第5章 三角函数培优把关卷-【把关卷】2025-2026学年高一数学必修第一册单元培优把关卷（人教A版2019）

19 第五章培优把关卷 1.C 2.B 3.D 4.D 5.A 6.A 7.C 8.A 9.AC 10.BC 11.BCD 12.1 13. 2 2 14.3　f（x）＝ 3 sin      3x + π3 - 2 3 1. C　解析：设扇形的弧长为 l，由扇形的面积公式可得，S ＝ 12 lr， 即38 π＝ 12 l×1，所以 l ＝ 3 4 π，则扇形的周长为 l+2r ＝34 π +2. 故选 C. 2. B　解析：sin 239°·tan 149°＝ sin（270° -31°）·tan（180° -31°）＝ -cos 31°·（-tan 31°）＝ sin 31°＝ 1− a2 . 3. D　解析：函数 y ＝ sin 2x+cos 2x ＝ 2 sin 2     x + π4 的最小正周期为 2 2 π＝ π，且为非奇非偶函数，A 不符合题意； 函数 y ＝ sin 2xcos 2x ＝ 12 sin 4x 的最小正周期为 2 4 π＝ π2，且为奇函数，B 不符合题意； 函数 y ＝cos 4     x + π2 ＝ -sin 4x 的最小正周期为 2 4 π＝ π2，且为奇函数，C 不符合题意； 函数 y ＝ sin22x-cos22x ＝ -cos 4x 的最小正周期为 24 π＝ π2，且为偶函数，D 符合题意 . 4. D　解析：因为 y ＝ 2sin 3x ＝ 2sin     3     x − +15 5 π π ， 所以把函数 y ＝ 2sin      3x + π5 图象上所有的点向右平移15 π 个单位长度即可得到函数 y ＝ 2sin 3x 的图象 . 故选 D. 5. A　解析： 3 sin θ+cos 2 θ>1 3 sin θ>1-cos 2θ ＝ 2sin2θ（2sin θ- 3）sin θ<0 0<sin θ< 2 3 . 当 0<θ< π3时，0<sin θ< 2 3 ，充分性成立； 当 0<sin θ< 2 3 时，2kπ<θ< π3 +2kπ，k∈ Z 或 2 3 π +2kπ<θ<π+2kπ，k∈ Z，必要性不成立 . 所以“0<θ< π3”是“ 3 sin θ+cos 2θ>1”的充分不必要条件 . 6. A　解析：因为 tan α+tan β ＝ cos 1 β ，所以 cos sinα α + cos sin β β ＝ cos 1 β ， 所以 sin αcos β+cos αsin β ＝ cos α，即 sin （α+β）＝ sin      π 2 −α . 又 α∈     0, π2 ，β∈      0, π2 ，所以 α+β ＝ π 2 -α，即 2α+β ＝ π 2或 α+β+ π 2 -α ＝ π，即 β ＝ π 2（舍去）. 7. C　解析：由题意知，f（x）＝ 4cos2x+4sin x ＝ -4sin2x+4sin x+4 ＝ - 4 sin     x − 12 2 +5. 设 t ＝ sin x，g（t）＝- 4     t − 12 2 +5，则函数 g（t）图象的对称轴为直线 t ＝ 12，且 f（0）＝ g（0）＝ 4，g      1 2 ＝ 5，g（1）＝ 4. 因为函数 f（x）在区间［0，a］上的值域为［4，5］， 所以 t ＝ sin x 在区间［0，a］上能取得 t ＝ 12，但是 t 不能小于 0，所以 π 6≤ a ≤ π. 8. A　解析：令 f（x）＝1− 1 x，则 f（1+x）＝1 (1 )− + 1 x ＝ - 1 x，f（1-x）＝1 (1 )− − 1 x ＝ 1 x， 所以 f（1+x）＝ -f（1-x），所以 f（x）的图象关于点（1，0）对称 . 令 g（x）＝ 2sin πx，则 g（1）＝ 2sin π＝ 0，所以 g（x）的图象关于点（1，0）对称 . 画出函数 y ＝1− 1 x 的图象与函数 y ＝ 2sin πx（-2 ≤ x ≤ 4）的图象如图所示，由图可知， 两个函数图象有 8 个交点，不妨把 8 个交点的横坐标由小到大依次设为 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则由对称性得 x1+x8 ＝ x2+x7 ＝ x3+x6 ＝ x4+x5 ＝ 2，即 8 个交点的横坐标之和为 8. 9. AC　解析：因为 3 sin 2x+cos 2x ＝2 sin 2 cos 2      2 2 3 x x+ 1 ＝ 2sin      2x + π6 ， 所以 2sin      2x + π6 ＝ 2，即 sin      2x + π6 ＝ 1. 