第3章 函数的概念与性质培优把关卷-【把关卷】2025-2026学年高一数学必修第一册单元培优把关卷（人教A版2019）

15 第三章培优把关卷 1.B 2.C 3.B 4.A 5.A 6.A 7.C 8.C 9.AD 10.AC 11.BCD 12.（-1， 2 1− ） 13.-26 14.（1，-2）　-8 086 1. B　解析：依题意，得    x x2 ≥ − ≠ 0, 4 0, 解得 x ≥ 0 且 x ≠ 2，所以 f（x）的定义域为［0，2）∪（2，+ ∞）. 2. C　解析：易知 f（t）＝ -t2+24t-101 的图象的对称轴为直线 t ＝ 12， 所以 f（t）在［4，12］上单调递增，在［12，18］上单调递减，所以 f（t）max ＝ f（12）＝ 43，f（t）min ＝ f（4）＝ -21， 所以该沙漠地区在该时段的最大温差是 43-（-21）＝ 64（℃）. 3. B　解析：对于 A，二次函数的图象开口向下，所以 a<0，此时 g（x）＝ xa 的图象可能与图中一致； 对于 B，二次函数的图象开口向上，所以 a>0，此时 g（x）＝ xa 在（0，+ ∞）上为增函数，不符合； 对于 C，二次函数的图象开口向上，所以 a>0，此时 g（x）＝ xa 在（0，+ ∞）上为增函数，可能与图中一致； 对于 D，二次函数的图象开口向上，所以 a>0，此时 g（x）＝ xa 在（0，+ ∞）上为增函数，可能与图中一致 . 4. A　解析：由 f（f（x））≥ 0 可得 f（x）＝ -2 或 f（x）＝ -1 或 f（x）＝ 0， 解得 x ＝ 2 或 x ＝ 1 或 x ＝ 0，所以解集为 {1，2，0}. 5. A　解析：因为函数 f（x+1）为偶函数，所以 y ＝ f（x+1）的图象关于直线 x ＝ 0 对称 . 因为将 y ＝ f（x+1）的图象向右平移 1 个单位长度得到 y ＝ f（x）的图象， 所以 y ＝ f（x）的图象关于直线 x ＝ 1 对称 . 又因为 f（x）在区间［1，+ ∞）上单调递增， 所以 f（x）在区间（- ∞，1］上单调递减，所以 f（x）的函数值越大，相应自变量的值与 1 的差的绝对值越大； f（x）的函数值越小，相应自变量的值与 1 的差的绝对值越小 . 所以不等式 f（2x-1）>f（3x）等价于 |2x-2|>|3x-1|， 16 两边平方，得（2x-2）2>（3x-1）2，所以（5x-3）（x+1）<0， 解得 -1<x< 5 3，即不等式的解集为     −1, 5 3 . 6. A　解析：由对任意 x1，x2∈ R，x1 ≠ x2，都有 f x f x( ) ( ) x x 1 2 1 2 − − <0，可知 f（x）在 R 上单调递减 . 当 a ＝ 0 时，f（x）＝   3 1, 1, − ≥ x x 2 , 1,x x − < 因为函数 y ＝ 3x-1 不是减函数，所以不满足题意 . 当 a>0 时，二次函数 y ＝ ax2-2x-a 的图象开口向上，显然在 x ≥ 1 时不单调递减，故不满足题意 . 故        a a a a a 1 a + < + − ≥ − − < ≤ 3 0, 3 1 2 , 0, 1, 解得 -4 ≤ a<-3. 7. C　解析：由题意可得，h（x）＝ min{f（x），g（x）} ＝   g x f x g x f x f x g x ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), > ≤ 令 2-x2 ≤ x2，解得 x ≥ 1 或 x ≤ -1 ；令 2-x2>x2，解得 -1<x<1. 所以 h（x）＝    2 ,2 , x x x2 2 2 − − ≤ ,2 , x x x2 2 2 − > 即 h（x）＝    2 , ( , 1] [1, ), x x2 − ∈ − − + , ( 1,1). x x ∈ − 2 ∞ ∪ ∞ 作出函数 h（x）的大致图象如图 . 对于 A，由图象可知 h（x）为偶函数，故 A 错误 . 