第13讲 相似三角形（知识清单+易错+2必考题型）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版）

第13讲 相似三角形 题型梳理 易错分析 易错点一 不明确相似三角形的对应关系造成漏解 题型方法 题型一 相似三角形的定义及相似比 题型二 相似三角形的性质 知识清单 知识点1.相似三角形的概念 1.定义：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． D A B C E 如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”． 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上． 要点诠释： 书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； 2.相似比：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． 要点诠释： 对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 3.全等三角形和相似三角形的关系：“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当相似比为1时，两个三角形全等； 知识点2.相似三角形的性质（重点） 相似三角形的对应角相等，对应边的长度成比例． 易错分析 【易错点一】不明确相似三角形的对应关系造成漏解 【例1】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）已知在中，，D，E分别是边上的点，且．若和相似，则（　　） A．5 B．3 C． D．3或 【举一反三】【变式1】如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒 【变式2】在中，，，是边上的一点，是边上的一点，若与相似且相似比为1：2，则的长为 ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，在矩形中，，两只小虫和同时分别从出发沿向终点方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使与相似，则 秒． 题型方法 【题型一】相似三角形的定义及相似比 【例1】如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（　　） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为 ． 【变式2】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形． (1)如图1，请在图1中画一个格点三角形与原三角形相似，且所画三角形与原三角形的相似比为． (2)请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边，并写出所画三角形与原三角形相似比．相似比为：______ 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，D，E分别是，上的点，，相似比是． (1)若，求的长． (2)若，求的度数． 【题型二】相似三角形的性质 【例2】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如果两个相似三角形的面积之比，那么它们的对应高之比为 ． 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，，，．求的度数． 【变式3】（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知，，． (1)求的值； (2)若，求的长． 好题必刷 一、单选题 1．（2023九年级上·浙江·专题练习）下列条件中的两个等腰三角形不一定相似的是（    ） A．都含有角 B．都含有的角 C．都含有的角 D．都含有的角 2．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）下列关于相似三角形的说法，正确的是（    ） A．等腰三角形都相似 B．直角三角形都相似 C．两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形相似 D．一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如果和两个相似三角形的相似比是，那么和这两个相似三角形的周长比是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）两个相似三角形的相似比是，其中较小的三角形的面积是，则较大三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，内接于，且，的延长线交于点，若与相似，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，那么它们的对应中线之比为 ． 9．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，相似比为3，则它们的面积之比是 ． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图， 已知，，， 若与相似， 则 ． 11．（20-21九年级下·浙江衢州·阶段练习）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比AD：AC=2:3．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．则AG与GF的比值为 ． 12．（22-23九年级上·浙江金华·期中）在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在的方格纸中，请按下列要求作出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中作出将以点为旋转中心，按顺时针旋转所得的图形． (2)在图2中画出一个与相似的三角形（相似比不为1）． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知，，若的长度为6，求的长．    15．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，，，． (1)求的长． (2)若平分，求的长． 16．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，如图，在中，，D，E分别为边，边上一点，，且，于点F． (1)求证：； (2)若，．求边的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 相似三角形 题型梳理 易错分析 易错点一 不明确相似三角形的对应关系造成漏解 题型方法 题型一 相似三角形的定义及相似比 题型二 相似三角形的性质 知识清单 知识点1.相似三角形的概念 1.定义：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． D A B C E 如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”． 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上． 要点诠释： 书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； 2.相似比：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． 要点诠释： 对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 3.全等三角形和相似三角形的关系：“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当相似比为1时，两个三角形全等； 知识点2.相似三角形的性质（重点） 相似三角形的对应角相等，对应边的长度成比例． 易错分析 【易错点一】不明确相似三角形的对应关系造成漏解 【例1】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）已知在中，，D，E分别是边上的点，且．若和相似，则（　　） A．5 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，对应边成比例，由此即可求解． 【详解】解：①如图所示，，    ∴，， ∴； ②如图所示，，    ∴， ∴， 综上所述，AE的长为3或， 故选：D． 【举一反三】【变式1】如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒 【答案】C 【分析】设经过秒时, 与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即 然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过秒时, 与相似, 则 , 当 时, , 即 解得： 当 时, , 即 解得： 综上所述：经过或秒时,与相似 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 【变式2】在中，，，是边上的一点，是边上的一点，若与相似且相似比为1：2，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据题意分类讨论，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：与相似且相似比为1：2，，， 当时， ，则； 当时，，则； 所以的长为或； 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，在矩形中，，两只小虫和同时分别从出发沿向终点方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使与相似，则 秒． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，分和两种情况，利用相似三角形的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 综上，经过秒或秒时，与相似， 故答案为：或． 题型方法 【题型一】相似三角形的定义及相似比 【例1】如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（　　） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故不符合题意； B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故不符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故符合题意； D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故不符合题意； 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，理解相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．根据相似三角形面积比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积之比为． 故答案为：． 【变式2】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形． (1)如图1，请在图1中画一个格点三角形与原三角形相似，且所画三角形与原三角形的相似比为． (2)请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边，并写出所画三角形与原三角形相似比．相似比为：______ 【答案】(1)见解析 (2)见解析； 【分析】（1）先利用勾股定理求出原三角形的三边长，再根据相似比，求得格点三角形的各边长，即可求解； （2）先利用勾股定理求出原三角形的三边长，再根据有一条公共边，确定相似比以及各边的长，即可求解． 