对选项 A，当 x ＝ π6时，sin      2x + π6 ＝ sin      π π 3 6+ ＝ sin π 2＝ 1，故 A 正确； 对选项 B，当 x ＝ 23 π时，sin      2x + π6 ＝ sin      4 3 6 π π+ ＝ sin 32 π＝ -1，故 B 错误； 对选项 C，当 x ＝ 76 π时，sin      2x + π6 ＝ sin      7 3 6 π π+ ＝ sin 52 π＝ sin π2＝ 1，故 C 正确； 对选项 D，当 x ＝53 π时，sin      2x + π6 ＝ sin      10 3 6 π π+ ＝ sin 72 π＝ sin 32 π＝ -1，故 D 错误 . 10. BC　解析：由题图知，f（x）的最小正周期 T ＝2×    12 12 7π π− ＝ π，则 ω ＝ 2，故 A 错误 . 由 2× 12 π +φ ＝ π2 +2kπ，k∈ Z，得 φ ＝ π 3 +2kπ，k∈ Z. 因为 0<φ<π，所以 φ ＝ π3 . 由 f（0）＝ 3，得Asin π 3＝ 3， 则 A ＝ 2，所以 f（x）＝2sin 2     x + π3 ，f（x）的最大值为 2，故 B 正确 . 当 x∈    − 12 12 5π π, 时，2x + π3∈      − π π2 2, ，则 f （x）单调递增，故 C 正确 . 因为f x     + π6 ＝2sin 2           x + +π π6 3 ＝2sin 2      x + 23 π ， 所以f x     + π6 不是偶函数，故 D 错误 . 故选 BC. 11. BCD　解析：由题意，得 y ＝ 1+ 3 - 3 versin （λ0π）-coversin （λ0π） ＝ 1-coversin （λ0π）+ 3［1-versin （λ0π）］＝ sin （λ0π）+ 3 cos （λ0π）＝ 2sin      λ0π+ π 3 ， λ0 ＝ sin (0 ) sin2 2− + −θ θ 2       π 3 ＝ 1 cos 2− 2 2 θ + 1 cos 2− − 2       2 3 π θ ＝ 12 - 1 4 cos 2θ- 1 1 4 2 2       − +cos 2 sin 2θ θ3 20 ＝ 12 -       1 8 8cos 2 sin 2θ θ+ 3 ＝ 12 - 1 4 sin      2θ + π6 . 因为 θ∈    0, π2 ，所以 π 6≤ 2θ+ π 6≤ 7 6 π， 所以 - 12≤ sin      2θ + π6 ≤ 1，所以 λ0∈      1 5 4 8, ，所以 λ0π+ π 3∈     12 24 7 23π π, . 又 π2 < 12 7π < 2324 π <π，所以函数 y ＝ 2sin      λ0π+ π 3 的值域为      2sin ,2sin23 724 12 π π . 因为 2sin 2324 π >0，函数的最大值是 2sin 12 7π＝ 2sin π4 cos π 3 +2cos π 4 sin π 3＝ 2 6+ 2 ， 所以函数值不可能取 - 2，故选项 A 不符合题意，选项 D 符合题意 . 因为 π2 < 12 7π < 23 π < 34 π < 2324 π <π，函数 y ＝ sin x 在     π 2 ,π 上单调递减， 所以 sin 12 7π >sin 23 π >sin 34 π >sin 2324 π， 所以 2sin 12 7π > 3 > 2 >2sin 2324 π，故选项 B，C 符合题意 . 故选 BCD. 12. 1　解析：f（x）＝ sin x+ 3 cos x ＝2sin      x + π3 . 因为 0 ≤ x ≤ π2，所以 π 3≤ x+ π 3≤ 5 6 π，所以 12≤sin      x + π3 ≤ 1， 所以 1 ≤ f（x）≤ 2，所以 f（x）的最小值为 1. 13. 2 2 　解析：由题图可知，T4 ＝ 2，所以 T ＝ 8，所以 ω ＝ π 4 . 由点（1，1）在函数图象上，可得 f（1）＝sin      π 4 +ϕ ＝ 1， 故 π4 +φ ＝ 2kπ+ π 2（k∈ Z），所以 φ ＝ 2kπ+ π 4（k∈ Z）. 