专题2.5 直线与圆的位置关系（知识梳理+24个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题2.5 直线与圆的位置关系 （知识梳理+24个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：直线和圆的位置关系 2 知识点梳理02：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 2 知识点梳理03：切线的判定（难点） 3 知识点梳理04：切线的性质（重点） 3 知识点梳理05：三角形的内切圆 4 知识点梳理06：切线长定理（难点） 5 优选题型 考点讲练 5 考点1：判断直线和圆的位置关系 5 考点2：已知直线和圆的位置关系 7 考点3：求半径的取值 10 考点4：已知直线和圆的位置关系，求圆心到直线的距离 12 考点5：求圆平移到与直线相切时，圆心经过的距离 15 考点6：求直线平移到与圆相切时运动的距离 17 考点7：切线的应用 21 考点8：有关切线的概念辨析 23 考点9：判断或补全使直线为切线的条件 25 考点10：证明某直线是圆的切线 28 考点11：切线的性质定理 30 考点12：切线的性质和判定的综合应用 33 考点13：应用切线长定理求解 36 考点14：应用切线长定理求证 40 考点15：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 42 考点16：圆外切四边形模型 45 考点17：三角形内心有关应用 48 考点18：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 52 考点19：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 55 考点20：过圆外一点作圆的切线(尺规作图） 58 考点21：圆内知识综合（圆的综合问题） 61 考点22：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 64 考点23：圆与四边形的综合（圆的综合问题) 71 考点24：其他问题（圆的综合问题) 73 中考真题 实战演练 77 难度分层 拔尖冲刺 85 基础夯实 85 培优拔高 94 知识点梳理01：直线和圆的位置关系 (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 知识点梳理02：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 知识点梳理03：切线的判定（难点） （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 要点诠释： 　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 知识点梳理04：切线的性质（重点） （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 知识点梳理05：三角形的内切圆 1.三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 知识点梳理06：切线长定理（难点） （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 考点1：判断直线和圆的位置关系 【典例精讲】（24-25九年级上·四川南充·期中）设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【思路引导】本题考查的是直线与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式；点O到直线a的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．由方程无实数根，求出，从而得出答案． 【规范解答】解：∵点O到直线l距离是方程无实数根， ∴， ∴， ∴直线l与圆相交， 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，以为直径的分别交边、于点、，连接，过点的直线与过点的直线互相垂直，垂足为点，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了直线与圆的位置关系、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、直径所对的圆周角是是解题的关键． （1）先利用全等三角形判定定理推出，得到，从而得到，再利用平行线的性质得出，即可得出结论； （2）连接，先利用勾股定理求出的长，进而得到的长，利用圆周角定理得到，结合和三线合一性质得到即可解答． 【规范解答】（1）解：直线与相切，理由如下： 是的直径， ， ， ， ， ， 又 ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线与相切． （2）解：如图，连接， 由（1）中的结论得， 在中，， ， ， 在中，， 是的直径， ，即， 又， ， 的长为． 考点2：已知直线和圆的位置关系 【典例精讲】（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，，以直角顶点为顶点作，设的半径为． (1)请直接写出当为何值，与所在直线相切． (2)当与斜边只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． (3)当与的三条边只有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【思路引导】（）如图，过点作于，当时，与所在直线相切，利用求出即可求解； （）由（）知，当时，与所在直线相切，即此时与斜边只有一个公共点；再利用图形可求出当时，与斜边只有一个公共点，据此即可求解； （）利用（）图解答即可求解； 本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于， 当时，与所在直线相切， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴当时，与所在直线相切； （2）解：由（）知，当时，与所在直线相切，即此时与斜边只有一个公共点； 如图，可知当时，与斜边只有一个公共点； 综上，与斜边只有一个公共点时，或； （3）解：由上图可知，当或时，与的三条边只有两个公共点． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图①所示，在中，，若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的长． 解：如图②所示，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切， 过点C作于D，则 由勾股定理，得 ＝ ， 由三角形的面积公式，得， ∴ ＝＝ 上述解答正确吗？如不正确，请说明理由． 【答案】解答不正确，理由见详解 【思路引导】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理， 以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切或以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相交于一点，即；进而即可得到R的值和范围． 【规范解答】解：上述解答不正确，理由如下： 如图，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相交于一点，那么R应满足，即， 结合题干可知：R的取值范围为：或 考点3：求半径的取值 【典例精讲】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正三角形和的边长分别是、，点是中点，将正三角形绕点旋转，在旋转过程中，的面积的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，二次根式，圆的定义，直线和圆的位置关系，熟练掌握利用定点定长确定轨迹圆是解题的关键．连接，先利用等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出长，可确定点的轨迹为以点为圆心，半径长为的圆，过点作于点，利用直线到圆上一点的距离可知，当、、依次共线时，最小，此时点为如图的点；当、、依次共线时，最大，此时点为如图的点，再计算最大值和最小值即可． 【规范解答】解：如图，连接， ∵是等边三角形，点是中点， ∴，， ∴，， ∵在绕点的旋转过程中，， ∴点的轨迹为以点为圆心，半径长为的圆， 过点作于点， 利用直线到圆上一点的距离可知， 当、、依次共线时，最小，此时点为如图的点； 当、、依次共线时，最大，此时点为如图的点； ∵是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴点到的距离的取值范围， ∵的面积， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【规范解答】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 考点4：已知直线和圆的位置关系，求圆心到直线的距离 【典例精讲】如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件 时，与直线相交． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了直线与圆的位置关系，分当点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算是解题的关键． 求得当位于点O的左边与CD相切时t的值和位于点O的右边与CD相切时t的值，两值之间即为相交． 【规范解答】解：当点P在射线时，与相切，如图，过P作于E， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）； 当点P在射线时，与相切，如图，过P作与F， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）． ∴当的运动时间满足条件时，与直线相交． 故答案为：． 【变式训练】（21-22九年级上·新疆塔城·期末）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0） 【思路引导】先分别求得与直线l相切时点P的坐标，然后再判断与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标． 【规范解答】如图，与分别切AB于D、E． 由，，易得，则A点坐标为． 连接、，则、，则在中，， 同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为， 当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为， 横坐标为整数的点P的坐标为、、． 故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)． 【考点评析】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得与直线l相切时点P的坐标是解题的关键． 考点5：求圆平移到与直线相切时，圆心经过的距离 【典例精讲】（2021·四川成都·一模）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】先证明，得出，证出，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，，由勾股定理求出，得出即可． 【规范解答】解：由题意得：， ∵四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示： 连接OC交圆O于P，此时PC最小， ， ， 由勾股定理得：， ； 故答案为：． 【考点评析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键． 【变式训练】如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】4≤d≤ 【思路引导】当圆O运动到圆P处时，运动距离最短，当圆O运动到圆E处时，运动距离最长，分别求得PO和OE的长即可得出d的取值范围． 