【详解】（1）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为，，， 所画三角形与原三角形的相似比为，则所画三角形的各边长分别为、、，如下图所示 （2）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为，，， 有一个边为公共边，假设公共边为，并且所画三角形边长为的边与原三角形边长为边相对应，此时相似比为， 则所画三角形的各边长为，，，如下图所示： 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，D，E分别是，上的点，，相似比是． (1)若，求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． （1）根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）先根据勾股定理求出的度数，再由相似三角形的对应角相等即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，相似比是，， ∴，即， 解得， 故为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【题型二】相似三角形的性质 【例2】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了网格的特点，相似三角形的性质，理解网格特点，掌握相似三角形的性质是关键．根据网格特点得到，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， 是小正方形的对角线，是小正方形的边， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如果两个相似三角形的面积之比，那么它们的对应高之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边上的高的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的对应边上的高的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比， ∴这两个三角形的相似比为， ∴它们的对应高之比为， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，再根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：，， ， ， ． 【变式3】（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知，，． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据相似三角形的性质求解即可； （2）根据的值代入求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ （2）∵， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 好题必刷 一、单选题 1．（2023九年级上·浙江·专题练习）下列条件中的两个等腰三角形不一定相似的是（    ） A．都含有角 B．都含有的角 C．都含有的角 D．都含有的角 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定及等腰三角形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、有一个角是的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意； B、当一个等腰三角形的底角为，而另一个等腰三角形的顶角是时，这两个等腰三角形不相似，符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意； D、有一个角是的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是对相似三角形的判定定理的掌握． 2．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）下列关于相似三角形的说法，正确的是（    ） A．等腰三角形都相似 B．直角三角形都相似 C．两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形相似 D．一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】A.两个等腰直角三角形相似一定成立，本选项错误； B.所有的等腰直角三角形都相似，本选项错误； C.两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，本选项错误； D.一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似，本选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如果和两个相似三角形的相似比是，那么和这两个相似三角形的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质：周长的比等于相似比，由此性质即可求解；掌握此性质是关键． 【详解】解：∵和两个相似三角形的相似比是， ∴和这两个相似三角形的周长比是； 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和三角形定理，根据三角形内角和定理求出，再由相似三角形的性质可得 ，即可得出结论． 【详解】解：在中，且 ∴ 又， ∴ 即的度数是， 故选：B． 5．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据网格求出，再利用相似三角形的性质可得结论，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由网格可知， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）两个相似三角形的相似比是，其中较小的三角形的面积是，则较大三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方．设较大三角形的面积是，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得，求解即可获得答案． 【详解】解：设较大三角形的面积是， 根据题意，两个相似三角形的相似比是， 则两个相似三角形的面积比是， 所以可有，解得， 经检验：是方程的解， 即较大三角形的面积是． 故选：B． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，内接于，且，的延长线交于点，若与相似，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 本题先连接，则，所以，由，得，则，由，得，求得，即得到本题的答案． 【详解】解：连接，如图： ， 则， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 8．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，那么它们的对应中线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质． 根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：根据相似三角形的性质可得：两个相似三角形的对应边上的高之比它们的对应中线之比， 它们的对应中线之比是． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，相似比为3，则它们的面积之比是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答本题的关键．依据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵，相似比为3， ∴它们的面积之比是． 故答案为： 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图， 已知，，， 若与相似， 则 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质和勾股定理，利用分类讨论得出结果是解题的关键． 根据相似三角形的性质当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为或． 故答案为：或． 11．（20-21九年级下·浙江衢州·阶段练习）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比AD：AC=2:3．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．则AG与GF的比值为 ． 【答案】/2 【分析】由AF是∠BAC的平分线，推出AG是△ADE的角平分线，根据相似三角形的性质得到对应角平分线的比等于相似比2：3，即可求得AG：GF=2：1． 【详解】∵△ABC的角平分线AF交DE于点G， ∴AG是△ADE的角平分线， ∵△ADE∽△ACB，相似比为2：3， ∴AG：AF=2：3， ∴AG：GF=2：1． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，明确“相似三角形的对应角平分线的比等于相似比”，灵活运用是关键． 12．（22-23九年级上·浙江金华·期中）在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是 ． 【答案】或6 【分析】此题考查相似三角形的性质，题目只说两个三角形相似并没有说明对应角，应该分两种情况讨论．根据题意可得或，或，然后利用比例的性质求出即可． 【详解】解：∵与相似， 而， 若， 则，即， 解得； 若， 则，即， 解得； 综上所述，的长为或6． 故答案为或6． 三、解答题 13．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在的方格纸中，请按下列要求作出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中作出将以点为旋转中心，按顺时针旋转所得的图形． (2)在图2中画出一个与相似的三角形（相似比不为1）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图相似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握相似变换、旋转变换的性质． （1）根据要求作出图形； （2）为底边为2，高为2的等腰三角形，因此可以利用格点构造一个底边为4，高为4的等腰三角形，此时相似比为2． 【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形． （2）解：如图，为所求作的三角形． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知，，若的长度为6，求的长．    【答案】的长为9 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形对应边成比例的性质求解即可． 【详解】解：，，的长度为6， ， ， ． 故的长为9． 15．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，，，． (1)求的长． (2)若平分，求的长． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】（1）根据相似三角形的性质得到，把已知数据代入比例式求出； （2）根据相似三角形的性质得到，根据角平分线的性质、等腰三角形的判定定理求出． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，即， ∴． （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等是解题的关键． 16．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，如图，在中，，D，E分别为边，边上一点，，且，于点F． (1)求证：； (2)若，．求边的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)6 【分析】（1）根据已知条件证明和即可证明． （2）根据和已知条件推出，从而求出和长度，再利用即可求出长度． 【详解】（1）证明：， ． ，， ， ， ． （2）解：，，，， ， ， ， ． ，， ， ， 设，则 ， ， ． 故答案为：6. 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质的判定，解题的关键就是利用相似三角形性质判定求线段. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$