(九下)第28章 锐角三角函数-【真题圈】2025-2026学年九年级全一册数学重难题型练（人教版）

真题圈数学九年级R」2N 第二十八章锐角三角函数 专题一特殊角的三角函数计算 1.(期末·济南槐荫区)已知∠α为锐角，且 6.(期末·西安高新一中)计算： osa=号，则∠a的度数为( (1)2sin30°-3tan45°+cos60° (2)sin245°+cos30°·tan60°+√3sin60°. A.30 B.45 C.60° D.75 2.下列三角函数的值是1的是() A.sin 45 B.tan30° C.cos 45 D.tan 45 3.(期末·沈阳皇姑区)如图， C 以O为圆心，适当长为半径 画弧，与射线OA交于点B, 再以B为圆心，BO长为半 BA 径画弧，两弧交于点C,画射 第3题图 线OC,则sin∠AOC的值 为() A吉 R号 c号 9 7.计算： (1)2cos30°+4sin60°3tan30-an45 tan 60 4.在△ABC中，若∠A,∠B满足cosA- 9 (2)2sin60°+ 2 +(1-tanB)2=0,则∠C= tan45°-tan60° 5.计算：(1)（期末·合肥瑶海区）tan45°+ √/(sin45-1)2. sin60°tan60°-sin230. (2)(期末·西安碑林区)√2sin45° 2cos30°+√(1-tan60)2. 42 重难题型练 专题二解几何图形 类型1解直角三角形 6.(期末·合肥包河区) 1.(月考·重庆巴蜀中学)在Rt△ABC中，∠C 《九章算术》是我国古 =90°，AC=4,AB=5,则tanA的值 代数学成就的杰出代 B 是() 表，其中《方田章》给 A号 B c D.3 出计算弧田面积所用 第6题图 2.(期末·哈尔滨道外区)如图，在△ABC中， 公式为弧田面积=（弦×失十矢），弧田是 ∠C=90°，下列结论正确的是() 由圆弧和其所对的弦围成的，公式中“弦”指 A.AC=BC·tan A B.AB=AC·cosA 圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心O C.BC=AB·sinB D.AC=BC·tanB 到弦的距离之差.在如图所示的弧田中， “弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB=() A号 B岩 c号 n号 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是 第2题图 第3题图 ∠A,∠B,∠C的对边.若a=√5，b=√15， 3.数学文化（期末·长春宽城区）我国古代数 试解这个直角三角形 学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦 图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角 形与中间的一个小正方形拼成的一个大正 方形.若大正方形面积为25，小正方形面积 为l,则tana的值为( A是 B号 c D号 4.(模考·华南师大附中一模)如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=4,AB=5,将△ABC 清品图书 绕点B顺时针旋转得到△A'BC',使点A'恰 好落在BC的延长线上，则tan∠A'AC的值 为() A C.5 类型2构造直角三角形 8.(期末·沈阳和平区)如图 所示，在正方形网格中，每 第4题图 第5题图 个小正方形的边长为1，顶 5.(期末·西工大附中)如图，在菱形ABCD 点为格点，若△ABC的顶 中，连接AC,BD,若sinABD=号，且AC 点均是格点，则sinB的值 为( 第8题图 =4,则菱形ABCD的面积为() A.413B.813C.45 D.85 A. B⑤ c把 n号 43 真题圈数学九年级2N 9.(月考·清华附中)如图，在△ABC中，点O 12.(月考·清华附中)如图，在△ABC中， 是角平分线AD,BE的交点，若AB=AC= 10,BC=12,则tan∠OBD的值是() ∠ACB=45,AC=22,anB=2 (1)求BC的长. A.2 B.2 3 D. A (2)延长BC至点E,使CE=2BC,连接 AE,直接写出tan∠CAE的值. D D 第9题图 第10题图 第12题图 10.(期末·青岛市北区)如图，在边长相同的 小正方形组成的网格中，点A,B,C,D都在 这些小正方形的顶点上，AB,CD相交于点 P,则cos∠APD的值是( A.0.5 B写 C.2 D.25 11.