14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（人教版2024）

14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 色知识要点扫描 S△ABD=3S△AcD: 1.角平分线的作法（如下图】 .AD=DE, (1)在∠AOB的两边OA,OB上分别截取 S△ABD=S△BE=9,.S△AcD=3, OD,OE,使OD=OE; .SAABC=SA△ACD+S△ABD=3十9=12. (2)分别以点D,E为圆心， 【例2】如右图，BD是 以大于号DE的长为半径作孤， ∠ABC的平分线，DE⊥AB 于点E,S△ABc=15cm2,AB 两弧交于∠AOB内一点C: =8cm,BC=12cm,则DE (3)作射线OC,则射线OC即为∠AOB cm. 的平分线 【解】1.5 注意：(1)作角的平分线的依据是三角形 【点拨】过点D作DF⊥ 全等的判定定理一“SSS”; BC于点F,如右图 (2)角的平分线是一条射线， ,BD是∠ABC的平分 2.角的平分线上的点到角两边的距离相等 线，DE⊥AB,.DE=DF 注意：(1)这里的距离是指点到角两边垂 .'AB=8 cm,BC=12 cm, 线段的长 ∴.S△ABC=S△ABD十S△BCD= 2AB·DE+ (2)该结论的证明是通过三角形全等得到 的，它可以独立作为证明两条线段相等的依 BC·DFDE(AB+BC)=5 据，即不需再用老方法—全等三角形： ∴.DE=1.5cm. (3)使用该结论的前提条件是有角的平分 已基础对点训练 线，关键是图中有“垂直” ⊙经典例题剖析 知识点① 角的平分线的画法 【例1】如右图，在△ABC 1,用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示， 中，AD是∠BAC的平分线 则能说明∠AOC=∠BOC的依据是() 延长AD至点E,使AD= A.SSS B.ASA C.AAS D.HL DE,连接BE.若AB=3AC,△BDE的面积是 9,则△ABC的面积是 A.6 B.9 C.12 D.15 【答案】C 第1题围 【点拨】过点D作DG⊥AB于点G,DF⊥ 知识点②角的平分线的性质 AC,交AC的延长线于点F,如下图. 2.(2024一2025南宫期中)如图，OD平分 ,AD是∠BAC的平分 ∠AOB,DE⊥AO于点E,DE=3,F是射 线，DG⊥AB,DF⊥AC 线OB上的任意一点，则DF的长度不可能 :.DG=DF. 是 () AB=3AC, A.2.8 B.3 C.4.2D.5 20 八年级数学RJ版 3.如图，已知AP,CP分别是△ABC的外角 6.(教材变式)如下图，OD平分∠AOB,在 ∠DAC,∠ECA的平分线，PM⊥BD,PN OE,OF上取OA=OB,P为OD上一点，且 ⊥BE,垂足分别为M,N,那么PM与PN PM⊥BD,PN⊥AD.求证：PM=PN 的大小关系是 A.PM>PN B.PM=PN C.PM<PN D.无法确定 D C N 第3题图 第4题图 4.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线， DE⊥AB于点E.若S△ABe=7,DE=2,AB 7.如下图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C =4,则AC= 90°，DE⊥AB于点E,点F在AC上，BD=DF (1)求证：CF=EB. 变式题由求线段变式为求面积、周长 (2)若AB=12,AF=8,求CF的长. (1)如图，在△ABC中，BC=9cm,CD是 ∠ACB的平分线，DE⊥AC于点E.若 DE=2cm,则△BCD的面积为 cm" 变式题(1)周 变式题(2)图 (2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 6,BC=8,AB=10,BD是∠ABC的平分 线，DE⊥AB,垂足为E,则△ADE的周长 易错点忽视点的位置有两种情况而导致 为 少解 5.如图，已知△ABC的周长是21，BO,CO分别 8.如图，P是∠AOB的平分 平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且 线OC上一点，PN⊥OB OD=4,则△ABC的面积是 于点N,M是线段ON上 0M1 一点，连接PM.已知OM第8题图 =3,ON=5,D为OA上一点.