5.1 直角三角形的性质定理 第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

第2课时含30°角的直角三角形的性质及其应用 要点提园 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反过来，在直角三角形中，如 果一条直角边等于斜边的一半，那么这条童角边所对的角等于30° 已课内基础练 知识点② 含30°角的直角三角形性质的应用 知识点① 含30°角的直角三角形的性质 4.(教材变式)如图所示的是某商场一楼和二 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若∠A 楼之间的手扶电梯示意图，其中AB,CD分 30°，AB=2,则BC= ( 别表示一楼、二楼地面的水平线.已知 ∠ABC=150°，BC的长是8m,则乘电梯从 A.1 B.2 C.3 D.5 点B到点C上升的高度h是 A.3m B.4m C.5 m D.6m 150 第1题图 第2题图 A B 第4题图 第5题图 变式题1求直角边长→求斜边兴 5.(2024一2025娄底月考)如图，一棵树在一次 在R1△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC 强台风中于离地面3m处折断倒下，倒下部 =2,则AB= 分与地面成30°角，则这棵树在折断前的高 变式题2求边长→求角度 度为 m. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC= 6.下图所示的是某超市人口的双翼闸机的示 2.5,则∠A的度数为 意图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点 2.(2025沅江期末)如图，在Rt△ABC中， A,B之间的距离为12cm,双翼的边缘AC ∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC.下列等 =BD=62cm,且∠ACP=∠BDQ=30°.求 式成立的是 ( 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大 A.BD=3DC B.AD=2DC 宽度 C.AB=4DC D.BD=2AC 3.如下图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC, 过点D作DF⊥BC于点F,AB=6.求BF 机 机 的长 492 八年级数学X划版 已课外拓展练 (1)求海岛B到灯塔C的距离。 7.如图，某研究性学习小组为测量学校A与河 (2)若这条船继续向正北方向航行，何时船 对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点 到灯塔C的距离最短？ C,利用测量仪器测得∠A=60°，∠C=90°， AC=2km.据此，可求得学校与工厂之间的 距离AB等于 () A.2 km B.3km C.23 km D.4 km 第7题图 第8题图 8.(教材变式)如图所示的是某屋顶架设计图 的一部分，其中∠A=30°，D是AB的中点， BC,DE都垂直于AC,AB=16m,则DE的 长是 ) A.8m B.4m C.2m D.6m 9.情境应用如图①，设计一张折叠型方桌，其 示意图如图②，AO=B0=50cm,CO=DO =30cm,现将桌子放平，若两条桌腿需要叉 开的角度∠AOB为120°，则AB距离地面 已核心素养练 CD的高度是 cm. 12.几何直观如下图，在四边形ABCD中，AD =4,BC=1,∠A=30°，∠B=90°，∠ADC =120°.求CD的长， 图① 图2 第9题围 10.原创题将含30°角 的直角三角板和直 T 尺按如图所示的方 0 em 式放置.若∠a 60°，点B,C表示的 第10题国 刻度分别为1cm,3cm,则线段AD的长为 cm. 11.如下图，一条船上午8时从海岛A出发，以 15 n mile/,h的速度向正北方向航行，上午 10时到达海岛B,分别从A,B处望灯塔 C,测得∠NAC=30°，∠NBC=60° 上册第5章 3△所以△BDE≌△CDA(AAS) (2)因为D为BC边的中点，AD⊥BC,所以直线AD为线 因为DF⊥BC,所以∠CDF=30,所以FC=之DC-1.5 段BC的垂直平分线，所以BA=CA. 所以BF=BC-CF=6-1.5=4.5. 