对于 B，由图象可知 h（x）在区间（- ∞，-1］，［0，1］上单调递增，但 h（-1）＝ 2-（-1）2 ＝ 1>h（0）＝ 0， 所以 h（x）在区间（- ∞，-1］∪［0，1］上不单调递增，故 B 错误 . 对于 C，由图象可知，函数 h（x）的图象与 x 轴有三个交点，故 C 正确 . 对于 D，由图象可知，当 x ＝ ±1 时，函数 h（x）的最大值为 1，故 D 错误 . 8. C　解析：因为 x1<x2，所以 x1-x2<0， 所以由 f x f x( ) ( ) x x 1 2 1 2 − − >-1，得 f（x1）-f（x2）<x2-x1，即 f（x1）+x1<f（x2）+x2. 令 g（x）＝ f（x）+x，则 g（x）是 R 上的增函数 . 不等式 f（-x2-ax+a+1）≤ x2+ax+1-a 可化为 f（-x2-ax+a+1）+（-x2-ax+a+1）≤ 2. 因为 f（2）＝ 0，所以 g（-x2-ax+a+1）≤ g（2）， 所以 -x2-ax+a+1 ≤ 2 对任意 a∈［-1，1］恒成立， 即（1-x）a-x2-1 ≤ 0 对 a∈［-1，1］恒成立， 所以   1 1 0, x x − − − ≤ − − − ≤ x x 1 1 0,2 2 解得 x ≤ -1 或 x ≥ 0. 9. AD　解析：对于 A，命题“ x，y∈ R，x2+y2 ≥ 0”的否定是“ x，y∈ R，x2+y2<0”，故 A 正确； 对于 B，函数 f（x）＝ x-1 的定义域为 R，函数 g（x）＝ xx 2 + − 1 1的定义域为（- ∞，-1）∪（-1，+ ∞），两个函数的定义域 不一样，所以两个函数不是同一个函数，故 B 错误； 对于 C，函数 y ＝ x+ x −1的定义域为［1，+ ∞），函数 y ＝ x+ x −1＝（ x −1）2+ x −1 +1， 令 t ＝ x −1，则 t ≥ 0，y ＝ t2+t+1 ＝     t + 12 2 + 34≥ 1， 所以函数 y ＝ x+ x −1的值域为［1，+ ∞），故 C 错误； 对于 D，若函数 f（x+1）的定义域为［1，4］，可得 2 ≤ x+1 ≤ 5，则函数 f（x）的定义域为［2，5］，故 D 正确 . 10. AC　解析：因为函数 f（x），x∈（- ∞，0）∪（0，+ ∞），对于任意的 x，y∈（- ∞，0）∪（0，+ ∞），f （xy）＝ f （x）+f （y）， 令 x ＝ y ＝ 1，得 f（1）＝ f（1）+ f（1），故 f（1）＝ 0 ； 令 x ＝ y ＝ -1，得 f（1）＝ f（-1）+f（-1），故 f（-1）＝ 0. 所以 f（x）的图象过点（1，0）和点（-1，0），故 A 正确 . 令 y ＝ -1，得 f（-x）＝ f（x）+ f（-1），即 f（-x）＝ f（x）， 又因为函数 f （x）的定义域关于原点对称，所以 f（x）为偶函数，故 B 错误 . 令 y ＝ - 1x，得 f （-1）＝ f （x）+ f      − 1x ＝ 0，故f      − 1x ＝ - f （x）. 当 x>1 时，- 1x∈（-1，0），若 f（x）>0，则 f      − 1x <0，即当 -1<x<0 时，f（x）<0，故 C 正确 . 令 y ＝ 1x，则 f（1）＝ f（x） + f      1 x ＝ 0，则f      1 x ＝ -f（x）. 当 0<x<1 时，1x∈（1，+ ∞）. 若 f（x）<0，则f      1 x >0，即当 x>1 时，f （x）>0. 因为 f（x）是偶函数，所以当 x<-1 时，f （x）>0，所以 f （x）>0 的解集为（- ∞，-1）∪（1，+ ∞），故 D 错误 . 