专题02 有理数的乘法与除法（专项训练）数学青岛版2024七年级上册

专题02 有理数的乘法与除法（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两个有理数的乘法运算（重点） 1 题型二、多个有理数的乘法运算 1 题型三、倒数（常考题） 2 题型四、有理数乘法运算律 2 题型五、有理数的除法运算 3 题型六、有理数除法的应用 4 题型七、有理数乘除混合运算 4 题型八、有理数四则混合运算（难点） 5 题型九、有理数四则混合运算的实际应用 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、两个有理数的乘法运算 1．（2025·陕西西安·模拟预测）计算：（   ） A． B．10 C． D．3 2．（2025·四川自贡·中考真题）若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 3．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 4．两个因数同时扩大到原来的3倍，所得的积（　　） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．不能确定 5．（24-25七年级上·陕西西安·期末）计算： ． 题型二、多个有理数的乘法运算 6．（24-25七年级上·河南漯河·期末）已知三个数的积为负数，如果一个数为正数，那么另外两个数（   ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．无法确定 7．下列算式中，运算结果为负数的是（　　） A． B． C． D．        8．计算：． 9．计算： 10．若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 题型三、倒数 11．（2025·陕西西安·模拟预测）的倒数是（   ） A．3 B． C． D． 12．（2025·安徽阜阳·三模）下列有理数中与的积是的数是(   ) A． B． C． D． 13．的倒数是（　　） A． B． C． D． 14．2025年“迎蛇年过大节，春满荆楚福满园”湖北文旅迎春节活动顺利举行，数据2025的倒数是（    ） A．2025 B． C． D． 15．的倒数是 ． 题型四、有理数乘法运算律 16．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 17．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 18．（2025·江西南昌·一模）计算： . 19．计算与解释． 在用简便算法计算“”时，轩轩、露露和展晨三人分别用了三种不同的简算方法（如下面方框所示）． (1)请思考轩轩的方法，分析他用了下面哪个运算定律，并将序号填在括号里．（   ） 轩轩： A．乘法分配律    B．乘法交换律    C．乘法结合律 (2)请你思考露露和晨晨的方法，根据他们第2步的计算结果，推理出两人第1步的想法，并补充完整． 露露： = 晨晨： =（ ÷ ）×（ × ） 露露： 晨晨： 20．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 题型五、有理数的除法运算 21．（2025·江苏南通·一模）计算的结果是（   ） A．3 B．4 C． D． 22．的结果为（　　） A． B． C．1 D．4 23．计算□得，则“□”是（　　） A．2 B． C． D． 24．（2025·安徽蚌埠·二模）计算： ． 25．计算： ． 题型六、有理数除法的应用 26．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 27．买一台价格是3400元的电视机，需要付（   ）张面值100元的人民币． A．340 B．34 C．4 28．（24-25七年级上·黑龙江·期中）把米长的绳子平均截成段，每段绳子长 米． 29．（24-25七年级上·黑龙江·期中）岁儿童一顿午餐需要摄入克蛋白质，已知克豆制品含蛋白质克．如果这些蛋白质都从豆制品中摄取，一个儿童一顿午餐大约要吃豆制品 克． 30．据有关资料统计，株洲市年地方财政收入约亿元，在湖南省的财政收入增速排名中排第六位，株洲市年地方财政收入相比年地方财政收入约增长了，请你计算一下株洲市年地方财政收入约为多少亿元？ 题型七、有理数乘除混合运算 31．（   ） A．2 B． C．1 D．4 32．（2025·湖南娄底·一模）计算： ． 33．计算：． 34．阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 35．计算： (1)； (2)． 题型八、有理数四则混合运算 36．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）计算： 37．脱式计算：． 38．下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) 39．脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型九、有理数四则混合运算的实际应用 40．小明从家到学校，先以的速度走了分钟，又以的速度走了分钟，则他全程的平均速度为（   ） A． B． C． D．无法计算 41．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重÷身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米），国家卫健委制定的中国标准如下表： 指数范围 身体描述 偏低 正常 超重 肥胖 已知某同学体重67.5千克，身高1.5米，通过计算，该同学合适的身体描述为 ． 42．甲、乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，相向而行．甲车在两车相遇后10小时到达B地，并立即返回A地，又过了20小时，甲车在返回的途中追上乙车．已知甲车比乙车每小时多行驶20千米，那么A，B两地的距离为多少千米? 43．应用题 (1)为迎接亚冬会，某工程队修一条道路，原计划每天修120米，8天可以修完；实际每天多修40米，可以提前几天修完？ (2)典典打算每天跳绳600下，一天，前2分钟跳了240下，照这样计算，还要跳多少分钟才能完成任务？ 44．某风景名胜区内停车场和道路机动车停车收费标准如下： 某风景名胜区内停车场和道路机动车停车收费标准 机动车 车型类别 收费标准 8时~20时（元/辆・小时） 20时~次日8时（元/辆・小时） 双休日 其他时间 小型车 20 10 5 大型车 10 10 5 备注 按时计费的停车费，不足1小时按1小时计． 2025年6月14日（星期六），张叔叔驾驶小型车进入该风景名胜区停车场，当天离开．根据收费标准，他需支付多少停车费？ 1．（2025·四川眉山·中考真题）2025的相反数是（   ） A．2025 B．-2025 C． D． 2．（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 3．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 4．（2025·天津和平·二模）计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 5．（2025·湖南长沙·中考真题）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元． 