14.1 全等三角形及其性质&14.2 三角形全等的判定 第1课时 边角边-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（人教版2024）

第十四章 全等三角形 14.1全等三角形及其性质 ⊙知识要点扫描 基础对点训练 1.能够完全重合的两个图形叫作全等形， 知识点① 全等形的概念 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形， 1.(2024一2025新余渝水区月考)下列各组图 2.把两个全等的三角形重合到一起，重合 形中，是全等图形的是 的顶点叫作对应项点，重合的边叫作对应边， 重合的角叫作对应角， ○0/出吧口■ B D 3.全等三角形的表示方法：如下图，△ABC 与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF 知识点②全等三角形及对应元素 2.(教材变式)如图，△AOC≌△BOD,C,D是对 应顶点.下列结论错误的是 () A.∠A与∠B是对应角 4.全等三角形的对应边相等，对应角相等。 B.∠AOC与∠BOD是对应角 已经典例题剖析 C.OC与OB是对应边 【例】如右图，已知△ABC D.AC与BD是对应边 ≌△DEF,点B,F,C,E在同 一条直线上 (1)若BE=11,CF=3, 第2题周 第3题图 求线段BF的长， (2)请判断AC与DF的位置关系，并说明 知识点③ 全等三角形的性质 理由， 3.（2024一2025南昌红谷滩区月考)如图， 【解】(1)△ABC≌△DEF,∴.BC=EF △ABE≌△ACD,点D,E分别在边AB, :BE=11,CF=3, AC上.若AD=3,AC=5,则BD的长为 ∴.BC+EF=EB+CF-11十3-14， 4.一个三角形的三条边长分别为5，？，x,另 ∴.BC=EF=7,∴.BF=BC-CF=7-3=4. 个三角形的三条边长分别为y,5,4.若这两 (2)AC∥DF.理由如下： 个三角形全等，则x十y= △ABC≌△DEF,.∠ACB=∠DFE, AC∥DF. 变式题对应边由确定变式为不确定 【点拨】(1)根据全等三角形的对应边相等 已知△ABC的三边长分别为3,5,7， 得到BC-EF,再根据BC+EF-BE十CF, △DEF的三边长分别为3,3x-2,2x-1. 求出BC的长度，最后根据线段的和差求解即 若这两个三角形全等，则x的值为() 可；(2)根据全等三角形的性质得到∠ACB= B.4 C.3 D.不能确定 ∠DFE,即可判定AC∥DF 上册第十四章 14.2三角形全等的判定 第1课时 边角边 知识要点扫描 AB=GC, 1,两边和它们的夹角分别相等的两个三 ∠ABD=∠GCA, 角形全等，简写成“边角边”或“SAS” BD=CA, 2.“边角边”的推理过程： .△ABD≌△GCA(SAS), 在△ABC和△A'B'C'中， ∴.AD=GA,∠ADB-∠GAC (AB-AB', (AB-A'B', BC-B'C', 又，∠ADB=∠AED+∠DAE,∠GAC ∠A=∠A',或∠B=∠B,或∠C=∠C, =∠GAD+∠DAE, AC-AC BC-B'C' AC-AC, ∠AED=∠GAD=90°，.AD⊥GA ∴.△ABC≌△A'B'C'(SAS) 综上所述，AD=AG,AD⊥AG 3,有两边和其中一边的对角对应相等的 【点拨】利用“SAS”可得出△ABD≌ 两个三角形不一定全等.该结论要与两边及夹 △GCA,由全等三角形的对应边相等可得出AD 角对应相等的两个三角形全等区别开来，不能 一AG,∠ADB=∠GAC,再利用三角形的外角 混为一谈。 和定理得到∠ADB=∠AED十∠DAE,又有 4.说明一个结论不成立，只需举一个反例 ∠GAC=∠GAD十∠DAE,利用等量代换可得 即可. 出∠AED=∠GAD=90°，即AG与AD垂直. 如右图，在△ABC和△ABD 已基础对点训练 中，AB=AB,AC=AD,∠B 知识点① 根据“SAS”判定两个三角形全等 ∠B,但△ABC与△ABD不能重 1.