(九上)第24章 圆-【真题圈】2025-2026学年九年级全一册数学重难题型练（人教版）

真题物数学九年级！2N 第二十四章圆 专题一圆的有关计算 类型1垂径定理的应用 类型2圆周角的应用 1.学科融合化学（期中·大连沙河口区）如图， 5.(月考·长沙青竹湖湘一外国语学校)如图， 一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm, 在⊙0中，AB=AC,∠AOB=50°，则 瓶内液体的最大深度CD=2cm,则截面弦 ∠ADC的度数是( ) AB的长为( A.50° B.40 C.30 D.25 第5题图 第6题图 第1题图 6.(期末·济南历下区)如图，AB为⊙O的直 A.8.4 cm B.4/2 cm 径，C,D为⊙O上的两点.若∠ACD=56°， C.6 cm D.8 cm 则∠DAB的度数为() 2.数学文化（月考·西安铁一中）“圆材埋壁” A.34° B.36° C.46 D.54° 是我国古代数学名著《九章算术》中的一个 7.(月考·人大附中)如图，A,B, 问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯 C,D四点都在⊙O上.已知 锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转 ∠AOB=70°，则∠ADB 化为现在的数学语言：如图，CD为⊙O的直 径，弦AB⊥CD,垂足为点E,CE=1寸，AB 8.(中考·武汉市)如图，OA, 第7题图 =10寸，则直径CD的长度为() OB,OC都是⊙O的半径，∠ACB=2 A.12寸 B.24寸 ∠BAC C.13寸 D.26寸 (1)求证：∠AOB=2∠BOC (2)若AB=4,BC=√5，求⊙O的半径. 第2题图 第3题图 3.(期中·西南大学附中)如图，AB是⊙O的 直径，弦CD⊥AB于点E,AC=CD,⊙O的 第8题图 半径为2√2，则△AO℃的面积为( ) A.3 B.2 C.23 D.4 4.（期中·南京鼓楼区)如图， ⊙O的半径为5，OP=1,若 P 将⊙O沿某条弦所在的直 线翻折，翻折后的弧恰好经 过点P,则这条弦的长度a 的范围是 第4题图 重难题型练 类型3正多边形和圆 14.学科融合物理如图，若半径 9.(期中·南京鼓楼区)正多边形的一部分如 为2cm的定滑轮边缘上一 图所示，若∠ACB=20°，O为正多边形的中 点A绕中心O逆时针转动 心，则该正多边形的边数为( 150°（绳索与滑轮之间没有 重物 A.8 B.9 C.10 D.12 滑动)，则重物上升的高度第14题图 为( A.5πcm cm c呀 cm n cm 第9题图 第10题图 15.传统文化（期末·北京东城区）抖空竹在我 10.(期中·北师大附中)如图，已知正六边形 国有着悠久的历史，是国家级非物质文化 ABCDEF的外接圆半径为2cm,则该正六 遗产之一.如图，AC,BD分别与⊙O切于 边形的边心距是( ) 点C,D,延长AC,BD交于点P.若∠P= A.1cm B.2 cm 120°，⊙O的半径为6cm,则图中CD的长 C.√2cm D./3 cm 为( 11.如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O, 连接OB,BD,则∠OBD的度数是() A.17°B.18 C.19 D.20 第15题图 A.cm B.2πcm C.3x cm D.4x cm 16.(月考·重庆育才中学)如 第11题图 第12题图 图，AB是⊙O的直径，线段 12.数学文化刘徽在《九章算术注》中首创“割 DC是⊙O的弦，连接AC,A OD,若OD⊥AC于点E, 第16题图 圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周 率，开创了中国数学发展史上圆周率研究 ∠CAB=30°，CD=3,则阴影部分的面积 的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程 为( 中，作了一个如图所示的圆内接正十二边 形.若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十 A 二边形的面积为( C.3π A.1 B.3 C.π D.2x h 17.(期中·大连中山区)如图，D 类型4弧长、面积计算 矩形ABCD的对角线AC, 13.