专专题2.7 弧长及扇形的面积（知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题2.7 弧长及扇形的面积 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：弧长的计算 1 知识点梳理02：扇形面积的计算 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：求弧长 2 考点2：求扇形半径 3 考点3：求圆心角 4 考点4：求某点的弧形运动路径长度 4 考点5：求扇形面积 6 考点6：求图形旋转后扫过的面积 7 考点7：求弓形面积 8 考点8：求其他不规则图形的面积 9 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 11 基础夯实 11 培优拔高 15 知识点梳理01：弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点梳理02：扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 考点1：求弧长 【典例精讲】（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，已知正六边形的边长为3，以点为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，求长． 考点2：求扇形半径 【典例精讲】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是 平方尺．（结果用含的式子表示） 考点3：求圆心角 【典例精讲】（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)已知，． ①求的半径长； ②若劣弧的长度为，求的度数 【变式训练】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是正六边形的外接圆，半径是6，则的长是 ． 考点4：求某点的弧形运动路径长度 【典例精讲】（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【变式训练】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点P都在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于点P成中心对称的； (2)画出绕点P逆时针方向旋转后所得到的； (3)在（2）中，点B绕点P逆时针方向旋转的路径长为______． 考点5：求扇形面积 【典例精讲】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是的直径，弦，连接，，，且． (1)求的度数． (2)若，求图中阴影部分的面积． 【变式训练】（24-25九年级上·福建莆田·期中）电焊工想利用一块边长为a的正方形钢板做成一个扇形，于是设计了以下三种方案： 方案一：如图1，直接从钢板上割下扇形． 方案二：如图2，先在钢板上沿对角线割下两个扇形，再焊接成一个大扇形（如图3）． 方案三：如图4，先把钢板分成两个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将四个小扇形按类似图3的方法焊接成一个大扇形． (1)由方案一、二可知图1、图3中所得扇形的圆心角均为90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圆心角是否也是，请说明理由． (2)由方案一、二容易得出图1的扇形与图3的扇形的面积相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面积是否也与方案二所焊接成的大扇形的面积相等；若不相等，面积是增大还是减小？请说明理由． (3)若将正方形钢板按类似图4的方式割成n个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将这2n个小扇形按类似方案三的方式焊接成一个大扇形，则当n逐渐增大时，所焊接成的大扇形的面积如何变化？ 考点6：求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（）的条件下，求在旋转过程中所扫过的面积（结果保留）． 【变式训练】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 考点7：求弓形面积 【典例精讲】（2025·江西抚州·二模）如图，在中，以为直径的交于点，连接． (1)如图1，若，，求证：为的切线； (2)如图2，若为的切线，，，求阴影部分的面积． 【变式训练】（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，以为直径的经过的顶点C，点E是的内心，连接并延长交于点D，连接． (1)试判断的形状并证明； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 考点8：求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点D为上一点，点C在直径的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，，则图中阴影部分的面积； 【变式训练】（2025·重庆·一模）如图，在菱形中，，，点E是的中点，以C为圆心，为半径作弧，交于点F，连接、、，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ． 3．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ． 5．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 基础夯实 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．中心线可看做半径为，圆心角为所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东潮州·期末）若扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，正方形的对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    5．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为 ． 6．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为 （结果保留）． 7．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，六边形是的内接正六边形，连接，． (1)填空：的度数为_____． (2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 8．