如图，∠3=∠4，由“SAS”判定△ABD≌ 合，所以△ABC与△ABD不全等 △ACD,则需添加的条件是 () 念经典例题剖析 A.∠1=∠2 B.∠B=∠C 【例】(2024-2025上饶 C.AB=AC D.BD=CD 广信区月考)如右图，在 △ABC中，BE,CF分别是 AC,AB两边上的高，在BE B 上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG 第1题国 第2题图 =AB,连接AD,AG.试猜想线段AD与AG 2.如图，AC与BD相交于点O.若OA=OD, 的关系，并证明你的猜想 用“SAS”证明△AOB2△DOC,还需条件 【解】AD=AG,AD⊥AG.证明如下： ,BE⊥AC,CF⊥AB, A.AB=DC B.OB=OC .∠HFB=∠HEC=90° C.∠A=∠D D.∠AOB=∠DOC 又，∠BHF-∠CHE, 3.如图，已知AB=AD, ∴.∠ABD=∠ACG ∠BAE=∠DAC,要使 在△ABD和△GCA中， △ABC≌△ADE.若以 112 八年级数学刷版 “SAS”为判定三角形全等的依据，则添加的 9.如图，这是由4个相同的小正方形组成的田 条件可以是 ( 字格，则∠1十∠2的度数为 A.BC=DE B.OB=OD C.OC-OE D.AC-AE 4.应用意识如图，有一面三 角形镜子，小明不小心将它 ①(2 打碎戒两块.现需配成同样 落9题图 第10题图 第4题图 大小的一面镜子，为了方便起见，需带上第 10.如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C, 块（填序号），理由是 BP=CE,BD=CP,则∠DPE的度数为 5.(2024云南)如下图，在△ABC和△AED 变式题如图，在△PAB 中，AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD 中，∠A=∠B,M,N,K 求证：△ABC≌△AED. 分别是PA,PB,AB上 变式题围 的点，且AM=BK,BN -AK.若∠MKN=42°，则∠P的度数为 11.(教材变式)如下图，AB-AC,AD=AE, ∠A=55°，∠B=20°.求∠BDC的度数. 知识点②全等三角形的判定与性质的综合 6.如图，若AB=DE,AC=DF,∠A=∠D, 则∠E的度数是 A.30 B.65 C.60 D.85 12.如下图，在△ABC和△DBE中，AC= DE,∠ACB=∠DEB,BC=BE,若EF⊥ 第6题阳 第7题 BC于点F,∠BEF=60°，求∠ABD的 7.如图，已知AD=AE,BE=CD.若∠1=∠2 度数 110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是( A.20° B.30°C.40 D.50° 8.如图，已知△ADF≌ △CEF,E是线段AB上一 点，AC交DE于点F.下列 与∠BAF+∠EDC的度数 B 第8题园 相等的是 A.∠BEC B.∠EFC C.∠AFE D.∠ADC 上册第十四章 13△=x,∠CGE=∠MGE=y. 则有2x=2y+∠GMC,@ 、x=y+∠E.② ①-2×②，得∠GMC=2∠E. ,∠E=34, ∴.，∠GMC=68 ,'AB∥CD ∴.∠GMC=∠B=68 6.85 7.解：如图，延长A交BC于点J,延长 DE交BC于点L,设AK与HG交于点 I,DE与GF交于点M. 由三角形外角的性质可知，∠A十∠B ∠IIL,∠C+∠D=∠MLJ,∠MEF+ ∠F=∠GML,∠H+,∠IKH=∠GIU, ∴.∠A+∠B+∠C十∠D+∠MEF十∠F+∠G+∠H+ ∠IKH=∠IL+∠MLJ+∠GL+∠G+∠GIJ=3X 180°=540°. 8.解：(1)40 (2)“∠A=a,∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠2+∠4-=2180-。=0-7， ∠nBc=∠2+∠4=0-言 ,CD⊥BD,∴.