专题2.6 正多边形与圆（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题2.6 正多边形与圆 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：正多边形及其相关概念 1 知识点梳理02：正多边形的有关计算（重点） 2 知识点梳理03：正多边形的性质（重点） 2 知识点梳理04：正n边形的画法（难点） 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：正多边形和圆的综合 3 考点2：求正多边形的中心角 7 考点3：已知正多边形的中心角求边数 11 考点4：尺规作图—正多边形 14 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 23 基础夯实 23 培优拔高 32 知识点梳理01：正多边形及其相关概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点梳理02：正多边形的有关计算（重点） 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点梳理03：正多边形的性质（重点） 1. 正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点梳理04：正n边形的画法（难点） 1. 用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　①正四、八边形。 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法。 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 考点1：正多边形和圆的综合 【典例精讲】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）正六边形的周长为6，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了正多边形的性质，涉及了勾股定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，再求出的面积为，进而即可求解正六边形面积． 【规范解答】解：如图，设正六边形的一边为，外接圆的圆心为O，作，垂足为C， ∵正六边形的周长为6， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴正六边形的面积为， 故选：B． 【变式训练1】（2025·贵州毕节·三模）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，切线的性质，连接．求出，再利用圆周角定理求出，连接，可得，由得，求解即可． 【规范解答】解：连接，如图， ∵M，N，F分别是与的切点， ∴，， ∴， ∵正五边形中，， ∴， ∴， 连接，由对称性可得三点在同一条直线上， 在和中， , ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练2】（2025·江西萍乡·二模）如图，正六边形的边长是，连接，是上的动点，连接，．若的值是整数，则点的位置有（    ） A．3处 B．5处 C．7处 D．9处 【答案】A 【思路引导】本题考查了正多边形，轴对称的性质，勾股定理等知识的综合，掌握正多边形，勾股定理的运用是关键． 根据正多边形的性质，轴对称的性质得到点从运动时 ，的取值范围为，由此即可求解． 【规范解答】解：∵六边形是正六边形， ∴，点关于的对称点为点，每个内角的度数为， 如图所示，连接，交于点，连接，设交于点， ∴，，， ∴，， ∴，，， ∴，， 当点三点共线时，的值最小，最小值为， 点从运动时 ，的取值范围为， ∵， ∴整数值为，共3个， 故选：A ． 考点2：求正多边形的中心角 【典例精讲】（2024·四川广元·一模）如图，将三个正六边形按如图方式摆放，若小正六边形的面积是12，则大正六边形的面积是 ． 【答案】108 【思路引导】题目主要考查正多边形的性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．由正六边形的性质，可知图中每个三角形都为等边三角形且全等，再确定每个小正三角形得面积，即可得出结果． 【规范解答】解：如图连线： ∵多边形为正六边形， ∴图中每个三角形都为等边三角形且全等， ∵小正六边形的面积是12， ∴每个三角形的面积为， 由图得共有54个等边小三角形， 故大正六边形的面积是， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知的内接正五边形，点I是的内心，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了多边形内角和定理，三角形内角和及内心，正多边形与圆，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得，多边形内角和定理得到，根据三角形内角和定理得到，因为点为三角形的内心，所以，所以． 【规范解答】解：根据题意得， 正五边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式训练2】（22-23九年级下·吉林长春·期中）如图①，在中，为边上的中线，以点为顶点的直角绕点旋转，两边分别与交于点，连接．        (1)求证：； (2)若，则面积的最小值为_______； (3)拓展应用：如图②，点是半径为2的正十二边形的中心，点在此正十二边形的边上，连接，若，则阴影部分面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)3 【思路引导】（1）根据为边上的中线，可得即可证明； （2）先证明，可知当时，面积最小，根据此时是等腰直角三角形求出，即可求解； （3）将正十二边形进行分割证明，可得阴影面积倍的面积，即可求解． 【规范解答】（1）证明：在Rt中，， ， ， ， 为边上的中线， ，，， ， ， ； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴当最短时，面积最小， 根据垂线段最短，即，面积最小，如图，    ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∵为边上的中线， ∴， ∴ 解得：，即 ∴， ∴面积的最小值为1； （3）作辅助线如图所示，其中，    由正十二变形的性质可得： 又∵ ∴， 即 ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴阴影面积； 【考点评析】本题考查了几何问题，涉及到平行截线成比例线段、全等三角形的判定与性质等，掌握分割法是关键． 考点3：已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，正边形的两条对角线、的延长线交于点，若． （1）连接，则与的位置关系是 ； （2）的值是 ． 【答案】 平行 12 【思路引导】本题主要考查了正边形的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． （1）连接，假设正边形的外接圆为，根据正多边形的性质可得，根据圆周角定理得出，即可解答；（2）连接，根据，得，则正边形中心角为，即可解决问题． 【规范解答】解：（1）如图，连接， 假设正边形的外接圆为， 根据正多边形的性质可得， ∴， ， 故答案为：平行； （2）如图，连接， ∵， ， ∴， ∴正边形中心角为， ， 故答案为：12． 