（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 9．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，是的直径，四边形内接于，延长、交于点，且． (1)求证：； (2)连接、，若，，求扇形的面积． 10．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图1，已知正方形内有一图形，它是由的优弧和弦组成的封闭图形，我们称它为圆缺，其中正方形的边长为10，圆缺的半径为4，． (1)发现：①_____； ②当圆缺与正方形的两条边相切时，两切点之间的弧长是定值，则这个定值是_____； (2)当圆缺在正方形内部自由运动到如图2所示的位置时，求阴影部分的面积； (3)思考：①当圆缺与相切于点时，求点和点之间的最小距离； ②当点在上，点在上（，均不与点重合）时，设弦的中点为，直接写出线段的最小值_____． 培优拔高 11．（24-25九年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，正六边形边长为，分别以为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，P是外一点，射线交于A，B两点，与相切于点C，，若，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C．1 D． 13．（2025·山西·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，，则阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 16．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，小明为节省搬运力气，把一个棱长为的正方体木箱在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面又落回到地面，则点所走路径的长度为 ． 17．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ． 18．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在扇形中，，，以为直径作半圆，求图中阴影部分的面积． 19．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）课本再现 我们在学习直线和圆的位置关系时，教材中定义了切线，即直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一公共点叫做切点．如图1，直线，垂足为，点在上，请说明直线是的切线； 知识应用 如图2，、、、均在上，连接外一点与上一点，并延长交于点，，垂足为，连接交于点，若的半径为4，，． （1）求证：是的切线； （2）求线段和弧的长． 20．（2025九年级下·江苏南京·专题练习）如图，内接于， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求弦所对的弧长； (3)在（2）的条件下，点C在优弧上运动，是否存在点C，使点O到弦的距离为？若有，请直接写出的长；若没有，请说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 弧长及扇形的面积 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：弧长的计算 1 知识点梳理02：扇形面积的计算 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：求弧长 2 考点2：求扇形半径 4 考点3：求圆心角 6 考点4：求某点的弧形运动路径长度 8 考点5：求扇形面积 10 考点6：求图形旋转后扫过的面积 13 考点7：求弓形面积 16 考点8：求其他不规则图形的面积 19 中考真题 实战演练 22 难度分层 拔尖冲刺 28 基础夯实 28 培优拔高 38 知识点梳理01：弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点梳理02：扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 考点1：求弧长 【典例精讲】（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，已知正六边形的边长为3，以点为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正多边形的内角和内角、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 先求正六边形内角和等于，求出内角，再根据弧长公式求解即可． 【规范解答】解：∵正六边形的边长为3， ∴正六边形的内角和为，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，求长． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查了圆的切线的判定，弧长公式. （1）连接，只需证明即可； （2）由（1）中的结论可得，可求得的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可． 【规范解答】（1）解：相切．理由如下： 连接， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：若，可得， ∴， 又∵， ∴， ∴的长． 考点2：求扇形半径 【典例精讲】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【规范解答】解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 【考点评析】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是 平方尺．（结果用含的式子表示） 【答案】 【思路引导】本题主要考查了圆锥的计算、弧长的计算等知识点，从实际问题中抽象出圆锥的知识是解题的关键． 设米堆底部的扇形半径为r尺，根据米堆底部的弧长为8尺，求出底面半径为，所以这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积的和，据此解答即可． 【规范解答】解：设圆锥的底面半径为r尺， 由米堆底部的弧长为8尺，可得，解得：， ∴这个米堆遮挡的墙面面积是（平方尺）． 故答案为：． 考点3：求圆心角 【典例精讲】（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)已知，． ①求的半径长； ②若劣弧的长度为，求的度数 【答案】(1)见解析 (2)①的半径长为5；② 【思路引导】本题考查了垂径定理及其推论、勾股定理、弧长的计算等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）首先证明，然后根据垂径定理的推论，即可得到结论； （2）①首先根据垂径定理可得，再根据勾股定理解得，即可获得答案；②设，根据弧长公式解得，即，然后确定的度数即可． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵，，， ∴，， ∴，即， 解得， ∴的半径长为5； ②设， ∵劣弧的长度为， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 【变式训练】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是正六边形的外接圆，半径是6，则的长是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆心角和弧的度数，由正六边形，得到，便可得是等边三角形，即可求解，掌握基础知识是解题的关键． 【规范解答】解：由正六边形， ∴， 又∵是的半径， ∴， ∴是等边三角形， ∵的半径是6， ∴， 故答案为：． 考点4：求某点的弧形运动路径长度 【典例精讲】（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【思路引导】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解； （2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可，即可写出点的坐标； （3）先由勾股定理求出，再由弧长公式求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求： ∵， ∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到，即； （2）解：如图，即为所求，； （3）解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为 【变式训练】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点P都在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于点P成中心对称的； (2)画出绕点P逆时针方向旋转后所得到的； (3)在（2）中，点B绕点P逆时针方向旋转的路径长为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查作图，熟练掌握中心对称图形点的坐标特征是解题的关键． （1）根据中心对称图形点的坐标特征画出图形即可； （2）根据旋转的性质画出图形即可； （3）利用弧长公式进行计算即可． 【规范解答】（1） 解： （2） 解： （3）解：点B绕点P逆时针方向旋转的路径长为， 故答案为：． 考点5：求扇形面积 【典例精讲】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是的直径，弦，连接，，，且． (1)求的度数． (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【思路引导】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算，掌握垂径定理，扇形面积的计算是关键． （1）根据圆周角定理得到，由平角的性质即可求解； （2）根据题意得到，，所以阴影部分的面积是扇形的面积，根据扇形的面积的计算即可求解． 【规范解答】（1）解：所对的圆心角为，所对的圆周角为， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的直径，弦，设垂足为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【考点评析】 【变式训练】（24-25九年级上·福建莆田·期中）电焊工想利用一块边长为a的正方形钢板做成一个扇形，于是设计了以下三种方案： 方案一：如图1，直接从钢板上割下扇形． 方案二：如图2，先在钢板上沿对角线割下两个扇形，再焊接成一个大扇形（如图3）． 方案三：如图4，先把钢板分成两个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将四个小扇形按类似图3的方法焊接成一个大扇形． (1)由方案一、二可知图1、图3中所得扇形的圆心角均为90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圆心角是否也是，请说明理由． (2)由方案一、二容易得出图1的扇形与图3的扇形的面积相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面积是否也与方案二所焊接成的大扇形的面积相等；若不相等，面积是增大还是减小？请说明理由． (3)若将正方形钢板按类似图4的方式割成n个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将这2n个小扇形按类似方案三的方式焊接成一个大扇形，则当n逐渐增大时，所焊接成的大扇形的面积如何变化？ 【答案】(1)大于，理由见解析 (2)不能相等，面积增大；理由见解析 (3)当n逐渐增大时，焊接成的大扇形的面积增大 【思路引导】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，列出扇形的面积是解题的关键． （1）取的中点M、N，连接，求出，从而得到； （2）根据扇形的面积公式进行解答； （3）n越大，焊接而成的大扇形的圆心角越大，可知扇形的面积越大． 【规范解答】（1）解：不能为90°． 如图，取的中点M、N，连接； 则， ∴； 在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴按方案三所焊接而成的大扇形的圆心角必大于90°． （2）解：不能相等，面积增大． ∵，是常数， ∴圆心角n增大，扇形的面积必增大； 由（1）知，按方案三所焊成的大扇形的圆心角大于90°， ∴按方案三所焊成的大扇形的面积大于按方案二所焊接成的大扇形的面积． （3）解：n越大，所焊接成的大扇形的面积也越大． ∵，是常数， ∴n越大，焊接而成的大扇形的圆心角越大， ∴焊接成的大扇形的面积也越大． 考点6：求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（）的条件下，求在旋转过程中所扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1)画图见解析，； (2)画图见解析，； (3)线段扫过的图形面积为． 【思路引导】本题主要考查了旋转的性质，坐标与轴对称及扇形面积计算公式，熟练掌握旋转的性质，坐标与轴对称及扇形面积计算公式是解题的关键． （）在平面直角坐标系中找到点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，然后连接、和，即可求解； （）根据图形旋转的作法作图即可，然后写出点的坐标即可； （）先根据勾股定理得出，再由扇形面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：如图，即为所求，； （3）解：如图， 由（）可知，可得线段扫过的图形为扇形， ∵，， ∴线段扫过的图形面积． 