，，请在纸片上找一点P，使得． 【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上……，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）______；所在的圆的半径长为______；面积的最大值______． 【类比】 请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片上有一点Q，且． （2）请在纸片上画出所有满足条件的Q（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）连接，求线段的最小值； （4）过点Q作，垂足为H．若的面积的最小值为，请直接写出长的范围． 【答案】（1） （2）见解析. （3）的最小值. （4）长的范围是 【思路引导】本题考查了圆周角定理、圆的基本性质、尺规作图、几何图形最值问题（面积最值、线段最值）及矩形的性质，解题的关键是将角度条件转化为圆周角与圆心角的关系，利用圆的性质确定点的轨迹，结合几何图形特征计算最值和范围． （1）①由圆周角定理得；②利用等腰直角三角形性质求半径；③确定P在中垂线上时面积最大，计算高的长度得面积最大值． （2）①以为圆心，长为半径画弧交于圆心O（构造）；②以为圆心画圆，交矩形两边得弧，弧上点即为 Q． （3）①计算圆心O到点D的距离；②利用圆外一点到圆上点的最短距离公式，得最小值半径． （4）①将面积最小值转化为的最小值，结合圆的半径和勾股定理得；②确定H点位置范围，得出的范围为． 【规范解答】（1）分别为的圆心角和圆周角， ∴ 所在的圆的半径长 当点P在的中垂线上时，面积的最大， 延长交于点G，则，在等腰中，， 则 ∴ 则面积的最大值 故答案为：． （2）分别以点为圆心，以长度为半径作弧，交于点O，以O为圆心，长度为半径作圆O，分别交于点，则上的任意点即为点Q； （3）当点共线时，最小，连接，过点O作，作于点G，作于点T，由（2）知，， ∴ ∴ ∴，而圆的半径为4， 则的最小值． （4）∵的面积 ∴而则， ∴ 则 即若的面积的最小值为 则长的范围是． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.9 对称图形—圆（章节复习） （知识梳理+40个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共95题） 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：圆的定义及性质 3 知识点梳理02：圆的有关概念 3 知识点梳理03：垂径定理 4 知识点梳理04：垂径定理的应用 4 知识点梳理05：确定圆的条件 4 知识点梳理06：三角形的外接圆与外心 4 知识点梳理07：圆心角的概念 4 知识点梳理08：圆角角的概念 5 知识点梳理09：圆内接四边形 5 知识点梳理10：直线与圆的位置关系 5 知识点梳理11：切线的性质与判定定理 6 知识点梳理12：切线长定理 6 知识点梳理13：三角形的内切圆和内心 6 知识点梳理14：圆内正多边形的计算 7 知识点梳理15：与正多边形有关的概念 7 知识点梳理16：正多边形的对称性 8 知识点梳理17：扇形的弧长和面积计算 8 知识点梳理18：扇形与圆柱、圆锥之间联系 8 优选题型 考点讲练 9 考点1：已知半径和圆上两点作圆 9 考点2：点与圆上一点的最值问题 9 考点3：圆心角概念辨析及简单运算 11 考点4：求圆弧的度数 11 考点5：利用垂径定理求平行弦问题 12 考点6：利用垂径定理求同心圆问题 13 考点7：利用垂径定理求解其他问题 14 考点8：垂径定理的实际应用 14 考点9：利用弧、弦、圆心角的关系求解 15 考点10：利用弧、弦、圆心角的关系求证 16 考点11：求特殊三角形外接圆的半径 17 考点12：已知外心的位置判断三角形的形状 18 考点13：判断三角形外接圆的圆心位置 19 考点14：同弧或等弧所对的圆周角相等 20 考点15：半圆（直径）所对的圆周角是直角 21 考点16：90度的圆周角所对的弦是直径 22 考点17：切线的性质和判定的综合应用 23 考点18：应用切线长定理求解 24 考点19：应用切线长定理求证 25 考点20：三角形内切圆与外接圆综合 27 考点21：过圆外一点作圆的切线(尺规作图） 28 考点22：圆内知识综合（圆的综合问题） 29 考点23：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 30 考点24：圆与四边形的综合（圆的综合问题） 32 考点25：正多边形和圆的综合 33 考点26：求正多边形的中心角 33 考点27：已知正多边形的中心角求边数 34 考点28：尺规作图——正多边形 35 考点29：求弧长 36 考点30：求某点的弧形运动路径长度求扇形面积 36 考点31：求图形旋转后扫过的面积 38 考点32：求图形旋转后扫过的面积 38 考点33：求弓形面积 39 考点34：求其他不规则图形的面积 40 考点35：求圆锥侧面积 41 考点36：求圆锥底面半径 41 考点37：求圆锥的高 42 考点38：求圆锥侧面展开图的圆心角 43 考点39：圆锥的实际问题 44 考点40：圆锥侧面上最短路径问题 45 中考智能体 实战演练 46 难度分层 拔尖冲刺 49 基础夯实 49 培优拔高 51 知识点梳理01：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点梳理02：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点梳理03：垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点梳理04：垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 知识点梳理05：确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 知识点梳理06：三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 知识点梳理07：圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点梳理08：圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点梳理09：圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 知识点梳理10：直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点梳理11：切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 知识点梳理12：切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点梳理13：三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 知识点梳理14：圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行， 知识点梳理15：与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点梳理16：正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 知识点梳理17：扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点梳理18：扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 考点1：已知半径和圆上两点作圆 【典例精讲】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 【变式训练】如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为 ． 