11. BCD　解析：对于 A，f      1 x ＝ 1− a        1 1 x x 2 ＝ x2 ax −1 ≠ f（x），故 A 错误； 对于 B，f（x）＝ 1− ax x2 的定义域为 {x|x ≠ ±1}，关于原点对称， 且 f（-x）＝ 1 ( )− − −ax x 2 ＝ -f（x），故对任意实数 a，函数 f（x）为奇函数，故 B 正确； 对于 C，当 a ＝ 0 时，f（x）＝ 0，x ≠ ±1，此时 f（x）为偶函数，故存在实数 a，使得 f（x）为偶函数，故 C 正确； 对于 D，f（x）＝ 1− ax x2 ＝ 1 x a − x ， 因为当 x∈（0，1）时，y ＝ 1x -x>0，且单调递减， 所以当 a>0 时，f（x）＝ 1− ax x2 ＝ 1 x a − x 在（0，1）上单调递增，故 D 正确 . 12. （-1， 2 -1）　解析：由题意可得   1 0 2 0, − > x x < 2 或      1 0, 1 2 , 2 0, − ≥ − > x x x x ≥ 2 2 解得 -1<x<0 或 0 ≤ x< 2 -1. 综上所述，实数 x 的取值范围为（-1， 2 -1）. 13. -26　解析：令 g（x）＝ f（x）+8 ＝ x3+x+ ax，则 g（x）为奇函数 . 由题意，知 g（x）在区间［m，n］上的最大值为 18， 由奇函数的性质，可知 g（x）在区间［-n，-m］上的最小值为 -18， 故 f（x）在区间［-n，-m］上的最小值为 -26. 14.（1，-2）　-8 086　解析：由题设，令 g（x）＝ f（x+1）+2 ＝（x+1）3-3（x+1）2+2 ＝ x3-3x， 则 g（-x）＝ -x3+3x ＝ -g（x），故 g（x）为奇函数， 所以 f（x）的图象关于点（1，-2）成中心对称，所以 f（2-x）+f（x）＝ -4， 所以 f（-2 020）+f（-2 019）+…+f（2 021）+f（2 022） ＝［f（-2 020）+f（2 022）］+［f（-2 019）+f（2 021）］+…+［f（0）+f（2）］+f（1） ＝ -4×2 021-2 ＝ -8 086. 15. （1）证明：设 0<x1<x2，则 x1-x2<0，x1x2>0，f（x1）-f（x2）＝       1 1 a x− 1 -      1 1 a x− 2 ＝ x 1 2 - x 1 1 ＝ x x1 2 x x1 2 − <0， 所以 f（x1）<f（x2），所以 f（x）在（0，+ ∞）上单调递增 . （2）解：因为 f（x）在（0，+ ∞）上单调递增，所以 f（x）在    1 2 ,2 上单调递增 . 因为 f（x）在    1 2 ,2 上的值域是    1 2 ,2 ， 所以f      1 2 ＝ 12，f（2）＝ 2，故 a ＝ 5 2 . 16. 解：（1）因为幂函数 f（x）＝（m2-2m-2）xm m 2− +4 2在（0，+ ∞）上单调递减， 所以    m m m m 2 2 − − = − + < 2 2 1, 4 2 0, 解得 m ＝ 3，所以 f（x）＝ x-1. （2）存在 . 由（1）可得 f（x）＝ x-1，所以 g（x）＝（2a-1）x-ax+1 ＝（a-1）x+1. 假设存在 a>0，使得 g（x）在（0，2］上的值域为（1，11］， ①当 0<a<1 时，a-1<0，g（x）在（0，2］上单调递减，g（x）<1，不符合题意； ②当 a ＝ 1 时，g（x）＝ 1，显然不符合题意； ③当 a>1 时，a-1>0，g（x）在（0，2］上单调递增，g（x）>1， 17 故 g（2）＝ 2（a-1）+1 ＝ 11，解得 a ＝ 6. 综上所述，存在 a ＝ 6 使得 g（x）在（0，2］上的值域为（1，11］. 17. 解：（1）因为不等式 f（x）≤ m2+2m-2 对于一切实数 x 均成立， 所以 -x2+2mx+1-m2 ≤ m2+2m-2，即 -x2+2mx-2m2-2m+3 ≤ 0 对于一切实数 x 均成立， 所以 Δ ≤ 0，即（2m）2-4×（-1）×（-2m2-2m+3）≤ 0，所以 -m2-2m+3 ≤ 0，解得 m ≤ -3 或 m ≥ 1， 所以 m 的取值范围为（- ∞，-3］∪［1，+ ∞）. （2）f（x）＝ -x2+2mx+1-m2 图象的对称轴为直线 x ＝ m. ①当 m ≤ 1 时，f（x）在［1，3］上单调递减，所以 f（x）max ＝ f（1）＝ -m 2+2m. 