专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 分层检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 高中数学辅导资料 专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 一、知识归纳： 1．空间直角坐标系 在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴两两互相垂直，它们都称为 ；通过每两个坐标轴的平面都称为 ，分别记为xOy平面，yOz平面与zOx平面. 空间中建立空间直角坐标系之后，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了 个部分，每一部分都称作一个 2．空间中点的坐标表示 设为空间中的一个点，过分别作垂直于轴、轴、轴的平面，这些平面与轴、轴、轴依次交于点，且在轴、轴、轴上的坐标分别为、、，那么点M的位置完全由有序实数组确定.将称作点M的坐标，记作 ，x称为点M的 （或x坐标），y称为点M的 （或y坐标），z称为点M的 （或z坐标.）空间中的任意一点P跟有序实数组一一对应． 3．空间向量的坐标表示 （1）在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使 ，在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． （2）在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在 的有序实数组，使 .有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 . 4．设则有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 减法 数乘 ， 数量积 5．空间向量的平行、垂直及模、夹角：设，则 ； ； ；． 6．向量的坐标及两点间的距离、中点坐标：在空间直角坐标系中，设，则 （1） ；（2） ；AB中点的坐标为 . 自检自纠： 1．坐标轴，坐标平面，8，卦限 2．，横坐标，纵坐标，竖坐标 3.（1） ， （2）唯一，， 4． ， ，， 5． ，，， 6． ，， 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．点(2，0，1)在空间直角坐标系中的位置是 A．在轴上 B．在平面内 C．在平面内 D．在平面内 2．（22-23高二上·陕西榆林·期末）已知向量，.若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，若，，且平面，则（   ）． A． B． C． D． 4．已知向量，且与互相垂直，则k的值是（    ） A．1 B． C． D． 5．（20-21高二·全国·课后作业）如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则M点的坐标为（   ）   A． B． C． D． 6．（21-22高二上·吉林白山·阶段）已知向量，，且，的夹角为，则=（    ） A． B． C． D． 7．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 8．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（    ） A．2 B． C．或 D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（24-25高二上·山东菏泽·阶段）已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．（23-24高二上·山东·期中）空间直角坐标系中，已知，，，，则（    ） A． B．是直角三角形 C．与平行的单位向量的坐标为 D．可以作为空间的一组基底 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，且，则 . 13．已知空间向量，若与垂直，则 . 14．（17-18高二·北京·期末）已知矩形,,,将沿矩形对角线所在的直线进行翻折,在翻折过程中,则 . ①,都存在某个位置,使得 ②,都不存在某个位置,使得 ③,都存在某个位置,使得 ④,都不存在某个位置,使得 B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（20-21高二上·广东肇庆·期末）若点关于y轴的对称点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·广东汕头·期中）在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A． B． C． D． 3．（2023高二下·海南·学业考试）已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B． C． D．-1 4．（23-24高二上·江西·阶段）已知，，，若，，，四点共面，则（    ） A．3 B． C．7 D． 5．（21-22高二上·甘肃武威·阶段练习）已知则与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．90° D．150° 6．（20-21高二上·山东临沂·期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，已知点，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8．（22-23高二上·吉林长春·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点在上，点在上，则的最小值为（    ）   A．1 B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段）已知向量，则下列向量中与共面的向量是（    ） A． B． C． D． 10．已知点，点在平面上，且点到点的距离相等，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 11．（19-20高二上·福建三明·期末）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（23-24高二上·福建·开学考试）在空间直角坐标系中，，若四边形为平行四边形，则 ． 13．若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝ ． 14．如图，直角三角形所在平面与平面交于，平面平面，为直角，，为的中点，且，平面内一动点满足，则的取值范围是 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 高中数学辅导资料 专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 一、知识归纳： 1．空间直角坐标系 在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴两两互相垂直，它们都称为 ；通过每两个坐标轴的平面都称为 ，分别记为xOy平面，yOz平面与zOx平面. 空间中建立空间直角坐标系之后，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了 个部分，每一部分都称作一个 2．空间中点的坐标表示 设为空间中的一个点，过分别作垂直于轴、轴、轴的平面，这些平面与轴、轴、轴依次交于点，且在轴、轴、轴上的坐标分别为、、，那么点M的位置完全由有序实数组确定.将称作点M的坐标，记作 ，x称为点M的 （或x坐标），y称为点M的 （或y坐标），z称为点M的 （或z坐标.）空间中的任意一点P跟有序实数组一一对应． 3．空间向量的坐标表示 （1）在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使 ，在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． （2）在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在 的有序实数组，使 .有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 . 4．设则有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 减法 数乘 ， 数量积 5．空间向量的平行、垂直及模、夹角：设，则 ； ； ；． 6．向量的坐标及两点间的距离、中点坐标：在空间直角坐标系中，设，则 （1） ；（2） ；AB中点的坐标为 . 自检自纠： 1．坐标轴，坐标平面，8，卦限 2．，横坐标，纵坐标，竖坐标 3.（1） ， （2）唯一，， 4． ， ，， 5． ，，， 6． ，， 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．