考点2：点与圆上一点的最值问题 【典例精讲】（2025·贵州遵义·模拟预测）综合与探究： 问题情境：如图，和都是等腰直角三角形，，连接，是的中点，连接． (1)【问题发现】 如图1，当点在边上时，连接，则___________，___________； (2)【进阶探究】 如图2，当点在边上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明该结论；若不成立，请说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，将图1中绕点逆时针旋转度（），若，．直接写出的最小值． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知的半径为6，圆心角，C是圆周上的一个动点，分别以，为边作，连．在点C的运动过程中，的最大值为 ． 考点3：圆心角概念辨析及简单运算 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为 ． 【变式训练】（21-22七年级下·浙江舟山·期末）公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度，他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，在同时刻，光线与A城和地心的连线所夹的锐角记为∠1，光线与B城和地心的连线重合，通过测量A，B两城间的路程（即弧AB）和∠1的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知弧AB的长度约为800km，若∠1≈7.2°，则地球的周长约为 km． 考点4：求圆弧的度数 【典例精讲】（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为 ． 【变式训练】（22-23八年级下·河南洛阳·期中）如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（    ） A． B． C． D． 考点5：利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【变式训练】（2023·山东济南·一模）如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；③连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A． B．若，则 C． D． 考点6：利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【变式训练】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 考点7：利用垂径定理求解其他问题 【典例精讲】（22-23九年级上·吉林松原·期中）如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】．（2024九年级上·全国·专题练习）已知：如图，为直径上一点，、为过点的两条弦，且．求证： (1)； (2)． 考点8：垂径定理的实际应用 【典例精讲】（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面宽度，则水的最大深度是 ． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，摩天轮最高处离地面的距离是米，最低处离地面的距离是米．摩天轮旋转一周需分钟．若游客从处乘摩天轮旋转一周，则该游客在离地面的距离米以上的时间有 分钟． 考点9：利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（2025·广西南宁·一模）图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知是半圆O的直径，，点C在半圆O上，过点A作，垂足为点D，的延长线与弦交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，求的长． 考点10：利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的半径． 【变式训练】（22-23九年级上·河北石家庄·期中）已知：不在同一直线上的三点，，，求作：，使它经过点，，，作法：如图． （1）连接，作线段的垂直平分线； （2）连接，作线段的垂直平分线，与直线交于点； （3）以为圆心，长度为半径作，则即为所求． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论正确的是（        ） A．连接，则点是的内心 B．若与直线，分别交于点，，则 C．连接，，则接，不是的半径 D．连接，则点在线段的垂直平分线上 考点11：求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·河北沧州·期末）在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线上的一点，C是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点12：已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】（2020·河北·二模）如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2022·河北邯郸·二模）如图，点是的边上一点，，，相交于点． (1)求证：； (2)若． ①当时，求的度数； ②当的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 考点13：判断三角形外接圆的圆心位置 【典例精讲】（24-25九年级上·广东惠州·期末）在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)请在图中标出的外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【变式训练】（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知在平面直角坐标系中位置如图． (1)利用格点画出的外接圆，并写出圆心的坐标为______； (2)画出绕点C按顺时针方向旋转后的； (3)画出关于O点的中心对称图形． 考点14：同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，A、是上的两点，A是的中点，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使．延长至点，连接，使． (1)求证：； (2)如图2，若过圆心，平分，，． ①求证：； ②求的长． 考点15：半圆（直径）所对的圆周角是直角 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，是的直径，点A，C在上， 连接交于点G，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若＝，＝，求的长． 