【规范解答】解：如图， 当圆O运动到圆P处时，运动距离最短， 当圆O运动到圆E处时，运动距离最长， 由正方形的性质可知： 在Rt△BEF中，由勾股定理得： 所以 故答案为 【考点评析】本题主要考查的是正方形的性质和直线和圆的位置关系，利用正方形的性质和直线和圆相切，确定出平移后圆心的位置是解题的关键． 考点6：求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例精讲】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的交轴负半轴于，交轴正半轴于，交轴于、． (1)若点坐标为，求点坐标． (2)在（1）的条件下，上是否存在点，使，若存在，求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)过作的切线，过作于，交于，当的半径大小发生变化时，的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值． 【答案】(1) (2)存在，，； (3)的长不变，且为12． 【思路引导】（1）连接，根据点和点的坐标可得出的半径，即的长，利用的坐标即可得出的坐标； （2）假设存在这样的点，根据题意，可知为等腰直角三角形，且．根据圆的方程和两点的距离公式列出方程组，解之即可得出点的坐标； （3）作于，则，易证，故．从而可证为一定值． 【规范解答】（1）解：连接， ，， ，， 故， 即的半径为10； ， ， 即得； （2）解：假设存在这样的点，过程如下： ∵点在上，且， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形，且， 故； 结合题意有， 解之得：或， 即存在两个这样的点，即，； （3）解：的长不变，且为12．过程如下： 如图2，连接，作于， 则， 切， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， 即． 【考点评析】本题是圆的综合题，主要考查的是垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质，方程组的解法，综合性强，能够熟练掌握垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系是解题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·福建福州·期中）在中，，，点为线段上一动点，当点运动到某一位置时，它到点，的距离都等于，到点的距离等于的所有点组成的图形为，点为线段延长线上一点，且点到点的距离也等于． (1)依题意补全图形； (2)求直线与图形的公共点的个数． 【答案】(1)见解析； (2)直线与图形的公共点的个数为个，理由见解析． 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，垂直平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）连接，证明为的切线，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵点到点，的距离都等于， ∴点为的中垂线与的交点， ∵到点的距离等于的所有点组成图形W， ∴图形是以点为圆心，为半径的圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上，即点在图形， 根据题意补全图形如图所示， （2）解：直线与图形的公共点的个数为个； 连接，如图： ∵， ∵点到点的距离也等于， ∴为的切线， ∴直线与图形的公共点的个数为个． 考点7：切线的应用 【典例精讲】（2021九年级上·全国·专题练习）已知：如图，△ABC中，∠A＝60°，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E．连接DE、OE．下列结论中正确的结论是（　　） A．BC＝2DE B．D点到OE的距离不变 C．BD+CE＝2DE D．AE为外接圆的切线 【答案】AB 【思路引导】连接OD，可证明△ODE是等边三角形，所以A，B正确；通过举反例：当重合,时，可得：＜可得C不一定成立，根据切线的定义，可得D不正确，从而可得答案． 【规范解答】解：连接OD ， ∵∠A=60° ∴∠B+∠C=120°， 的度数为 ∵的度数为 ∴的度数为 ∴∠DOE=60°，又OD=OE ， ∴△ODE是等边三角形， 即 所以A正确，符合题意； 则D到OE的长度是等边△ODE的高，而等边的边长等于圆的半径，则高一定是一个定值，因而B正确，符合题意； 如图：当重合,时，则为的切线， 同理可得： 此时 则 为的直径， ＞ 此时＜ 所以C不符合题意； 与的外接圆有两个交点，不是外接圆的切线，所以D不符合题意； 故选：AB． 【考点评析】本题考查的是圆的基本性质，圆弧的度数与其所对的圆周角的度数之间的关系，切线的概念的理解，等边三角形的判定与性质，灵活运用以上知识解题是解题的关键. 【变式训练】（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图，切线的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据直径经过圆心，作直线，交于点P即可； （2）根据切线的定义，连接，过点A作于点A，交点就是点Q解答即可． 【规范解答】（1）解：作直线，交于点P， 则是的直径， 则点P即为所求． （2）解：连接， 过点A作于点A，交点为Q，如图： 则点Q即为所求． 考点8：有关切线的概念辨析 【典例精讲】（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【思路引导】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【规范解答】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质以及角的平分线的性质定理，正确确定圆心O的位置是关键． （1）作出的角平分线，角平分线与的交点是圆心，以为圆心，以为半径作圆即可； （2）作的角平分线交与，过点作垂直于，交与， 以为圆心，以为半径作圆即可． 【规范解答】（1）如图所示，即为所求    ∵是的平分线，， ∴点到的距离等于到的距离， ∴与、所在直线相切 （2）如图所示，即为所求作的图形    考点9：判断或补全使直线为切线的条件 【典例精讲】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，是的直径，，点F、C是上两点，连接、、，弦平分，，过点C作交的延长线于点D，垂足为D． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路引导】（1）由角平分线的性质及圆周角定理可证即，结合可证明结论； （2）连接、，由（1）易证是菱形，结合菱形的性质可求得与,最后由“角所对的直角边等于斜边的一半”可求解． 【规范解答】（1）证明：平分， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵C在圆上， ∴是的切线； （2）连接、， 由（1）可知， ，，， 是的直径，， ∴， ， 是平行四边形， ， 是菱形， ，，， ， ， ． 【考点评析】本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，切线的证明，菱形的判定和性质，以及角所对的直角边等于斜边的一半；解题的关键是由圆周角定理得到角相等从而证明直线平行，以及菱形的证明． 【变式训练】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知：为外一点，求作：经过点的的切线．作法： ①如图，连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，的长为半径作圆，交于，两点； ③作直线，； 根据尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹），并证明（或）为的切线； (2)如果切线，所夹的锐角为，点为优弧上的一动点（点不与、重合），求的度数． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【思路引导】本题考查作图一复杂作图，过圆外一点作切线，圆周角定理等知识． （1）根据要求画出图形即可解决问题； （2）根据切线的性质以及圆周角定理解决问题即可． 【规范解答】（1）解：如图所示直线，就是所求作的切线， 理由如下：连接， ∵由作图可得：为圆A的直径， ∴， ∵为半径， ∴为的切线． （2）解：如图，连接， ∵，是的切线 ∴， ∵切线，所夹的锐角为， ∴， ∴． 考点10：证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则 ． 【答案】/25度 【思路引导】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质及圆周角定理的应用是解题的关键． 根据切线的性质，得到，进而得到，根据等边对等角结合三角形的外角，求出的度数． 【规范解答】解：切于C，过圆心O点，是弦，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，, (1)尺规作图：作出，使圆心P在边上，且与两边都相切（保留作图痕迹，不写作法） (2)若在（1）的条件下，设与的切点为D，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)3 【思路引导】本题考查尺规作图—作角平分线、作内切圆、切线的性质、切线长定理、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）作的角平分线交于点，以点为圆心，为半径作圆，即为所作的圆. （2）连接，设，由切线长定理得到，在中，根据勾股定理解题即可解出半径． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：连接， 与的切点为， ，，， ，， 在中，，，由勾股定理得， ， 由切线长定理可得，， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， 解得， 所以，的半径为3． 考点11：切线的性质定理 【典例精讲】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，内接于，是直径，的切线交的延长线于点，交于点，交于点，连接； (1)判断与的位置关系并说明理由． (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)是的切线；理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查切线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂径定理，综合运用相关知识是解题的关键． （1）连接，由得到，，进而得到，证明，得到，根据切线的性质得到，从而，得证结论； （2）根据勾股定理求出，由，得到，得到，根据的面积求出，即可解答． 【规范解答】（1）解：是的切线；理由如下： 连接， ∵， ∴，，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， 是的切线， ， ， ， 是的切线； （2）解：的半径为，，， ， ∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 解得：， ． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知，其中A、B、C三点在上，分别连接，，延长交于点M，交过点C的直线l于点P，． (1)求证：是的切线； (2)若直线l与相切，已知，半径是5．求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)54 【思路引导】本题主要考查切线的性质与判定、平行四边形的性质及垂径定理的推论，熟练掌握切线的性质与判定、平行四边形的性质及垂径定理的推论是解题的关键； （1）由垂径定理的推论可得，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，由题意易得，然后根据勾股定理可得，则有，然后问题可求解． 