14.3 角的平分线(课外拓展提高)-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（人教版2024）

14.3角的平分线 第1课时角的平分线的性质（建议用时：30分钟） 1.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，BC= 求证： 3,连接AC,AC⊥CD,并且∠ACB=∠D, (1)△CBE≌△CDF. E是AD边上一动点，则CE的最小值是 (2)AB十DF=AF. A.1.5 B.3 C.3.5 D.4 第1题图 第2题图 2.如图，AB∥CD,BE,CE分别平分∠ABC, ∠BCD,AD过点E,且与AB互相垂直，P 6.(2024-2025高安期中)如右 为线段BC上一动点，连接PE.若AD=8, 图，在△ABE中，D,C分别 则PE的最小值为 在AE,BE上，且CD=CB, A.8 B.6 C.5 D.4 AC平分∠EAB,CH⊥AB 3.如图，在x轴、y轴的正半轴上分别截取 于点H. OA,OB,使OA=OB,再分别以点A,B为 (1)求证：∠ADC+∠B=180°， 圆心，以大于2AB的长为半径画弧，两弧交 (2)若AD=3,AB=9,求AH的长。 于点P.若点P的坐标为(3a,a十4)，则a 的值为 方主 第3题图 第4题图 4.如图，已知△ABC中，AB=8,BC=10,BD 平分∠ABC,交AC于点D,DE⊥AB,AF ⊥BC,垂足分别为E,F.若DE=3,则 SABDC= ,AF= 5.(2024一2025上饶广信区月 考)如右图，四边形ABCD 中，∠ABC+∠D=180°， AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD 344 100 八年级数学刷版 第2课时角的平分线的判定（建议用时：30分钟） 1.如图，直线11，l2,L表示三条相互交叉的公 (2)若AE=9,BE=3,求AD的长. 路.现要建一个货物中转站，要求它到三条公 路的距离相等，则可供选择的地址有( A.1处 B.2处C.3处 D.4处 A. 第1题图 第2题图 6.如下图，在△ABC中，点D在边BC的延长 2.一题多解法如图，点O在一块直角三角板 线上，∠ACB=110°，∠ABC的平分线交 ABC上（其中∠ABC=30),OM⊥AB于点 AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为 M,ON⊥BC于点N,连接OB.若OM= H,且∠CEH=55. ON,则∠ABO的度数为 (1)求∠ACE的度数. A.10° B.15° C.20 D.25 (2)求证：AE平分∠CAF. 3.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE (3)若AC+CD=14,AB 平分∠ADC,∠CDE=55°，则∠EAB的度 =8.5,且S△4cm=21,求 数为 △ABE的面积. 第3题围 第4题困 4.如图，AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB 于点F,BE,CF相交于点D.有下列结论： ①△ABE≌△ACF:②△BDF≌△CDE: ③点D在∠BAC的平分线上.其中正确的 是 (填序号). 5.如右图，在四边形ABCD 中，CE⊥AB交AB于点 E,且CD=CB,∠ABC+ ∠ADC=180° (1)求证：AC平分∠BAD. 上册课外拓展提高 101◆一题多解法《 BF⊥AC,CE LAB,∴.∠AFD=∠AED=90 AD平分∠BAC,∠FAD=∠EAD ∠AFD=∠AED 在△AFD和△AED中，∠FAD=∠EAD AD-AD. △AFD≌△AED(AAS),∴AF=AE,DF=DE ,∠AFD=∠AED=90°，∠DFC=∠DEB=90 ∠FDC=∠EDB, 在△DFC和△DEB中，DF=DE, ∠DFC=∠DEB, .△DFCa△DEB(ASA),.FC=EB, ,AE十EB=AF十FC.