考点16：90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知四边形内接于，且于点． (1)如图1，过圆心作于点． ①若半径为5，，求的长； ②试判断与的数量关系，并写出证明过程． (2)如图2，记，，，的面积分别为，，，，当时，求证：． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林长春·期末）请按要求完成下列图形，确定圆心的位置，并简要说明方法与依据． (1)在图①中，只允许使用三角尺． (2)在图②中，只允许使用直尺和圆规． 考点17：切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与 交于点是的直径，弦的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，点为上一点，连接并延长至点．过点作的切线，点为切点，连接．点为上一点，，连接，，，．求证：为的切线． 考点18：应用切线长定理求解 【典例精讲】（2025·江苏南京·二模）如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． (1)若，则的长为___________； (2)求证． 【变式训练】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）已知如图，的外切等腰梯形的中位线，求梯形的腰长．（梯形中位线是指连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半）． 考点19：应用切线长定理求证 【典例精讲】（24-25九年级上·重庆江北·期末）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 【变式训练】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，求的面积． 解：设的内切圆分别与相切于点的长为． 根据切线长定理，得． 根据勾股定理，得． 整理，得． 所以 ． 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索． 如图（2）所示，已知的内切圆与三边相切于点． 【探究发现】 （1）若，求证：的面积等于． 【逆向思维】 （3） 若，求证． 考点20：三角形内切圆与外接圆综合 【典例精讲】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知锐角中，O是的中点，甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法如下．对于甲、乙二人的做法，正确的是（   ） 甲的作法 …（如图） 乙的作法 以A为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【变式训练】（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 考点21：过圆外一点作圆的切线(尺规作图） 【典例精讲】（2025·江西抚州·二模）如图是的正方形网格，网格边长为1，的顶点均在格点上．已知的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图，保留作图痕迹． (1)作的外接圆的直径； (2)过点B作的外接圆的切线． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）已知A是上一点．如图，过点A作出的一条切线，切点为A（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）． （2）已知P是外一点．如图，过点P作出的两条切线，切点分别为点E、F（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）． （3）在（2）的条件下，若点D在上（点D不与E、F两点重合），且，则 ． 考点22：圆内知识综合（圆的综合问题） 【典例精讲】（21-22九年级上·江苏盐城·期末）【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长． 【变式训练】（22-23九年级上·天津北辰·期末）已知为的直径，，为上一点，连接，． (1)如图①，若为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长． 考点23：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 【典例精讲】（2025·陕西汉中·二模）如图，以的边为直径的与边相交于点，过点作于点． (1)求证：为的切线； (2)若的直径为8，求的长． 【变式训练】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 考点24：圆与四边形的综合（圆的综合问题） 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【变式训练】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 考点25：正多边形和圆的综合 【典例精讲】（24-25九年级上·山东济宁·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，点A在上，半径，以点A为圆心，在上依次截取长度等于半径r的弦，，，，，连接，则六边形的面积为 ．（请用含r的式子表示） 考点26：求正多边形的中心角 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是 ．      【变式训练】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 考点27：已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 【变式训练】（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 考点28：尺规作图——正多边形 【典例精讲】（2020九年级下·山东青岛·学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【变式训练】（20-21九年级上·湖北武汉·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行； （2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF； （3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行． 考点29：求弧长 【典例精讲】（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在上，，以，为边作． (1)当经过圆心O时（如图1），求的度数； (2)当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 【变式训练】（2025·安徽马鞍山·三模）如图，为的直径，，为上一点，过点作交于点，，连接，，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 考点30：求某点的弧形运动路径长度求扇形面积 【典例精讲】．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别为、、． (1)在图中画出将绕原点逆时针旋转后得到的； (2)点的坐标为________，点的坐标为________； (3)在旋转过程中，求点所经过的路径长． 