精品解析：湖南省长沙市湖南师大附中梅溪湖中学2024-2025学年七年级上学期第三次月考数学试题

2024-2025学年湖南师大附中梅溪湖中学七年级数学 12月学情调研 总分：120分 时量：120分钟 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 我国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果将“气温零上”记作“”，那么气温零下记作（ ） A. B. C. D. 2. 在，0，，中，正数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 2024年国庆假期，长沙市共计接待游客约万人次，游客总花费达亿元，消费金额同比增长，将数据7388000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，与是同类项的是（ ） A. B. C. D. 6. 同一平面内有三个不同的点A，B，C，过其中任意两个点画直线，可以画出的直线的条数是（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 无法确定 7. 下列解方程的步骤正确的是（ ） A. 方程去括号，得 B. 方程移项，得 C. 方程去分母，得 D. 方程，两边都除以，得 8. 如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，若数轴上的两点A，B表示的数分别为a，b，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 单项式 的系数是_________，次数是__________ 12. 若，则______． 13. 比较大小：______（填“”、“”或“”）． 14. 若单项式与是同类项，则关于的方程的解是______． 15. 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作4天后，剩下的部分由乙单独做，则还需要_____天才能完成． 16. 如图是一个正方体的表面展开图，在正方形A、B、C内分别填入适当的数a，b，c，使其折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则______． 三、解答题（共9小题，其中17、18、19每题6分，20、21每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，共72分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各题： （1） （2） 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 计算：一个整式A与多项式的和是多项式． （1）求整式A； （2）当时，求整式A的值． 20. 如图，正方形的边长为a． （1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； （2）当，时，求阴影部分的面积． 21. 定义一种新运算：观察下列式子： （1）请你想一想： （2）若 ，那么 ；(填入“=”或“≠”) （3）求的值 22. 一套仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可做40个A部件或200个B部件，现要用钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？（此题必须利用方程解答） 23. 已知点C在线段上，，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，，线段在线段上移动． （1）求的长 （2）如图，当E为的中点时，求的长； （3）在（2）的条件下，如果在线段上取一点F，使得，此时点F是线段的几等分点？请说明理由． 24. 定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． （1）请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； （2）如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； （3）关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 25. 如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，．点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）①若点P为线段的中点，则此时点P对应的数______； ②若点P到点A、点B的距离之和为8，则此时点P对应的数______； （2）若点P在移动的过程中，满足，求此时点P对应的数的值； （3）记线段的中点为点M，线段的中点为点N，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动． ①在运动过程中，点M到点N的距离是否不变？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． ②设运动t秒后，点P到点M和点N的距离恰好满足2倍关系，请求出t值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖南师大附中梅溪湖中学七年级数学 12月学情调研 总分：120分 时量：120分钟 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 我国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果将“气温零上”记作“”，那么气温零下记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若零上的温度用“”表示，那么零下的温度就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果零上记作，那么零下记作， 故选：C． 2. 在，0，，中，正数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了正数的定义，根据正数的定义解答即可． 【详解】解：在，0，，中，正数是，，共2个， 故选：B． 3. 2024年国庆假期，长沙市共计接待游客约万人次，游客总花费达亿元，消费金额同比增长，将数据7388000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数．将一个数表示成的形式，其中为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：数据7388000000用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 下列各式中，与是同类项的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项．单项式含有字母a、b，且指数分别为4、1，根据同类项的定义进行判断． 【详解】解：∵含有字母a、b，且次数分别为4、1， ∴与是同类项的是． 故选：C． 6. 同一平面内有三个不同的点A，B，C，过其中任意两个点画直线，可以画出的直线的条数是（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线、射线、线段，本题的关键是进行分类讨论，将三个点进行不同的排列，可得两个结果．根据题意画出图形，即可看出答案． 【详解】解：如图可以画3条直线或1条直线，    故选：C． 7. 下列解方程的步骤正确的是（ ） A. 方程去括号，得 B. 方程移项，得 C. 方程去分母，得 D. 方程，两边都除以，得 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号法则，等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、方程去括号，得，原步骤错误，不符合题意； B、方程移项，得，正确，符合题意； C、方程去分母，得，原步骤错误，不符合题意； D、方程，两边都除以，得，原步骤错误，不符合题意； 故选B． 8. 如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体并结合图形即可得解，熟练掌握立体图形的特征是解此题的关键． 【详解】解：如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是， 故选：D． 9. 如图，若数轴上的两点A，B表示的数分别为a，b，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的运算是解题的关键；由数轴可知，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，，； 故选C． 10. 如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求线段长．根据题意，分两种情况：（1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；（2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： （1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ∵，即， ∴，即线段是最长的一段， ∵最长的一段为 ， ∴，解得， ∴这条绳子的原长为； （2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ， ∴线段是最长的一段， ∵最长的一段为， ∴，解得， ∴， ∴这条绳子的原长为； 故选：C． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 单项式 的系数是_________，次数是__________ 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】直接利用单项式的次数与系数的概念分析得出即可． 【详解】解：单项式的系数是：，次数是：3． 故答案为：①；②3． 【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握相关定义是解题关键． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，求解代数式的值，根据题意得到是解题的关键．根据绝对值和平方的非负性求解，，再代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 13. 比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角的大小比较，单位换算．