【变式训练1】（23-24八年级下·广西钦州·期中）如图，正六边形的边长为1，顶点与原点重合，将对角线绕点顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是 ．    【答案】 【思路引导】过点B作于点D，利用正六边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 本题考查了正六边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和勾股定理是解题的关键． 【规范解答】过点B作于点D， ∵正六边形的边长为1，顶点与原点重合， ∴，，， ∴，    ∴， 根据旋转性质，得， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 【变式训练2】（22-23九年级上·北京密云·期末）如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中． ①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系； ②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系； ③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】（1）正n边形每条边对应的圆心角度数为，因此为反比例函数关系； （2）d与r是的邻边和斜边，因此是化简后即正比例函数关系； （3）三角形面积为×底×高，底为，高为，直接代入即可． 【规范解答】①，所以与n满足的函数关系是反比例函数关系，正确； ②，所以，所以d与r满足的函数关系是正比例函数关系，正确； ③，所以S与r满足的函数关系是二次函数关系，正确． 故选D 【考点评析】本题考查正多边形、圆心角的度数、弦心距、三角形的面积之间的函数关系，解题的关键是读懂题意，求出其中的函数关系式． 考点4：尺规作图—正多边形 【典例精讲】（2018·陕西·一模）如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】图见解析 【思路引导】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【规范解答】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 【变式训练1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上 (1)请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写圆心的坐标：______． (2)尺规作图：画出，并作它的一个内接三角形，要求该三角形为等边三角形． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【思路引导】（1）分别作、的垂直平分线相交于点，则点即为所求； （2）利用半径把圆等分即可作出等边三角形． 【规范解答】（1）如图所示，点即为所求，， 故答案为：； （2）如图，即为所求． 【考点评析】本题考查作图，坐标与图形的性质，垂径定理，三角形外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 【变式训练2】（2021·北京房山·二模）已知：射线 求作：，使得点在射线上，，． 作法：如图，①在射线上取一点，以为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点；②以为圆心，为半径作弧，在射线上方交⊙于点；③连接，．则即为所求的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵ 为⊙的直径， ∴__________． ∵， ∴等边三角形． ∴． ∵点，都在⊙上， ∴ ．（ ）（填推理的依据） ∴． 即为所求的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 【思路引导】（1）以点C为圆心，OC长为半径画弧线，交圆于一点即为点D，连接AD，补全图形即可； （2）证明：连接．由为⊙的直径，得到90．证明等边三角形，得到 ，由此得到即为所求的三角形． 【规范解答】解：（1）补全的图形如图所示：                     （2）证明：连接． ∵ 为⊙的直径， ∴90． ∵， ∴等边三角形． ∴． ∵点，都在⊙上， ∴ ．（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）（填推理的依据） ∴． 即为所求的三角形． 故答案为：90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ． 【考点评析】此题考查尺规作图，等边三角形的判定及性质，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，熟记各定理是解题的关键． 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    【答案】10 【思路引导】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【规范解答】解：， ， ， 故答案为：10． 2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 【规范解答】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作轴于H，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，则，，即可得到点在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到，据此求解即可． 【规范解答】解：如图所示，过点E作轴于H，连接， ∵原点为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上， ∴点在双曲线上， 又∵点E也在双曲线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选：A． 5．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 【答案】(1) (2)是正三角形，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论； （2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论； （3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵正五边形． ∴， ∴， ∵， ∴(优弧所对圆心角)， ∴； （2）解：是正三角形，理由如下： 连接， 由作图知：, ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴是正三角形； （3）∵是正三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． 基础夯实 1．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 【规范解答】解：； 故选D． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个圆内接正十二边形，这个多边形的内角和度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是正多边形的内角和，根据多边形的内角和定理列式计算即可． 