(期末·上海徐江区)如图，已知在△ABC 中，CD⊥AB,垂足为点D,AD=2,BD=6, tanB=号，点E是边BC的中点 (1)求边AC的长， (2)求∠EAB的正弦值， D 第11题图 44 重难题型练 专题三 实际应用 类型1方向角 类型2仰角、俯角 1.如图，点A到点C 3.(月考·广东实验中学)如图，从楼顶A处看 的距离为100m, 楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D 要测量河对岸点 处的俯角为60°，已知楼高AB为30m,则荷 B到河岸AD的 塘的宽CD为 m.(结果保留根号) 距离.小明在点A 45升 测得点B在北偏 60 第1题图 东60°的方向上，在点C测得点B在北偏东 30°的方向上，则点B到河岸AD的距离为 ()(点A,B,C,D在同一水平面上) B D A.100m B.50m 第3题图 C.2003 4.传统文化舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮 D.503 m 3 是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也 2.(模考·深圳南山区一模)如图，某天然气公 被广泛应用于各种庆典活动（如图①所示）. 司的主输气管道途经A小区，继续沿A小 在舞狮表演中，梅花桩AB,CD,EF垂直于 区的北偏东60°方向往前铺设，测绘员在A 地面，且B,D,F在同一直线上（如图②所 处测得另一个需要安装天然气的M小区位 示).如果在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E 于北偏东30°方向，测绘员从A小区出发，沿 的仰角分别为35°和47°，且桩AB与桩EF 主输气管道步行到达C处，此时测得M小 的高度差为1m,两桩的距离BF为2m, 区位于北偏西60°方向. (1)舞狮人从A跳跃到C,随后再跳跃至E, (1)求∠AMC与∠ACM的度数； 所成的角∠ACE= (2)现要在主输气管道AC上选择一个支管 (2)求桩AB与桩CD的距离BD的长.（结 道连接点N,使从N处到M小区铺设的管 果精确到0.01m,sin35°≈0.57，cos35°≈ 道最短，且AC=2000m,求A小区与支管 0.82,tan35°≈0.70，sin47°≈0.73，cos47 道连接点N的距离。 ≈0.68，tan47°≈1.07) 西A 东 第2题图 ① 第4题图 真题圈数学九年级R则2N 类型3坡度、坡角 类型4其他 5.(月考·西安高新一中)某商场准备改善原 7.如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度 有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°， AB为60cm,桌面平放时高度DE为 已知原楼梯长为5m,则调整后的楼梯大约 70cm,若书写时桌面适宜倾斜角（∠ABC) 会加长 m.（参考数据：sin37°≈ 的度数为α，则桌沿（点A)处到地面的高度h 为( ) cos37r≈号tam37r) 6.(模考·广州海珠区一模)如图，某地为了让 山顶通电，需要从山脚点B开始接驳电线， 经过中转站D,再连通到山顶A处，测得山 顶的高度AC为300m,从山脚B到山顶A 的水平距离BC是500m,斜坡BD的坡度 i=1:2(指DF与BF的比)，从点D测得点 D A的仰角为45°. 第7题图 (1)斜坡AD的坡度i= A.(60sin a+70)cm B.(60cos a++70)cm (2)求AD与BD的长度和（结果保留 C.(60tan a+70)cm D.130 cm 根号). 8.(期末·大连沙河口区)太空漫步机是小区 里常见的健身器材.双手握住扶手，两脚踩 在踏板上，前后摆动双腿，就会带动踏板连 杆绕轴旋转.如图①，静止时踏板连杆AB 与立柱DE看作共线，BE长为O.2m.图② 为运动时漫步机的示意图，当AB绕着点A 第6题图 旋转到AC时，测得∠CAB=37°，此时点C 距离地面的高度CF为0.45m.求BC的长 度（精确到0.1m,参考数据：π≈3，sin37°≈ 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75). D B ① ② 第8题图答案与解析 :MQ=√/MN+QN=√+(4-x)=√/2(x-2)+8, ∴.