专题1.4 空间向量的应用 分层检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.4 空间向量的应用 高中数学辅导资料 专题1.4 空间向量的应用 一、知识归纳： 1．直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上的任意一点P，存在实数，使得，把与 的 向量称为直线l的方向向量． 2．平面的法向量：如图，直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量.给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 . 3．空间中直线、平面的平行 （1）线线平行:若两条不重合的直线的方向向量分别为，则 . （2）线面平行:设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则 . （3）面面平行:设分别是不重合的平面的法向量，则，使得 . 若平面的法向量，平面的法向量，则 . 4．空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直：设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 . （2）线面垂直：设直线的方向向量是，平面的法向量是，则 . （3）面面垂直：若平面的法向量，平面的法向量，则 . 5．点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，A是直线上的定点，是直线外一点.如图，设，则向量在直线上的投影向量，到直线的距离 .   6．点到平面的距离 设平面的法向量为是平面内的定点，是平面外一点，则点到平面的距离 . 注：用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距. 7．两异面直线的夹角：若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，则 . 8．直线与平面的夹角：直线与平面相交，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则 . 9．平面与平面的夹角： (1)定义:平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面与平面的夹角. (2)设平面的法向量分别是，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则 . 自检自纠： 1.向量平行，非零 2. 3.（1）（2）（3）， 4.（1）（2）（3） 5． 6． 7． 8． 9．（1） （2） 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知平面α的法向量为，，则直线AB与平面α的位置关系为（    ） A．AB∥α B．AB⊂α C．AB与α相交 D．AB⊂α或AB∥α 2．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的锐二面角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．75° 3．设，分别是平面的法向量.若，则t等于（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．若平面α的一个法向量，直线l的一个方向向量为，则l与α所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．在棱长均为a的正三棱柱中，D是侧棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·安徽滁州·阶段）在三棱柱中，如图所示，侧棱底面，点是的中点，是的中点，，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．（19-20高三下·全国·阶段练习）在所有棱长都相等的直三棱柱中，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（19-20高二下·浙江衢州·期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱中，是棱的中点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列命题中真命题有（    ）． A．直线l的方向向量有无穷多个 B．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反 C．若向量是直线l的一个方向向量，则向量也是直线l的一个方向向量 D．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直 10．在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是 （    ）    A．直线 的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 11．（20-21高二上·江苏南京·阶段）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（    ） A．与EF相交 B．平面DEF C．EF与所成的角为 D．点到平面DEF的距离为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（20-21高二下·湖北·开学考试）已知直线l在平面外，且是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系为 . 13．直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为 14．如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列所有正确结论的序号是 ．①直线与AC所成的角可能是；②平面平面；③三棱锥的体积为定值；④平面截正方体所得的截面可能是等腰梯形． B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（24-25高二上·吉林·期中）空间内有三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·江苏·课后作业）若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 4．（24-25高二上·福建福州·期中）在三棱锥中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·模拟预测）已知正方体体积为V，，，则四面体体积为（   ） A． B． C． D． 6．正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·福建福州·期末）在正方体中，点满足，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（2020·贵州遵义·一模）如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（23-24高二下·浙江·期中）如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．不是平面的一个法向量 10．（23-24高二上·河北张家口·阶段）如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 11．（2023·湖南永州·二模）如图，棱长为的正方体的顶点在平面内，其余各顶点均在平面的同侧，已知顶点到平面的距离分别是和.下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离是 B．点到平面的距离是 C．正方体底面与平面夹角的余弦值是 D．在平面内射影与所成角的余弦值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（24-25高二上·湖北荆门·阶段）已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，点B到平面GEF的距离为 .    13．