第12讲 比例线段与平行线分线段成比例（知识清单+易错+5必考题型）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版）

第12讲 比例线段与平行线分线段成比例 题型梳理 易错分析 易错点一 找平行线截得的对应线段出错 题型方法 题型一 比例的基本性质 题型二 成比例线段和比例中项 题型三 黄金分割及其应用 题型四 平行线截得的线段成比例 题型五 平行线截得的线段成比例的应用 知识清单 知识点1.四个数成比例（重点） 1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么我们说这四个数成比例． 2.a : b＝c : d或称a，d为比例外项，称b，c为比例内项 3.比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad＝bc 知识点2.比例的基本性质（重点） （1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么． 重点剖析： （1）利用比例的基本性质可以在比例式和等积式之间互相转化。将比例式化为等积式是有条件的，并不是比例式中的四个字母中的任意两个字母的乘积就等于另外两个字母的乘积，而是比例的外项之积等于内项之积。 （2）使用等比性质时，要注意b+d≠0这个条件，否则这个性质不成立。 知识点3.两条线段的比（重点） 1. 两条线段的比： 注意！！！ （1） 在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。 （2） 两条线段的比是一个没有单位的正实数，该比值与线段的长度无关。 （3） 在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比通常称为比例尺，因此比例尺也是两条线段的比的一种形式。 知识点4.比例线段（重点） 对于四条线段、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 注意！！！ 比例线段是有顺序的，即比例线段、b、c、d与比例线段、c、b、d是不同的。 知识点5.比例中项（重点） 比例中项：如果三个数满足比例式（或），则叫做的比例中项. 知识点6.黄金分割（难点） 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 注意！！！ 一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注 或AP＜ BP，否则在已知AB的长度求AP（或BP）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。 知识点7由平行线截得的比例线段的基本事实（重点） 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 知识点8.把已知线段等分或作比例线段（重点） 已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分. 作法 1. 以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5. 2. 连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点. 依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式 ∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5， ∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B, ∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分. 要点： 在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线. 易错分析 【易错点一】找平行线截得的对应线段出错 【例1】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知直线，分别交直线于点A，B，C和点D，E，F，若，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，直线和被，，所截，，，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【变式2】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，则的长为 ． 【变式3】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，求的长． 题型方法 【题型一】比例的基本性质 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）若，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，则下面结论成立的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）若，则的值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【题型二】成比例线段和比例中项 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若线段，则a，b的比例中项线段为（   ） A．36 B． C． D．6 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则这三边上的高的比为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度为 ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求． 【题型三】黄金分割及其应用 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，点是线段的黄金分割点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知点P是线段的黄金分割点，且．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知点是线段的黄金分割点，若，则 ． 【变式3】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）（1）已知，，是，的比例中项，求； （2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长． 【题型四】平行线截得的线段成比例 【例4】（20-21九年级上·浙江杭州·期末）如图，直线，则（　　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级下·浙江·期末）如图，，与相交于点，且，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·浙江台州·期末）作业本中有一道题：“如图，在中，点D为的中点，点E在上，且，，交于点F，求的值”，小明解决时碰到了困难，哥哥提示他过点E作，交于点G．最后小明求解正确，则的值为 ． 【变式3】（21-22九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，直线a∥b∥c，＝5，则＝ ． 【题型五】平行线截得的线段成比例的应用 【例5】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）为制作风筝，小明做了如图所示的风筝支架示意图，已知点、点分别在射线与上，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是(　　) A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两竖格线间的距离相等．不同竖格线上的三点，，在同一直线上，若线段，则线段的长为 ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）图①，图②，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②恰定的网格中按要求画图．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．） (1)在图①中，画出格点线段，使且． (2)在图②中，作出线段的三等分点． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为2厘米，则，两地间的实际距离是千米（   ） A． B．3 C．30 D．300 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）下列各组数中，不成比例的是（    ） A． B．1，2，3，4 C． D． 4．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，已知点C是线段的黄金分割点（其中），，则线段的大小是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知，若，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）比例式中的值等于 ． 8．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则的值是 ． 9．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知线段，，则的比例中项线段等于 ． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，点C，点D是线段的两个黄金分割点，点C （填是或不是）线段的一个黄金分割点． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知，且，则的值为 ． 12．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，则点P表示的数是 ．    三、解答题 13．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，与相交于点M．且． (1)如果，求的长； (2)如果，，求的长． 15．