即AB=AC. 第3课时边边边 1.C2.B3.D4.110°5.40°6.3 7.解：(1)② (2)添加③.证明如下： ,BF=CE,.BF十FC=CE十FC,即BC=EF AB■DE, 在△ABC与△DEF中，AC=DF, BC=EF, ∴·△ABC≌△DEF(SSS),∴∠A=∠D, (或添加②，证明如下： ,BF=CE,∴BF+FC=CE十FC,即BC=EF (AC=DF, 在△ABC与△DEF中，〈∠ACB=,∠DFE, BC-EF, △ABC2△DEF(SAS,.,∠A=∠D.) 8.正明：1)，'AB=EB,AD=ED,BD=BD, ,△ABD2△EBD(SSS),∴.∠ABD=∠EBD, ∴.BD平分∠ABC (2),∠A=55°，∠ABC=90°， ∴.∠C=90°-∠A=90°-55°=35 .'△ABDC2△EBD, ∴.∠A=,∠DEB=55”,∠ADB=∠EDB, .∠CDE=∠DEB-∠C=55°-35=20 ∴∠ADB=号a80-∠CDE)=2×180-209=8 1 ∴.∠CDE= ∠ADB 第4课时 角与三角形的作法 1.C2.A3.B 4.解：(1)如图，△ABC即为所求 (2)■相等 5.解：(1)如图，△ABC即为所求 (2)=相等 6.解：(1)如图所示. 彩纸 206 八年级数学R刷版 (2)根据已知两角和它们的夹边相等可画出全等三角形，所 以作出的三角形彩旗与破损前完全一样」 7.解：如图，△ABC即为所求 第5课时斜边、直角边 1.D2.C3.D4.75.42 6.证明：(1)，∠ACB=90°，∴，BC⊥AC 'DF∥BC,.DG⊥AC ,CE⊥AB,,∠AEC=∠AGD=90 ∠AEC=∠AGD. 在△AEC和△AGD中，∠CAE=∠DAG AC=AD, .△AEC2△AGD(AAS),AE=AG 2在R△AEF和R△AGF中，AEA, ,∴.Rt△AEFC2Rt△AGF(HL), ∴∠EAF=∠GAF,∴.AF平分∠CAB 7.解：(1)证明：：∠ACB-90,DE⊥AB, ∠ACB=∠AED=90° AD=AB. 在R△AED和RAACB中，AE=AC, .R:△AED2R△ACB(HL),∴.DE=BC. (2)如图，连接AF」 BF=2,CF=1, .DE=BC=2+1=3. 在R:△AEF和Rt△ACF中， (AF=AF, AE=AC .Rt△AEF2Rt△ACF(HL), ..EF-=CF=1, ∴.DF=DE+EF=3+1=4. 14.3 角的平分线 第1课时角的平分线的性质 1.B2.D3.24.15 5.证明：(1)：AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD, .CE=CF,∠E=∠CFD=90 :∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180, ∴.∠D=,∠CBE, .△CBE2△CDF(AAS) (2)由(1)可知，△CBE≌△CDF .BE=DF. CE=CF,AC=AC. ,,Rt△ACE≌Rt△ACF(HL),,AE■AF ,AE=AB十BE=AB十DF, ..AF=AB+DF. 6.解：(1)正明：如图，过点C作CM⊥DE,垂足为M :AC平分∠EAB,CH⊥AB,CM ⊥DE .CM=CH,∠CMA=∠CHB=90 在Rt△DMC与Rt△BHC中， CD=CB, CM=CH, ,.Rt△DMC2Rt△BHC(HL), .DM=BH,∠CDM=∠B. ∠CDM+∠ADC=180°， ,.,∠ADC十∠B=180°. (2在R△AMC与R△AHC中，CM=CH, AC=AC .Rt△AMC2Rt△AHC(HL),,AM=AH. .DM=BH,AD=3,AB=9, ∴.AD+DM=AB-BH,即3十BH=9-BH, ∴.BH=3, AH=AB一BH=93=6 第2课时角的平分线的判定 1.D2.B3.35°4.①②③ 5.