【变式训练】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查不规则图形面积的计算．首先求出，，然后根据结合三角形面积公式和扇形面积公式进行计算即可． 【规范解答】解：∵，，， ，， ， 故选：A． 考点7：求弓形面积 【典例精讲】（2025·江西抚州·二模）如图，在中，以为直径的交于点，连接． (1)如图1，若，，求证：为的切线； (2)如图2，若为的切线，，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． （1）由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理即可求出，结合时半径即可证明； （2）过点作于点，求出，由圆周角定理求出，易证为等边三角形，求出，利用即可求解． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ． 是的直径， 为的切线； （2）解：如图，过点作于点． 为的切线， ， ， ． ， 为等边三角形， ， ． 【变式训练】（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，以为直径的经过的顶点C，点E是的内心，连接并延长交于点D，连接． (1)试判断的形状并证明； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析 (2) 【思路引导】本题是圆的综合题，考查了扇形的面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，由点是的内心，得到、分别平分、，根据角平分线的定义得到，，得到，根据等腰直角三角形的判定定理得到结论； （2）连接、，与交于点，由（1）可知△为等腰直角三角形，根据勾股定理得到，根据平分，，求得，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵为直径， ∴， ∵点E是的内心， ∴分别平分、， ∴，， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：如图，连接与交于点F， 由（1）可知为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点8：求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点D为上一点，点C在直径的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，，则图中阴影部分的面积； 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查圆周角定理的推论，扇形面积公式，切线的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能准确添加辅助线是解决此题的关键． （1）根据圆周角定理的推论和等腰三角形的性质，得出，即即可得出结论； （2）利用切线的性质和圆周角定理得出，，求得的长，再根据阴影部分的面积，代入数据计算即可得解． 【规范解答】（1）解：如图，连接， ∵是的直径， ，即， ， ， 又， ，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为1， ， ∵是的切线，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 【变式训练】（2025·重庆·一模）如图，在菱形中，，，点E是的中点，以C为圆心，为半径作弧，交于点F，连接、、，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】连接，根据菱形的性质求出和，根据勾股定理求出，，根据菱形性质求出，根据勾股定理求出，得出，根据求出结果即可． 【规范解答】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∵E为的中点， ∴，， 由勾股定理得：， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴阴影部分的面积： ． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质、扇形的面积计算，勾股定理，等知识点，求得和扇形的面积是解题的关键． 1．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【思路引导】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用计算即可． 【规范解答】解：过A作， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， 设长度为，则，在中，由勾股定理得： 解得：， ， ， 则，， ， ． 故答案为：． 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 【规范解答】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【规范解答】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 4．（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上的面积，即为扇形的面积，进行求解即可． 【规范解答】解：连接，交于点，则：， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 5．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 【规范解答】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 基础夯实 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．中心线可看做半径为，圆心角为所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了弧长的计算公式，根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 【规范解答】解：的长为． 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东潮州·期末）若扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【规范解答】解：， 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键. 根据题意用弧长公式计算即可. 【规范解答】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（）， 故选：C. 