当x=2时，MQ有最小值是2W2. 专题三实际应用 1.A【解析】由题意得，AB■1.5m,BE=0.3m,∠AEB ∠CED.'AB⊥BD,DC⊥BD,∴.∠ABE=∠CDE-9O°， △AEB△CED部器 :BD=2.3m,ED=2m,部-2，解得CD=10m, 则旗杆的高度为10m.故选A 2.A【解析】，BC∥1，CG⊥I,BO⊥1，.四边形OBCG为矩形， .OB=CG.,AH⊥HO,BO⊥HO,.AH∥OB, ÷△MHO△BO0-8-是 ·恕-号，QG=青AH,物体被缩小到原来的告故选A 3.2.4【解析】连接BD,如图所示. 'AE-AF=1 cm,EB-FD-2 cm, EF=0.8 cm, .AB=AD=1+2=3(cm), B ∴铝-品-子且∠A=∠A '.△AEF∽△ABD, D 第3题答图 ∴指品专-品 .BD=2.4cm.∴.点B,D之间的距离是2.4cm故答案为2.4. 4.5.75【解析】在Rt△CMO中，MO=4m,CO=5m,.CM= √/CO-OM=√⑤-4=3(m).'∠BOD=∠MOC,∠BDO -∠C0-90△B0n△CM0,÷器-品9- 3 是，BD=225m在Rt△A0D中，OA=万m,AD= √/OA-OD=8m,∴.AB=AD-BD=8-2.25=5.75(m): ∴.汽车从A处前行5.75m,才能发现C处的儿童. 故答案为5.75. 5.【解】由题意知△EDCU△EBA,△FHG△FBA,:- 爵器-既c=o贤-8cac 6 4 Ac124m“器-景品-中2AB-6m 2 答：大雁塔的高度AB为64m 专题四动点问题 1.智或20【解析】设运动时间为x点当△BPQO△COA时，有 5怒即轻-002解得x-吕BP--9m当 △BP0ACAQ时，有影-8器即号-0兰，解得=5或 x--10(会去)dBp--20m综上所述，当BP-智m 或20cm时，△BPQ与△AQC相似.放答案为智或20. 2.【解】(1)△BPQ是等边三角形，理由如下： 当t=2时，AP=2×1=2(cm),BQ=2×2=4(cm), .BPAB-AP-6-2-4(cm),..BQ-BP, 又：∠B=60°，.△BPQ是等边三角形. (2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,如图.在Rt△BEQ中， ∠BQE=90°-∠B=30°，QB=24cm, ∴.BE=tcm,QE=√3tcm,由AP=tcm,得PB=(6-t)cm, .PE=PB-BE=(6-2t)cm. 'QR∥BA,∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60, .△QRC是等边三角形，∴.QR=RC-QC=(6-2t)am, .EP∥QR,EP=QR, B ·四边形EPRQ是平行四边形， PR-EQ=3t cm. 又：∠PEQ=90°， .∠APR=∠PRQ=90° :△MPR△PRQ祭-器. R ∴-解得=号 第2题客图 3t t ·当=号时，△APRO△PRQ, 3.(1)【证明】当t=1时，DP=3,BP=4, :AB-2,cD-6品-号器-音-号即品-器 AB⊥BD,CD⊥BD,∴.∠ABP=∠ABE=∠D=90°， '.△ABP∽△PDC (2)【解】当>1时，DP=31,BP=7-3.:点P从点D出发， 沿DB方向以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动， 3<7,解得K号1<K号”AE/CP, .∠E=∠CPD.'∠ABE=∠D=90°，.△AEB△CPD, AB:CD=BE PD,.2:6=BE 3t,..BE=t. 若△ABE与△ABP相似，则有以下两种情况： ①当△ABE∽△ABP时，则∠E=∠APE,如图①所示. :AE=AP.ABLBD,.BE=BP, 117-3,解得1=子dBE=1=子 D ①D 第3题客图 ②当△ABE△PBA时，则AB:PB=BE:AB,如图②所示. ∴.2：(7-3)=112，整理得3-71+4=0，解得t=3或=1. :1<<号=1不合题意，合去，BE==学 综上所述，线段BE的长为子或子 第二十八章锐角三角函数 专题一特殊角的三角函数计算 1.A2.D3.D4.105 5.【解11原式=1+号×5-（合）广”-1+2-}-是 （2)原式=巨×号-2x号+V0--1一5+月-1=0 2 6.【解11)原式-2x-3X1+号-1-3+-是 2)原武-（竖）+号×5+5×号-+是+是-子 7.