由1)，得△BDE2△CDA, 4.B5.9 所以BE=CA,所以BA=BE 6.解：如图，过点A作AE⊥CP于点E,过点B作BF⊥DQ于 第5章直角三角形 点F 5.1直角三角形的性质定理 第1课时直角三角形的性质和判定 1.40°变式题67.52.B3.50或90 4.证明：因为ED⊥AB,所以∠1+∠A=90 因为∠1=∠2，所以∠2+∠A=90°， 在Rt△ACE中，∠ACE=30, 所以△ABC是直角三角形 5.D6.62 所以AB=号AC=号X62=(cm 7.解：在木棍滑动的过程中，点P到点Q的距离不会发生 同薄可得BF=31cm. 变化. 又因为双翼展开时，双翼边缘的端点A,B之间的距离为 理由：莲接OP,如图 12cm,所以31+12+31=74(cm), 因为∠AOB=90',P为AB的中点， 所以当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 所以OP-专AB, 74cm. 7.D8.B9.4010.4 因为木棍的长度AB是固定值， 11.解：(1)由题意，得AB=15×(10-8)=30(n mile). 所以在木棍滑动的过程中，点P到点O 因为∠NBC=60°，∠NAC=30, 的距离不会发生变化. 所以∠ACB=∠NBC-∠NAC=60°-30°=30， 8.B9.2或610.①②③④ 所以∠ACB=∠NAC,所以AB=BC=30 n mile. 11.解：（答案不唯一）①②③ 故海岛B到灯塔C的距离为30 n mile 证明：因为∠ABC=90,所以∠BAD十∠BDA=90 (2)如图，过点C作CP⊥AN于点P. 因为△AEB为直角三角形，所以∠CAD十∠AFE=90, 由题意，得线段CP的长为船到灯塔C 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD,所以，∠BDA 的最短距离 60 =∠AFE. 因为CP⊥AN,所以∠BPC=90, 因为∠BFD=,∠AFE,所以，∠BFD=∠BDA, 所以∠PCB=90"-∠NBC=30', 12.解：(1)证明：因为∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点， 所以DE-2AB,CE-号AB,所以DE=CE 所以PB=号BC=专×30= 2 15(n mile), (②)△DEC是等边三角形，理由如下： 所以AP=AB+PB=30+15=45(n mile), 因为∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点， 所以航行的时间为45÷15=3(h), 所以DE=AE=BE=CE, 所以8十3=11（时）. 所以∠CAB=∠ACE=25,∠DBA=∠BDE=35°， 放若这条船继续向正北方向航行，上午11时船到灯塔C的 所以∠BEC=∠CAB十∠ACE=50°，∠AED=∠DBA十 距离最短。 ∠BDE=70°， 12.解：如图，延长AD,BC交于点E. 所以∠DEC=180°-50°-70°=60°， 国为∠A=30°，∠B=90, 所以△DEC是等边三角形. 所以∠E=60,AE=2BE. 13.解：(1D证明：因为∠ACB=90,所以∠A十∠B=90 因为∠ADC=120°， 因为∠ACD=∠B,所以∠A十∠ACD=90°， 所以∠EDC=60 所以∠BDC=∠A十∠ACD=90”,所以△BCD是直角三 易得，∠E=∠EDC=∠ECD=60°， 角形 所以△EDC是等边三角形， (2)①12 设CD=CE=DE=x. ②因为∠BDC=90°， 因为AD=4,BC=1,所以AE=x十4，BE=1十x 所以∠BCD=90-∠B=90°-32°=58 又因为AE=2BE,所以x十4=2(1十x),解得x=2, 由题意，得∠A'CD=∠ACD=∠B=32 所以CD=2. 所以∠ACB=∠BCD-∠A'CD=58°-32°=26 5.2勾股定理及其逆定理 第2课时含30角的直角三角形的性质及其应用 第1课时勾股定理 1,A变式题14变式题260°2.A 1.C 3.解：因为△ABC是等边三角形， 2.解：∠ACB+∠ECD=9o° 1 所以，∠ACB=60°，AC=BC=AB=6, 又图为BD⊥AC,所以∠BDC=90:∠CBD=30°， 1 1 1 2(a+6)2 所以CD-BC-3. 3.24.175.C变式题A6.37.C8.189.8 上册参考答宾 195