1.卷1 第1章 因式分解 综合检测卷-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（湘教版2024）

数 学 八年级上册 湘教版 1 2 卷1 第1章综合检测卷 考查内容：因式分解 3 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间： 满分：100分 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意. 1.［2025北京西城区月考］下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5 【解析】A选项， 中等号右边不是乘积的形式，故不符 合题意；B选项， 是乘法运算，故不符合题意；C选项， 符合因式分解的定义，故符合题意；D选项， 中等号右边不是乘积的形式，故不符合题意.故选C. 上分总结 判断一个等式是否为因式分解 抓住两个要点：①等式左边是多项式，等式右边是整式乘积的形式；②左边 右边. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 2.［2025河北唐山月考］多项式 的公因式是( ) C A.3 B. C. D. 【解析】多项式的公因式是 ，故选C. 上分点拨 公因式 多项式中各项的公因式是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低 次幂的乘积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 3.［2025福建厦门海沧区月考］运用公式 直接对整式 进行因式分解，则公式中的 可以是( ) A A. B. C. D. 【解析】，所以公式中的 可以是 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 4.新考法［2025广东揭阳月考］课堂上老师在黑板上布置了如下所示的题目： 用平方差公式分解下列各式： ;;; . 小南马上发现了其中有一道题目错了，错误的是( ) B A.第（1）道题 B.第（2）道题 C.第（3）道题 D.第（4）道题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9 【解析】（1） ，它可以利用平方差公式因式分解； （2） ，它不能利用平方差公式因式分解；（3） ，它可以利用平方差公式因式分解；（4） ，它可以利用平方差公式因式分解.综上，第 （2）道题错误，故选B. 上分警示 平方差公式的应用 平方差公式的应用要关注平方项的符号，两个平方项的符号必须相反. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 5.［2024广西中考］如果，，那么 的值为 ( ) D A.0 B.1 C.4 D.9 【解析】因为， ，所以 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 6.［2025山东泰安月考］设， ，那么 等于( ) A A. B. C. D. 【解析】 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 7.［2025河南郑州月考］若的结果为整数，则整数 的值不可能是 ( ) D A.44 B.55 C.66 D.77 【解析】原式 .当 时，，是 的因子，可使结果为整数，故选项A 不符合题意；当时，，是 的因子，可使结果为 整数，故选项B不符合题意；当时，，是 的 因子，可使结果为整数，故选项C不符合题意；当时， ，不是 的因子，不可使结果为整数，故选项D符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 8. 在游戏世界里，玩家解锁特殊道具或进入隐藏关卡往往需要输入 密码.有一种用“因式分解”法生成的密码方便记忆.例如多项式 ，因式分解的 结果是，若取， ，则各个因式的值是 ，， ，于是就可以把“018162”作为一个六位数 的密码.对于多项式，取， ，用上述方法生成的密码不可能 是( ) C A.503070 B.507030 C.307040 D.703050 【解析】因为.因为， ，所 以各个因式的值为，， ，所以产生的密码不可能是 307040，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 9.回归教材［2025山东淄博张店区月考，中］将几个图形拼成一个新图形，再通 过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式.例如，由图（1）可 得等式 .将若干张图（2）所示的卡片进行拼图， 可以将二次三项式 分解因式为( ) B 图（1） 图（2） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 【解析】如图，所以 ，故选B. 上分技巧 几何方法分解因式 利用多项式各项的系数判断各类图形个数，将这些图形拼成一个长方形 （或正方形），表示相邻两边长的代数式就是分解后的两个因式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 10.新定义［2025湖北武汉月考，偏难］我们定义：若一个整式能表示成 （a,b是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”.例如：因为 ,是整式，所以 为“完全式”.若 ,是整式，为常数为“完全式”，则 的值为( ) B A.26 B.25 C.24 D.23 【解析】.因为， 是整式， 为常数为“完全式”，所以，解得 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 11.开放性问题［2025湖南长沙宁乡质检］一个多项式，把它因式分解后有一个因 式为 ，请你写出一个符合条件的多项式：________________________. （答案不唯一） 【解析】因为 ，所以符合条件的一个多项式是 ，故答案为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18 12.［2024湖南长沙中雅培粹学校二模］多项式提取公因式 后， 另一个因式为___________. 【解析】.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 13.［2025湖南湘潭调研］分解因式： ______. 【解析】 ，故答案 为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 14.易错题［2025湖南娄底娄星区期中］若多项式 能用完全平方公式 因式分解，则 的值是____. 【解析】因为多项式能用完全平方公式因式分解，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21 15.