又因为当 x∈［1，3］时，函数 f（x）的最大值为 -8， 所以 -m2+2m ＝ -8，解得 m ＝ 4（舍去）或 m ＝ -2，所以 m ＝ -2. ②当 1<m<3 时，f（x）在（1，m）上单调递增，在（m，3）上单调递减， 所以 f（x）max ＝ f（m）＝ -m 2+2m2+1-m2 ＝ 1，显然不符合题意 . ③当 m ≥ 3 时，f（x）在［1，3］上单调递增，所以 f（x）max ＝ f（3）＝ -9+6m+1-m 2 ＝ -m2+6m-8. 又因为当 x∈［1，3］时，函数 f（x）的最大值为 -8， 所以 -m2+6m-8 ＝ -8，解得 m ＝ 6 或 m ＝ 0（舍去），所以 m ＝ 6. 综上所述，m ＝ -2 或 m ＝ 6. 18. 解：（1）根据题意得，当 0 ≤ x ≤ 14 时，g（x）＝ 16x-f（x）-30 ＝ - 23 x 2+12x-30 ； 当 14<x ≤ 35 时，g（x）＝ 16x-f（x）-30 ＝ 50-x- 400x . 故 g（x）＝      50 ,14 35. − + − ≤ ≤23 − − < ≤ x x x x x 2 12 30,0 14, 400 x （2）当 0 ≤ x ≤ 14 时，g（x）＝ - 23 x 2+12x-30， 当 0 ≤ x ≤ 9 时，g（x）单调递增，当 9<x ≤ 14 时，g（x）单调递减， 此时 g（x）max ＝ g（9）＝ - 2 3 ×81+12×9-30 ＝ 24. 当 14<x ≤ 35 时，g（x）＝ 50-x- 400x ≤ 50- 2 x 400 x ＝ 10，当且仅当 x ＝ 20 时，等号成立 . 因为 24>10，所以当 x ＝ 9 时，g（x）取得最大值 24. 所以，为使公司获得的年利润最大，每年应生产 9 万件该芯片 . 19. 解：（1）因为 a ＝ 0，所以 f（x）＝bx cx d+ + ＝ b+ c bdx d − + . 因为函数 y ＝ kx（x ≠ 0）的图象关于点（0，0）对称，b>0，d>0， 所以 f （x）＝ b+ c bdx d − + 的图象可看作是由 g（x）＝ c bd−x 的图象先向左平移 d 个单位长度，再向上平移 b 个单位长 度得到的，因此 f（x）的图象的对称中心是点（-d，b）. 又因为函数 f （x）的图象的对称中心是点（-1，3），所以 b ＝ 3，d ＝ 1. （2）由（1）知 f（x）＝ 3+ cx − + 3 1 . 依题意知对任意 x0∈［3，10］，恒有 f（x0）∈［3，10］. ①当 c ＝ 3 时，f（x）＝ 3，符合题意 . ②当 c<3 时，对任意 x0∈［3，10］，恒有 f（x0）＝ 3+ x c 0 − + 3 1 <3，不符合题意 . ③当 c>3 时，函数 f（x）＝ 3+ cx − + 3 1在［3，10］上单调递减，且满足 f（x）>3. 因此，当且仅当 f（3）≤ 10，即 3<c ≤ 31 时符合题意 . 综上，实数 c 的取值范围是［3，31］. （3）根据题意得      f x f x f f ( ) ( ) 0, (1) 0, ( 2) ,− = − = + − = 3 2 解得      c a d = − = = 1, 0. 1,于是 f（x）＝ x- 1x . 由      m x f mx mf x( ) ( ) 0, ≥ < 1, 0, + < 得      2 0, m x mx ≥ < 1, 0, − − <mx x 1 m 所以（2x2-1）m2>1. 因为 x ≥ 1，所以 2x2-1 ≥ 1，所以 m2> 2 1x 1 2 − . 因为 m<0，所以 m<- 2 1x 1 2 − ，所以 m<        − 2 1x 1 2 − min . 