专题02 绝对值（数学竞赛真题汇编）七年级全国通用

专题02 绝对值 1．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）方程组共有（   ）组解（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·山西晋中）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 3．（24-25七年级上·湖北武汉）设有理数a，b，c，满足，，且，则的最小值为 ． 4．（24-25七年级下·山西吕梁）由绝对值的定义可知表示数轴上数a的点到原点的距离，表示数轴上数a的点到1的距离，根据以上信息可知不等式的整数解的个数为 ． 5．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）解方程： (1)； (2)． 6．（24-25七年级上·江苏南京）下列关于x的方程说法正确的有______（只填序号） ①一定有两个解；②有解，则； ③有解，则； ④有三个解，则； ⑤若方程且有两个解，则． 7．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）整数，，，，满足条件：，，，⋯，，求的最小值． 8．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 1．（2023九年级·全国·竞赛）已知x为实数，且的值是一个确定的常数，则这个常数是（    ）． A．5 B．10 C．15 D．75 2．（2024八年级·全国·竞赛）方程组的解的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024七年级·全国·竞赛）当时，代数式的值为13，则当时，代数式的值为 ． 4．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 5．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程恰有两个不同的解，则的取值范围为 6．（2024七年级·全国·竞赛）已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则的值为 ． 7．（2024七年级·全国·竞赛）无论取何值，都成立，则的取值范围是 ． 8．（2024七年级·全国·竞赛）已知a，b，c都为整数，且，则方程的解为 ． 9．（2024九年级·全国·竞赛）设的最小值为a，最大值为b，其中，则 ． 10．（2024七年级·全国·竞赛）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 绝对值 1．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）方程组共有（   ）组解（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解绝对值方程和二元一次方程组，熟练掌握绝对值方程的解法是解题的关键． 根据绝对值方程的意义进行分情况讨论，再分别解出各个二元一次方程组即可求解． 【详解】解：由可得：， ∴原方程组可化为：或或或或或， 解得或或或或或， ∴原方程组的解为或或， 综上所述：方程组共有3组解． 故选：C． 2．（24-25七年级上·山西晋中）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘除法符号问题，根据，分三种情况分别求得的值，即可判断①；根据，可得，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值进而判断②，根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可判断③，根据，可得，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，分类讨论化简绝对值，根据③的方法即可判断④和⑤． 【详解】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 3．（24-25七年级上·湖北武汉）设有理数a，b，c，满足，，且，则的最小值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的性质、整式的加减，根据题意将分成时，即；时，即，根据绝对值的性质及几何意义进行化简，即可求解；理解绝对值的几何意义，能进行分类进行讨论是解题的关键． 【详解】解：∵，，， 故当时，，即， ∵ ， ∴当时， 的最小值为到之间的距离， 为到之间的距离， ∴的最小值为 ； 当时，， 即， ∵ ； ∴当时， 的最小值为到之间的距离， 为到之间的距离， ∴的最小值为 ， 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·山西吕梁）由绝对值的定义可知表示数轴上数a的点到原点的距离，表示数轴上数a的点到1的距离，根据以上信息可知不等式的整数解的个数为 ． 【答案】10 【分析】由题知表示数x的点到2 的距离和数x的点到的距离之和不大于10.分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别解不等式，即可得到答案．本题主要考查了绝对值的几何意义以及解不等式，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题知表示数x的点到2 的距离和数x的点到的距离之和不大于10．分三种情况： ①当时，， 解得， ∴； ②当时，； ③当时，， 解得， ∴． 综上，x的范围是， x的整数解为,，，，，0，1，2，3，4，共10个． 故答案为：10． 5．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解一元一次方程、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将方程变形为，求解即可 （2）去绝对值得出或，再解一元一次方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴或， 解得：或． 6．（24-25七年级上·江苏南京）下列关于x的方程说法正确的有______（只填序号） ①一定有两个解；②有解，则； ③有解，则； ④有三个解，则； ⑤若方程且有两个解，则． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了绝对值的意义，一元一次方程的解；根据绝对值的意义，分别化简方程，根据方程的解分别判断，即可求解． 