点(2，0，1)在空间直角坐标系中的位置是 A．在轴上 B．在平面内 C．在平面内 D．在平面内 【答案】D 【详解】点的纵坐标为0，故点在平面内.故选：D 2．（22-23高二上·陕西榆林·期末）已知向量，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，所以，解得， 所以.故选：A. 3．已知，，若，，且平面，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，解得．因为平面ABC，所以，，可得，解得，所以． 故选：D 4．已知向量，且与互相垂直，则k的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】，，因为与互相垂直，所以，所以，所以.故选：D. 5．（20-21高二·全国·课后作业）如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则M点的坐标为（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面平面，平面平面，而，则平面，平面，设点的坐标为，设，连接，则，又，，则，，由平面，平面，平面平面，则，又，则四边形是平行四边形，于是，即，于是，解得，所以点的坐标为.故选：C    6．（21-22高二上·吉林白山·阶段）已知向量，，且，的夹角为，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意向量，，且，的夹角为，，可得，故，故选：A 7．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，即点Q的坐标为.故选：C 8．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（    ） A．2 B． C．或 D． 【答案】D 【详解】因为向量，且与的夹角余弦为，所以，解得，故选：D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（24-25高二上·山东菏泽·阶段）已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为向量，，，所以，解得或. 故选：BD. 10．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BC 【详解】对于A，由，得，解得，A错误；对于B，由，得存在实数，使得，则，即，解得，，B正确；对于C，当时，，，，C正确；对于D，当时，，，D错误.故选：BC 11．（23-24高二上·山东·期中）空间直角坐标系中，已知，，，，则（    ） A． B．是直角三角形 C．与平行的单位向量的坐标为 D．可以作为空间的一组基底 【答案】ABD 【详解】因为，所以，所以，选项A正确；又因为，所以，所以，所以是直角三角形，选项B正确；因为，所以与平行的单位向量的坐标为：，选项C错误；假设，，共面，则存在唯一的有序数对使，即，所以，此方程组无解，故，，不共面，故可作为空间一组基底，选项D正确.故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，且，则 . 【答案】2 【详解】由题意得，，整理得且，则.故答案为：2 13．已知空间向量，若与垂直，则 . 【答案】/ 【详解】由向量，可得，因为与垂直，可得，解得.故答案为：. 14．（17-18高二·北京·期末）已知矩形,,,将沿矩形对角线所在的直线进行翻折,在翻折过程中,则 . ①,都存在某个位置,使得 ②,都不存在某个位置,使得 ③,都存在某个位置,使得 ④,都不存在某个位置,使得 【答案】③ 【详解】将沿矩形对角线所在的直线进行翻折到另一位置，是点A翻折后的位置， 过点B作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 有，令，则， 显然有，若存在某个位置使得，即，于是得，解得，当a=0时，点位于yBz坐标平面内，此时，，且，于是得，反之，当时，取，点，恒有，所以，,都存在某个位置,使得.故答案为：③ B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（20-21高二上·广东肇庆·期末）若点关于y轴的对称点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点关于y轴的对称点为，则， ∴，故选：C. 2．（22-23高二上·广东汕头·期中）在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 所以，所以.故选：D 3．（2023高二下·海南·学业考试）已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B． C． D．-1 【答案】C 【详解】因为，所以，所以．故选：C 4．（23-24高二上·江西·阶段）已知，，，若，，，四点共面，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】C 【详解】因为，，，四点共面，所以，，共面，设，因为，，，所以，则，解得．故选：C. 5．（21-22高二上·甘肃武威·阶段练习）已知则与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．90° D．150° 【答案】D 【详解】因为，则，所以与的夹角等于. 故选：D 6．（20-21高二上·山东临沂·期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知向量在向量上的投影向量为.故选：A 7．在空间直角坐标系中，已知点，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】点，则，，，而，所以一定为直角三角形.故选：C 8．（22-23高二上·吉林长春·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点在上，点在上，则的最小值为（    ）   A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则可设，其中，，其中，根据图中可知直线和直线为异面直线，若能取到两异面直线间的距离，则此时距离最小，根据异面直线公垂线的定义知，，，，，，则，则，，解得，满足范围，则此时，则.故选：C.   二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段）已知向量，则下列向量中与共面的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，设，则得，解得，即，故A正确； 对于B，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故B错误； 对于C，设，则得，解得，即，故C正确； 对于D，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故D错误. 故选：AC. 10．已知点，点在平面上，且点到点的距离相等，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】依题意，点在平面上，设，由于，，，整理得，通过验证可知，、符合， 所以BC选项正确.故选：BC 11．（19-20高二上·福建三明·期末）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【详解】由图形及其已知可得，点的坐标为，点关于点对称的点为 因为，所以四边形为菱形，所以点关于直线对称的点为，点关于平面对称的点为，故选：ACD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（23-24高二上·福建·开学考试）在空间直角坐标系中，，若四边形为平行四边形，则 ． 【答案】 【详解】，因为四边形为平行四边形，所以，所以，故答案为：． 13．若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝ ． 【答案】 【详解】，，解得，故答案为 14．如图，直角三角形所在平面与平面交于，平面平面，为直角，，为的中点，且，平面内一动点满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】在直角三角形中，过点作边上的高交于，直角三角形所在平面与平面交于，平面平面，平面，在平面内过点作边的垂线，所以，，，以为原点，为轴，为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：为直角，,为的中点，且,,, ,, ，，，，，，，，，，又 ，则 ，即，化简即可得到： ，由于，则 ，所以 ，，把 代入即可得到：，当，的范围为 ，所以的取值范围是，故答案为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$