∠D=90 ∠DcE=90-∠DEc=0-o-2)=74. 9.解：(1)①45 @不发生变化.理由如下： AD平分∠BAO,BC平分∠ABN, ∠BAD-是∠BAO,∠ABC-号∠ABN. :∠D+∠BAD=∠ABC, ∴.∠D=∠ABC-∠BAD= 1 1 2 ∠ABN-Z∠BAO= ∠ABN-∠BAO)=∠ON. 1 :∠MON=90,∠D=45°， ∠D的度数不发生变化 ②)：∠ABC=了∠ABN,∠BAD= F3∠EAO, ÷∠D=∠AC-∠BAD=}∠ABN-音∠BA0= 子（∠ABN-∠BAO)-=号∠MON. 1 ,∠MON=90°，.∠D=30° (3)不发生变化. :AD平分∠BAO,BC平分∠ABN, ÷∠BAD-Z∠BA0,∠ABC=∠ABN, .∠D+∠BAD=∠ABC, ∠D=∠ABC-∠BAD=是∠ABN- ∠BA0= 1 1 1 ∠ABN-∠BAO)=Z∠MON. 1 :∠MON=a,∴∠D=交a. 章末对点导练 1.B2.B3.A4.19 5.解：(1)由题意，得a-3=0,b一4=0，解得a=3,b=4 (2)△ABC是等腰三角形.理由如下： 由方程引x一21=1，解得x=3或x=1. 4444 190 八年级数学RJ版 当c=3时，t=a≠b, .△ABC是等腰三角形： 当c=1时，c十a=b, ,不能构成三角形 放△ABC是等腰三角形， 6.C7.244.88.40°9.95 10解：如图，过点C作CFDE, ∴.∠EDC+∠DCF=180. :∠CDE-140, ∠DCF=180°-140°=40° ,CF∥DE,ABDE,∴.AB∥CF, ∴.∠BCF=∠ABC=80°， '.∠BCD=∠BCF-∠DCF=80°-40°=40 ◆一题多解法 如图，延长ED交BC于点M ,AB∥DE, ,.∠BMD=∠ABC=80°， ,∴.∠CMD=180°-∠BMD=100° 又.'∠CDE=∠CMD+∠BCD, ,.∠BCD=∠CDE-∠CMD=140°-100°=40. 11,解：AD是△ABC的高， ∴∠ADC=90° :∠C=70°，，∠DAC=180°-90°-70°=20. :∠BAC=50°，∠C=70°， ∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠C=60 ,AE,BF是角平分线， ∴∠AB0-7∠ABC-30,∠BA0-号∠BAC-2S, ,∴.∠B0A=180°-∠BA0-∠AB0=180°-25°-30° =125" 12.解：如图，延长BM,CN交于点A. '∠BMN=∠ANM+∠A, ∠CNM=∠AMN+∠A, ∴·∠BMN+∠CNM=∠ANM+ ∠A+∠AMN+∠A=180°+∠A, ∴.∠A=∠BMN+∠CNM-180 =150+110°-180=80 :∠A+∠ABC=∠ACE,∠D+∠DBC=∠DCE, BD平分∠MBC,CD平分∠ACE, ∠DcE=∠ACE,∠DBC=∠ABC ÷∠D=2∠A=号×80=40 13.C14.B15.C16.30°17.75 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1.C2.C3.24.11变式题C 14.2三角形全等的判定 第1课时边角边 1.D2.B3.D 4.①两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 5.证明：∠BAE=∠CAD, ,.∠BAE+∠CAE=∠CAD十∠CAE, 即∠BAC=∠EAD. (AB=AE. 在△ABC与△AED中，∠BAC-∠EAD, AC=AD, .△ABC2△AED(SAS). 6.D7.A8.B9.90°10.70°变式题96 (AB=AC, 11.解：在△BAE和△CAD中，∠A=∠A, AE-AD, .△BAE2△CAD(SAS), .∠B=∠C=20°， .∠BDC=∠A+∠C=559+202=75 (DE=AC, 12.解：在△DBE和△ABC中，{∠DEB∠ACB, BE=BC, ,∴.△DBE2△ABC(SAS), ∴.