如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5，则 BD交于点O,分别以点A,C 侧面积为( A.10π 为圆心，AO的长为半径画 B.12π 弧，分别交AD,BC于点E,第17题图 C.15π F.若BD=4,∠CAB=50°，则图中阴影部 D.7.5π 分的面积为 .(结果保留π) 第13题图 21 真题圈数学九年级R财2N 专题二与切线有关的证明与计算 1.(期中·福州台江区)如图，△ABC为等腰 3.(期末·北京朝阳区)如图，在Rt△OAB中， 三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O ∠OAB=90°，∠ABO=30°，C为边OB的中 相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 点，⊙O经过点C,BD与⊙O相切于点D. (1)求证：AB与⊙O相切： (2)若AB=2,求AD的长， B 第1题图 A 第3题图 2.(期末·大连西岗区)如图，AB为⊙O的直 径，AC平分∠EAB交⊙O于C,过点C作 4.如图，在□ABCD中，AB=√2AD,以AB为 CD⊥AE与AE的延长线交于点D. 直径的⊙O经过点D,连接OD,连接OC交 (1)求证：CD为⊙O的切线 ⊙O于点E. (2)若AB=10,CD=4,求DE的长. (1)求证：直线CD是⊙O的切线. D (2)若CE=4,求⊙O半径的长. D E 0 第4题图 第2题图 22 重难题型练 5.(期末·南京秦淮区)如图，点P在⊙O外，6.（月考·长沙一中教育集团）如图，以线段 M为OP的中点，以点M为圆心，以MO为 AB为直径作⊙O,交射线AC于点C,AD平 半径画弧，交⊙O于点A,B,连接PA, 分∠CAB交⊙O于点D,过点D作直线DE (1)判断PA与⊙O的位置关系，并说明 ⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.连接 理由 BD并延长交AC于点M, (2)连接AB,若OP=9,⊙O的半径为3，求 (1)求证：直线DE是⊙O的切线 AB的长. (2)求证：AB=AM. (3)若ME=1,∠F=30°，求BF的长. 第5题图 第6题图 真题圈 龙星教育 精品圈书 的 真题圈数学九年级R2N 专题三 最值问题 类型1利用对称性 类型3垂线段最短 1.如图，CD是⊙O的直径 5.(期中·天津河北区改编)如图，在平面直角 CD=8,∠ACD=20°，点 坐标系xOy中，P是直线y=2上的一个动 B为AD的中点，点P是 O P D 点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点 直径CD上的一个动点， Q,则线段OQ取最小值时，Q点的坐标 则PA十PB的最小值 为( 第1题图 为 A停》 类型2利用三边关系 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, c(停±》 n(±，别 点D是边AC上一动点，连接BD,以CD为 D 直径的圆O交BD于点E.若AB的长为4， 则线段AE长的最小值为( A.N5-1 B.25-2 C.2√10-2W2 D.√10-√2 -3-2-1ò123 第5题图 第6题图 6.如图，在⊙O中，弦AB=1,点C在AB上移 动，连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙O于点 D,则CD的最大值为 类型4利用中位线 7.(期中·福州台江区)如图， AB是⊙O的直径，CD是⊙O 第2题图 第3题图 的弦，AB⊥CD于点E,OE 010 3.如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E,C是 DE=2,点F是⊙O上一动 ⊙O上一点，AB=6,CE的最大值为9，则 点，连接CF,DF,点G是DF EF的长为() 的中点，连接EG,当线段EG 第7题图 A.1 B.2 C.3 D.4 的长取得最大值时，点G到弦CD的距离 4.(期末·北京海淀区)如图，已知点A是⊙O 是( 上一点，直线MN过点A,点B是MN上的 A哥 B.2 另一点，点C是OB的中点，AC=)OB.若 C.2 D.1+2 点P是⊙O上的一个动点，且∠OBA=30°， 8.(月考·长沙南雅中学)如图， AB=2√3，求△APC面积的最大值. 抛物线y=-4与x轴交 于A,B两点，P是以点C(0, 3)为圆心，2为半径的圆上的 动点，Q是线段PA的中点， 第8题图 连接OQ,则线段OQ的最大值为( 第4题图 A.3 B.vT 2 D.4 24 重难题型练 专题四 隐形圆 类型1定点定长 与规划，从实用和美观的角度他们还要求 1.