【1)原式=2×+4×（慢）广-后 3x5- =3+3-33-3+ 2 2 e原武-2x9+名后小慢----1+号 2 -5厅-1-1+号=-2+号 专题二解几何图形 1.C2.D 3,A【解析】设大正方形的边长为c,直角三角形的短直角边长为 a,长直角边长为6.由题意可得2=25，b-a=√T=1,a2+= ,解得a=36-4,c=5,tma=号-是故选入 4.A【解析】：∠ACB=90°，BC=4,AB=5,∴.AC=√AB-BC =√尽一4=3.由旋转的性质，可得AB=AB=5,.AC=AB一 BC-5-4=1.:∠ACB=90°，∴.∠ACA'=180°-∠ACB=90.在 R△ACA中，∠AaC-瓷-子：放选A 5.C【解析】如图，设AC与BD交于点O. :四边形ABCD是菱形，.ACLBD,AO= 2AC=2,.∠A0B=90 :ABD-=号，且A0=2,品-号， B AB=3,.在Rt△ABO中， 第5题答图 BO=√AB-AO=√32-2=5， ·.BD-2B0-2W5,.菱形ABCD的面积=号AC.BD 号×4×25=45.故选C 6.B【解析1由题意得AB=8,OA-OH=3. OHLAB,..AH=BH=4.AH:+OH:=OA, (0A+OH(OA-OHD),0A+OH-16, 3 0A-答0H-名m∠0AB-合贺-若-差故选B 6 7.【解】在Rt△ABC中，由勾股定理得c=√a+F= V5+(压-2.：mA-8-是语 ∠A=30°，.∠B=90°-∠A=90°-30°=60 8.D【解析】过点A作AD⊥BD交BC的延长线于点D,如图， AB-AD +BD -3+3-32,sin B-AD-3- AB3√2 竖旅选n 0 D D 第8题答图 第9题答图 9.A【解析】如图，作OF⊥AB于点F, :AB=AC,AD平分∠BAC,∴∠ODB=90°，BD=CD=6. ∴由勾股定理得AD=√100一36=8. :BE平分∠ABC,.OF=OD,BF=BD=6,AF=10-6=4. 设OD=OF=x,则AO=8一x,在Rt△AOF中，根据勾股定理， 得(8-x)2=x2+4,x=3,.OD=3. 真题圈数学九年级U2N 在R△OBD中，m∠OBD-品-音-含：故选N 10.B【解析】如图，连接BE,AE,设小正方形的边长为1，由题意 得AE=2+2=8,BE=12+12=2,AB=12+3=10, '.AE十BE=AB,△ABE是直A 角三角形，.∠AEB=90. 在Rt△AEB中，AB=√10，BE=2, B AE-器-是-得 D E 由题意得BE∥CD, 第10题答图 :∠ABE=∠APD,c∠APD-∠ABE-得放选B 11.【解】(1)：CDLAB,△ACD,△BCD均为直角三角形. 在R△CDB中，：BD=6,mB-品号CD=4 在Rt△CDA中，AC√CD+AD=√+2=2V5. (2)如图，过点E作EF⊥AB,垂足为F :CD⊥AB,EF⊥AB,.CD∥EF 又：点E是边BC的中点，：EF是△BCD的中位线. 六DF=BF-3,EF=2CD=2.·AF=AD+DF=5. 在Rt△AEF中，AE=√AF+EF=5+2=√29】 六sin∠EAB=票=2=22 AE√/29 29 B B 第11题答图 第12题答图 12.【解】(1)如图，过A点作AD⊥BC,垂足为D,则∠ADB= ∠ADC=90°.：∠ACB=45,.AD=AC·$in45=2√2× 号=2，C=AD=2“mB-0-含BD-2AD= 4,.BC=BD+CD=4+2=6. (2)tan∠CAE-号. 分析：作CF⊥AE于点F,如图。 BC=6,CE-BC CE=3,DE-DC+CE=2+3= 5,AE=√/AD+DE=√2+5=√29. :Saa=2·CEAD=是·AE·CR,.CE·AD=AE CF,3X2=V2丽CF,CF=6=6y2厘 √/29 29 ·AF=VAC-CF=√22-(，四)14，厘， 429 29 629 wCAE--器- 29 3 -7 29 专题三实际应用 1.D【解析】过点B作BM⊥AD于点M,如图.由题意，得∠BAD =90°-60°=30°，∠BCD=90°-30°=60°，，.∠ABC=∠BCD -∠BAD=30°，·∠BAD=∠ABC,.BC=AC=100m 'BM⊥AD,∴.∠BMC=90°.在Rt△BCM中，sin∠BCM= 影：BM-BC·m∠BCM=100X号-50,5(m,即点B 2 到河岸AD的距离为50√3m.故选D. 