又 φ∈［0，2π），所以 φ ＝ π4，故 f（x）＝sin      π π 4 4x + ， 所以 f （2 024）＝sin      2 024 4 4 π + π ＝sin 506     π + π4 ＝sin π 4＝ 2 2 . 14. 3　f（x）＝ 3 sin      3x + π3 - 2 3　解析：因为函数图象的对称轴与对称中心的最小距离为 π 6， 所以T4 ＝ π 6，即 T ＝ 2 3 π，所以 ω ＝ 2T π＝ 3. 所以 f（x）＝ 3 sin      3x + π3 +m. 由 3x+ π3＝ π 2，得 x ＝18 π ，所以当 x ＝18 π 时，f（x）取得最大值f     18 π ＝ 3 sin      3× +18 3 π π +m ＝ 3 +m， 所以 3 +m ＝ - 3，解得 m ＝ - 2 3，所以 f（x）＝ 3 sin      3x + π3 - 2 3 . 15. 解：（1）因为− π2 <α<0，所以 sin α<0，cos α>0, 所以 f（α）＝ sin α-sin α· (1 cos 1 + − cos2 α α )2 -1 ＝ sin α+sin α·1 cos+sinα α -1 ＝ sin α+cos α. （2）（方法 1）由（1）知 f（α）＝ sin α+cos α ＝15， 两边平方可得 sin2α+2sin αcos α+cos2α ＝ 25 1 ，即 2sin αcos α ＝ - 2425 . 所以 sin αcos α ＝ - 1225 . 又 - π2 <α<0，所以 sin α<0，cos α>0，所以 sin α-cos α<0. 因为（sin α-cos α）2 ＝ 1-2sin αcos α ＝ 4925，所以 sin α-cos α ＝ - 7 5 . （方法 2）联立方程得     sin cos , sin cos 1,2 2 α α α α + = + = 1 5 解得      sin , cos α α = − = 5 4 5 3 或      sin , cos . α α = = − 5 4 5 3 因为 - π2 <α<0，所以      sin , cos , α α = − = 5 4 5 3 所以 sin αcos α ＝ - 1225，sin α-cos α ＝ - 7 5 . 16. 解：（1）因为 f（x）＝ 2sin      2x − π6 ，x∈ R， 由正弦函数的单调性，可令 - π2 +2kπ≤ 2x- π 6≤ π 2 +2kπ（k∈ Z）， 解得 x∈    − + π + ππ π6 3k k, ，即 f（x）的单调递增区间为      − + π + ππ π6 3k k, （k∈ Z）. （2）当 x∈    π π 6 12, 5 时，2x- π6∈      π π 6 3, 2 . 由正弦函数的单调性可知，当 2x- π6＝ π 6，即 x ＝ π 6时，f（x）取得最小值，最小值为f      π 6 ＝ 2sin      π 6 ＝ 1， 当 2x- π6＝ π 2，即 x ＝ π 3时，f（x）取得最大值，最大值为f      π 3 ＝ 2sin      π 2 ＝ 2. 故当 x∈    π π 6 12, 5 时，f（x）的最大值为 2，最小值为 1. 17. 解：（1）因为 2sin α ＝ 2sin2 α2 -1 ＝ -cos α，所以 tan α ＝ - 1 2 . 所以 sin αcos α+cos 2α ＝sin cos cos sinα α α α sin cos2α α + − + 2 2 2 ＝ tan 1 tanα α tan 1 + − 2α + 2 ＝15 . （2）由 tan 2β-6tan β ＝ 1，可得 tan 2β ＝ 1 tan 2 tan − 2 β β ＝ - 13， 则 tan （α+2β）＝1 tan tan 2 tan tan 2 − α β+ α β ＝1 − − − × 1 1 2 3 1 1 2 3 ＝ -1. 因为 β∈    0, π2 ，所以 2β∈［0，π］. 又 tan 2β ＝ - 1 3 >- 3 3 ，所以 2β∈    5 6 π ,π . 因为 α∈（0，π），tan α ＝ - 12 >- 3 3 ，所以 α∈     5 6 π ,π ，所以 α+2β∈     5 3 π ,2π ，所以 α+2β ＝ 74 π . 18. 解：（1）f（x）＝ 3 sin 2x+2acos2x-a ＝ 3 sin 2x+acos 2x. 