【变式训练】（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，在正方形网格中，已知的顶点都在格点上，根据平面直角坐标系中所给的条件解答下列问题： (1)作出关于原点中心对称的，写出点的坐标； (2)作出绕点C 逆时针旋转后的，求出点B的运动路径长． 考点31：求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在扇形中，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，是直径，C是圆上的一点，点D在的延长线上，直线是的切线． (1)求证：． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 考点32：求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，若，，则点运动路径长度及边扫过的面积分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)画出绕点B逆时针旋转后得到的，并求出旋转到扫过的面积． 考点33：求弓形面积 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北黄石·期末）如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是以的边为直径的圆，，，与交于点D． (1)求证：是的切线； (2)求阴影部分面积． 考点34：求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，边长为4的正方形的顶点在上，顶点在内，的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式训练】（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，，于点．若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 考点35：求圆锥侧面积 【典例精讲】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，直角中，，，，直角将沿着它的一条边旋转一周，得到一个什么图形？试求出其表面积和点运动的路程． 【变式训练】（23-24九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 考点36：求圆锥底面半径 【典例精讲】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)在图中画出经过三点的圆弧所在圆的圆心的位置，则圆心的坐标是______，的半径是______； (2)用扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______． 考点37：求圆锥的高 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，求此圆锥高的长度． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是多少？ 考点38：求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径，母线．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形围成圆锥时，，恰好重合，则的大小是 ． 【变式训练】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 考点39：圆锥的实际问题 【典例精讲】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【变式训练】（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ． 考点40：圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 【变式训练】（22-23八年级上·重庆·期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，将圆锥沿母线剪开，其侧面展开图如图2所示，若，，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 1．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 4．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 基础夯实 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，、切于点、，点是上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，是的直径，，点C是的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条直线上，则图中 是弦， 是直径， 是以A为端点的劣弧， 是以A为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上） 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O，A重合），过点B作的垂线交于点C．以为邻边作矩形，连接．若，，则的长为 ． 5．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，，，将绕点B顺时针旋转一定的角度得到，点的对应点分别是，连接． (1)如图1，当点E恰好在上时，求的大小； (2)如图2，若，点F是的中点，判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)如图3，若点F为中点，求证：C、E、F三点共线． 培优拔高 6．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点，连接，．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．平分 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）有下列四个命题：①直径是弦；②垂直平分弦的直线一定经过圆心；③平分弦所对两条弧的直线一定垂直平分弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2025·陕西榆林·三模）如图，是的内接三角形．若，则 °． 9．（2025·陕西延安·二模）如图，正五边形的边长为2，以顶点为圆心，的长为半径画弧，交正五边形于点，则图中的长为 ．（结果保留） 10．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片，，，请在纸片上找一点P，使得． 【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上……，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）______；所在的圆的半径长为______；面积的最大值______． 【类比】 请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片上有一点Q，且． （2）请在纸片上画出所有满足条件的Q（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）连接，求线段的最小值； （4）过点Q作，垂足为H．若的面积的最小值为，请直接写出长的范围． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$