因为函数 y ＝ - 2 1x 1 2 − （x ≥ 1）在［1，+ ∞）上是增函数，所以 ymin ＝ -1. 所以负实数 m 的取值范围是（- ∞，-1）. 5 第三章培优把关卷 一、 选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 函数 y ＝ x2 − x 4 的定义域是（　） A.［0，2） B.［0，2）∪（2，+ ∞） C.（-2，0］ D.（- ∞，-2）∪（-2，0］ 2. 某沙漠地区的某时段气温（℃）与时间 t （h）之间的函数关系是 f （t） ＝ -t2+24t-101（4 ≤ t ≤ 18），则该沙漠地区在该时段的最大温差 是（　） A. 54 ℃ B. 58 ℃ C. 64 ℃ D. 68 ℃ 3. 函数 f（x）＝ ax2+2x+1 与 g（x）＝ xa 在同一平面直角坐标系中的图 象不可能为（　） A B C D 4. 设已知函数 f（x）如下表所示： x -2 -1 0 1 2 f（x） 2 1 0 -1 -2 则不等式 f（f（x））≥ 0 的解集为（　） A.{1，2，0} B.{-1，-2，0} C.{1，2} D.{-1，-2} 5. 已知函数 f （x+1）为偶函数，f （x）在区间［1，+ ∞）上单调递增，则不 等式 f（2x-1）>f（3x）的解集是（　） A.      −1，5 3 B. （- ∞，-1）∪    5 3 ,+∞ C. （- ∞，-1）∪     1 5 ,+∞ D.      −1, 15 6. 已知函数 f（x）＝   ( 3) 1, 1 ax x a x a x x 2 + − < − − ≥2 , 1, 对任意 x1，x2∈ R，x1 ≠ x2，都有 f x f x( ) ( ) x x 1 2 1 2 − − <0，则实数 a 的取值范围是（　） A.［-4，-3） B.（- ∞，-3） C.［-4，0） D.（-4，0） 7. 对任意两个实数 a，b，定义 min{a，b}＝   b a b a a b , , , , > ≤ 若 f（x）＝ 2-x2，g（x） ＝ x2，则下列关于函数 h（x）＝min{f（x），g（x）}的说法正确的是（　） A. 函数 h（x）是奇函数 B. 函数 h（x）在区间（- ∞，-1］∪［0，1］上单调递增 C. 函数 h（x）的图象与 x 轴有三个交点 D. 函数 h（x）的最大值为 2 8. 已知函数 f（x）的定义域为 R，对任意 x1<x2，有 f x f x( ) ( ) x x 1 2 1 2 − − >-1，且 f（2）＝ 0. 若 f（-x2-ax+a+1）≤ x2+ax+1-a 对任意 a∈［-1，1］恒成立， 则 x 的取值范围为（　） A. （- ∞，2 2 -2］ B. （- ∞，-1］ C. （- ∞，-1］∪［0，+ ∞） D. ［0，+ ∞） 二、 选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部 分分，有选错的得 0 分。） 9. 下列说法中正确的有（　） A. 命题“ x，y∈ R，x2+y2 ≥ 0”的否定是“ x，y∈ R，x2+y2<0” B. f（x）＝ x-1 与 g（x）＝ xx 2 + − 1 1是同一个函数 C. 函数 y ＝ x+ x −1的值域为［0，+ ∞） D. 若函数 f（x+1）的定义域为［1，4］，则函数 f（x）的定义域为［2，5］ 10. 已知函数 f（x），x∈（- ∞，0）∪（0，+ ∞），对于任意的 x，y∈（- ∞， 0）∪（0，+ ∞），f （xy）＝ f（x）+ f（y），则（　） A. f（x）的图象过点（1，0）和点（-1，0） B. f（x）为奇函数 C. 若当 x>1 时，有 f （x）>0，则当 -1<x<0 时，有 f（x）<0 D. 若当 0<x<1 时，有 f（x）<0，则 f（x）>0 的解集为（1，+ ∞） 11. 已知函数 f（x）＝ 1− ax x2 ，则（　） A. f      1 x ＝ f（x） B. 