由f      π 2 ＝ -1，可得f      π 2 ＝ 3 sin π+acos π＝ -1， 即 3 ×0+a×（-1）＝ -1，解得 a ＝ 1， 所以 f（x）＝ 3 sin 2x+cos 2x ＝2 sin 2 cos 2      2 2 3 x x+ 1 ＝ 2sin      2x + π6 . 又由 x∈     0, π2 ，可得 2x+ π 6∈      π π 6 6, 7 . 当 2x+ π6＝ π 2，即 x ＝ π 6时，函数 f（x）取得最大值，最大值为f      π 6 ＝ 2sin π 2＝ 2. （2）由题意，设平移后得到的新图象的函数解析式为 g（x）＝ 2sin     2( )x + +ϕ π6 ＝ 2sin      2 2x + +ϕ π6 . 因为 g（x）的图象关于原点对称，所以 g（x）为奇函数，所以 2φ+ π6＝ kπ，k∈ Z. 因为 |φ| ≤ π2，当 k ＝ 0 时，φ ＝ - 12 π ；当 k ＝ 1 时，φ ＝12 5π， 所以 φ 的所有可能的取值为 - 12 π 或12 5π . 19. 解：（1）因为三角形 ABC 为直角三角形，∠ CAB ＝ θ，所以∠ ABC ＝∠ PCB ＝ π2 -θ. 在直角三角形 ABC 中，因为 AB ＝ 10，所以 CA ＝ 10cos θ，BC ＝ 10sin θ. 因为点 P 为半圆上异于 B，C 的一点，所以∠ CPB ＝ π2 . 又因为∠ ABC ＝∠ PCB，所以∠ PBC ＝ θ. 所以 CP ＝ BC·sin θ ＝ 10sin2θ，CA+CP ＝ 10cos θ+10sin2θ ＝ 10cos θ+10（1-cos2θ）＝ - 10 cos     θ − 12 2 + 252 . 因为 θ∈     0, π2 ，所以当 cos θ ＝ 1 2，即 θ ＝ π 3时，CA+CP 达到最大值 . （2）在直角三角形 ABC 中，因为 S △ ABC ＝ 1 2 CA·CB ＝ 1 2 AB·CH， 所以 CH ＝CA CBAB  ＝ 10cos 10sinθ θ 10  ＝ 10sin θcos θ. 因为∠ CAB ＝ θ，所以∠ CBA ＝ π2 -θ. 9 第五章培优把关卷 一、 选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 已知扇形的面积是38 π，半径是 1，则扇形的周长是（　） A. 16 3π +1 B. 38 π +2 C. 34 π +2 D. 32 π +1 2. 已知 cos 31°＝ a，则 sin 239°·tan 149°的值为（　） A. 1−a a2 B. 1− a2 C. a 2 a −1 D. - 1− a2 3. 下列函数中，以 π2为最小正周期的偶函数是（　） A. y ＝ sin 2x+cos 2x B. y ＝ sin 2xcos 2x C. y ＝cos 4     x + π2 D. y ＝ sin 22x-cos22x 4. 为了得到函数 y ＝ 2sin 3x 的图象，只要把函数 y ＝ 2sin      3x + π5 图 象上所有的点（　） A. 向左平移 π5个单位长度 B. 向右平移 π5个单位长度 C. 向左平移15 π 个单位长度 D. 向右平移15 π 个单位长度 5. 设 θ∈ R，则“0<θ< π3”是“ 3 sin θ+cos 2θ>1”的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设 α∈     0, π2 ，β∈      0, π2 ，且 tan α+tan β ＝ cos 1 β ，则（　） A. 2α+β ＝ π2 B. 2α-β ＝ π 2 C. 2β-α ＝ π2 D. 2β+α ＝ π 2 7. 已知函数 f（x）＝ 4sin 2      π 2 + x +4sin x，f（x）在区间［0，a］上的值域 为［4，5］，则实数 a 的取值范围为（　） A.     π π 6 2, B.      π π 6 6, 5 C.     π 6 ,π D.      5 6 π ,π 8. 函数 y ＝1− 1 x 的图象与函数 y ＝ 2sin πx（-2 ≤ x ≤ 4）的图象所有 交点的横坐标之和等于（　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 二、 选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部 分分，有选错的得 0 分。） 9. 