【规范解答】（1）证明：∵过圆心O，且， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，如图所示： ∵直线l与相切， ∴， ∵，半径是5， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 考点12：切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，，点为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ． 【答案】 【思路引导】如图：过点P作于D、于E、于F，根据三角形的内心性质得到，根据切线长定理可得、、，得到四边形是正方形，根据勾股定理求出，得到，设，，，求得， ，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 本题主要考查了直角三角形的内心与外心、三角形内心性质、三角形外心性质、勾股定理，切线长定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：如图：过点P作于D、于E、于F。 ∵点P是内切圆的圆心， ∴，、、， ∴四边形是正方形， ∵中，， ，， ∴， 设，，， 则，解得：， ∴，。 ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（2025·贵州铜仁·三模）如图，为的直径，点在上，分别过点、点作的切线相交于点，作射线交的延长线于点，连接相交于点． (1)写出图中一个与相等的角：___________； (2)求证：； (3)若，连接，直接写出四边形与的面积比． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）利用圆周角定理和圆的切线的性质定理得到，利用直角三角形的性质和同角的余角相等的性质解答即可得出结论； （2）连接，利用切线长定理，同圆的半径相等的性质和线段的垂直平分线的判定定理得到是的垂直平分线，即，利用圆周角定理得到，则，结论可得； （3）利用直角三角形的面积公式求得的面积，再利用三角形的中位线的定义求得的面积，进而求得四边形的面积，代入化简即可得出结论． 【规范解答】（1）解：（答案不唯一） ∵为的直径，与相切于点， ∴， ∴ ∴ 故答案为 （2）证明：∵分别与相切于点、点， ∴ ∴点在的中垂线上， 连接，点、点都在上，如答图所示， ∴ ∴点在的中垂线上， ∴是的垂直平分线，即，，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵点在射线上， ∴ （3） ∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ 【考点评析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 考点13：应用切线长定理求解 【典例精讲】（2025·安徽合肥·一模）如图，为圆外一点，、分别切圆于、．连接，交圆于点，延长，交圆于点．连接，．连接并延长，交于点． (1)证明：点是的中点． (2)若点是的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)30度 【思路引导】本题考查了圆的切线性质，垂径定理以及相关角度计算，解题的关键是熟练运用圆的切线性质和垂径定理等知识进行推理和计算． （1）利用切线长定理证明，从而得出，得到即可得结果； （2）通过点是中点推出，，由（1）得，，是等边三角形，得到，再结合圆的性质和平行线性质，求出的度数． 【规范解答】（1）证明： 、分别切圆于、， ，． 又 ， ， ，即点是的中点． （2）点是的中点 ， 垂直平分，连接，则， 由（1）得， 是等边三角形， 是圆的切线， ， 【变式训练】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在中，以斜边为直径作外接圆，分别过点，作的切线并相交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求证：点是的内心． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【思路引导】（1）根据切线的性质结合三角形中位线的判定定理求得是的中位线，据此可得到； （2）连接，证明是等边三角形，求得，再求得，利用直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； （3）证明点是和的角平分线的交点即可． 【规范解答】（1）证明：设和相交于点F， ∵和是的切线， ∴，平分， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，即； （2）解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：连接，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵和是的切线， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴点是的内心． 【考点评析】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 考点14：应用切线长定理求证 【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（   ） A． B． C．7cm D．随直线的变化而变化 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，设与相切于点，，，与相切于点，则，，，，，然后三角形的周长公式和等线段代换即可得到结论，解题的关键是熟练掌握切线长定理． 【规范解答】解：如图，设与相切于点，，，与相切于点， ∴，，，，， ∵三角形纸片的周长是 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三角形纸片的周长是， 故选：． 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）（1）如图，某工人师傅想利用一块三角形．木板裁出一个尽可能大的圆形部件．请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置．(要求尺规作图，不写作法、保留作图痕迹)． （2）如果此三角形木板的三边，，．求此圆形部件的半径． 【答案】（1）画图见解析，（2）此圆形部件的半径为． 【思路引导】（1）先作，的角平分线，得到交点，可得即为所求． （2）由（1）得：为三角形的内切圆，如图，连接，记与切于，连接，可得，，而，，证明，再利用等面积法求解即可． 【规范解答】解：（1）如图，即为所求； 理由如下：过分别作三边的垂线，垂足分别为， 由作图可得：，分别平分， ∴， ∴以为圆心，为半径的圆为裁剪的最大圆，且为的内切圆； （2）由（1）得：为三角形的内切圆， 如图，连接，设， ∵，，． ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴此圆形部件的半径为． 【考点评析】本题考查的是作三角形的内切圆，勾股定理的逆定理的应用，角平分线的性质，等面积法的应用，熟练的作图是解本题的关键． 考点15：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 【答案】62° 【思路引导】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可． 【规范解答】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆， ∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°， ∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°， ∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°． 故答案为：62°． 【考点评析】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键． 【变式训练】（20-21九年级上·江苏南京·期末）已知四边形ABCD，下列命题：①若，则四边形ABCD一定存在外接圆；②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则；③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则，其中，真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】①由和四边内角和，可得∠B+∠D=180º，可证四边形ABCD一定存在外接圆，用反证法过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，设BC或延长线交圆O于C'，连结DC'，根据圆内接四边形性质可得∠A+∠DC'B=180° 由∠A+∠C=180° 可得∠DC'B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C在圆上即可； ②由四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，可知A、B、C、D四点在同一圆上，由圆内接四边形性的性质∠A+∠C=∠B+∠D=180°即可； ③由四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等， 可证AB、BC、CD、DA是圆的切线，由切线的性质知AD=AF；BF=BG；CG=CH，DH=DE，可证AB+CD= =AD+BC． 【规范解答】①在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360º， ∵， ∴∠B+∠D=180º， 则四边形ABCD一定存在外接圆， 过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，若点C在圆外，设BC交圆O于C'，连结DC'， 根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC'B=180°， ∵∠A+∠C=180°， ∴∠DC'B=∠C， 这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外， 类似地可证C不可能在圆内， ∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆， 若，则四边形ABCD一定存在外接圆是真命题， ②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等， ∴A、B、C、D四点在同一圆上， 由圆内接四边形的性质得∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°， ∴； 若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则是真命题； ③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，设点O到向四边作垂线，OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，OG⊥BC于G，OH⊥CD于H， 由题意知：OE=OF=OG=OH， ∴E、F、G、H四点在同一圆上， 由切线的判定定理知， AB、BC、CD、DA是圆的切线， 由切线的性质知AD=AF；BF=BG；CG=CH，DH=DE， AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=（AE+DE）+（BG+CG）=AD+BC， 则， 若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则是真命题． 故选择：D． 【考点评析】本题考查命题真假问题，涉及圆内接四边形与圆外切四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质，并会推导证明，以及圆外切四边形的性质是解题关键． 考点16：圆外切四边形模型 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，，．为的内心，则 【答案】 【思路引导】作于点D，于点E，于点F，连接、、，根据勾股定理求得，因为I为的内心，所以，则四边形是正方形，设，则，求得，则，再由勾股定理求得． 