18.5 分式方程 第2课时 用分式方程解决实际问题-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（人教版2024）

第2课时 用分式 已知识要点扫描 列分式方程解决实际问题的方法、步骤与 列一元一次方程解决实际问题的方法、步骤基 本相同，可简单地分为“设、找、列、解、检、答” 六个步骤，具体如下： (1)设：弄清题意和题目中的数量关系，用 字母（如x)表示题目中的一个未知数； (2)找：找到能够表示实际问题全部含义 的一个相等的数量关系； (3)列：根据这个相等的数量关系，列出所 需的代数式，从而列出方程； (4)解：解所列的分式方程，求出方程的解； (5)检：检验（验根）： (6)卷：写出答案（包括单位名称）」 列分式方程解应用题是依据实际问题中 的数量关系，列出代数式；依据等量关系，列出 分式方程.这与列一元一次方程解应用题一 样，不同之处在于所列方程是分式方程，最后 要检验其是否为所列方程的解，还要检验是否 符合题意，增根和不合题意的解都必须舍去 色经典例题剖析 【例】(2025高安期未)春节即将到来，家家 户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年.某百货 超市计划购进春联和灯笼两种商品.请你根据 下面的信息（如下图），回答下列问题， 信急2：是市用420 馆息1：已知每个灯 元购进的灯笼数量 笼的进价比每制春 和励240元，胸进的 联的进价多15无 春联数量相可， (1)求每个灯笼和每副春联的进价. (2)若超市准备用不超过2450元的资金 再购进春联和灯笼共100个（副），最多能购进 多少个灯笼？ 【解】(1)设每副春联的进价是x元，则每 个灯笼的进价是(x十15)元. 方程解决实际问题 根据题意，得5一9 解得x=20. 经检验，x=20是原分式方程的解，且符 合题意， .x+15=20+15=35. 答：每个灯笼的进价是35元，每副春联的 进价是20元. (2)设购进m个灯笼，则购进(1C0一m)副 春联。 根据题意，得35m+20(100-m)≤2450， 解得m≤30， ,m的最大值为30. 答：最多能购进30个灯笼. 【点拨】(1)设每副春联的进价是x元，则 每个灯笼的进价是(x十15)元，裉据等量关系 列分式方程，解方程即可；(2)设购送m个灯 笼，则购进(100一m)副春联，根据题意列不等 式，求出不等式的最大整数解即可 基础对点训练 知识点分式方程的应用 1.小王从A地开车去B地，两地相距240km 原计划平均速度为xkm/h,实际平均速度 提高了50%，结果提前1h到达.由此可列方 程为 240_240=1 A. B.240-240=1 0.5x x1.5x C,240_240=1 D.x+1.5x=240 2.古代数学文化《四元玉鉴》是我国古代的一 部数学著作.该著作记载了“买橡多少”问 题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每 株脚钱三文足，无钱准与一株橡.”大意是现 请人代买一批椽，这批橡的总售价为 6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少 拿1株橡后，剩下的椽的运费恰好等于1株 上册第十八章 5 橡的价钱，问6210文能买多少株椽.设 6210文购买橡的数量为x株，则符合题意 的方程是 () 4,3(x-1)=6210 x-1 B.3(x-1)-6210 6210 C.3(x-1)= 6210 x1=3.x D. 3.甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个 人原因没有和乙同时进行，乙先加工30min 后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加 工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完 成.乙每小时加工 个零件】 4.(教材变式)小明和小刚约定周末到某公园 打羽毛球.小明家和小刚家到该公园的距离 分别是1200m,3000m,小刚骑自行车的速 度是小明步行速度的3倍.若两人同时到 达，则小明需提前4min出发.求小明步行的 速度和小刚骑自行车的速度 5.随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育 不断向线上拓展.敦煌研究院顺势推出数字 敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱 好者的好评.某工厂计划制作3G0G个“伽 瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均 每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提 前5天完成任务，原计划平均每天制作多少 个摆件？ 