2.卷2 第2章 分式 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（湘教版2024）

数 学 八年级上册 湘教版 1 2 卷2 第2章基础诊断卷（A卷） 考查内容：分式 3 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间： 满分：100分 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意. 1.［2025河北秦皇岛月考］下列是分式的是( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意得，是分式，，和 都是整式，所以选项A符合题意， 选项B，C，D不符合题意，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5 2.［2025福建泉州月考］计算 的结果是( ) A A. B. C. D. 【解析】 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 3.传统文化［2025湖南长沙雅礼实验中学调研］清代诗人袁枚创作了一首诗 《苔》：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”歌颂了苔在恶劣环 境下仍有自己的生命意向.若苔花的花粉粒直径约为 米，则数据 用科学记数法表示为( ) B A. B. C. D. 【解析】 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 4.新考法［2025山东潍坊月考］根据下列表格中的信息， 代表的分式可能是 ( ) … 0 1 2 … … 0 * * 无意义 * … C A. B. C. D. 【解析】因为当时，分式无意义，所以分式的分母可能是 .因为当 时，分式为0，所以分式的分子可能是，所以分式可能是 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 5.［2025北京通州区月考］下列式子从左到右变形一定正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 选项 分子、分母变化情况 是否符合分式的基本性质 A 分子乘，分母乘 不符合 B 分子、分母同时加1 不符合 C 分母除以，分子不是除以 不符合 D 分子、分母同时乘 符合 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9 6.［2025山东烟台月考］解分式方程 ，去分母后，结果正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】，两边同乘，得，即 ，故 选B. 上分警示 解分式方程—— 去分母 注意去分母时，常数项也要乘最简公分母. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 7.新考法［2025河北秦皇岛山海关区月考］秦始皇统一度量衡意义重大，这一举 措极大地方便了生产与生活.如图（1）和图（2），欣欣通过两把不同刻度的直尺 说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅 图可得方程( ) A 图（1） 图（2） A. B. C. D. 【解析】根据题图（1）和题图（2），因为直尺A的对应长度分别为24，9，直尺 B的对应长度分别为32，，所以列方程为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 8.［2024河北唐山三模，中］已知，则常数， 的值分别 是( ) B A.， B.， C.， D.， 【解析】 .因 为，所以得，把 代入① 得，所以方程组的解为 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 9.分类讨论［2025湖南长沙青竹湖湘一外国语学校质检，中］若分式方程 无解，则 的值为( ) D A.2 B.4 C.2或 D.4或 【解析】去分母，得，去括号，得 ，移 项、合并同类项，得 ，易得该整式方程恒有解，所以分式方程有增根， 所以，所以.当时，；当 时， ，所以的值为4或 .故选D. 上分技巧 分式方程无解 将分式方程化为整式方程后，当整式方程无解时，分式方程无解；当整式方程有 解，但所有解都是分式方程的增根时，分式方程也无解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 10.规律探究［2025湖南长沙月考，偏难］已知代数式，第一次操作将 作为 新的代入中,化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的 代入中,化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的代入 中,化简后得到新的式子记为, ,以此类推，有以下结论： ；②若，则；③不存在整数使得 的 值为负整数. 其中正确的有( ) C A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 【解析】依题意得，， ，故①不 正确.由题易得规律，所以, ,所以 .因为 ，所以 ，所以，故②正确.因为 ,所以 .若要使为整数，且 为整数，则 或，所以或.因为当时，， 无意 义；当时，，所以不存在整数使得 的值为负整数，故③正确. 综上所述，正确的结论有②③，共2个,故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 11.开放性问题［2025湖南株洲荷塘区期中］从代数式3，， 中任选两 个，组成一个最简分式：___________________.（写出一个即可） （答案不唯一） 【解析】分式可以为.故答案为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 12.［2025湖南长沙师大附中一模］若代数式有意义，则实数 的取值范围是 ______. 【解析】要使代数式有意义，则，所以，即实数 的取值范围是 .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 13.［2025湖南湘潭岳塘区调研］分式， 的最简公分母是______. 【解析】分式，的最简公分母为.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18 14.［2025四川成都月考］如果，那么与 之间的关系为_______ _____. 【解析】因为，所以，所以 ，方程两边同时开方，得 ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 15.［2025湖南冷水江期末］若，则 ___. 【解析】由，得 ，则 .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 16.［2025北京房山区月考］学习了“分式的 加减法”，小刚同学画出了如下运算流程图： 图中①代表的运算步骤为______，②代表的 运算步骤为______.