(月考·人大附中)如图，在四边形ABCD ∠BPC=120°，且△APD区域的面积最小， 中，AB=AC=AD,∠CBD=23°，则∠CAD 试问在四边形ABCD内是否存在这样的点 为() P?若存在，请你在图中画出点P的位置， A.47°B.46° C.45°D.44 并求出△APD面积的最小值：若不存在，请 说明理由。 第5题图 第1题图 第2题图 2.(开学考·西安铁一中)如图，点A,B的坐 标分别为(6,0)，(0,6)，C为坐标平面内一 点，BC=2W2,M为线段AC的中点，连接 OM,当OM取最大值时，点M的坐标 为 类型2定弦定角 类型3定角定高 3.(期末·合肥包河区)如图，在Rt△ABC中， 6.如图，已知点A是直 ∠ACB=90°，AC=6,BC=4.点F为射线 线l外一点，AD⊥l于 CB上一动点，过点C作CM⊥AF于点M, 交AB于点E,D是AB的中点，则DM的最 点D,且AD=2,点 B,C均在直线L上， 小值是( ∠BAC=45°，则BC A.√3B.② C.1 D.6一2号教育 B 的最小值为 D 第6题图 类型4四点共圆 7.如图，∠MON=45°，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，BC=6,AC=8,当A,B分别 在射线OM,ON上滑动时，OC的最大值 为( 第3题图 第4题图 A.12√2 B.14C.16 D.142 4.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上， AB=5,AC=4,D是BC上的一个动点，连 接AD.过点C作CE⊥AD于点E,连接 BE,则BE的最小值是 5.情境题（月考·陕师大附中）某市拟在如图 第7题图 第8题图 所示的四边形ABCD区域内，建造一个融 8.(期中·北师大实验中学)如图，在矩形 山、湖、林、田、水于一体的文化生态公园.已 ABCD中，AB=5,BC=3,点E是AB边上 知∠A=120°，∠B=∠D=90°，AB=1,CD 的一个动点，连接DE,∠DEB的平分线EF =23,公园的设计师想在园中找一点P,使 交CD边于点F.若DG⊥EF于点G,连接 得点P与点A,B,C,D所连接的线段将整 AG,BG,则AG+BG的最小值是 个公园分成四个区域，用来进行不同的设计 25Sae-2AM:ME-×50X50,5-1250,5(m). Sw=十AM:=625m,放绿化面积=S。十Sam=Sg +Sag=SNg-Sr=(1250/3-625)m2. 第二十四章圆 专题一圆的有关计算 1.D【解析】，OA=OD=5cm,CD=2cm∴.O=OD一CD=5 -2=3(cm).OD⊥AB,∴.AC=CB=、OA-OC v-3=4(m),∴.AB=2AC=8cm.故选D. 2.D【解析】如图，连接QA,设⊙0的半 径是r寸.：直径CDLAB. ÷AE=2AB=号×10=5（寸. C E ,CEm1寸，.OE=(r一1)寸 OA=OE+AE. 2=(r-102+5,.r=13. 第2题客图 ∴.直径CD的长度为2r=26(寸).故选D. 3.C【解析】，·AB是⊙O的直径，弦CDLAB于点E, .直径AB平分弦CD,E为CD的中点， 4CE=2CD-2AC.∠Ca0=30,·∠ACE=60 又：(C=0A=22,∴.∠CA0=∠A0=30°，∴.∠0CE=30°， ·在R△OCE中，OE=号OC-2,CE=/OC-OE V6.△A0C的面积=之×0A×CE-=23.枚选C 4.8≤a≤2√2T【解析】过点P作⊙O的直径CE,由垂径定理 知，当弦AB垂直平分CP时，弦AB最短，当弦AB垂直平分 PE时，弦AB最长.如图①，连接OA,,⊙O的半径为5，OP 1.CD-PD-2CP=2.0D=3. 在R△OAD中，AD=5-3=4∴a=AB=2AD=8. 如图②，连接OA,:⊙O的半径为5，OP=1,∴.ED=PD PE=3,0D=2.在R△0AD中，AD-/尽-2=v2可， a=AB=2AD=2/21 ∴这条弦的长度a的范围是8≤a2,2I,故答案为8≤a≤2√②. P 0 0 D B E ② 第4题答图 5D【解析】如图，连接OC,:在⊙O中，AB=AC. ·∠A0C=∠AOB.:∠AOB=50°，·∠A(0C=50°， ·∠ADC=号∠A0C=25.放选D. 第5题答图 第6题答图 6.A【解析】连接BC,如图.，AB为⊙O的直径，.