86 八年级数学版 6.(2024扬州)为了提高垃圾处理效率，某垃圾 处理厂购进A,B两种机器，A型机器比B 型机器每天多处理40t垃圾，A型机器处理 500t垃圾所用天数与B型机器处理300t 垃圾所用天数相等，B型机器每天处理多少 吨垃圾？ 7.(2025赣州寻乌期末)某商场计划购进一批 篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价 多30元，已知用360元购进的足球和用480 元购进的篮球数量相等， (1)求足球和篮球的单价， (2)若按此价格购进篮球10个，足球15个， 商场共花了多少钱？2m 解分式方程1十2一二得x=一观一名 a十2≠0，-2≠0,4≠0， .a≠-2且a≠2且a≠0， x3-4≠0，即x≠士2，∴一m-2≠士2， 1 .m≠0且m≠一4， “当a=-1时，原武=-1十2-1 “分式方程的解也是不等式组的一个解， 7.-68.(1)x=-3(2)3或4 .一m一2≤一2，解得m≥0，.m的取值范图是m>0. 9.解：(1)方程两边乘(x十1)(x一1)， 11.D 12.解：(1)(1一a)x=4 得4-十2)G+D-女+Da-D,解得x-子 (2)当1一a■0，即a-1时，原分式方程无解： 当1一4≠0时，由原分式方程无解，得x一1=0，解得x=1. 检验：当x=言时，6z十1)x-1)≠0. 把x-1代人(1-a)x=a,解得4■之 “x一号是源分式方程的解， 综上所述a的值为1或号 (2)方程两边乘x一2， 得1十3(x-2)=一1十x, 13.解：(1)2x十2一(x-3)=6x等式的性质 解得x=2. (2)检验 检验：当x=2时，x一2=0 (3)方程两边乘2(x十1)，得2x十2一(x一3)=6x,解得x ∴原分式方程无解 =1. 10.D 检验：当x=1时，2(x十1)≠0. 11.解：设一盏B型节能灯每年的用电量为xkW·b,则一盏A ,.x=1是原分式方程的解。 型节能灯每年的用电量为(2.x一32)kW·h. 第2课时用分式方程解决实际问题 160009600 1,B2.C3.40 根据题意，得2一32无」 4.解：设小明步行的速度是xm/min,则小刚骑自行车的遮度 整理，得5x=3(2x一32)，解得x=96 是3xm/min 经检验，x=96是原分式方程的解，且符合题意， 展影题鬼，得10-4-32条得=50 .2x-32=160. 3x 答：一盏A型节能灯每年的用电量为160kW·h 经检验，x=50是原分式方程的解，且符合题意， ∴.3x=150. 12D8.114- 答：小明步行的速度是50m/min,小刚骑自行车的速度是 15.解：原式=。 (a-b)3_a-6 150 m/min. a-b'a+ba-i-。+6 5,解：设原计划平均每天制作x个摆件. a a-b 30003000 根据题意，得 +5, a+6 a+8 1.5x 6 解得x=200. =a十6 经检验，x=200是原分式方程的解，且符合题意 6-2a=0,a-b≠0，a十b≠0， 答：原计划平均每天制作200个摆件， ∴.b=2a且a≠0， 6.解：设B型机器每天处理工t垃圾，则A型机器每天处理(x ∴原式= 2a2 十40)t垃圾. 4十2a3 根据题意，得500-300 /m7m-4 ÷2(2-m) x+40 16.解：原式-（m-3m2- m+3 解得x■60. m(m十3) 7m一4 m十3 经检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意 L(m十3)(m一3)(m十3)(m一3)」 ·2(2-m) 答：B型机器每天处理60t垃圾. m2一4m十4 m十3 7.解：(1)设是球的单价为x元，则篮球的单价为(x十30)元. (m+3)(m-3) 2(2-m) x+30,解得x=90. 由题意，得6°0=480 (m-2) m+3 (m十3)(m一3) ·-2(m一2 经检验，工=90是原分式方程的解，且符合意， m一2 则x+30=120. =-2(m-3) 答：足球的单价为90元，篮球的单价为120元. m2 (2)10×120+15×90=2550(元)， 6-2m1 故商场共花了2550元. 32-5=4, ∴.3一5的平方根为士2 章末对点导练 由题意，得4一2m≠0，m十3≠0，m一3≠0， .m中2且m土3，m=一2， 1.B2.A3-4.B5.-2 x十y -2-2 2 2 ÷原式6-2X(-2)=一行 17.解：设D型车的平均速度是xkm/h,则C车的平均速度 2 2 是3xkm/h (a+2)(a-2)a(a-2) a(a-2) 根据题意，相婴- a+2(a-2 2 解得x=100. 经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意 a+21 答：D型车的平均速度是100km/h. 上册参考答案 203