【规范解答】解：作于点D，于点E，于点F，连接、、， ∵，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵I为的内心， ∴， ∴四边形是正方形， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【考点评析】此题重点考查勾股定理、三角形的内心的性质、正方形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． 【答案】（1）；（2）①；② 【思路引导】本题考查了三角形的内心，切线长定理，勾股定理，解题的关键是： （1）根据内心的定义求出，，然后根据三角形内角和定理求解即可； （）①由三角形内角和定理得，再根据内心的定义得，进而即可求解； ②画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接，由内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点，即得，，，，利用勾股定理得，设，则，可得，，进而由得，解得，设，利用三角形面积得，最后利用勾股定理即可求解； 【规范解答】解∶（1）∵点是的内心． ∴平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）①∵在中，， ∴． ∵点是的内心， ∴， ∴； ②如图，画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接， 根据三角形的内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点， ∴，，，， ∵，，， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 考点17：三角形内心有关应用 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则的半径为 ． 【答案】 【思路引导】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由得，因为是的内心，所以，，则即可求得． （2）作于点，利用解得，再利用勾股定理解得，，故，设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，则利用即可求出的半径． 【规范解答】解：（1）， ， ， 是的内心， 平分，平分， ， ， ， 答案为：． （2）作于点，则， ， ， 即， 解得， ， ， 在中， ． 设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、， ，，，且， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）（1）如图①，在中，，，垂足为D．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出的半径，若不可以，请说明理由． 【答案】（1）；（2）可以．画图见解析，，⊙O的半径为 【思路引导】（1）首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可； （2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点的位置，过点作于，于，于，连接，，，过点作于，设，的半径为，则，再根据勾股定理列出关于的方程得，则，进而得，则，然后根据，得，据此可得的半径． 【规范解答】解：（1）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）可以． 三角形内最大的圆是三角形的内切圆， 所求圆的圆心是△的内心， 作和的平分线，交于点， 则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置， 过点作于，于，于，连接，，，过点作于，如图所示： 设，的半径为， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 点为的内心， ， ， ， 即， ． 【考点评析】此题主要考查了三角形的内切圆和三角形的内心，勾股定理，理解三角形的内切圆是三角形内最大的圆，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式法进行计算是解决问题的关键． 考点18：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中有5个点：、、、、． (1)的外接圆圆心点的坐标______，图中点与的位置关系是______； (2)的外接圆的半径______，的内切圆的半径______． 【答案】(1)，在圆上 (2)， 【思路引导】（1）分别找出与的垂直平分线，交于点，即为圆心，画出圆，如图所示，即可得到圆心坐标及判断点与的位置关系； （2）先由直角三角形外接圆的圆心为斜边中点，求出的长即可得到圆的半径；再由等面积法即可求出内切圆半径． 【规范解答】（1）解：画出的外接圆，如图所示： 的外接圆圆心点的坐标为；点与的位置关系是点在上； 故答案为：，在圆上； （2）解：如图所示： ； 的外接圆的半径为， 设的内切圆的半径为，圆心为， 则根据内切圆定义，由等面积法可得， ， 解得； 故答案为：，． 【考点评析】本题属于圆的综合题，涉及三角形外接圆作法、写出平面直角坐标系中点的坐标、点与圆的位置关系、勾股定理、三角形内切圆定义、等面积法求内切圆半径、分母有理化等知识，先在平面直角坐标系中描出各点，熟记三角形外接圆、内切圆定义及性质，数形结合是解决本题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，． (1)在图1中作的外接圆；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，点I是内切圆的圆心，当，时，连接，求的长．（可在备用图中画出图形） 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查尺规作图—作垂线，作圆，三角形的外接圆和内切圆的综合应用： （1）根据圆周角定理，得到外接圆的圆心为斜边的中点，利用尺规作垂线和尺规作圆的方法，作图即可； （2）设与各边的切点为D，E，F，连接，设的半径为r，易得四边形为正方形，切线长定理求出，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，设与各边的切点为D，E，F，连接， 则，，． 设的半径为r，则， ∵， ∴为的直径， ∵，，， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，． 考点19：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（2025·福建龙岩·一模）如图，是的弦．是延长线上一点． (1)过点作的切线，切点在直线的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【思路引导】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定，圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求； （2）连接，设，根据切线的性质，得到，进而得到，根据，得到，根据圆周角定理得到，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求，如图： 由作图可得：， ∴， ∴为的切线； （2）解：连接，如图： 设， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【变式训练】如图，，分别切、于点、．切于点，交于点（与不重合）． (1)用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查作图复杂作图，切线的性质，正方形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以为圆心，为半径画弧交于，作直线交于点，直线即为所求． （2）连接，,根据切线的性质可证明四边形是正方形，得到，设，结合，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求． （2）连接，， 是的内切圆，，，是切点， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设， 在中， ， ， ， ． 考点20：过圆外一点作圆的切线(尺规作图） 【典例精讲】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【规范解答】解：∵E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴G一定在上， ∴，故③正确； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若，则，显然不可能，故④错误． 故选：D． 【变式训练】（2021九年级·全国·专题练习）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路引导】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值，故可求解． 此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到取得最小值时P的位置． 【规范解答】连接，∵，∴，∵，∴， 要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值， 过点M作轴于点Q， 则， ∴ ， 又， ∴， ∴， 故选D． 考点21：圆内知识综合（圆的综合问题） 【典例精讲】（2025·广西来宾·模拟预测）如图，内接于是的直径，过点作于点，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接．根据切线的判定定理，证明即可； （2）利用三角形相似，勾股定理，解方程计算解答即可． 【规范解答】（1）证明：证明：如答图，连接． ∵平分， . ， ， ， . ， 又是的半径， 是的切线． （2）解：是的直径， . ， . ， ， . ， ， 在中，由勾股定理，得， ， 解得（负值已舍去）， ， 的半径为． 【考点评析】本题考查了圆的性质，切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练掌握切线的判定，勾股定理是解题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·江西宜春·期末）如图所示，在中，，的垂直平分线与及的延长线分别相交于点，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，连接，若． (1)求证：． (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)与相切，理由见解析． 【思路引导】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆与直线相切的判定定理、三角形全等的判定和性质的应用是解题关键 ． （1）由题可知，，，进而得到，即可证明； （2）连接，通过等角的转换，可得，进而求得，即可得解． 【规范解答】（1）证明： ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ； （2）解：与相切．理由如下：如图所示，连接， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即，， 为的半径， 与相切． 考点22：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）如图1，和为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①的度数为 ； ②直接写出线段，，之间的数量关系为 ； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离为 ． 【答案】（1）①；②；（2），；（3）或 【思路引导】此题是四边形的综合题，本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力．