∠ACB=90°， .∠DAB=∠DCB=90°-∠ACD=90°-56°=34，故选A. 7.145°【解析：∠A0B=70,.∠ACB=2∠A0B=2X70 真题圈数学九年级U2N =35.:A,B,C,D四点都在⊙O上，.∠ACB+∠ADB= 180°..∠ADB=180°-∠ACB=180°-35°=145°.故答案 为145. 8(II证明：∠ACB=号∠AOB,∠BAC-号∠BOC.∠ACB =2∠BAC.∴3∠A0B=2X号∠B0C∠A0B=2∠B0C (2)【解】如图，过点O作半径OD」 AB于点E,连接DB,.AE=BE '∠AOB=2∠BC,∠DOB= 0 专∠A0B.∠0B=∠B0C .BD=BC. AB=4,BC=5, .BE=2,BD=5. 第8题答图 在Rt△BDE中，∠DEB=90°，.DE=、BD-BE=1, 在Rt△BOE中，∠OEB=90°，∴.OB=(OB-1)2+2. 解得OB-号，即⊙0的半径是受。 9.B【解析】如图，连接OA.OB,:A,B,C,D为一个正多边形的 顶点，O为正多边形的中心.点A,B,C,D在以点O为圆心， OA为半径的同一个圆上.：∠ACB=20°，∴.∠AOB=2∠ACB =40这个正多边形的边数=警=以.板选B E D 月 第9题答图 第10题答图 10.D【解析】已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm,连 接OA,作OM⊥AB.易得到∠AOM=30°..AM=1em. ·.OM=√OA一AM=3cm.故选D. 11.B【解析】如图，连接OC,五边形ABCDE是⊙O的内接正 五边形.：∠BC=3=72,LBDC-立∠B0C=36 5 :0B=0C,BC=CD.∠0BC=∠0CB=180272=54, ∠DBC=∠BDC=36,∴.∠OBD=54°-36°=18，故选B. B 第11腿容图 第12题答图 12.B【解析】如图，连接OA,OB,过点A作AC⊥OB于点C, 则∠A0B=39-30.:0A=1,AC-0A= 12 :5m-合×1×号-子一这个圆的内接正十三边形的面 积为12×号=8故选B 13.C【解析】圆锥的侧而积=2x×3×5÷2=15元.故选C 14.C【解析】根据题意得1上1502-要(am, 180 3 则重物上升了受cm故选C 15.B【解析】连接(C,OD,如图.，AC,BD分别与⊙O相切于 答案与解析 点C,D,,∠CP=∠ODP=90°.由四边形内角和为360°可 得，∠COD=360°-∠OCP-∠ODP-∠CPD=360°-90°- 90°-120°=60，CD的长=60rX5=2ax(cm.故选B 180 0 B C D p 第15题答图 第16题客图 16.B【解析】连接OC,如图. OD⊥AC于点E,∠CAB=30°，OA=OC..∠OCA=30°， ∴.∠C0D=90°-30=60°， 又，OC=OD,∴.△COD是等边三角形，.OD=CD=3. 在R△AOE和R△COE中.OE=OE, OA=OC. .Rt△AOE2Rt△COE(HL), 片=50D0-号无放选B 360 17.8x【解析：四边形ABCD是矩形， .AC=BD=4.0A=OC=OB=OD.AB//CD. .OA=0C=2,∠DAC=∠ACB=90°-50°=40°， ·图中阴影部分的面积为2XX2-昌无故答案为号 360 专题二与切线有关的证明与计算 1.【证明】如图，过点O作OE⊥AC于点E,连接OD,OA. :AB与⊙()相切于点D, A .ABOD. :△ABC为等腰三角形.O是底边C 的中点，∴.AO是∠BAC的平分线， B .OE=OD,即OE是⊙0的半径. :圆心到直线的距离等于半径， ∴.AC是⊙O的切线. 第1题答图 2.(1【证明】如图，连接C,,AC平分∠EAB,∴.∠DAC=∠CAB. .OA=OC,.∠CAB=∠ACO. .∠DAC=∠ACO..AD∥OC .CD LAD,∴.∠DCO=180°-∠ADC=90,.OCLDC. 又.C0为⊙O的半径，.CD为⊙O的切线. (2)【解】如图，连接BE交OC于点H, :AC平分∠EAB,.∠CAD= ∠BAC,.CE=BC..OCLBE. BH=EH.AB为⊙O的直径， ∴.∠AEB=∠D=∠DCH=90, .四边形CDEH是矩形，.CD=A EH=4,CH=DE,∴.BE=8. :AB=10.∴.AE=AB-BE=6 :A0=B0.0H=2AE=3 第2题答图 .DE=CH=OC-OH=5-3=2. 3.1【i证明：∠0AB=90.