由，再比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 若单项式与是同类项，则关于的方程的解是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据同类项的定义求出m，n的值，再把m，n的值代入关于的方程，得出，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得：， 把代入关于的方程得： ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同类项的定义，解一元一次方程，解题的关键是求出m，n的值． 15. 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作4天后，剩下的部分由乙单独做，则还需要_____天才能完成． 【答案】5 【解析】 【分析】设乙单独做还需要x天完成，根据甲完成部分+乙完成的部分＝总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设还需要x天完成， 根据题意得：， 解得：x＝5． 答：还需要5天完成． 故答案是：5． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． 16. 如图是一个正方体的表面展开图，在正方形A、B、C内分别填入适当的数a，b，c，使其折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，倒数的定义及代数式求值．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据互为倒数的定义，即乘积是1的两个数互为倒数求出，，，然后代入求解即可． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “”与“1”是相对面， “”与“2”是相对面， “”与“”是相对面， 相对的面上的两个数互为倒数， ，，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共9小题，其中17、18、19每题6分，20、21每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，共72分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各题： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．按照有理数的混合运算法则计算即可． （1）先算乘除法，最后再算加减法． （2）先算乘方，再算乘除法，最后再算加减法． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． （1）依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案， （2）依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案． 【小问1详解】 解： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：； 【小问2详解】 解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 19. 计算：一个整式A与多项式的和是多项式． （1）求整式A； （2）当时，求整式A的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出方程，求出A的表达式； （2）把x的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：把代入上式，得： ． 20. 如图，正方形的边长为a． （1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； （2）当，时，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，阴影部分的面积等于正方形的面积减去两个直角三角形的面积，据此进行列式化简，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，阴影部分的面积； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，， ∴． 21. 定义一种新运算：观察下列式子： （1）请你想一想： （2）若 ，那么 ；(填入“=”或“≠”) （3）求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义； （1）根据题目中的式子，可以写出； （2）分别写出和，然后作差，即可得到它们的关系； （3）根据（1）中的结果，可以计算出所求式子的值． 【小问1详解】 解：（1）∵， ， ， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴． 22. 一套仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可做40个A部件或200个B部件，现要用钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？（此题必须利用方程解答） 【答案】应用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器200套． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应用钢材做A部件，钢材做B部件，然后根据等量关系列出方程，求解即可． 【详解】解：设应用钢材做A部件，钢材做B部件， 根据题意得，， 解得， ， 套． 答：应用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器200套． 23. 已知点C在线段上，，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，，线段在线段上移动． （1）求的长 （2）如图，当E为的中点时，求的长； （3）在（2）的条件下，如果在线段上取一点F，使得，此时点F是线段的几等分点？请说明理由． 【答案】（1）16 （2）24 （3）五 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据题意得，即可求出； （2）求出，再由E为中点求出，由求出，再根据求出结论即可； （3）首先求出，再求出，求出结论即可． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ∴ 又E为中点 ∴ ∵ ∴ 又 ∴； 【小问3详解】 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴点F是线段的五等分点． 24. 定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． （1）请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； （2）如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； （3）关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 【答案】（1）是 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是新定义的含义，一元一次方程的解法，绝对值方程的应用； （1）由方程的解是，方程的解是，再利用新定义的含义计算并判断即可； （2）分别解方程，，再结合新定义可得：，即，进一步求解即可； （3）分别解方程，，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， ∴这两个方程是“4差解友好方程”； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程” ∴，即， ∴或， 解得：或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 25. 如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，．点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）①若点P为线段的中点，则此时点P对应的数______； ②若点P到点A、点B的距离之和为8，则此时点P对应的数______； （2）若点P在移动的过程中，满足，求此时点P对应的数的值； （3）记线段的中点为点M，线段的中点为点N，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动． ①在运动过程中，点M到点N的距离是否不变？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． ②设运动t秒后，点P到点M和点N的距离恰好满足2倍关系，请求出t值． 【答案】（1）①；②或 （2）或 （3）①3；②或或． 【解析】 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，绝对值的应用； （1）①利用非负数的性质先求解，；结合数轴上线段中点对应的数的规律列式计算即可；②由题意可得，再分情况解方程即可； （2）由点P在移动的过程中，满足，可得，再解方程即可； （3）①设运动时间为，可得对应的数为，对应的数为，对应的数为，再计算距离即可．②由①得：对应的数为，对应的数为，，，当时，当时，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴，， 解得：，； ∴点A和点B在数轴上对应的数分别为和； 点P为线段的中点，则此时点P对应的数； ②∵点P到点A、点B的距离之和为8， ∴， 当时，， 解得：，即此时点P对应的数， 当时，， 当时，， 解得：，此时点P对应的数， 综上：或； 【小问2详解】 解：∵点P在移动的过程中，满足， ∴， 当时，， 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，不符合题意，舍去， 当时，， 解得：， 综上：此时点P对应的数为或． 【小问3详解】 解：①点M到点N的距离不变为，理由如下： ∵点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，设运动时间为， ∴对应的数为， 记线段的中点为点M，线段的中点为点N， ∴对应的数为，对应的数为， ∴ 点M到点N的距离为． ②由①得：对应的数为，对应的数为， ∴，， 当时， ∴，即， ∴或， 解得：舍去；或； 当时， ∴，即， ∴或， 解得：或； 综上：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $