(九上)第25章 概率初步-【真题圈】2025-2026学年九年级全一册数学重难题型练（人教版）

答案与解析 5.【解】存在点P如图，延长DA.CB交于点E. :∠DAB=120°，∠ABC=∠CDE=90°，AB=1..∠E=30, ∠BCD=60°.AE=2,BE=3,∴.CE=2CD=43,DE=6. ∴.AD=DE-AE=6-2=4.bC=CE-BE=43-√3=33. 过点P作PQLAD, :Sam=2AD·PQ当PQ最小时.Sw有最小值 过点C作CD的垂线，交BC的垂直平分线于点O(作法路)，连 接BO,则B)=O,则∠OBC=∠B=90°-∠BCD=30°，易 得∠BC=120,B0=CO=3.以点0为圆心.B0为半径作圆， 由圆周角定理可知BFC所对的圆周角=号(360°-∠B0C)= 120°，：∠BPC=120°，∴.∠BPC即BFC所对的圆周角，故点P 在BC上，OP=OB=3.当O,P,Q三点共线时，连接OQ,则PQ, OQ有最小值，且OQLDE,PQ=OQ-OP=OQ-3. :∠0CD=∠CDQ=∠OQD=90°，.四边形(OCDQ为矩形， ·0Q=DC=25,PQ的最小值=0Q-3=25-3, ·5e的最小值=2×4×(2尽-3)=43-6，放存在符合 条件的点P,位置如图，且△APD面积的最小值为43一6. A B B、EO 第5题容图 第6题客图 6.4一22【解析】如图，作△ABC的外接圆⊙O,连接OA,OB, (OC.过点O作OE⊥BC于点E.则∠BOC=2∠BAC.OA=(OB= 0C,BE=CE-BC,:∠BAC-=45,.∠B0C=90,∠OBC =∠0CB=5设0A=0B=0C=则OE-号，BC=2BE :A0-OE≥AD.AD-反.r+号≥2.解得≥22 一2.∴.BC=√2r≥4-22，.BC的最小值为4-22. 故答案为4-22. 7.A【解析】如图，在Rt△ABC中，由勾股定 理得AB=√/6+8=10.在AB的下方作 等腰直角三角形AQB,∠AQB=90°，作 BH⊥QC于点H,,点O在以点Q为圆 :10 心，QB为半径的圆上，BQ=QA=2 5w2.,∠AQB+∠ACB=180,∴.点A 第7题答图 C,B,Q四点共圆，∴.∠BQ=∠BAQ=45,∴BH=CH= 3v2.在R△BQH中，由勾股定理得QH=(52)一(3/2) =4V2,.CQ=CH+QH=3w2+4w2=72 当点C,Q,O共线时，OC的值最大， ·0C的最大值为0Q+(CQ=5v2+72=12互.故选A 8.,34【解析】如图，作GM⊥DE于点 D M,GH⊥AB于点H.:EF是∠DEB 的平分线..GM=GH ∠DAE=∠DGE=90°，.A,D,G,E E H 四点共圆，∴.∠GAH=∠MG, 第8题客图 ,.△GAH≌△GDMCAAS),∴.AG=IDG,,.AG+BG=DG+ BG.当D,G,B三点共线时，AG+BG有最小值，最小值是BD 的长，∴AG+BG的最小值是/5+3=34，故答案为3. 第二十五章概率初步 专题一概率计算 1.A 2. 3.【解】画树状图如图.共有9种等可能的结果，其中两次中的彩蛋 颜色不同的结果有4种，一某同学获一等奖的概率为分 开始 红 红 绿 红红绿红红绿红红绿 第3题容图 4.【解】列表如下： 第二次 第一次 型 翰 笔 圆 规 (铅，铅) (铅，钢) (铅，笔) (铅，圆) (铅，规) 朝 (钢，铅) (钢，钢) (钢，笔) (钢，圆) (钢，规) 笔 (笔，船) (笔，钢) (笔，笔) (笔，圆) (笔，规) (圆，铅) (圆，钢) (圆，笔) (圆，调) (圆，规) 规 (规，铅)（规，钢）（规，笔） (规，圆)（规，规） 共有25种等可能的结果，其中他经过两次“有效随机转动"后获 奖的结果有（铅，笔），（钢，笔），（笔，铅），（笔，钢），（圆，规），（规， 圆).共6种一他经过两次有效随机转动”后获奖的概率为号 5.C 开始 6.B【解析】画树状图如图，共有3种等可能的 结果，其中最后一只摘到A的情况有1种， ·最后一只摘到A的概率是子故选B B 7,【解】(1)·酚酞遇酸性和中性溶液不变色，B B 湛碱性溶液变红色，.小周将酚酞溶液随机 第6题答图 滴入其中一瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和硝酸钾溶液（呈中性）不 变色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钾溶液（量碱性）变红， ·结果变红的概率为子-合 1 (2)列表如下： A C D (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (C,B) (D,B) C (A,C) 《B,C) (D.C) D (A.D) (B,D) (C,D) 由表知，共有12种等可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变 红色的有(D,C),(C,D),共2种结果，所以两瓶溶液恰好都变红 色的概率=是-合 1 8【解D号 (2)列表如下： 周六 周日 A B D E A (B,A) (C,A)(D,A)(E,A) B (A.B) (C,B) (D,B)(E,B) (A.C) (B.C) (D.C)(E.C D (A.D <B.D) (C.D) (E.D) E (A,E)(B,E)(C,E)(D,E) 由表可知，共有20种等可能的结果，其中小丽在周六、周日两天 可以去陕西师范大学教有博物馆(C)参观的结果有8种，∴.小 丽在周六、周日两天可以去陕西师范大学教育博物馆参观的概 率为品-号 专题二用频率估计概率 1.B2.B3.24 4.16000【解析】第1次试验成功率为100=0.001， 4-1 第2次试验成功率为5-)×1000-=0.00075· 第3次试验成功率为(8-5)×10001500' 6-4 1 8-6 第4次试验成功率为(10.5-8)×1000 =0.0008, 10-8 第5次试验成功率为a2.5-10.5×1000=0.001, 12-10 第6次试验成功率为14,5-2.5)X1000-0.001: 14-12 第7次试验成功率为a6.5-14.5×0W0,001, 综上所述，估计该试验成功的概率为0.001. ,该团队共需要30粒基因发生该种变异的种子，已经成功 14粒，.还差16粒，.还需准备用以辐时的种子为16÷0.001 =16000(粒).故答案为16000. 5【解1)号 (2)设封闭图形ABC的面积为a,·石子落在圆内（含圆上）的 频率值稳定在子，暂=弓，解得。=12x,则估计封闭图形 a ABC的面积为12元. 第二十六章反比例函数 专题一图象与性质 1.C 2.D【解析：双曲线y=冬经过点(1，-2)，：k=1×(-2) 一2<0双曲线的解析式为y=一兰，分布在第二四象限，当 <0时，v随x的增大而增大.一1×2=一2=k,.点（一1， 2)在该双曲线上，.选项D错误.故选D 3.C【解析】设圆的半径是广，根据圆的对称性以及反比例函数图 象的对称性可得=10xr=20.?点P(3u,a)是反 比例函数y=(k>0)的图象与⊙0的一个交点3=k 又：va+=rd=×(2⑩)r=4P6,2 :k=3×4=12,则反比例函数的解析式是y=旦.故选C 4.D【解析】：k>0,∴函数为=上的图象经过第一，三象限，在 每个象限内，助随x的增大而减小=一兰(>0)的图象经 过第二，四象限，在每个象限内，”随x的增大而增大.：当3≤ ≤4时，函数”的最大值是a,函数”的最小值是a一4， a= 3 k a=2k=12.故选D a-4=-3 六k=6 5.一1（答案不唯一）【解析】'，点A(1,”)和点B(3,为)在反比 例函数少一卓的图象上，且为<心反比例函数y一华的图 真题圈数学九年级U2N 象在第二、四象限，，k<0,.的值可以为一1.故答案为一1 (答案不唯一). 6.<k<点【解折】根据图象可知k1<0,>k>0,所以k, k2,k的大小关系是k1kk.故答案为k<k<k. 7.【解】(1)反比例 理由如下：：PHLy轴，点Q是PH的中点，且点Q的坐标为 (m,),.点P的坐标为(2m,n). :点P是反比例函数y=三(x>0)图象上的个动点， 六2mM=6n=是六W是m的反比例隔数 (2)当n=3时，求得m=1,当>3时，m的取值范是01 专题二k的几何意义 1LB【解折：点A,B在反比例函数y一兰>0)的图象上， ,矩形OCAD的而积S:=|k=2,矩形OEBF的而积S:= 1k=2,.S=S,故选B. 2.A【解析】根据反比例函数k的几何意义可知，△AOP的面积 为号△OP的面积为号△0AB的面积为号一冬-号 一.“k=6十2.…k-k=2△0AB的面积为2×2= 1,故选A. 3.A【解析】如图，连接正方形的对角线： 4 过点A,B分别作x轴的垂线，垂足分别 为C.D,点B在反比例函数y=兰的图 象上.(OB=(04, ∠AOB=∠BDO=∠AC=90°， ∴.∠CAO=90°-∠AOC=∠B0D. '.△AC≌△OBDCAAS). 第3题答图 品5a=5m-号-号刻k=士4 :A点在第二象限∴k=一4.故选A 4y=一手【解析】根据题意可知Sm=之利=2， :反比例函数的图象的一支位于第二象限，∴<0，∴.=一4， ÷反比例函数的解析式为y一兰故答案为y一 5.一4【解析】连接OC,OB,如图.：BC∥x轴，.S=Sm 又5m=2×21+号k ·合×21+安·1=8 k<0,.k=一4.故答案为一4 6.【解】：y,必的图象均在第一象 0 限，.k>0,k>0. 第5题容图 ”点M,N均在反比例函数，-二(x>0)的图象上， Sm=5an=之： “矩形OABC的顶点B在反比例函数y=三(x>O)的图象 上，，S/x-=k:,。Set边enN=S影r一S△fA4一S△IX=6, .k一k1■6，.k1一k=一6. 专题三反比例函数与一次函数 1,4【解析】由题意可知点A(,”),B(x,)关于原点对称，则 五=一=一为，把点A()的坐标代人y=兰，得五 =2,则m3为一31=一n十3=2x为=4.故答案为4.真题因数学九年级！2N 第二十五章 专题一 类型1“取出放回” 1.(中考·北京市)不透明袋子中仅有红、黄小 球各一个，两个小球除颜色外无其他差别 从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从 中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红 球的概率是( A清 B司 c 2.情境题某校举办以“使 A人口 命·成全·梦想”为主 C出口 E出口 题的庆祝建校二十周 年书画展活动，如图是 B人▣ D出口 该书画展览馆出入口 第2题图 示意图.小颖和小芳从 同一人口进入分别参观，参观结束后，她们 恰好从同一出口走出的概率是 3.(中考·长春市)班级联欢会上有一个抽奖 活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则 如下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放 在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋 颜色分别为红色、红色、绿色.参加活动的同 学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋 颜色后放回，重新打乱杯子的摆放位置，再 从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜 色.若两次中的彩蛋颜色不同则获一等奖 颜色相同则获二等奖.用画树状图（或列表》 的方法，求某同学获一等奖的概率， 第3题图 26 概率初步 概率计算 4.(期末·大连沙河口区)如图，某文具店有一 个材质均匀、可以自由转动的转盘，转盘被 等分成五个扇形区域，分别写有“铅”“钢” “规”“笔”“圆”字样.顾客购物满60元便可 获得两次“有效随机转动”（转盘停止后，指 针指向字样，这样的转动为一次“有效随机 转动”)的机会，奖品分别是：铅笔、钢笔和 圆规. 获奖规则如下：完成两次“有效随机转动” 后，记下两次指针所指区域的两个字，只要 这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的 顺序无关)，便可获得相应奖品一个：不相同 时，不能获得任何奖品。 根据以上规则，解决下列问题： 小明根据本店购物小票参与了两次“有效随 机转动”，用列表或画树状图等方法，求他经 过两次“有效随机转动”后获奖的概率. 铅 钢 规 笔 第4题图 类型2“取出不放回” 5.传统文化“二十四节气”是中华农耕文明与 天文学智慧的结晶.小明购买了“二十四节 气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分” 三张邮票中的两张送给好朋友小亮.小明将 它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相 同)，让小亮从中随机抽取一张（不放回），再 从中随机抽取一张，则小亮抽到的两张邮票 恰好是“立春”和“秋分”的概率是() A R号 c号 n号 6.若标有A,B,C的三只灯笼按图所示悬挂， 每次摘取一只（摘B前需先摘C),直到摘 完，则最后一只摘到A 的概率是( A名 B号 c号 n 第6题图 7.