【规范解答】解：这个多边形的内角和度数为， 故选：D 3．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．根据正多边形的性质得出点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【规范解答】解：如图，设正多边形的中心为， ∵、、为正多边形的顶点， ∴点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∵， ∴该正多边形的边数为． 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，由圆周角定理得，由正多边形与圆关系，即可求解． 【规范解答】解：， ， ， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长． 【规范解答】解：连接、，如图： 的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 即正六边形的边长为3， 故答案为：3． 6．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，正六边形 的边、分别与相切于点C、F，连接、，则 的度数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【规范解答】解：∵正六边形的边，与相切于点C，F， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， 在五边形中， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到．，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【规范解答】解：六边形是正六边形， ．， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．    【答案】这个正六边形的周长为． 【思路引导】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质．连接，如图，根据正六边形的性质得到，则为等边三角形，所以，进而可求出正六边形的周长． 【规范解答】解：如图，连接， ． ∵六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ∴这个正六边形的周长为．    9．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为，如图，若的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决） (1)求圆内接正六边形面积． (2)圆内接正八边形的面积为_____． (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得的估计值为_____． 【答案】(1) (2) (3)3；3 【思路引导】（1）设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C；求出的面积即可求解； （2）设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C；求出的面积即可求解； （3）设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C；求出的面积即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C； 由题意知，， ∴是等边三角形， ∴，； 由勾股定理得， ∴， ∴正六边形的面积为； （2）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C； 由题意知，， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴圆内接正八边形的面积为； 故答案为：； （3）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C； 由题意知，， ∴， ∴， ∴圆内接正十二边形的面积为； 圆的面积为，则； 故答案为：3；3． 10．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【思路引导】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正五边形与等腰三角形的性质求解； （2）连接交于点M，四边形即为所求； （3）各边延长线的交组成的五边形即为所求． 【规范解答】解：∵， ∴； 故答案为：； （2）如图1所示，连接相交于点，菱形为所求图形， 证明：在正五边形中，每个内角都相等且等于，每条边都相等， 可得≌，从而 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：. ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形. （3）如图，五边形即为所求． 培优拔高 11．（24-25九年级上·广东江门·期中）已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接、，过点作，垂足为，证明为等边三角形，得出，设，则，求出，，再由正六边形的面积为，得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：如图，连接、，过点作，垂足为， ， ∵正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵正六边形的面积为， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴正六边形的边长为， 故选：C． 12．（2025·山西·模拟预测）平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，设正六边形的中心为O，连接，过点O作于H，可证明是等边三角形，得到，则，根据计算求解即可． 【规范解答】解；如图所示，设正六边形的中心为O，连接，过点O作于H， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴点O在以B为圆心，的长为半径的圆上， ∴， 故选：B．    13．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查正多边形和圆，连接，作，易得为等边三角形，三线合一，结合勾股定理，求出的长，即可． 【规范解答】解：连接，作， ∵边长为2的正六边形内接于， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ∴它的内切圆半径为； 故答案为： 14．（22-23九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质， 先求出中心角的度数，即可求出，再根据切线的性质可求，然后根据正多边形的外角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是正五边形的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，是内接正五边形的一条边，是优弧上的两点，且点在点的右侧．若，则的度数为 ． 【答案】24 【思路引导】本题考查的是正多边和圆，圆周角定理，三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解题的关键． 