（填“通分”或“约分”） 通分 约分 【解析】两个分式是异分母时，应先确定最 简公分母，再进行通分；如果同分母的分式 进行加减运算后不是最简分式，应进行约分. 故答案为通分,约分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21 17.［2025湖南长沙天心区期末，中］定义新运算：对于非零的两个实数和 ，规 定，如.若，则 的值为____. 【解析】因为，所以 .因为 ，所以，解得.经检验， 是原分式 方程的解.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22 18.［2025山东潍坊月考，偏难］阅读资料： 使等式成立的 的值为1或3； 使等式成立的的值为2或 ； 使等式成立的的值为4或 ；…. 按此规律，使等式成立的 的值为_______. 10或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 【解析】因为，所以，所以 ，即 ，所以，即 .根据题意，可 得或，解得或.经检验，或 是原方程的解， 故答案为10或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 19.［2025湖南常德鼎城区期中］（6分）计算： （1） ； 【解】原式 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 （2） . 【解】原式 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 20.［2025湖南娄底涟源质检］（6分）解分式方程： （1） ； 【解】方程两边同乘，得 ，…………（1分） 解得 .…………（2分） 经检验， 是原分式方程的解.…………（3分） （2） . 【解】方程两边同乘，得 ，………… （4分） 整理得，解得 .…………（5分） 检验：当时， ，故原分式方程无解.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 27 21.［2024湖南怀化模拟］（8分）某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期 间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售， 求这家超市销售的这种饮料每箱多少瓶. 【解】设这家超市销售的这种饮料每箱瓶.根据题意得 ，………… （5分） 解得 .…………（6分） 经检验， 是原方程的解，也符合题意. 答：这家超市销售的这种饮料每箱18瓶.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 22.新考法［2025湖南长沙雅礼实验中学调研］（8分）先化简，再求值： ，其中 . 下面是同学们几种不同解法的部分运算过程： ①原式 . ②原式 . ③将被除式与除式位置颠倒，即化简 并代入求值后，取结果的 倒数. （1）以上解法中正确的是_____________________（填序号即可）； （2）①中运算的依据是_______________________________； ①③…………（2分） 分式的基本性质…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 （3）［中］请选择一种正确的解法，写出完整的解答过程. 【解】（选择的解法不同，解答过程不同）选择①，原式 .…………（6分） 当时，原式 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 23.新情境［2025湖南长沙芙蓉区期中］（8分）金师傅近期准备换车，看中了价 格相同的两款国产车，其基本信息如下： 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 行驶里程： 千米 每千米行驶费用： 元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 行驶里程： 千米 每千米行驶费用：____ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 （1）用含 的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是___.（代数式化为最简结果） 【解析】根据题意可得，新能源车的每千米行驶费用为 （元）.故答案为 元.…………（1分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 32 （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元. ①［中］分别求出这两款车的每千米行驶费用. 【解】根据题意可得，解得 .…………（2分） 经检验， 是原方程的解. 所以， .…………（4分） 答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6 元.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 ②［中］若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5 096元和7 256元.问：每年 行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用 年其 他费用） 【解】设每年行驶里程为 千米时，买新能源车的年费用更低.根据题意得 ，…………（6分） 解得 .…………（7分） 答：每年行驶里程大于4 000千米时，买新能源车的年费用更低.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 24.探究性问题［2025江苏无锡月考］（10分）【阅读材料】若一个分式能化成一 个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如： ，，则 和 都是“和谐分式”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 【初步探究】 （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ；；； . ①③④ 【解析】，是和谐分式； ，不是和谐分式； ，是和谐分式； ，是和谐分式.故答案为 ①③④.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 【深入探究】 （2）［中］将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形 式为______ ____； 【解析】，故答案为 ， . …………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 37 【拓展延伸】 （3）［偏难］应用：先化简，并求 取什么整数时，该式的值 为整数. 【解】原式 . …………（6分） 因为要使该式的值为整数，且为整数，所以或 ，所以 或或1或 .…………（8分） 又因为分式有意义时，且且且，所以 ，即当 时，该式的值为整数.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 $$