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知线段满足，且． (1)求 a 、b 、c 的值； (2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 比例线段与平行线分线段成比例 题型梳理 易错分析 易错点一 找平行线截得的对应线段出错 题型方法 题型一 比例的基本性质 题型二 成比例线段和比例中项 题型三 黄金分割及其应用 题型四 平行线截得的线段成比例 题型五 平行线截得的线段成比例的应用 知识清单 知识点1.四个数成比例（重点） 1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么我们说这四个数成比例． 2.a : b＝c : d或称a，d为比例外项，称b，c为比例内项 3.比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad＝bc 知识点2.比例的基本性质（重点） （1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么． 重点剖析： （1）利用比例的基本性质可以在比例式和等积式之间互相转化。将比例式化为等积式是有条件的，并不是比例式中的四个字母中的任意两个字母的乘积就等于另外两个字母的乘积，而是比例的外项之积等于内项之积。 （2）使用等比性质时，要注意b+d≠0这个条件，否则这个性质不成立。 知识点3.两条线段的比（重点） 1. 两条线段的比： 注意！！！ （1） 在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。 （2） 两条线段的比是一个没有单位的正实数，该比值与线段的长度无关。 （3） 在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比通常称为比例尺，因此比例尺也是两条线段的比的一种形式。 知识点4.比例线段（重点） 对于四条线段、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 注意！！！ 比例线段是有顺序的，即比例线段、b、c、d与比例线段、c、b、d是不同的。 知识点5.比例中项（重点） 比例中项：如果三个数满足比例式（或），则叫做的比例中项. 知识点6.黄金分割（难点） 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 注意！！！ 一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注 或AP＜ BP，否则在已知AB的长度求AP（或BP）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。 知识点7由平行线截得的比例线段的基本事实（重点） 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 知识点8.把已知线段等分或作比例线段（重点） 已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分. 作法 1. 以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5. 2. 连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点. 依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式 ∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5， ∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B, ∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分. 要点： 在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线. 易错分析 【易错点一】找平行线截得的对应线段出错 【例1】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知直线，分别交直线于点A，B，C和点D，E，F，若，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，由此求出的长即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，直线和被，，所截，，，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， 故选：A． 【变式2】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，会利用平行线分线段成比例定理正确列出比例式是解答的关键． 【变式3】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，求的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，求出，再求出即可． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 题型方法 【题型一】比例的基本性质 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）若，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质逐一判断即可．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：A．因为，所以，，故A不符合题意； B．因为，所以，，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，，故D不符合题意； 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，则下面结论成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握以上知识是解题的关键；本题根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解答本题的关键．根据比例的基本性质解答即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查比的性质，掌握比的性质计算是解题的关键． （1）将代入，结合分式的性质化简计算即可； （2）将代入，结合分式的性质化简计算即可． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ∴． 【题型二】成比例线段和比例中项 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若线段，则a，b的比例中项线段为（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查比例线段，掌握比例线段的定义是解题的关键． 设线段c是a，b的比例中项，根据比例中项的定义列方程求解即可． 【详解】解：设线段c是a，b的比例中项， ∴，即， ∴（负数舍去）． 故选D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则这三边上的高的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，三角形的面积，首先设三角形的三边长分别为，，，其对应高的长分别为，，，由三角形的面积得，与三角形的三边长分别为，，，即可求得答案；掌握比例线段是解题的关键． 【详解】解：设三角形的三边长分别为，，，其对应高的长分别为，，， ， ， 三角形的三边长分别为，，， ， ， 这三边上的高的比为：． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了成比例的线段．熟练掌握比例中项是解题的关键．根据题意得出，代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：依题意， ∴（负值舍去） 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求． 【答案】(1)6；4；12 (2)12 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； （2）由线段x是线段、b的比例中项，可得，计算即可． 【详解】（1）解：设，则，， ∵， 所以， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段x是线段、b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）． 【题型三】黄金分割及其应用 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，点是线段的黄金分割点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知点P是线段的黄金分割点，且．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知点是线段的黄金分割点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可． 本题考查了黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）（1）已知，，是，的比例中项，求； （2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长． 【答案】（1）为或；（2） 【分析】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项，正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键． （1）由是，的比例中项，可得，由此求解即可； （2）根据黄金分割点的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）∵是的比例中项， ∴ ∴， ∴为或； （2）∵是的黄金分割点，且，， ∴ 【题型四】平行线截得的线段成比例 【例4】（20-21九年级上·浙江杭州·期末）如图，直线，则（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例，依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，B选项错误，不符合题意； ，C选项错误，不符合题意； ，D选项正确，符合题意； 无法确定A选项是否正确，故A选项不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级下·浙江·期末）如图，，与相交于点，且，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【变式2】（22-23九年级上·浙江台州·期末）作业本中有一道题：“如图，在中，点D为的中点，点E在上，且，，交于点F，求的值”，小明解决时碰到了困难，哥哥提示他过点E作，交于点G．