∠DBE=∠ABC, .∠DBE-∠ABE=∠ABC-∠ABE: 即∠ABD=∠EBF. EF⊥BC,.∠BFE=90° :∠BEF=60°，.∠EBF=90°-∠BEF=30°， ∴·∠ABD=∠EBF=30 第2课时角边角和角角边 1.A变式题A 2.证明：：DE∥AC,∴∠C=∠EDB. ∠DBE=∠A, 在△EBD和△BAC中，BD=AC, ∠EDB=∠C, .△EBD2△BAC(ASA) 3.D 4.证明：：'∠ADC=∠1十∠B=∠ADE+∠2，∠1=∠2， ∠ADE=∠B ∠C=∠E, 在△ABC和△ADE中，∠B=∠ADE, AC=AE, ∴，△ABC2△ADE(AAS). 5.A6.16变式题14 7,解：'CF∥AB,.∠A=∠FCE,∠ADE=∠F ∠A=,∠FCE 在△ADE和△CFE中，∠ADE=∠F DE=FE: ,.△ADE2△CFE(AAS),.AD=CF=5. ,AB■7，.BD=AB-AD■7-5=2. 一题多解法《 ,CF∥AB,.∠ADE=∠F ∠ADE=∠F, 在△ADE和△CFE中，DE=FE, ∠AED=∠CEF, .△ADEa△CFE(ASA),∴.AD=CF=5. AB=7,.BD=AB-AD=7-5=2. &.解：：∠DPC=20°，∠APB=70°，∠CDP=∠ABP=9 ∴.∠DCP=∠APB=70: 「∠CDP=∠PBA, 在△CPD和△PAB中，DC=BP, ∠DCP=,∠BPA, .△CPD2△PAB(ASA), ∴.PD=AB 'BD-12 m:BP-3 m. ..AB=DP=BD-BP=12-3=9(m). 故路灯的高度是9m. 第3课时边边边 1.B2.C3.D AB-AC, 4.证明：在△ABD和△ACD中，DB=DC, AD=AD, ∴.△ABD2△ACD(SSS),∴.∠BAD=∠CAD 「AB=AC 在△ABE和△ACE中，∠BAE=∠CAE, AE-AE, ∴，△ABE2△ACE(SAS),∴.BE=CE 第4课时角与三角形的作法 1.B 2.解：(1)PQMN(2)0 OA OB C D 3.D4.A 5.解：如图所示，△ABC即为所求， 6.每：如图，△ABC即为所求. 第5课时斜边、直角边 1.A变式题BC=BD(或AC=AD) 2.证明：，BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F, .∠AEB=∠DFC=90, AF=CE,..AF-EF=CE-EF,..AE=CF 在R△ABE和R△CDF中，AE=CF, (AB=CD, .Rt△ABE2Rt△CDF(HL) 3.B4.90°5.6 6.解：如图，连接BE *ED⊥BC,∴.∠BDE=∠A=90 在Rt△EBA和Rt△EBD中， BE-BE. BA-BD, .Rt△EBA2Rt△EBD(HL),.AE=DE=3. AC=8,.EC=AC-AE=5, 7.证明：在Rt△ABC和R△BAD中，BC=AD, (BA=AB, ∴.Rt△ABC2Rt△BAD(HL), .AC=BD,∠CAB=∠DBA: ∠CAE=∠DBF, 在△ACE和△BDF中，∠AEC=∠BFD=90°， AC=BD, ,△ACE2△BDF(AAS),.CE=DF 8.解：1)证明：在R△ACB和R△BDA中，EC=AD, (AB-BA: ∴.R△ACB2Rt△BDA(HL). (2)∠CAB=54,∴.∠ABC=90°-54=36° Rt△ACB2Rt△BDA,∴∠ABC=∠BAD=36°， ·∠CA0=∠CAB-∠BAD=5°-36°=18 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的性质 1.A2.A3.B4.3变式题(1)9(2)85.42 6.证明：，OD平分∠AOB,.∠BOD=∠AOD. OB=OA. 在△OBD和△QAD中，∠BOD=∠AOD, OD-OD. .△OBD2△OAD(SAS), ∴∠BDO=∠ADO,即DO平分∠BDA. PM⊥BD,PN⊥AD,∴.PM=PN. 44444 上册参者答案 191