通过添加适当的辅助线证明，并能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键． （1）①由条件易证，从而得到．由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数； ②利用，得出，利用为等边三角形，得出，即可解答； （2）仿照（1）中的解法可求出的度数，证出；由为等腰直角三角形及为等腰中边上的高可得，从而证到． （3）由可得：点在以点为圆心，1为半径的圆上；由可得：点在以为直径的圆上．显然，点是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题． 【规范解答】解：（1）①如图1， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ． 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：； ②，理由如下： ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：； （2），． 理由：如图2， 和均为等腰直角三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ，． 为等腰直角三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． ，， ． ， ． ． （3）点到的距离为或．理由如下： ， 点在以点为圆心，1为半径的圆上． ， 点在以为直径的圆上． 点是这两圆的交点． ①当点在如图3①所示位置时， 连接、、， 过点作，垂足为，作，交于点， 如图3①．四边形是正方形， ，，． ． ， ． ， 、、、在以为直径的圆上， ． 是等腰直角三角形． 又是等腰直角三角形，点、、共线，， 由（2）中的结论可得：． ． ； ②当点在如图3②所示位置时， 连接、、，过点作，垂足为，作，交的延长线于点，如图3②． 同理可得：． ． ． 综上所述：点到的距离为或． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长。 (4)试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 (3) (4) 【思路引导】本题考查圆与几何的综合，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线的判定，勾股定理的运用，三线合一，矩形的判定和性质，即可． （1）连接，根据角平分线的性质，则，根据等边对等角，等量代换，则，根据平行线的性质，直角三角形的性质，则，即可； （2）连接，根据题意，则，，设的半径为，得到，，根据勾股定理，则，求出，即可； （3）过点作交于点，根据矩形的判定和性质，则四边形是矩形，，根据等腰三角形三线合一，勾股定理求出，即可； （4）由（3）得，四边形是矩形，，，根据圆的性质，则为的直径，，等量代换，则，根据，即可． 【规范解答】（1）证明如下： 连接， ∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∵平分交边于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的切线． （2）解：连接， ∵点、的坐标分别为，， ∴，， 设的半径为， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． （3）解：过点作交于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． （4），证明如下： 由（3）得，四边形是矩形，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点23：圆与四边形的综合（圆的综合问题) 【典例精讲】（21-22九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意可知点P在直线上，再结合题意，画出图形．设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C两点的坐标，即得出OB、OC、BC的长．再根据面积法即可求出OH的长．根据切线的性质可知，即由勾股定理可推出．由OA为圆O半径，是定值，故可知当OP最小时，PA最小，此时OP最小值即为OH的长，由此即可求出PA的最小值． 【规范解答】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图．    令，则， 解得：； 令，则． 故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)． ∴，，． ∵， ∴，即． ∵为圆O的切线， ∴， ∴在中，． ∵OA为圆O半径，是定值， ∴当OP最小时，PA最小． ∵OP最小时即为OH的长， ∴． 故选D． 【考点评析】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键． 【变式训练】（20-21九年级下·福建福州·阶段练习）如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，P半径为2，，，点Q是P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是 ． 【答案】2+1 【思路引导】易求点P(4，4)，连接OP交P于点Q'，连接BQ'，因为OA=AB，CB=CQ，所以 AC=OQ，所以当OQ最大时，AC最大，Q运动到Q'时，OQ最大，由此即可解决问题. 【规范解答】点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等， ∴可设P(x，x)( x>0)，则x=解得x=±4(负值舍去）， 点P(4, 4)如图，连接OP交P于点Q'，连接BQ'，取BQ'的中点C'，连接AC'，此时A C'最大， ∵，，点C是QB的中点， ∴OA=AB，CB=CQ，AC=OQ， 当Q动到Q'时，OQ最大，此时AC的最大值AC'=OQ'= (OP+P Q') =2+1， 故答案为：2+1. 【考点评析】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型. 考点24：其他问题（圆的综合问题) 【典例精讲】（2022·江苏南京·二模）点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”． (1)在点，，中，是“垂距点”的点为 ； (2)求函数的图象上的“垂距点”的坐标； (3)的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【思路引导】（1）由题意利用“垂距点”的定义垂线段的长度的和为4，对点，，进行分析判断； （2）由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，依次列式求出“垂距点”的坐标； （3）设“垂距点”的坐标为，则，画出函数图像，分情况讨论即可解得． 【规范解答】（1）解：由题意得 ，垂线段的长度的和为4． ，， 故答案为：． （2）解：设函数的图像上的“垂距点”的坐标． 由题意得 ． ①当时，． ∴． ②当时，． ∴（不合题意，舍）． ③当时，． ∴． ∴  综上所述，函数y＝2x＋3的图像上的“垂距点”的坐标是，． （3）解：设“垂距点”的坐标为，则 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当与相切时，过点作直线于点，则为等腰直角三角形， ∴ 当过点时，上不存在“垂距点”， 此时 ∴若存在“垂距点”，则的取值范围是． 故答案为：． 【考点评析】本题考查平面直角坐标系相关，结合题干定义以及书本所学点到轴的距离即为横纵坐标的绝对值进行分析计算． 【变式训练】（22-23九年级上·湖北荆门·期末）如图，点C在以为直径的上．与过点C的切线垂直，垂足为D，交于点E，过B作交于点F，连接． (1)求证：； (2)已知，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【思路引导】连接，由已知可得，；由可得，从而得，再由圆周角定理即可证明结论成立； （2）连接、、，过O作于点G，则可得四边形是矩形，则，；由可得，则可得，由勾股定理可求得，由勾股定理可求得；由（1）及已知可证得，则，从而求得结果． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ， ； ， ， ， ， ； （2）连接、、，过O作于点G，如图， ∵，， ， 四边形是矩形， ，； ， ， ， ， 在中，由勾股定理可求得， ； ， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴，， 由（1）知，， ， ， ∵， ， ， ． 【考点评析】本题是圆的综合，考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，涉及的知识点较多，作的辅助线较多，有一定的综合性，灵活运用这些知识是关键． 1．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是 ；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【思路引导】由题意可得点在外，从而得出，再由切线长定理可得，，，又，则，所以，可得，故有，，最后通过勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图， ∵过点可以引的两条切线，， ∴点在外， ∴， ∵，是的两条切线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，的半径为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【考点评析】本题主要考查了点和圆的位置关系，切线长定理，勾股定理，求函数解析式，等角对等边，平行线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线定理，需熟练掌握“弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角”得到的度数是解决本题的关键． 根据可求解的度数，再由可求解的度数，根据结合切线定理即可求解． 【规范解答】解：连接，，，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 则有， 又∵直线为的切线， ∴， 则， 又∵， ∴， 在中，， 又∵， ∴． 故选：C ． 3．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 【答案】(1)在线段上；； (2)补图见解析，为等腰三角形 (3) 【思路引导】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案； （2）补图如下， 连接，证明，，结合，可得，进一步可得结论； （3）如图，过作于，求解，，，，可得，从而可得答案. 【规范解答】（1）解：∵是直角， ∴为直径， ∵为圆心， ∴在线段上； ∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：补图如下，为等腰三角形，理由如下： 连接， ∵为的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图，过作于， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【考点评析】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）连接，圆周角定理，得到，平行得到，证明，求出，即可得证； （2）设交于点，易得四边形为矩形，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵是的外接圆，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设的半径为，则：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 5．