附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 德国 4.59 巴西 2.33 印度 3.93 俄罗斯 2.05 英国 3.49 韩国 1.76 法国 3.13 瑞士 0.93 预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算： 2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（    ） A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国 6．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）用定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．例如：．则 8．（2025·福建福州·三模）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 8 6 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 9．（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的乘法与除法（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两个有理数的乘法运算（重点） 1 题型二、多个有理数的乘法运算 2 题型三、倒数（常考题） 3 题型四、有理数乘法运算律 4 题型五、有理数的除法运算 6 题型六、有理数除法的应用 8 题型七、有理数乘除混合运算 9 题型八、有理数四则混合运算（难点） 10 题型九、有理数四则混合运算的实际应用 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、两个有理数的乘法运算 1．（2025·陕西西安·模拟预测）计算：（   ） A． B．10 C． D．3 【答案】A 【详解】解：， 故选：A 2．（2025·四川自贡·中考真题）若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴则内的数字是， 故选：A 3．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故选：． 4．两个因数同时扩大到原来的3倍，所得的积（　　） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：设原两个因数为和，则原积为，当每个因数扩大到原来的3倍后，变为和，新积为，即积扩大到原来的9倍． 故选：B． 5．（24-25七年级上·陕西西安·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 题型二、多个有理数的乘法运算 6．（24-25七年级上·河南漯河·期末）已知三个数的积为负数，如果一个数为正数，那么另外两个数（   ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵三个数的积为负数，一个数为正数， ∴另两个数异号， 故选：C． 7．下列算式中，运算结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. 结果为0，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，结果是正数，故该选项不正确，不符合题意； C. 结果是负数，故该选项正确，符合题意；     D. ，结果是正数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 8．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 9．计算： 【答案】 【详解】解： ． 10．若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三、倒数 11．（2025·陕西西安·模拟预测）的倒数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：C． 12．（2025·安徽阜阳·三模）下列有理数中与的积是的数是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求倒数，根据乘积为的两数互为倒数，即可求解． 【详解】解： 故选：D． 13．的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 14．2025年“迎蛇年过大节，春满荆楚福满园”湖北文旅迎春节活动顺利举行，数据2025的倒数是（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【详解】数据2025的倒数是． 故选：C． 15．的倒数是 ． 【答案】 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 题型四、有理数乘法运算律 16．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【答案】C 【详解】解： 此步骤是将原式变形， 此步骤是利用乘法分配律， 此步骤是利用减法法则， 则原计算步骤从②步开始出错， 故选：C． 17．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 故选：B． 18．（2025·江西南昌·一模）计算： . 【答案】0 【详解】解：. 故答案为：0. 19．计算与解释． 在用简便算法计算“”时，轩轩、露露和展晨三人分别用了三种不同的简算方法（如下面方框所示）． (1)请思考轩轩的方法，分析他用了下面哪个运算定律，并将序号填在括号里．（   ） 轩轩： A．乘法分配律    B．乘法交换律    C．乘法结合律 (2)请你思考露露和晨晨的方法，根据他们第2步的计算结果，推理出两人第1步的想法，并补充完整． 露露： = 晨晨： =（ ÷ ）×（ × ） 【答案】(1)A； (2)；；；；8． 【详解】（1）解：由计算过程可知轩轩是使用了乘法分配律进行简便运算； 故选：A； （2）解：补充如下： 露露： 晨晨： 故答案为：；；；；8． 20．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)74 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型五、有理数的除法运算 21．（2025·江苏南通·一模）计算的结果是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选：C． 22．的结果为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：， 故选：D． 23．计算□得，则“□”是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意可知，□， 故选：D． 24．（2025·安徽蚌埠·二模）计算： ． 【答案】6 【详解】解： 故答案为：6． 25．计算： ． 【答案】/ 【详解】解： ， 故答案为：． 题型六、有理数除法的应用 26．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】C 【详解】解：根据表格数据观察可知，旧鞋号增加1号，对应新鞋号增加5号， ，， 即的值为42， 故选：C． 27．买一台价格是3400元的电视机，需要付（   ）张面值100元的人民币． A．340 B．34 C．4 【答案】B 【详解】解：（张）； 故选B． 28．（24-25七年级上·黑龙江·期中）把米长的绳子平均截成段，每段绳子长 米． 【答案】 【详解】解：由题意得，每段绳子长（米）， 故答案为：． 29．（24-25七年级上·黑龙江·期中）岁儿童一顿午餐需要摄入克蛋白质，已知克豆制品含蛋白质克．