【详解】解：①，当时，方程只有一个解，故①不正确； ②表示数轴上的点到原点的距离与到的距离的和为， 当或时，则， 当时， ∴有解，则，故②正确， ③表示数轴上的点到与的距离的和为， ∵有解， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴；故③正确； ④有三个解，则 当时，原方程为即， 当时，，解得： ， 当时，原方程为，解得： ， 当时，原方程为即， 当，原方程为：，解得：， 当，即，原方程为，解得：， ∵原方程有3个解， ∴当时，解得：， 当时，解得：（舍去） ∴，故④正确； ⑤若方程且有两个解，则 当，则 当时，原方程为，解得： ∴， ∴且，即， 当时，∵， 则原方程为， ∴， 即，则和矛盾， ∴，故⑤不正确； 故答案为：②③④． 7．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）整数，，，，满足条件：，，，⋯，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了规律性数字的变化，绝对值和完全平方公式，由已知得，，⋯，，各式相加整理后得：，配方可得：，因为：，，，⋯，，所以整数，，，，均为偶数，可得：，即可得出答案． 【详解】解： ， ， 整理可得：， ， 同理可得：， ， ， 左右两边分别相加可得： ， 整理得：， 又 ， ， 两边同时加上， 可得：， ， ， ，，，⋯，， ，，，，均为偶数， 为偶数， 为的倍数， 为偶数， 又 ，且，， ， 又 偶数， 的最小值为． 8．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)①5或；② (2)4 (3)15，当时其和取得最小值 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【详解】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或， 解得或， 故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4， ，当时为0， 当时，取得最小值， 其最小值为：， 故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点， 第8个分段点是2023， 当时其和取得最小值， 即． 1．（2023九年级·全国·竞赛）已知x为实数，且的值是一个确定的常数，则这个常数是（    ）． A．5 B．10 C．15 D．75 【答案】A 【分析】将按照每一段的取值范围进行分类讨论，即可得到答案． 【详解】解：（1）当时，原式，不是常数； （2）当时，原式，不是常数； （3）当时，原式，不是常数； （4）当时，原式，不是常数； （5）当时，原式，不是常数； （6）当时，原式，不是常数； （7）当时，原式，不是常数； （8）当时，原式，不是常数； （9）当时，原式，不是常数； （10）当时，原式，不是常数； （11）当时，原式，是常数； （12）当时，原式，不是常数； （13）当时，原式，不是常数； （14）当时，原式，不是常数； （15）当时，原式，不是常数； （16）当时，原式，不是常数． 故选：A． 2．（2024八年级·全国·竞赛）方程组的解的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查含绝对值的二元一次方程组，分情况讨论，去绝对值后解二元一次方程组即可． 【详解】解：分4种情况： 当，时， 方程组变形为， 解得； 当，时， 方程组变形为，无解； 当，时， 方程组变形为，无解； 当，时， 方程组变形为， 解得，与矛盾，无解； 综上可知，方程组的解的个数是：1个， 故选A． 3．（2024七年级·全国·竞赛）当时，代数式的值为13，则当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值．首先把代入代数式中，得到，再把代入求值即可． 【详解】解：当时，，则， 当时， ， 故答案为：． 4．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，根据绝对值的定义，去掉绝对值符号，化简求值即可，熟练掌握绝对值的意义，准确进行计算是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程恰有两个不同的解，则的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质等知识，根据绝对值的性质得，再根据绝对值性质可得或，根据绝对值性质和不等式性质即可求解. 【详解】解：， ， 或， 当时，方程无解或只有一个解， ， ，即或，即， 但当时，或都成立，此时有个不同的解， 只有时，成立，方程恰有两个不同的解. 6．（2024七年级·全国·竞赛）已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查数轴和有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键，先根据数轴，求出的取值范围，依此确定的取值范围，再去绝对值符号计算即可． 【详解】解：根据数轴得： ∴，，，， ∴， 故答案为：2． 7．（2024七年级·全国·竞赛）无论取何值，都成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分类讨论求出不同情况下的取值即可求出的取值范围． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 综上，， 则当时，恒成立． 故答案为：． 8．（2024七年级·全国·竞赛）已知a，b，c都为整数，且，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，代数式求值，绝对值方程，根据题意得到 ， 或，，分了讨论的值，再代入中求解绝对值方程即可． 【详解】解：由题意， ， 或，， 当 ，时，则， ，即 ， 当，时，则， ，即， ， ， 解得． 9．（2024九年级·全国·竞赛）设的最小值为a，最大值为b，其中，则 ． 【答案】7 【分析】设，把x的取值分为和，先根据绝对值的性质化简代数式，再根据一次函数的增减性求出其最大值和最小值，最后把两种情况综合起来，确定a和b的值． 此题主要考查了绝对值的性质，分两段确定代数式的最大值和最小值是解答此题的关键． 【详解】设， 当时， ， ， ， 此时y随x的增大而增大， ∴当时，， 当时，； 当时， ， ， ， 此时y随x的增大而减小， 当时，， 当时，， 综上，，， ， 故答案为：7． 10．（2024七年级·全国·竞赛）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键熟练掌握绝对值的意义． （1）一共有123个数，求出，代入求值即可； （2）将原式变形后，得出，代入求值即可． 【详解】（1）解：一共123个数，当时，的值最小， 此时，； （2）解： 有2个，3个，5个，7个，9个，共个数， ，当取第13个数时，的值最小， 此时， ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$