（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径 【思路引导】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【考点评析】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 基础夯实 1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，已知、为的切线，、为切点，若，，则的切线（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的切线的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． 根据题意，证得，利用全等三角形的性质即可求解． 【规范解答】解： 、为的切线，、为切点， ，，， ， 在和中， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）的半径是，圆心到直线的距离为，则直线a与的公共点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】A 【思路引导】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，比较大小即可得到答案，熟记直线与圆的位置关系的判定是解决问题的关键． 【规范解答】解： 的半径是，圆心到直线的距离为， ，即直线与相离，公共点个数是0， 故选：A． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【答案】C 【思路引导】本题主要考查直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，掌握直线与圆的位置关系定是解此题的关键．根据点为圆心，得到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系即可求出答案． 【规范解答】解：圆心到轴的距离是，到轴的距离是， ，， 圆与轴相切，与轴相交， 故选：C． 4．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记基本图形的性质是解本题的关键． 证明，可得，结合，证明，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【规范解答】解：∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 5．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）在中，，，，则它的外接圆半径为 ；内切圆半径为 ． 【答案】 1 【思路引导】本题考查了直角三角形的外接圆和内切圆半径的计算方法，关键在于运用勾股定理求出斜边长度．首先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据外接圆半径等于斜边的一半，以及内切圆半径的公式求解． 【规范解答】解：在中，，， ， 直角三角形的外接圆的圆心是斜边中点，设外接圆的半径为，内切圆的半径为， ， 即：， . 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 【答案】或 【思路引导】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，得出以为圆心，为半径所作圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点． 【规范解答】解：作于，如图所示： ∵，， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点； ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或． 故答案为：或． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，，则的内切圆的半径为 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查求直角三角形的内切圆的半径．利用勾股定理求出的长，设内切圆的半径为，根据切线长定理，得到，进行求解即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴， 设的内切圆与三边的切点分别为，内切圆的半径为，如图， 则：四边形为正方形，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 8．（2025九年级上·陕西·专题练习）如图，内接于为的直径，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，由圆周角定理可得，即得，由平行线的性质可得，由等腰三角形的性质和圆周角定理可得，进而得到，即得到，即可求证； （2）延长，交于点，可得四边形是矩形，即得，进而由等腰三角形的性质得，利用勾股定理得，设的半径为，则，在中，利用勾股定理得，解方程即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：延长，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 【考点评析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 9．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接． (1)求证：是的切线 (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，延长交于点H，可证明四边形是矩形，由， ，，，得， ，则，求得，则，所以． 【规范解答】（1）证明：连接， 则， ， ， ， ， ， 于点E， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：连接，延长交于点H， 是的直径， ， 由（1）知：， ∴四边形是矩形， ，， ∴， ， ，，， ， ， ， ， 解得， ， ， 的长为． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图、为的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点，，是弧的中点，弦、相交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】（）根据切线的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再根据，得出，即，得出，进而计算即可得出答案； （）连接，根据圆周角定理，得出，再根据中点的定义，得出，再根据圆周角定理，得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出． 【规范解答】（1）解：∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵是直径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴． 【考点评析】本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，等边对等角、圆周角定理及其推论，含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 培优拔高 11．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，是的切线，点是切点，分别交于两点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了切线的性质和全等三角形的性质, 掌握切线的性质是解题的关键．连接，根据切线性质，，再根据为切线可知，即可求解出的度数． 【规范解答】解：如图，连接， 由切线性质得：，，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 则的度数为． 故选：B． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【思路引导】连接交于点G，作于点H，证明，得到，，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用等积法得到，即可得到答案． 【规范解答】解：连接交于点G，作于点H， ∵点E为的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴ 故选：B 【考点评析】此题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论是解题的关键． 13．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查圆周角定理、三角形内切圆和外接圆的应用，熟练掌握同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键．连接、，由圆周角定理可得由三角形的内角和可得，，根据点是的内心可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：如图，连接、， 点是的外心，， ． ， ． 点是的内心， ，． ． ， 故选：B． 14．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）以为直径的与相切于点，弦于点，连接并延长交于点、交于点，连接．若，，．则 ， ． 【答案】 2 【思路引导】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，由勾股定理得，，由垂径定理可得；由切线的性质可得，则，；连接，由圆周角定理可得，可证明，则，即． 【规范解答】解：∵为直径，， ∴， 由题意知，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴； ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，2． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点O为外接圆的圆心，，点I为的内心，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的外心与内心，根据三角形外心定义和圆周角定理求出，根据三角形内角和定理求出，根据三角形内心定义得出平分，平分，根据角平分线定义可求出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解∶∵点O为外接圆的圆心，， ∴， ∴， ∵点I为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 16．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点、、，若，，则内切圆的半径长度为 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，连接，勾股定理求出的长，等积法求出内切圆的半径长即可． 【规范解答】解：设内切圆的圆心为，连接， 则：，， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；即：内切圆的半径长度为1． 故答案为：1． 17．（24-25九年级上·甘肃临夏·阶段练习）小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是角的顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得，则此光盘的直径为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了切线的性质，切线长定理，含度角的直角三角形的性质，掌握切线长定理是解题的关键．设光盘的圆心为，直角三角板与光盘的切点为，连接、，可求得，进而利用勾股定理以及含度角的直角三角形的性质，求得的长，即可求得答案． 【规范解答】解：设光盘的圆心为，直角三角板与光盘的切点为，连接、、；    ∴、是的切线，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴此光盘的直径为． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点 E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【思路引导】（1）连接．