最后小明求解正确，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据可得，结合，可得，根据点D为的中点即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 点D为的中点， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（21-22九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，直线a∥b∥c，＝5，则＝ ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵直线a∥b∥c， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【题型五】平行线截得的线段成比例的应用 【例5】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）为制作风筝，小明做了如图所示的风筝支架示意图，已知点、点分别在射线与上，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据，得到，进而求出的长，再用，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式计算即可． 【详解】解：如图所示，如图：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， ∴，即 解得： 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两竖格线间的距离相等．不同竖格线上的三点，，在同一直线上，若线段，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两竖格线间的距离相等， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）图①，图②，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②恰定的网格中按要求画图．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．） (1)在图①中，画出格点线段，使且． (2)在图②中，作出线段的三等分点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． （2）根据格点特点作且即可； （3）取格点P、Q，E、F连接，交格线于点K、T，则K、T即为所求． 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）如图即为所求； 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，关键是比例性质定理的应用．将化为代入即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ． 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为2厘米，则，两地间的实际距离是千米（   ） A． B．3 C．30 D．300 【答案】C 【分析】本题考查比例，比例尺是表示图上距离比实地距离缩小的程度，也叫缩尺，其公式为：比例尺图上距离/实地距离． 【详解】解：设两地间的实际距离是厘米， 根据题意得， 解得， 所以两地间的实际距离是30千米． 故选：C． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）下列各组数中，不成比例的是（    ） A． B．1，2，3，4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  （即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，由此逐项判断即可． 【详解】解：A.，成比例，故不符合题意； B.，不成比例，故符合题意； C.，成比例，故不符合题意； D.，成比例，故不符合题意． 故选：B． 4．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴，， 观察四个选项，选项A正确，符合题意， 故选：A． 5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，已知点C是线段的黄金分割点（其中），，则线段的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义．根据黄金分割的定义可得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：根据题意得． 故选：B． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知，若，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 设， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）比例式中的值等于 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了比例的性质．利用“两内项之积等于两外项之积”列出方程是解题的关键．根据比例的性质列出方程，通过解方程求得x的值即可． 【详解】解：， 解得． 故答案为：12． 8．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了成比例线段，先根据比例线段的定义得到，然后利用比例的性质可求出d的值． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， 即， 解得． 故答案为：9． 9．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知线段，，则的比例中项线段等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比例中项，熟练掌握“若，则称c是a，b的比例中项”是解题的关键；因此此题可根据比例中项进行求解． 【详解】解：∵，， ∴的比例中项线段为； 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，点C，点D是线段的两个黄金分割点，点C （填是或不是）线段的一个黄金分割点． 【答案】是 【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个． 利用黄金分割的定义得到，可判断，再表示出，然后计算出，从而可判断点C是AD的黄金分割点． 【详解】解：点C，点D是线段的两个黄金分割点， ， ， ， 即， ， ， 点C是的黄金分割点． 故答案为：是． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知条件得出再把三式相加得出，然后分两种情况讨论，即可得出k的值． 【详解】解：由已知得， ∴， ∴当时，得， 当时，则 ∴， ∴k的值为1或． 故答案为：1或． 12．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，则点P表示的数是 ．    【答案】 【分析】利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】∵，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10， ∴， ∴， 解得, 故点P表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 三、解答题 13．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：设， 则，， 所以，， 解得， 所以，，； （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴线段． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，与相交于点M．且． (1)如果，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，解一元一次方程，熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，即可得到的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∴，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即的长为5． 15．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知线段满足，且． (1)求 a 、b 、c 的值； (2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 【答案】(1)9，6，12 (2) (3) 【分析】（1）设比值为，然后用表示出再代入等式进行计算即可得； （2）根据比例中项的定义列式求解即可得 （3）根据黄金分割比的结论列式求解即可得 【详解】（1）解：设， 则， 解得：， 则：； （2）∵线段 x 是线段 a 、b 的比例中项， ∴， ∴， ∴； （3）∵线段b按黄金分割比例分为两条线段， ∴长边长度为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，黄金分割比，熟记比例中项的概念、黄金分割比的比值结论是解决问题的关键，同时利用“设法”用表示出可以使计算更加简便． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$