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量，则不重合的两个平面α与β的位置关系是 ． 14．（23-24高三上·江苏苏州·阶段）如图，在正方体中，和分别为底面和侧面的中心，则二面角的余弦值为 . 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$专题1.4 空间向量的应用 高中数学辅导资料 专题1.4 空间向量的应用 一、知识归纳： 1．直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上的任意一点P，存在实数，使得，把与 的 向量称为直线l的方向向量． 2．平面的法向量：如图，直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量.给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 . 3．空间中直线、平面的平行 （1）线线平行:若两条不重合的直线的方向向量分别为，则 . （2）线面平行:设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则 . （3）面面平行:设分别是不重合的平面的法向量，则，使得 . 若平面的法向量，平面的法向量，则 . 4．空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直：设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 . （2）线面垂直：设直线的方向向量是，平面的法向量是，则 . （3）面面垂直：若平面的法向量，平面的法向量，则 . 5．点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，A是直线上的定点，是直线外一点.如图，设，则向量在直线上的投影向量，到直线的距离 .   6．点到平面的距离 设平面的法向量为是平面内的定点，是平面外一点，则点到平面的距离 . 注：用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距. 7．两异面直线的夹角：若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，则 . 8．直线与平面的夹角：直线与平面相交，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则 . 9．平面与平面的夹角： (1)定义:平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面与平面的夹角. (2)设平面的法向量分别是，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则 . 自检自纠： 1.向量平行，非零 2. 3.（1）（2）（3）， 4.（1）（2）（3） 5． 6． 7． 8． 9．（1） （2） 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知平面α的法向量为，，则直线AB与平面α的位置关系为（    ） A．AB∥α B．AB⊂α C．AB与α相交 D．AB⊂α或AB∥α 【答案】C 【详解】∵，，∴，∴，∴直线AB与平面α的位置关系为相交． 故选：C． 2．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的锐二面角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【详解】，所以两平面所成的锐二面角的大小为45°．故选：B 3．设，分别是平面的法向量.若，则t等于（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】∵，∴，∴，故选：C 4．若平面α的一个法向量，直线l的一个方向向量为，则l与α所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线l与平面α所成的角为，； 所以l与平面α所成角的正弦值为.故选：B 5．在棱长均为a的正三棱柱中，D是侧棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为空间直角坐标原点，以垂直于的直线为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系.由是棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱的中点，故，， ，，，，，设是平面的法向量，，，故点到平面距离.故选：A. 6．（22-23高二上·安徽滁州·阶段练习）在三棱柱中，如图所示，侧棱底面，点是的中点，是的中点，，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在直三棱柱中，，所以易得两两垂直，则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，又点分别是的中点，所以，，故，设与所成的角为，则．所以与所成角的余弦值为． 故选：B．. 7．（19-20高三下·全国·阶段练习）在所有棱长都相等的直三棱柱中，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正三棱柱的所有边长均为，取的中点，连接，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则点、、、、，，，， 设平面的法向量为，由，得，取，则，，，设直线与平面所成角为，则，则.故选：C. 8．（19-20高二下·浙江衢州·期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱中，是棱的中点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，直三棱柱的底面为锐角三角形，是棱的中点，设三棱柱是棱长为2的正三棱柱，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，因为直线与直线所成的角为，，，因为直线与平面所成的角为，， 平面的法向量，，，设平面的法向量，则，取，得，因为二面角的平面角为，由图可知，其为锐角，，，由于在区间上单调递减，故，则.故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列命题中真命题有（    ）． A．直线l的方向向量有无穷多个 B．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反 C．若向量是直线l的一个方向向量，则向量也是直线l的一个方向向量 D．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直 【答案】AB 【详解】AB选项，由直线的方向向量的定义易知A，B正确；C选项，当时，结论不成立，故C错误；D选项，两直线的方向向量平行，则两直线平行或重合，故D错误．故选：AB． 10．在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是 （    ）    A．直线 的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】ABD 【详解】设正方体棱长为，则， A选项，，故选项A正确；B选项，，故选项B正确； C选项，因为平面即为坐标平面，所以与轴平行的向量均为它的法向量，故选项C错误； D选项，．设平面的一个法向量， 则     ，取，得，所以是平面的一个法向量．故选项D正确．故选：ABD． 11．（20-21高二上·江苏南京·阶段）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（    ） A．与EF相交 B．平面DEF C．EF与所成的角为 D．点到平面DEF的距离为 【答案】BCD 【详解】对选项A，由图知平面，平面，且由异面直线的定义可知与EF异面，故A错误；对于选项B，在直三棱柱中， ．，F分别是AC，AB的中点，， ．又平面DEF，平面DEF， 平面故B正确；对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，．1，，0，．，，． 与所成的角为，故C正确；对于选项D，设向量y，是平面DEF的一个法向量． 