利用圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，三角形内角和定理证明即可； （2）设，则，， ，根据勾股定理解答即可． 本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的证明和勾股定理是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）解：如图，连接． 设，则，， ， 由， 根据勾股定理，得， 解得，（舍去）， 故， 故的半径为3． 19．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的直径，C是上一点，弦于点，且．过点A作的切线，过点C作的平行线，两直线相交于点，直线交的延长线于G． (1)求证：与相切； (2)求证：四边形是平行四边形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）先证明是等边三角形，再证明即可完成求证． （2）利用切线的性质得到，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求证． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， 是的直径，弦于点， ， 即是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，即， 又是的半径， 与相切； （2）证明：是的切线， ， 弦于点， ， 又， 四边形是平行四边形； 【考点评析】本题考查了切线的判定与性质，涉及到了平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质等知识，解题关键是构造等边三角形，掌握相应的性质定理以及方法． 20．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交的延长线于点P，平分． (1)如图1，若是的直径，求证：与相切； (2)若是的直径， ，求的度数． (3)如图2，若，求的最大值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)10 【思路引导】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线判定、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形判定及性质、解直角三角形等知识，作出辅助线构造出等边三角形是解本题的关键． （1）连接，由得，根据平分，即得，而，即可得； （2）先判断出得出，进而求出，即可求出答案； （3）连接，在上截取，先判断出是等边三角形，进而判断出是等边三角形，进而判断出，即可求出答案． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ，即， 为的半径， ∴与相切； （2）解：是的直径， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ； （3）解：连接，在上截取， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 当为直径，即时，取最大值是10． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 直线与圆的位置关系 （知识梳理+24个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：直线和圆的位置关系 2 知识点梳理02：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 2 知识点梳理03：切线的判定（难点） 3 知识点梳理04：切线的性质（重点） 3 知识点梳理05：三角形的内切圆 4 知识点梳理06：切线长定理（难点） 5 优选题型 考点讲练 5 考点1：判断直线和圆的位置关系 5 考点2：已知直线和圆的位置关系 6 考点3：求半径的取值 7 考点4：已知直线和圆的位置关系，求圆心到直线的距离 7 考点5：求圆平移到与直线相切时，圆心经过的距离 8 考点6：求直线平移到与圆相切时运动的距离 9 考点7：切线的应用 10 考点8：有关切线的概念辨析 10 考点9：判断或补全使直线为切线的条件 11 考点10：证明某直线是圆的切线 12 考点11：切线的性质定理 13 考点12：切线的性质和判定的综合应用 14 考点13：应用切线长定理求解 15 考点14：应用切线长定理求证 16 考点15：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 17 考点16：圆外切四边形模型 17 考点17：三角形内心有关应用 18 考点18：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 19 考点19：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 20 考点20：过圆外一点作圆的切线(尺规作图） 21 考点21：圆内知识综合（圆的综合问题） 22 考点22：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 23 考点23：圆与四边形的综合（圆的综合问题) 24 考点24：其他问题（圆的综合问题) 25 中考真题 实战演练 26 难度分层 拔尖冲刺 28 基础夯实 28 培优拔高 31 知识点梳理01：直线和圆的位置关系 (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 知识点梳理02：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 知识点梳理03：切线的判定（难点） （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 要点诠释： 　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 知识点梳理04：切线的性质（重点） （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 知识点梳理05：三角形的内切圆 1.三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 知识点梳理06：切线长定理（难点） （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 考点1：判断直线和圆的位置关系 【典例精讲】（24-25九年级上·四川南充·期中）设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式训练】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，以为直径的分别交边、于点、，连接，过点的直线与过点的直线互相垂直，垂足为点，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 考点2：已知直线和圆的位置关系 【典例精讲】（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，，以直角顶点为顶点作，设的半径为． (1)请直接写出当为何值，与所在直线相切． (2)当与斜边只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． (3)当与的三条边只有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图①所示，在中，，若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的长． 解：如图②所示，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切， 过点C作于D，则 由勾股定理，得 ＝ ， 由三角形的面积公式，得， ∴ ＝＝ 上述解答正确吗？如不正确，请说明理由． 考点3：求半径的取值 【典例精讲】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正三角形和的边长分别是、，点是中点，将正三角形绕点旋转，在旋转过程中，的面积的取值范围是 ． 【变式训练】（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 考点4：已知直线和圆的位置关系，求圆心到直线的距离 【典例精讲】如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件 时，与直线相交． 【变式训练】（21-22九年级上·新疆塔城·期末）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 考点5：求圆平移到与直线相切时，圆心经过的距离 【典例精讲】（2021·四川成都·一模）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为 ． 【变式训练】如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是 ． 考点6：求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例精讲】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的交轴负半轴于，交轴正半轴于，交轴于、． (1)若点坐标为，求点坐标． (2)在（1）的条件下，上是否存在点，使，若存在，求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)过作的切线，过作于，交于，当的半径大小发生变化时，的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值． 【变式训练】（24-25九年级上·福建福州·期中）在中，，，点为线段上一动点，当点运动到某一位置时，它到点，的距离都等于，到点的距离等于的所有点组成的图形为，点为线段延长线上一点，且点到点的距离也等于． (1)依题意补全图形； (2)求直线与图形的公共点的个数． 考点7：切线的应用 【典例精讲】（2021九年级上·全国·专题练习）已知：如图，△ABC中，∠A＝60°，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E．连接DE、OE．下列结论中正确的结论是（　　） A．BC＝2DE B．D点到OE的距离不变C．BD+CE＝2DE D．AE为外接圆的切线 【变式训练】（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 考点8：有关切线的概念辨析 【典例精讲】（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【变式训练】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 考点9：判断或补全使直线为切线的条件 【典例精讲】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，是的直径，，点F、C是上两点，连接、、，弦平分，，过点C作交的延长线于点D，垂足为D． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【变式训练】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知：为外一点，求作：经过点的的切线．作法： ①如图，连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，的长为半径作圆，交于，两点； ③作直线，； 根据尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹），并证明（或）为的切线； (2)如果切线，所夹的锐角为，点为优弧上的一动点（点不与、重合），求的度数． 考点10：证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则 ． 【变式训练】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，, (1)尺规作图：作出，使圆心P在边上，且与两边都相切（保留作图痕迹，不写作法） (2)若在（1）的条件下，设与的切点为D，求的半径． 