答案与解析 北 60° 西 东 N南 30 60 2X 西 东 A C 南 第1题客图 第2题客图 2.【解】(1)如图，∠MAC=60°-30°=30°，∠ACM=180°一60 -60°=60°，∴.∠AMC=180°-30°-60°=90°， ∴.∠AMC与∠ACM的度数分别为90°，60°， (2)如图，当MN LAC时，从N处到M小区铺设的管道最短，在 R△AMC中，：∠AMC=90°∠MAC=30°，AC=2000m, ÷AM=号AC=200x9-=1003(m. 2 在Rt△AMN中，：∠ANM=90, AN-号AM-100w5×号-150m. 答：A小区与支管道连接点N的距离为1500m 3.(30-103)【解析】由题意知∠BAC=90°-45°=45°，△ABC 是直角三角形，在R△ABC中，an∠BAC-%,AB=30m, .BC=AB·tan45°=30m :∠BAD-90-60'-30,m∠BAD-0 &BD=AB·m30=30X =103(m), ∴.CD=BC-BD=(30-10√3)m故答案为(30-103). 4.【解】(1)98 分析：过C作MN∥BF交AB于点 M,交EF于点N,由题意得，∠ACM =35,∠ECN=47,.∠ACE= 180°-∠ACM-∠ECN=98, (2),MN∥BF,AB∥CD∥EF, AB⊥BF,CD⊥BF,EF⊥BF, M ',四边形MBFN,四边形BDCM是 矩形，∴.CM=BD,MN=BF=2m, BM=CD=FN,设AM=xm, B D EN=(x+1)m. 第4题客图 在△C中，CM-部请m 在R△ENC中，CN-m x十1 CM+CN-斋7+制-2，解得05l, ,∴.BD=CM0.64m. 答：桩AB与桩CD的距离BD的长约为O.64m. 5.1【解析】如图，在Rt△BAD中，AB=5m,∠BAD=37,则BD =AB,n∠BAD5Xg=3(m. 在Rt△BCD中，∠C=30°， ∴.BC=2BD≈6m, 则调整后的楼梯大约会加长6一5= 1(m.放答案为1 6【解】(1)1：1 第5题答图 分析：：从点D测得点A的仰角为45，DE⊥AE, .∠ADE=∠DAE=45°，.DE=AE ∴斜坡AD的坡度i=AE:DE=1:1 (2)设DF为xm,:DF:BF=1:2,.BF=2xm :AC=300m,BC=500m, .AE=(300-x)m,DE=(500-2.x)m .AE=DE,.300一x=500一2x,解得x=200, ,',DF=200m,BF=400m,AE=DE=100m. 在R△ADE中，AD=√DE+AE=100√2m 在Rt△BDF中，BD=√BF+DF=200N5m, .AD+BD=(100√2+2005)m. 7.A【解析】由题意得AC⊥CB,在R△ACB中，AB=60cm, ∠ABC=a,∴.AC=AB·sina=60 sin a cm.'DE=70cm, ∴.桌沿（点A)处到地面的高度h=AC+DE=(60sina十 70)cm故选A 8.【解】如图，过点C作CH LAB于点H. 在R△ACH中，∠AHC=90°， y .AH=AC·os∠CAB=AC·cos37, ∠EHC=∠CFE=∠FEH=90°， ,.四边形CFEH是矩形， ·EH=CF=O.45m,∴.BH=EH-BE …月H B =0.45-0.2=0.25(m). 27 AC=AB,∴.AC·cos37+0.25=AC, F E 即0.8AC+0.25≈AC,解得AC≈1.25m, 第8题答图 BC的长≈37X3x1.25≈0.8(m. 180 答：BC的长度约为0.8m 第二十九章投影与视图 专题一投影 1.A2.A 3.C【解析】：AB∥CD,∴.△OAB△OCD.OF⊥CD,.OF 1AB部-8票朵g-6FEF-80血故选C 6 4.不变 5.8√3【解析】：∠ACB=90°，BC=12cm,AC=8m,.AB =4√13cm.△ABC△ABC,AB:AB=B,C·BC =24:12=2:1,∴.AB=8√13m.故答案为8√/13. 6.【解】如图，延长MC交 AB于点T,则四边形 MNBT是矩形， .MN=BT =1 m, BN-MT. 设BN=MT=xm, DIAB.器 答…滑- AT=2x m, B ,AB=AT十BT= NEP 第6题答图 2+1DmF/AB器-器∴骨-6+ 1.8 解得x=49,.AB=2x+1=99(m). 答：揽月阁的高度为99m 专题二三视图 1.B2.B3.C4.B5.B6.B7.主视图左视图8.圆柱 9.如图所示 主视图 左视图 俯视图 第9题答图