学科融合化学（期中·济南市中区）通常情 况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性 溶液变红色。一次化学课上，学生用酚酞溶 液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶 液的酸碱性.已知四瓶溶液分别是A:盐酸溶 液（呈酸性），B:硝酸钾溶液（呈中性），C:氢 氧化钠溶液（呈碱性），D:氢氧化钾溶液（呈 碱性). (1)小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结 果变红色的概率是多少？ (2)小周同时将任选的两瓶溶液滴人酚酞溶 液进行检测，请你用列表或画树状图的方 法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是 多少 金星教育 重难题型练 8.地方特色（月考·西安高新一中）西安作为 十三朝古都，文化底蕴无比深厚.西安市仅 不同分类的博物馆就数百座，其中精彩纷呈 的高校博物馆为人们打开了一扇扇了解人 类文明发展的窗口，也成为广大青少年的打 卡胜地.某校研学中心推荐了以下5个大学 博物馆：西安交通大学西迁博物馆(A)、西北 工业大学航空博物馆(B)、陕西师范大学教 育博物馆(C)、西北大学历史博物馆(D)、长 安大学地质博物馆(E).请你解决下列问题： (1)小丽周六随机选择1个博物馆，则她去 西安交通大学西迁博物馆的概率是 (2)小丽准备利用周六、周日两天时间从上 述个大学博物馆中随机选取2个不同的 博物馆分别进行参观，请用列表法或画树状 图的方法，求小丽在周六、周日两天可以去 陕西师范大学教育博物馆参规的概率。 27 真题圈数学九年级J2N 专题二用期 1.关于频率和概率的关系，下列说法正确的 是() A.频率等于概率 B.当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 C.当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 D.试验得到的频率与概率不可能相等 2.(期末·重庆渝中区)数学课上，李老师与学 生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋 子中有5个白球，3个红球和2个黄球，这些 球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出 一个球，某种颜色的球出现的频率如图所 示，则该球的颜色最有可能是( 十频率 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 01234567次数（百次） 第2题图 A.黑色 B.黄色 C.红色 D.白色 3.在一个不透明的布袋中，有红球、黑球、白球 共60个，它们除颜色外其他都相同.小明从 中任意摸出一个球，查看颜色后放回并摇 匀，通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黑 球的频率分别稳定在0.15和0.45，则他估 计布袋中白球的个数是 4.(期末·厦门市)为了改良某种农作物的基 因，培育更加优良的品种，某研究团队开展 试验，对该种农作物的种子进行辐射，使其 基因发生某种变异.下表记录了截至目前的 试验数据。 试验次数 2 6 7 累计获得 试验成功 4 10 12 14 的种子数 (单位：粒 累计试验 种子数 10005000800010500125001450016500 (单位：粒 28 率估计概率 该团队共需要30粒基因发生该种变异的种 子，请根据表中的数据，合理估计他们还需 要准备用以辐射的种子数（单位：粒）： 5.情境题小南发现操场中有一个不规则的封 闭图形ABC(示意图如图)，为了计算它的面 积，他在封闭图形ABC内画了一个半径为 2m的圆，在不远处向封闭图形ABC内掷石 子，若石子落在封闭图形ABC外部，则重 掷.记录结果如下： 石子落在圆内 14 43 93 150 (含圆上)的次数 石子落在阴影部 19 85 186 300 分的次数 根据以上数据，小南得到了封闭图形ABC 的面积 请根据以上信息，回答下列问题： (1)估计石子落在阴影部分的概率： (2)估计封闭图形ABC的面积，并写出推理 过程 第5题图