0，，1，，由，即，得取，则，0，，设点到平面DEF的距离为d．又2，，，点到平面DEF的距离为，故D正确．故选：BCD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（20-21高二下·湖北·开学考试）已知直线l在平面外，且是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系为 . 【答案】平行 【详解】因为，直线l在平面外，所以直线l与平面平行. 13．直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为 【答案】2 【详解】∵，，∴，，又，∴在方向上的投影为，∴P到l距离.故答案为2. 14．如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列所有正确结论的序号是 ．①直线与AC所成的角可能是；②平面平面；③三棱锥的体积为定值；④平面截正方体所得的截面可能是等腰梯形． 【答案】②③④ 【详解】对于①，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， ，设， ，当时，；当时，，,∴,, ∴直线D1P与AC所成的角为，故①错误； 对于②，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，∵AA1AB＝A，∴A1D1平面A1AP， ∵A1D1平面D1A1P，∴平面D1A1P平面A1AP，故②正确；对于③，，P到平面CDD1的距离BC＝1，∴三棱锥D1﹣CDP的体积：为定值，故③正确；对于④，当AP延长线交BB1的中点E时，设平面与直线B1C1交于点F,因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1, 平面∩平面ADD1A1=AD1, 平面∩平面BCC1B1=EF,所以EF∥AD1,∴F为B1C1的中点，∴截面AD1FE为等腰梯形的截面，故④正确；故答案为：②③④ B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（24-25高二上·吉林·期中）空间内有三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.因为，所以点到直线的距离为.故选：A 2．（22-23高二下·江苏·课后作业）若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由共线向量可知与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，又，所以是直线l的一个方向向量.故选：B. 3．（2024·全国·模拟预测）直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】以A为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则．设，则，所以，解得(负值舍去). 故选：A． 4．（24-25高二上·福建福州·期中）在三棱锥中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示建立如下图所示的空间直角坐标系，   设正方体的棱长为，，，，因为异面直线夹角的范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为.故选：B 5．（2025·天津·模拟预测）已知正方体体积为V，，，则四面体体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方体的棱长为3，则，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，， 因为，，所以，，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的法向量为，则点到平面的距离为；又，所以，所以的面积为，所以四面体体积为，即四面体体积为.故选：D 6．正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则，，，，，∴，，，， ∴，，∴，．又，∴平面， ∴是平面的一个法向量，∵，∴直线与平面所成角的正弦值为．故选：C 7．（23-24高二上·福建福州·期末）在正方体中，点满足，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设正方体的棱长为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则,所以 设，则，因为，所以，即，解得，所以,设平面的法向量为，则,即，令，则，所以. 设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：B. 8．（2020·贵州遵义·一模）如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意以为轴建立空间直角坐标系，如图，，，，，又，．， 则，设异面直线与所成角为，则，为锐角，，所以．故选：D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（23-24高二下·浙江·期中）如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．不是平面的一个法向量 【答案】BD 【详解】由为正方体，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则､.对于选项，，则，故错误；对于选项，，则，故正确；对于选项，，故，故错误；对于选项，，故不是平面的一个法向量，故正确.故选：. 10．（23-24高二上·河北张家口·阶段）如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABC 【详解】由题意，在正方体中，棱长为2，，分别是，的中点，作空间直角坐标系如下图所示， ,，A项，，面的一个法向量为，∵，∴平面，A正确；B项，，B正确；∵，平面的一个法向量为，设线与平面所成角为，， ∴C正确，D错误.故选：ABC. 11．（2023·湖南永州·二模）如图，棱长为的正方体的顶点在平面内，其余各顶点均在平面的同侧，已知顶点到平面的距离分别是和.下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离是 B．点到平面的距离是 C．正方体底面与平面夹角的余弦值是 D．在平面内射影与所成角的余弦值为 【答案】ACD 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，设平面的法向量，则，即，令，解得：，，；对于A，点到平面的距离为，A正确；对于B，点到平面的距离为，B错误；对于C，轴平面，平面的一个法向量，，即平面与平面夹角的余弦值为，C正确；对于D，在平面内的投影对应的向量，，即在平面内射影与所成角的余弦值为，D正确.故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（24-25高二上·湖北荆门·阶段）已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，点B到平面GEF的距离为 .    【答案】/ 【详解】  如图建立空间直角坐标系，则于是，.设平面的法向量是，则有，故可取.则点B到平面GEF的距离为：. 故答案为： 13．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量，则不重合的两个平面α与β的位置关系是 ． 【答案】 【详解】设平面的法向量为，由·＝0，得，由·＝0，得，取，∴＝(1，1，1)，，∴，∴. 14．（23-24高三上·江苏苏州·阶段）如图，在正方体中，和分别为底面和侧面的中心，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【详解】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为2，则，故，，，设平面，平面的法向量分别为，则，令，可得，故，由，令，可得，故，所以，由图形可知，二面角的平面角为钝角，故二面角的余弦值为.故答案为： 12 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$