解：(1)证明：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线 点F :∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180, ∴∠CDF=∠B 又∠F=∠CEB=90°，CD=CB, ∴.△CDF2△CBE(AAS), ,.CF=CE,.AC平分∠BAD (2在R△AFC和R△AEC中，CF=CE, (AC=AC, ∴.Rt△AFC2Rt△AEC(HL), .AF=AE=9.BE=DF=3, ∴.AD=AF-DF=9-3=6 6.解：(1)：∠ACB=110', .∠ACD=180°-∠ACB=70 'EH⊥BD,∠CEH=55", ∴.∠DCE=90°-∠CEH=35, ∴.∠ACE=∠ACD-∠DCE=35 (2)证明：如图，过点E分别作EM⊥BF于点M,EN⊥ 于点V. BE平分∠ABC,EH⊥BD, ∴.EM=EH. 由(1)可知，∠ACE=∠DCE=35”, 即CE平分∠ACD, ..EN=EH, .EM-EN. 又：点E在∠CAF的内部， ∴.AE平分∠CAF (3)由(2)可知，EM=EH=EN,设EM=EH=EN=x S△Am=S△ACE十S△0CR=21, ∴AC,EN+2CD·EH=21,即2(AC+CD)=2别 又'AC+CD=14, 六号×14红=21，每得x=8EM=3 AB-85SE-2AB·BM-X&.5X3- 4 第十五章 轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 1.B2.C3.②③④4.(1)AD(2)20 5.解：(1)正明：由题意，得AD=AD, AB=AC, 在△ABD和△ACD'中，BD=CD' AD=AD', ∴.△ABD2△ACD'(SSS). (2)△ABD2△ACD',∴，∠BAD=∠CAD' ∴，∠BAC=∠DAD'=120° 由轴对称的性质可知，∠DAE=∠DAE, i∠DAE=∠DAD'=60 6.解：(1)补全图形如图所示. (2)如图，连接AD,过点A作AF⊥ BD于点F 由轴对称的性质，得∠PAD ∠PAC=30',AD=AC AB-AC,.AD=AB. 在R△ABF和R△ADF中，AF=AF, (AB=AD. ∴.Rt△ABF RU△ADF(HL), ∴.∠ABF=∠ADF, ∠BAC=90,∠PAC=∠PAD=30°， ∴∠BAD-150,∴∠ABD-2180°-∠BAD)-15 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定 1.C2.D3.B 4.如果两个角的补角相等，那么这两个角也相等 5.20变式题56.48 7.正明：如图①，取AB中点E,连接DE, AB=2AC,∴.AE=AC ,AD平分∠BAC, .∠EAD=∠CAD 在△AED和△ACD中 AE=AC. ∠EAD=∠CAD, AD=AD, .△AED2△ACD(SAS),∴.∠AED=∠C=90, ∴DE为AB的垂直平分线，∴AD=BD, 一题多解法 如图②，延长AC至点E,使得AC CE,连接DE,则DC为AE的垂直平 分线，AD=DE 'AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠DAE .AB=2AC,..AB=AE. 在△BAD和△EAD中， 图② (AB=AE, ∠BAD=∠EAD, AD-AD. ∴.△BAD≌△EAD(SAS),∴，BD=ED, ∴.AD=BD 8.解：如图，连接BO,并延长BO到点P :∠OEB=46,,是线段BC的垂直 平分线， .∠DOE=90'-∠OEB=44 线段AB,BC的垂直平分线，相 交于点O, ∴.AO=OB=OC,∠BFO=∠BDO=90, .∠DOF+∠ABC=180 ,'∠DOF+∠DOE=180', ∴，∠ABC=∠DOE=44°. ,OA=OB=OC,∴.∠A=∠ABO,∠OBC=∠C :∠AOP=∠A+∠ABO=2∠ABO,∠COP=∠C+ ∠OBC=2∠OBC. .∠AOC=∠AOP+∠COP=2(∠ABO+∠OBC)= 2∠ABC=2X44°=88 上册参考答案 207