连接，，由是内接正五边形的一条边可得出的度数，由圆周角定理即可得出的度数，进而可由三角形内角和定理求解． 【规范解答】解：连接，， 是内接正五边形的一条边， ， ， ， ， 故答案为：24． 16．（24-25九年级上·江西上饶·期末）若一个n边形的每个内角都为，每条边长都为6，则这个n边形外接圆的半径为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理等知识点，根据正多边形的内角和公式，求得该多边形的边数，再根据正多边形的外接圆的半径与正多边形的边长的关系，即可求解． 【规范解答】解：根据题意，得， 解得：， 这个n边形为正方形， 正方形的外接圆的半径等于对角线的长的一半， 这个边形的外接圆半径是：， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，正六边形内接于．若的面积为，求的面积．（结果保留π） 【答案】 【思路引导】本题考查了正多边形的性质，圆的基本性质，圆周角定理，直角三角形的特征，勾股定理等；连接，由正六边形的性质得及圆周角定理得，由勾股定理得 ，由等边三角形的判定及性质得是等边三角形，可求出圆的半径，即可求解；掌握正多边形的性质，圆的基本性质，圆周角定理，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴， 是的直径， ， ∴， 在中， ， ∴ ， ∴， ， 即的半径为2， ∴的面积为． 18．（24-25九年级上·江西上饶·期末）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)如图1，五边形是正五边形，画一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分： (2)如图2，的外接圆的圆心是点，是的中点，画一条直线把分成面积相等的两部分； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了作图-复杂作图，正五边形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握知识点的应用． （）连接，交于点，连接，根据正五边形的性质可得直线把五边形分成面积相等的两部分； （）连接交于点连接，得直线把分成面积相等的两部分． 【规范解答】（1）解：如图1，直线即为所求； ； （2）解：如图2，直线即为所求； 理由：连接交于点， ∵的外接圆的圆心是点，是的中点， ∴垂直平分， ∴是的中点， ∴直线把分成面积相等的两部分． 19．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）用无刻度的直尺完成下列画图． (1)如图（1），的三个顶点在上，，，F是的中点．先分别画出，的中点G，H，再画的内接正五边形； (2)如图（2），正五边形五个顶点在上，过点A画的切线． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【思路引导】（1） 连接并延长交于点，连接，与交于点， 连接并延长交于点，连接并延长交于点，依次连接，正五边形即为所求； （2）如图，延长交于，连接交于，连接并延长交于，过作直线，直线即为所求； 【规范解答】（1）解：如图即为所求．    理由如下：∵， ∴，， ∴，， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴过的交点的线段为的中线， ∴为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴为， ∴的度数为， ∴， ∴， ∴五边形为的内角正五边形． （2）解：如图，延长交于，连接交于，连接并延长交于，过作直线，直线即为所求； 理由：由圆和正五边形的对称性可知，为的中点， ∵正五边形每个内角为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， ∴直线是的切线． 【考点评析】本题考查了作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，切线的判定，三角形的重心，全等三角形的性质和判定，多边形内角和，三角形内角和，圆周角定理等知识点，熟练应用垂径定理及切线的判定是解题的关键． 20．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）【给出问题】如图1，正方形内接于 ，是的中点，连接，．求证：； 【深入思考】如图2，正方形内接于 ，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明． 【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积． 【答案】[给出问题]见解析；[深入思考] ； [拓展应用] 【思路引导】[给出问题] 证明，即可得到； [深入思考]过点作交于点，取圆心，连接，，证明，进而根据全等三角形的性质，勾股定理，即可求解． [拓展应用]以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上，根据圆周角定理可得在上，进而通过勾股定理求出的长度，从而得出矩形的面积． 【规范解答】[给出问题]证明：四边形是正方形， ， 是的中点， ； [深入思考] ，理由如下， 过点作交于点，取圆心，连接，， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，即 [拓展应用] 解：以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上， ，， 点在上， ，， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 在中，， 在中，， 解得：（负值舍去） ， 矩形的面积． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，弧与弦的关系，圆周角定理，勾股定理，掌握圆的基本性质是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 正多边形与圆 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：正多边形及其相关概念 1 知识点梳理02：正多边形的有关计算（重点） 2 知识点梳理03：正多边形的性质（重点） 2 知识点梳理04：正n边形的画法（难点） 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：正多边形和圆的综合 3 考点2：求正多边形的中心角 4 考点3：已知正多边形的中心角求边数 5 考点4：尺规作图—正多边形 6 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 13 知识点梳理01：正多边形及其相关概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点梳理02：正多边形的有关计算（重点） 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点梳理03：正多边形的性质（重点） 1. 正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点梳理04：正n边形的画法（难点） 1. 用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　①正四、八边形。 