若满足 PD=PM,则OD的长度为 第5题 21 上册弟十四章6.D7.A8.B9.90°10.70°变式题96 (AB=AC, 11.解：在△BAE和△CAD中，∠A=∠A AE-AD, ,∴.△BAE2△CAD(SAS). .∠B=∠C=20°， .∠BDC=∠A+∠C=55°+20°=75° DE=AC, 12.解：在△DBE和△ABC中，∠DEB=∠ACB, BE=BC, ,∴.△DBE≌△ABC(SAS), ∴.∠DBE=∠ABC, .∠DBE-∠ABE=∠ABC-∠ABE, 即∠ABD=∠EBF. EF⊥BC,∠BFE=90 ∠BEF=60',.∠EBF=90'-∠BEF=30°， .∠ABD=∠EBF=30 第2课时角边角和角角边 1.A变式题A 2证明：DE∥AC,∴∠C=∠EDB. ∠DBE=∠A, 在△EBD和△BAC中，BD=AC, ∠EDB=∠C, ,∴.△EBD2△BAC(ASA) 3.D 4.证明：：∠ADC=∠1十∠B=∠ADE+∠2+∠1=∠ ·∠ADE=∠B ∠C=∠E, 在△ABC和△ADE中，∠B=,∠ADE, AC=AE, ,∴.△ABC2△ADE(AAS). 5.A6.16变式题14 7.解：CF∥AB,∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F ∠A=∠FCE, 在△ADE和△CFE中， ∠ADE=∠F, DE=FE, ∴.△ADE2△CFE(AAS),∴.AD=CF=5 AB=7,,.BD=AB-AD=7-5=2. 一题多解法 :CF∥AB,.∠ADE=∠F ∠ADE=∠F, 在△ADE和△CFE中，DE=FE, ∠AED=∠CEF, ∴.△ADE2△CFE(ASA),,AD=CF=5. ,AB=7,.BD=AB-AD=7-5=2. 8.解：：∠DPC=20°，∠APB=70",∠CDP=∠ABP .∠DCP=∠APB=70 ∠CDP=∠PBA 在△CPD和△PAB中，DC=BP, ,∠DCP=,∠BPA, ∴.△CPD≌△PAB(ASA), ∴.PD=AB. .BD=12 m,BP=3 m. ..AB=DP=BD-BP=12-3=9(m). 故路灯的高度是9m, 第3课时边边边 1.B2.C3.D (AB-AC, 4.正明：在△ABD和△ACD中，DB=DC, AD-AD. ∴.△ABD2△ACD(SSS),'.∠BAD=∠CAD (AB=AC. 在△ABE和△ACE中，∠BAE=,∠CAE, AE-AE, ∴△ABE≌△ACE(SAS),∴BE=CE 第4课时角与三角形的作法 1.B 2.解：1)PQMN(2)0OA0BCD 3.D4.A 5.解：如图所示，△ABC即为所求 6.解：如图，△ABC即为所求， 第5课时斜边、直角边 1.A变式题BC=BD(或AC=AD) 2.证明：，BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F, ∴，∠AEB=∠DFC=90. AF=CE,..AF-EF=CE-EF,..AE=CF (AB=CD. 在R△ABE和R△CDF中，AE=CF, ,Rt△ABE2Rt△CDF(HL) 3.B4.90°5.6 6.解：如图，连接BE ED⊥BC,.∠BDE=∠A=90 在Rt△EBA和R:△EBD中， BE=BE. BA-BD. ∴，Rt△EBA☑Rt△EBD(HL),AE=DE=3. AC-8,..EC-AC-AE=5. 7.证明：在Rt△ABC和R:△BAD中， (BA=AB, BC=AD, ∴，Rt△ABC≌Rt△BAD(HL), ∴.AC=BD,∠CAB=∠DBA. ∠CAE=∠DBF, 在△ACE和△BDF中，∠AEC=,∠BFD=90°， AC=BD. ,△ACE2△BDF(AAS),.CE=DF (AB=BA: 90, &.解：1)证明：在Rt△ACB和RABDA中，BC=AD, ∴.Rt△ACB2Rt△BDA(HL). (2)∠CAB=54°，∴.∠ABC=90°-54=36 Rt△ACB2Rt△BDA,∴.∠ABC=∠BAD=36 ∴.∠CAO=∠CAB-∠BAD=54-36°=18 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的性质 1.A2.A3.B4.3变式题(1)9(2)85.42 6.证明：OD平分∠AOB,∴.∠BOD=∠AOD OB=OA. 在△OBD和△OAD中，∠BOD=∠AOD, OD-OD. .△OBD2△OAD(SAS), ∴∠BDO=∠ADO,即DO平分∠BDA. PM⊥BD,PN⊥AD,∴.PM=PN 上册参考答案 191 7.