如果这些蛋白质都从豆制品中摄取，一个儿童一顿午餐大约要吃豆制品 克． 【答案】 【详解】解：根据题意得， （克）， 故答案为：． 30．据有关资料统计，株洲市年地方财政收入约亿元，在湖南省的财政收入增速排名中排第六位，株洲市年地方财政收入相比年地方财政收入约增长了，请你计算一下株洲市年地方财政收入约为多少亿元？ 【答案】亿元 【详解】解：（亿元）， 答：株洲市年地方财政收入约为亿元． 题型七、有理数乘除混合运算 31．（   ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解： ． 故选：D 32．（2025·湖南娄底·一模）计算： ． 【答案】/ 【详解】解：， 故答案为：． 33．计算：． 【答案】1 【详解】解：原式 ． 34．阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，运算顺序不对 (2)见解析 【详解】（1）解：上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对； （2）解： . 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型八、有理数四则混合运算 36．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）计算： 【答案】33 【详解】解： ． 37．脱式计算：． 【答案】 【详解】解： ． 38．下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 39．脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)19 (6)73 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型九、有理数四则混合运算的实际应用 40．小明从家到学校，先以的速度走了分钟，又以的速度走了分钟，则他全程的平均速度为（   ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【详解】解：， ∴他全程的平均速度为， 故选：． 41．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重÷身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米），国家卫健委制定的中国标准如下表： 指数范围 身体描述 偏低 正常 超重 肥胖 已知某同学体重67.5千克，身高1.5米，通过计算，该同学合适的身体描述为 ． 【答案】肥胖 【详解】由题意可得，该同学的BMI指数： 。 因为，对照BMI中国标准，可知该同学身体描述为肥胖． 故答案为：肥胖． 42．甲、乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，相向而行．甲车在两车相遇后10小时到达B地，并立即返回A地，又过了20小时，甲车在返回的途中追上乙车．已知甲车比乙车每小时多行驶20千米，那么A，B两地的距离为多少千米? 【答案】A，B两地的距离是千米 【详解】解：(小时)， (小时)， ， (千米/小时)， (千米/小时)， (千米)， (千米)， 答: A，B两地的距离是千米． 43．应用题 (1)为迎接亚冬会，某工程队修一条道路，原计划每天修120米，8天可以修完；实际每天多修40米，可以提前几天修完？ (2)典典打算每天跳绳600下，一天，前2分钟跳了240下，照这样计算，还要跳多少分钟才能完成任务？ 【答案】(1)可以提前2天修完 (2)还要跳3分钟才能完成任务 【详解】（1）解： （天， （天， 答：可以提前2天修完． （2）解： （分钟）， 答：还要跳3分钟才能完成任务． 44．某风景名胜区内停车场和道路机动车停车收费标准如下： 某风景名胜区内停车场和道路机动车停车收费标准 机动车 车型类别 收费标准 8时~20时（元/辆・小时） 20时~次日8时（元/辆・小时） 双休日 其他时间 小型车 20 10 5 大型车 10 10 5 备注 按时计费的停车费，不足1小时按1小时计． 2025年6月14日（星期六），张叔叔驾驶小型车进入该风景名胜区停车场，当天离开．根据收费标准，他需支付多少停车费？ 【答案】135 【详解】解：20时时30分=5时30分小时 23时时小时 （元） 答：他需支付135元． 1．（2025·四川眉山·中考真题）2025的相反数是（   ） A．2025 B．-2025 C． D． 【答案】B 【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数； 2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义； A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意； 故选B. 2．（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴3的倒数是， ∴ 的倒数是， 故选：B 3．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：； 故选B． 4．（2025·天津和平·二模）计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故选：D． 5．（2025·湖南长沙·中考真题）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元． 附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 德国 4.59 巴西 2.33 印度 3.93 俄罗斯 2.05 英国 3.49 韩国 1.76 法国 3.13 瑞士 0.93 预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算： 2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（    ） A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国 【答案】B 【详解】解：2025年中国GDP的增长量为：万亿美元． ∴瑞士的GDP总量万亿美元与增长量万亿美元最接近； 故选：B 6．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【答案】/0.125 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）用定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．例如：．则 【答案】 【详解】解：依题意， 故答案为：． 8．（2025·福建福州·三模）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 8 6 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 【答案】40 【详解】解：如图所示，按照时间线，做完各自工作进入下一房间， ∵每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤， ∴最后一间房的后三个步骤从32分钟开始，甲乙同时完成整理床铺、更换客用物品，总时间6分钟，丙在第35分钟进入最后一间房完成5分钟，则最少需要40分钟． 故答案为：40． 9．（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)2 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$