考点11：切线的性质定理 【典例精讲】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，内接于，是直径，的切线交的延长线于点，交于点，交于点，连接； (1)判断与的位置关系并说明理由． (2)若的半径为，，求的长． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知，其中A、B、C三点在上，分别连接，，延长交于点M，交过点C的直线l于点P，． (1)求证：是的切线； (2)若直线l与相切，已知，半径是5．求的面积． 考点12：切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，，点为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ． 【变式训练】（2025·贵州铜仁·三模）如图，为的直径，点在上，分别过点、点作的切线相交于点，作射线交的延长线于点，连接相交于点． (1)写出图中一个与相等的角：___________； (2)求证：； (3)若，连接，直接写出四边形与的面积比． 考点13：应用切线长定理求解 【典例精讲】（2025·安徽合肥·一模）如图，为圆外一点，、分别切圆于、．连接，交圆于点，延长，交圆于点．连接，．连接并延长，交于点． (1)证明：点是的中点． (2)若点是的中点，求的度数． 【变式训练】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在中，以斜边为直径作外接圆，分别过点，作的切线并相交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求证：点是的内心． 考点14：应用切线长定理求证 【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（   ） A． B． C．7cm D．随直线的变化而变化 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）（1）如图，某工人师傅想利用一块三角形．木板裁出一个尽可能大的圆形部件．请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置．(要求尺规作图，不写作法、保留作图痕迹)． （2）如果此三角形木板的三边，，．求此圆形部件的半径． 考点15：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 【变式训练】（20-21九年级上·江苏南京·期末）已知四边形ABCD，下列命题：①若，则四边形ABCD一定存在外接圆；②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则；③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则，其中，真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点16：圆外切四边形模型 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，，．为的内心，则 【变式训练】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． 考点17：三角形内心有关应用 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则的半径为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）（1）如图①，在中，，，垂足为D．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出的半径，若不可以，请说明理由． 考点18：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中有5个点：、、、、． (1)的外接圆圆心点的坐标______，图中点与的位置关系是______； (2)的外接圆的半径______，的内切圆的半径______． 【变式训练】（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，． (1)在图1中作的外接圆；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，点I是内切圆的圆心，当，时，连接，求的长．（可在备用图中画出图形） 考点19：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（2025·福建龙岩·一模）如图，是的弦．是延长线上一点． (1)过点作的切线，切点在直线的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 【变式训练】如图，，分别切、于点、．切于点，交于点（与不重合）． (1)用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若半径为，，求的长． 考点20：过圆外一点作圆的切线(尺规作图） 【典例精讲】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练】（2021九年级·全国·专题练习）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 考点21：圆内知识综合（圆的综合问题） 【典例精讲】（2025·广西来宾·模拟预测）如图，内接于是的直径，过点作于点，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【变式训练】（24-25九年级上·江西宜春·期末）如图所示，在中，，的垂直平分线与及的延长线分别相交于点，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，连接，若． (1)求证：． (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 考点22：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）如图1，和为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①的度数为 ； ②直接写出线段，，之间的数量关系为 ； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离为 ． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长。 (4)试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 考点23：圆与四边形的综合（圆的综合问题) 【典例精讲】（21-22九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式训练】（20-21九年级下·福建福州·阶段练习）如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，P半径为2，，，点Q是P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是 ． 考点24：其他问题（圆的综合问题) 【典例精讲】（2022·江苏南京·二模）点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”． (1)在点，，中，是“垂距点”的点为 ； (2)求函数的图象上的“垂距点”的坐标； (3)的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是 ． 【变式训练】（22-23九年级上·湖北荆门·期末）如图，点C在以为直径的上．与过点C的切线垂直，垂足为D，交于点E，过B作交于点F，连接． (1)求证：； (2)已知，，求和的长． 1．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是 ；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为 ． 2．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 5．（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 基础夯实 1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，已知、为的切线，、为切点，若，，则的切线（　　）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）的半径是，圆心到直线的距离为，则直线a与的公共点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 4．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为 ． 5．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）在中，，，，则它的外接圆半径为 ；内切圆半径为 ． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，，则的内切圆的半径为 ． 8．（2025九年级上·陕西·专题练习）如图，内接于为的直径，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 9．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接． (1)求证：是的切线 (2)连接，若，，求的长． 10．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图、为的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点，，是弧的中点，弦、相交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 培优拔高 11．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，是的切线，点是切点，分别交于两点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 13．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）以为直径的与相切于点，弦于点，连接并延长交于点、交于点，连接．若，，．则 ， ． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点O为外接圆的圆心，，点I为的内心，则 ． 16．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点、、，若，，则内切圆的半径长度为 ． 17．（24-25九年级上·甘肃临夏·阶段练习）小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是角的顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得，则此光盘的直径为 ． 18．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点 E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 19．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的直径，C是上一点，弦于点，且．过点A作的切线，过点C作的平行线，两直线相交于点，直线交的延长线于G． (1)求证：与相切； (2)求证：四边形是平行四边形； 20．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交的延长线于点P，平分． (1)如图1，若是的直径，求证：与相切； (2)若是的直径， ，求的度数． (3)如图2，若，求的最大值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$