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法。 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 考点1：正多边形和圆的综合 【典例精讲】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）正六边形的周长为6，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·贵州毕节·三模）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·江西萍乡·二模）如图，正六边形的边长是，连接，是上的动点，连接，．若的值是整数，则点的位置有（    ） A．3处 B．5处 C．7处 D．9处 考点2：求正多边形的中心角 【典例精讲】（2024·四川广元·一模）如图，将三个正六边形按如图方式摆放，若小正六边形的面积是12，则大正六边形的面积是 ． 【变式训练1】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知的内接正五边形，点I是的内心，则 ． 【变式训练2】（22-23九年级下·吉林长春·期中）如图①，在中，为边上的中线，以点为顶点的直角绕点旋转，两边分别与交于点，连接．        (1)求证：； (2)若，则面积的最小值为_______； (3)拓展应用：如图②，点是半径为2的正十二边形的中心，点在此正十二边形的边上，连接，若，则阴影部分面积为______． 考点3：已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，正边形的两条对角线、的延长线交于点，若． （1）连接，则与的位置关系是 ； （2）的值是 ． 【变式训练1】（23-24八年级下·广西钦州·期中）如图，正六边形的边长为1，顶点与原点重合，将对角线绕点顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是 ．    【变式训练2】（22-23九年级上·北京密云·期末）如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中． ①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系； ②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系； ③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 考点4：尺规作图—正多边形 【典例精讲】（2018·陕西·一模）如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 【变式训练1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上 (1)请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写圆心的坐标：______． (2)尺规作图：画出，并作它的一个内接三角形，要求该三角形为等边三角形． 【变式训练2】（2021·北京房山·二模）已知：射线 求作：，使得点在射线上，，． 作法：如图，①在射线上取一点，以为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点；②以为圆心，为半径作弧，在射线上方交⊙于点；③连接，．则即为所求的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵ 为⊙的直径， ∴__________． ∵， ∴等边三角形． ∴． ∵点，都在⊙上， ∴ ．（ ）（填推理的依据） ∴． 即为所求的三角形． 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D．3 5．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 基础夯实 1．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个圆内接正十二边形，这个多边形的内角和度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是 ． 6．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，正六边形 的边、分别与相切于点C、F，连接、，则 的度数是 ． 7．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．    9．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为，如图，若的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决） (1)求圆内接正六边形面积． (2)圆内接正八边形的面积为_____． (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得的估计值为_____． 10．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 培优拔高 11．（24-25九年级上·广东江门·期中）已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为（   ） A．1 B． C．2 D．4 12．（2025·山西·模拟预测）平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为 ． 14．（22-23九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 15．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，是内接正五边形的一条边，是优弧上的两点，且点在点的右侧．若，则的度数为 ． 16．（24-25九年级上·江西上饶·期末）若一个n边形的每个内角都为，每条边长都为6，则这个n边形外接圆的半径为 ． 17．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，正六边形内接于．若的面积为，求的面积．（结果保留π） 18．（24-25九年级上·江西上饶·期末）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)如图1，五边形是正五边形，画一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分： (2)如图2，的外接圆的圆心是点，是的中点，画一条直线把分成面积相等的两部分； 19．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）用无刻度的直尺完成下列画图． (1)如图（1），的三个顶点在上，，，F是的中点．先分别画出，的中点G，H，再画的内接正五边形； (2)如图（2），正五边形五个顶点在上，过点A画的切线． 20．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）【给出问题】如图1，正方形内接于 ，是的中点，连接，．求证：； 【深入思考】如图2，正方形内接于 ，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明． 【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$