［2025湖南株洲荷塘区校级月考］已知，则 的最小值是_____. 【解析】因为 ，所以 .因为 ,所以 ，所以的最小值为 ,即 的最小值为.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22 16.［2025湖南长沙期中］计算… 的值是___． 【解析】原式 … ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 17.［2025浙江绍兴月考，中］对于二次三项式 ，如果能将常数项分解成两个因数， ， 使，的和恰好等于一次项系数，即 ， ，就能将 分解因式，这种分解因 式的方法取名为“十字相乘法”.为使分解过程直观，常常 【解析】如图， . 采用如图所示的方法，将二次项系数的因数与常数项的因数分列两边，再交叉相 乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解.根据上述方法，代数式 因式分解的结果为______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 18.规律探究［2025四川达州月考，偏难］小明从分别标有1到21的21张卡片中抽 出两张，结果发现两个数字中较大数2倍的平方减去较小数的平方刚好等于这21张 卡片上数字之和，那么所抽出两个数字的积是____. 40 【解析】设这两个数分别为， .由题意可得 .因为 ，所以 ,,所以 或 ，即或解得 或 （不符合题意，舍去）.当，时， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 19.［2025湖南株洲天元区期中］（6分）因式分解： （1） ； 【解】原式 .…………（1分） （2） ； 【解】原式 .…………（2分） （3） ； 【解】原式 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 （4） . 【解】原式 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 27 20.［2025湖南湘潭雨湖区月考］（6分）利用因式分解计算： （1） ； 【解】原式 . …………（3分） （2） . 【解】原式 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 21.新考法［2025湖南衡阳雁峰区月考］（8分）如图，长方形 的长为，宽为 ，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各 式的值： （1） ； 【解】根据题意得， . …………（2分） 原式 .…………（3分） （2） . 【解】由（1）知，， ，原式 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 22.［2025湖南郴州北湖区期中］（8分）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段， 得到局部完全平方式，再进行相关运算和解题，这种解题方法叫作配方法.配方法 在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用. 例如：①用配方法因式分解： . 解： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 ②求 的最小值. 解： . ， ， 即的最小值为 . 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ___. 4 【解析】 ，即添加的常数项为4，故答案为4.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 （2）利用上述方法进行因式分解： . 【解】 .…………（4分） （3）［中］求 的最小值. 【解】 .…………（6分） 因为，所以，即 的最小值为 4.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 32 23.新定义［2025湖南邵阳隆回调研］（8分）若一个正整数能表示成 ，是正整数，且的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解．例如：因为 ，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差 分解；再如：， 是正整数 ，所以也是“明礼崇德数”，与是 的一个平方差分解． （1）【尝试填空】判断：3____“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）； 是 【解析】因为 ，所以3是“明礼崇德数”，故答案为是.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 （2）［中］【解决问题】已知与是的一个平方差分解，求代数式 （用含， 的式子表示）； 【解】根据题意得 .…………（4分） （3）［中］【拓展应用】已知，是正整数， 是常 数，且，要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的 值，并说明理由. 【解】 .理由如下：因为 ，所以当时，为“明礼崇德数”，此时，故当时， 为“明礼崇德数”.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 24.探究性问题［2025湖南长沙芙蓉区质检］（10分）第一步：阅读材料，拓展知识. 要把多项式 分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出 公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而可得 ，这种方 法称为分组法. 第二步：理解知识，尝试填空. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 （1） _______ ________. 第三步：应用知识，解决问题. 【解析】，故答案为 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 （2）［中］因式分解： _______________. 第四步：提炼思想，拓展应用. 【解析】.故答案为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 37 （3）［偏难］已知三角形的三边长分别是，， ，且满足 ，试判断这个三角形的形状，并说明理由. 【解】这个三角形为等边三角形.理由如下：因为 ，所以 ，所以 ，所以 0.…………（8分） 因为，，所以，，所以 ，所 以这个三角形是等边三角形.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 $$