对任意实数 a，函数 f（x）为奇函数 C. 存在实数 a，使得 f（x）为偶函数 D. 当 a>0 时，f（x）在区间（0，1）上单调递增 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12. 已知函数 f（x）＝   1, 0, x x2 x + ≥ < 1, 0, 则满足不等式 f（1-x2）>f（2x）的实数 x 的取值范围是　　　　. 13. 若函数 f（x）＝ x3+x+ ax - 8（a∈ R）在区间［m，n］上的最大值为 10，则函数 f（x）在区间［-n，-m］上的最小值为　　　　. 14. 函数 y ＝ f（x）的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数 y ＝ f（x）为奇函数，将其推广：函数 y ＝ f（x）的图象关于点 P（a， b）成中心对称的充要条件是函数 y ＝ f（x+a）-b 为奇函数 . 由此可 知，函数 f（x）＝ x3-3x2 图象的对称中心为点　　　　，f（-2 020）+ f（-2 019）+…+f（2 021）+f（2 022）的值为　　　　. 四、 解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。） 15.（13 分）已知函数 f（x）＝ 1a - 1 x（a>0，x>0）. （1）求证：f（x）在（0，+ ∞）上单调递增（用定义证明）. （2）若 f（x）在    1 2 ,2 上的值域是    1 2 ,2 ，求 a 的值 . 16.（15 分）已知幂函数 f（x）＝（m2-2m-2）xm m 2− +4 2在（0，+ ∞）上单调 递减 . （1）求 m 的值并写出 f（x）的解析式 . （2）是否存在 a>0，使得函数 g（x）＝（2a-1）x- f x a ( ) +1 在（0，2］上的 值域为（1，11］？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由 . 密 封 线 6 17.（15 分）已知函数 f（x）＝ -x2+2mx+1-m2，其中 m∈ R. （1）若不等式 f（x）≤ m2+2m-2 对于一切实数 x 均成立，求实数 m 的取值范围； （2）当 x∈［1，3］时，若函数 f（x）的最大值为 -8，求实数 m 的值 . 18.（17 分）某公司生产一类电子芯片，该芯片的年产量不超过 35 万件，每万件电子芯片的计划售价为 16 万元 . 已知生产此类 电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两部分，其中固定成本 为 30 万元 / 年，设每生产 x 万件电子芯片需要投入的流动成本为 f（x）（万元），当年产量不超过 14 万件时，f（x）＝ 23 x 2+4x ；当年产 量超过 14 万件时，f（x）＝ 17x+ 400x -80. 假设该公司每年生产的 芯片都能够被销售完 . （1）写出年利润 g（x）（万元）关于年产量 x（万件）的函数解析式； （2）为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ （注：年利润＝年销售收入 - 固定成本 - 流动成本） 19.（17 分）已知函数 f（x）＝ ax bx c 2 x d + + + （其中 a，b，c，d 是实数常数， x ≠ -d）. （1）若 a ＝ 0，b>0，d>0，函数 f（x） 的图象关于点（-1，3）成中心对称， 求 b，d 的值； （2）若函数 f（x）满足（1）中的条件，且对任意 x0∈［3，10］，总有 f（x0） ∈［3，10］，求 c 的取值范围； （3）若 b ＝ 0，函数 f（x）是奇函数，f（1）＝ 0，f（-2）＝ - 32，且对任 意 x∈［1，+ ∞），不等式 f（mx）+mf（x）<0 恒成立，求负实数 m 的 取值范围 .