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，正方形的对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    【答案】/ 【思路引导】先求出正方形对角线长度，进而得到扇形半径，再根据正方形面积减去两个扇形面积求出阴影部分面积．本题主要考查了正方形的性质以及扇形面积的计算，熟练掌握正方形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【规范解答】解：四边形是正方形， ， 图中阴影部分的面积为 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了弧长的计算和圆周角定理．根据圆周角的性质，计算出弧所对的圆心角度数，按照弧长公式求出弧长即可． 【规范解答】解：如图，连接， ∵． ∴， ∴， ∴弧的长为． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为 （结果保留）． 【答案】 【思路引导】本题考查了弧长公式和扇形的面积计算，注意：已知扇形的圆心角是，半径为r，那么扇形的面积是． 求出OC的长度，根据弧长公式求出的长度即可；根据扇形的面积公式求出折扇扇面的面积即可． 【规范解答】解：，， ， 折扇张开的角度为， 折扇扇面的面积为． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，六边形是的内接正六边形，连接，． (1)填空：的度数为_____． (2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了正多边形与圆、直角三角形性质、勾股定理、弧长公式等知识，掌握这些是解题的关键． （1）根据正n边形中心角为，即可求解； （2）过点O作于点P，求得是等边三角形，利用直角三角形性质结合勾股定理求得半径是4，再利用弧长公式求解即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，过点O作于点P， ， 是等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负值）， ， ， 的长为， 阴影部分的周长为． 8．（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【答案】(1) (2) (3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到 【思路引导】本题考查了圆的性质、平面直角坐标系、旋转： （1）先证明四边形是正方形即可得到坐标； （2）根据，算出圆的周长即可得到叶瓣的周长； （3）利用旋转即可． 【规范解答】（1）以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点 是正方形 （2）原点，为圆心、以为半径作圆 两个圆是等圆 叶瓣①的周长为： （3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到． 9．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，是的直径，四边形内接于，延长、交于点，且． (1)求证：； (2)连接、，若，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质以及扇形面积的计算，熟练掌握这些性质和公式是解题的关键． （1）通过等腰三角形性质及圆内接四边形性质找到角的关系，从而证明线段相等． （2）先求出相关角度，再利用扇形面积公式计算面积． 【规范解答】（1）解： 四边形内接于 （2）解：连接，， ， 在等腰三角形中， 在等腰三角形中， 扇形的面积为 故答案为：． 10．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图1，已知正方形内有一图形，它是由的优弧和弦组成的封闭图形，我们称它为圆缺，其中正方形的边长为10，圆缺的半径为4，． (1)发现：①_____； ②当圆缺与正方形的两条边相切时，两切点之间的弧长是定值，则这个定值是_____； (2)当圆缺在正方形内部自由运动到如图2所示的位置时，求阴影部分的面积； (3)思考：①当圆缺与相切于点时，求点和点之间的最小距离； ②当点在上，点在上（，均不与点重合）时，设弦的中点为，直接写出线段的最小值_____． 【答案】(1)①；② (2) (3)①4；② 【思路引导】（1）①，，求出的长度及高线的长度，则面积可求； ②根据圆O与正方形相切，可推导出圆心角的度数，再利用弧长公式，求出弧长即可． （2）利用割补法，连接切点和圆心，过点O作的垂线，分别求出各部分的面积． （3）①垂直于，当点N落在上时，最小，根据勾股定理求出线段的长度，再用就是的最小值； ②点G在以B为圆心，长为半径的圆上，当D、B、G三点共线时，最短，进而求解即可． 【规范解答】（1）①∵，， 如图1所示，过点O作垂直于点H， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； ②如图2所示， ∵P、Q为圆O的切线，连接、， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴； （2）如图3所示，连接，过点O作垂直于点P， ∵Q为圆O的切点， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； （3）①如图4所示， 当垂直时， ∵，，， ∴， 当点N落在边上时，最小， ∵，， ∴， ∴； ②如图5所示， ∵， ∴， ∴点G在以B为圆心，长为半径的圆上运动， 当B、G、D三点共线时，最短， ∵， ∴． 【考点评析】此题考查了圆的相关性质及与圆有关的计算，勾股定理，矩形的性质和判定，求阴影面积和弧长，切线的性质等知识，利用特殊角度和相切求线段长度为解题关键． 培优拔高 11．（24-25九年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，正六边形边长为，分别以为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，扇形的面积等，取正六边形边长中心，连接，过点作于，由正六边的性质可得，，即得是等边三角形，求出的面积可得正六边形的面积，最后根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：如图所示，取正六边形边长中心，连接，过点作于，， ∵是正六边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选：． 12．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，P是外一点，射线交于A，B两点，与相切于点C，，若，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，如图，与交于点E，连接、，先由已知推出，，则，，，进而得是等边三角形，则，，进而得，扇形的面积扇形的面积，再根据阴影部分的面积梯形的面积扇形的面积 扇形的面积求解即可． 