方程 3 sin 2x+cos 2x ＝ 2 在区间［0，2π］上有解，则解可能为（　） A. π6 B. 2 3 π C. 76 π D. 53 π 10. 已知函数 f（x）＝ Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，0<φ<π）在一个周期内的 图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为12 π ，12 7π， 图象与 y 轴的交点的纵坐标为 3，则下列结论正确的有（　） A. f（x）的最小正周期为 2π B. f（x）的最大值为 2 C. f（x）在区间    − 12 12 5π π, 上单调递增 D. f x     + π6 为偶函数 11. 定义 1-cos θ 为角 θ 的正矢，记作 versin θ ；定义 1-sin θ 为角 θ 的 余矢，记作 coversin θ. 定义 λ ＝ sin ( ) sin ( ) sin ( ) 2 2 2θ θ θ θ θ θ1 0 2 0 0− + − + + − n  n 为一组数据 θ1，θ2，…，θn 相对于常数 θ0 的“正弦方差”. 若 θ∈      0, π2 ，一组数 据 0，π3相对于 θ 的“正弦方差”为 λ0，则 y ＝ 1+ 3 - 3 versin （λ0π） -coversin （λ0π）的取值可能是（　） A. - 2 B. 2 C. 3 D. 2 6+2 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12. 函数 f（x）＝ sin x+ 3 cos x 在区间    0, π2 上的最小值为　　　　. 13. 函数 f（x）＝ sin（ωx+φ）（ω>0，φ∈［0， 2π））的部分图象如图所示，则 f（2 024） ＝　　　　. 14. 已知函数 f（x）＝ 3 sin      ωx + π3 +m（ω>0），且该函数图象的 对称轴与对称中心的最小距离为 π6，则可得 ω ＝　　　　 ；若 当 x ∈     0, π6 时，f（x）的最大值为 - 3，则该函数的解析式 为　　　　　　　　. 四、 解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。） 15.（13 分）已 知 - π2 <α<0，且 函 数 f（α）＝ cos      3 2 π +α -sin α· 1 cos 1 cos + − α α -1. （1）化简 f（α）； （2）若 f（α）＝15，求 sin αcos α 和 sin α-cos α 的值 . 16.（15 分）已知函数 f（x）＝ 2sin      2x − π6 ，x∈ R. （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）当 x∈    π π 6 12, 5 时，求 f（x）的最大值和最小值 . 密 封 线 10 17.（15 分）已知 2sin α ＝ 2sin2α2 -1. （1）求 sin αcos α+cos 2α 的值； （2）已知 α∈（0，π），β∈    0, π2 ，且 tan 2β-6tan β ＝ 1，求 α+2β 的值 . 18.（17 分）已知函数 f（x）＝ 3 sin 2x+2acos 2x-a（a>0），f      π 2 ＝ -1. （1）当 x∈     0, π2 时，求 f（x）的最大值及相应的 x 值； （2）将 f（x）的图象向左平移 φ 个单位长度得到的新图象关于原点 对称，|φ| ≤ π2，求 φ 的所有可能取值 . 19.（17 分）高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的 平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形 ABC 和以 BC 为直径 的半圆拼接而成，点 P（异于 B，C）为半圆上一点，点 H 在线段 AB 上，且满足 CH ⊥ AB. 已知∠ ACB ＝ 90°，AB ＝ 10，设∠ CAB ＝ θ. （1）为了使工艺品达到最佳观赏效果，需满足∠ ABC ＝∠ PCB，且 CA+CP的值达到最大 .求当θ为何值时，工艺品达到最佳观赏效果 . （2）为了使工艺品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠ PBA ＝ 60°， 且 CH+CP 的值达到最大 . 当 θ 为何值时，CH+CP 取得最大值，并 求出该最大值 .