解：(1)证明：AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB于点 .∠ABM=∠CAF E,∴.DE=DC. 又：AB=CA,.△ABM2△CAF(ASA), 在R△CDF与R△EDB中，DC-DE, (DF=DB. ∴.AM=CF,∠1=∠F ,∠BAC=90°，AB=AC,∴.∠MCD=45", .Rt△CDF≌Rt△EDB(HlL), ∠DCF=90-45=45',∠MCD=∠DCF ..CF=EB. ,M是AC的中点，∴，AM=MC,∴，MC=FC (2)设CF=EB=x,则AE=12-x,AC=8+x, 又DC=DC 由1)可知，DE=DC △DMC2△DFC(SAS), (AD-AD, 在Rt△ACD与Rt△AED中， ∠2=∠F, CD=ED. .∠1=∠2 ,∴.Rt△ACD≌RAAED(HL), 3.解：∠ACE=∠B十，∠CD .AC=AE,即8十x=12-x,解得x=2,即CF=2 理由：如图，延长CE交AB于点F 8.3或7 ,CE⊥AD, 第2课时角的平分线的判定 ∴.∠AEF=∠AEC=90 1.A2.C3.D4.120°5.150°6.90 ,AD平分∠BAC, 7.证明：FA⊥OM,FB⊥ON,.∠OAF=∠OBF=90 ∠FAE=∠CAE 在Rt△OAF和R△OBF中，AOR' 又AE=AE, ∴.△FAE≌△CAE(ASA),·∠AFC=∠ACE .Rt△OAF2Rt△OBF(HL),.AF=BF :∠AFC=,∠B十∠ECD, ∴.点F在∠MON的平分线上，∴.OF平分∠MON. .∠ACE=∠B+∠ECD 8.A 4.证明：如图，在AB上截取AF=AC,连接EF 9.正明：如图，过点E作EH⊥CD于点H. AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA, CE平分∠DCB,∠CBE=90°， ∴∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD. .BE=EH. AC∥BD E是线段AB的中点， .∠C+∠D=180" ..AE=BE...AE=EH 在△ACE和△AFE中， 又，∠DAB=90°，EH⊥CD (AC=AF. .DE平分∠FDC ∠CAE=∠FAE 10.证明：如图，过点D作DE⊥BM,DG⊥ AE-AE. AC,DF⊥BN,垂是分别为E,G,F △ACE≌△AFE(SAS), ,BD平分∠ABC,,DE=DF ∠C=∠AFE,CE=EF 又，CD平分∠ACN,∴.DG=DF :∠AFE+∠EFB=180°，∠C+∠D=180°， ..DE-DG, .∠EFB=∠D. AD是，∠CAM的平分线 ∠EFB=∠D, 11.证明：Q)如图，过点E作EF⊥CD于点F 在△BEF和△BED中，∠EBF=∠EBD ∠A=90',DE平分∠ADC, BE=BE. ∴AE=FE .△BEF2△BED(AAS),.EF=ED,∴.CE=DE ,E是AB的中点，.AE■EB, ∴FE=EB. 基础提升专练利用全等三角形 又：∠B=90°，∴CE平分∠BCD 证明的几种常见结论 (2)由1)知，AE=FE. 又，DE=DE,.Rt△ADE2Rt△FDE(HL), 1,证明：BE-CF,.BE+EF=CPF+EF,∴BF=CE .AD=FD. 在R△ABF和R△DCE中，AB=DC (BF=CE 同理可得Rt△BEC2Rt△FEC,,BC=FC, ∴.AD+BC=FD+FC=CD ∴.Rt△ABF2Rt△DCE(HL),∴∠B-∠C 2.证明：AE=BF, 解题技巧专练构造全等三角形的常见方法 ∴.AE十EF=BF十EF,即AF=BE ,AC∥BD,∴.∠CAF■∠DBE 1.证明：如图，连接CD (AC=BD, :CA⊥AD,CB⊥BD,∠DAC=,∠CBD=90 在△ACF和△BDE中，∠CAF=∠DBE, 在R△ADC和Rt△BCD中，AD=BC, (CD=DC. AF-BE, .△ACF2△BDE(SAS),CF=DE .Rt△ADC≌Rt△BCD(HL),.AC=BD 3.解：(1D'MP平分∠AMB,Q平分∠AMC. ∠AMP=号∠AMB,∠AMQ=号∠MC, ∴.∠PMQ=∠AMP+∠AMQ 2.正明：如图，过点C作CF∥AB交AD 2∠AMB+ 2∠AMC 的延长线于点F, ∴·∠ACF=∠BAM=90° z(∠AMB+∠AMC AD⊥BM, 、 ∴.∠BAD+∠DAM=90°=，∠BAD十 2×180 ∠ABM=∠I+∠DAM, =90 192 八年级数学R刷版