【规范解答】解：如图，与交于点E，连接、， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴扇形的面积扇形的面积， 阴影部分的面积梯形的面积扇形的面积 扇形的面积 梯形的面积 ， 故选：D． 13．（2025·山西·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查圆面积的计算，正方形的性质，根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【规范解答】解：如图， 空白①的面积为， 空白部分②的面积， 所以阴影部分的面积 ， 故选：A． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】连接，证明阴影部分的面积为，根据中位线定理，等腰三角形的性质，扇形的面积公式解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，中位线定理，扇形面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 【规范解答】解：连接， ∵，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∵，， ∴，， ∴, ∴, 故答案为：． 15．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 【答案】 【思路引导】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含角的直角三角形特征，勾股定理，根据计算即可，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 【规范解答】解：∵旋转， ∴， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，小明为节省搬运力气，把一个棱长为的正方体木箱在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面又落回到地面，则点所走路径的长度为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了弧长公式．解题的关键在于明确旋转路径．分别计算每次旋转的路径，求和计算即可． 【规范解答】解：第一次是以B为旋转中心，长为半径旋转， 此次点走过的路径是． 第二次是以为旋转中心，长为半径旋转， 此次走过的路径是． 第三次是以A为旋转中心，长为半径旋转， 此次走过的路径是． ∴点从起始位置翻滚一周后所经过的长度 ． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了图形的旋转、不规则图形的面积计算、勾股定理等知识点，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键． 由勾股定理可得，根据旋转的性质得到，，进而得到，再结合扇形面积公式求解即可． 【规范解答】解：∵在中，，， ， 将绕点B逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ， 。 故答案为：． 18．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在扇形中，，，以为直径作半圆，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【思路引导】此题考查了勾股定理、扇形的性质、圆面积公式等知识．根据扇形和勾股定理求出长，半圆面积和直角三角形的面积之和减去扇形面积即可求出答案． 【规范解答】解：在中，． 则 ． 19．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）课本再现 我们在学习直线和圆的位置关系时，教材中定义了切线，即直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一公共点叫做切点．如图1，直线，垂足为，点在上，请说明直线是的切线； 知识应用 如图2，、、、均在上，连接外一点与上一点，并延长交于点，，垂足为，连接交于点，若的半径为4，，． （1）求证：是的切线； （2）求线段和弧的长． 【答案】课本再现：见解析；知识应用：（1）见解析；（2）， 【思路引导】课本再现：设直线l与另一交点为点M，由得到，从而直线l，根据垂线的性质可得点A与点M重合，即直线l与只有一个交点，根据切线的定义得到直线是的切线； 知识应用：（1）连接，先求出，再由直角三角形两锐角互余和对顶角相等求出，由等腰三角形得性质得，进而可证是的切线； （2）先证明点D，O，B三点共线，得到，由30度角的性质得，根据可求出；求出，然后根据弧长公式弧的长． 【规范解答】课本再现：设直线l与另一交点为点M， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴直线l， ∵，都过点O， ∴根据垂线的性质可得与重合，即点A与点M重合， ∴直线l与只有一个交点， ∴直线是的切线． 知识应用： （1）如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D，O，B三点共线， ∴． ∵，， ∴， ， ∴， ∴． ∵， ∴弧的长为． 【考点评析】本题考查了切线证明与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，求弧长，熟练掌握切线的判定方法和弧长公式是解答本题的关键． 20．（2025九年级下·江苏南京·专题练习）如图，内接于， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求弦所对的弧长； (3)在（2）的条件下，点C在优弧上运动，是否存在点C，使点O到弦的距离为？若有，请直接写出的长；若没有，请说明理由． 【答案】(1)直线与相切，见解析 (2)或 (3)存在，或 【思路引导】本题考查了圆的综合题：直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半；三角形中位线定理；垂径定理等知识点是综合运用． （1）如图1，延长交于点M，连接欲证直线与相切，只需证明即可； （2）如图2，连接、利用圆周角定理证得为等边三角形；分类讨论：①当求劣弧的弧长时，该弧所对的圆心角的度数为；②当求优弧的弧长时，该弧所对的圆心角的度数为； （3）①如图3，过点O作为的直径时，根据圆周角定理、三角形中位线定理可知； ②如图3，过点O作当时，利用切线的性质、垂径定理可知 【规范解答】（1）解：直线与相切．理由如下： 如图1，延长交于点M，连接 是直径， ， ， 在中，，且， ，即； 又直线经过半径的外端点A， 直线与相切． （2）解：连接、，如图， 在中，， ， ， 为等边三角形， ， ∴，或者； （3）解：2或 作直径，则， 又， ∴ ， 则当是直径时满足条件，此时； 过点O作当时，垂径定理可知则是等边三角形． 则 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$