∠AB0=30,0A=0B :C为边0B的中点0C=0B.0A=0C ,⊙O经过点C,,℃为⊙O的半径， OA为⊙O的半径，.AB与⊙O相切. (2)【解】：BD与⊙O相切于点D,.BA=BD,BO平分 ∠ABD..∠ABD=60°.·.△ABD是等边三角形. ,AB=2,.AD=2. 4.(I)【证明】设AB=2x,则AO=DO=x, AB=2AD...AD=2..AD=2 A0+D02=x2+x2=2.2,.AD=A02+D0. .△AOD为直角三角形，，∠AOD=90 :四边形ABCD为平行四边形，DC∥AB,.∠ODC=90 "点D在⊙O上，.CD是⊙O的切线 (2)【解】设AB=2x,则DC=2x,OC=OE+CE=x+4,OD-x, 在R△ODC中，(0C=(OD2+CD2..(x+4)2=x2+(2. 解得x=5+1或x=一5+1（舍去），.⊙0的半径为5+1. 5.【解】(1DPA与⊙O相切.理由如下： 如图，连接OA,易知OP是⊙M的直径， 点A是⊙M上一点，∴.∠OAP=90°，即OA⊥PA 又OA为⊙O的半径，.PA是⊙O的切线. (2)如图，设AB与OP的交点为E,连接(OB,AM.BM MA=MB,OA=OB,∴，OP是线段AB的垂直平分线， ,.AB⊥OP.AE=BE. OP=9,OA=3,由(1)可知，∠OAP=90, Sw=20A·AP=2AE·OP,OA·AP=AEOP AP=OP-OA=62. ∴3×62=9AE,.AE=22,.AB=42 M 0 E M B 第5题答图 第6题答图 6.(1)【证明】如图，连接OD,则OD=OA,∴.∠ODA=∠OAD. AD平分∠CAB,.∠OAD=∠DAC, .∠ODA=∠DAC.∴.OD∥AC :DE⊥AC..∠ODF=∠AED=90° “,OD是⊙O的半径，且DE⊥OD,直线DE是⊙O的切线. (2)【证明】：线段AB是⊙O的直径，∴.∠ADB=90°， .∠ADM=180°-∠ADB=90°， .∠M+∠DAM=90°，∠ABM+∠DAB=90. ∠DAM=∠DAB.∴∠M=∠ABM,∴.AB=AM. (3)[解】，∠AEF=90°，∠F=30°，.∠B.AM=60°， 由(2)知，AB=AM,∴.△ABM是等边三角形，.∠M=60 ",∠DEM=90..∠EDM=30. 又，ME=1..D=2ME=2, 又：AB=AM.ADLBM,∴.BD=MD=2. ∠BDF=∠EDM=30°，.∠BDF=∠F,BF=BD=2. 专题三最值问题 1.4【解析】如图，作A关于CD的对称 点Q,连接CQ,BQ,BQ交CD于P,此 时AP+PB=QP+PB=QB,根据两 点之间线段最短，PA十PB的最小值 D 为QB的长度，连接OQ,OB,易得 ∠QOD=2∠QCD=2×20=40. 点B为AD的中点，∴∠BOD= 第1匙答图 ∠ACD=20°，.∠BQ=20°+40°=60° :OB=OQ△B0Q是等边三角形.∴BQ-OB=号CD=4, 即PA+PB的最小值为4.故答案为4. 2.D【解析】如图，取BC的中点T,连接ET,CE,AT. AC=BC./ACB=90,AB=4. AC=BC=2V2,..CT=BT=2. ∴.AT=￥CT+A@ =V(2)2+(22)2=/10 :CD是直径，÷.∠CED=∠CEB= 90,…ET=2BC=2。 0 :AE≥AT-ET=、10-2. ·AE的最小值为、10-√2，故选D. 第2题答图 3.A【解析】如图，连接OA,:⊙O的半径OF⊥弦AB于点E, AB=6.·AE=BE=2AB=3,设⊙0的半径为r,可知当C, O,F在同一条直线上时CE最长，此时CE=OE+OC, .r+r-EF=9..EF=2r-9. 在Rt△AOE中，由勾股定理，得OE=OA一AE, ∴.一(2一9)=-3，解得r=5,.E℉=2r一9=1.故选A M BN 第3题答图 第4题客图 4【解】链接OA,如图.：C是OB的中点，且AC=OB。 ∴.∠0AB=90°.又∠OBA=30°，.∠AOB=60°. 又：AB=2/3,OA=OC,∴.△OAC是等边三角形，.OA=AC =2.过点O作OE⊥AC于点E,延长E)交圆于点F,当点P与 点F重合时，△APC的面积取得最大值. 在Rt△(OAE中，OA=2,∠OAC=60,∴.OE=5,∴.FE-2+ 瓦，·△APC面积的最大值为号·AC·FE=2+3, 5.D【解析】连接PQ,OP,如图. :直线OQ切⊙P于点Q,∴.PQ1OQ 在Rt△COPQ中， OQ=VOP-PQ=0P-1. 即当(OP最小时，OQ最小. 第5题答图 当OP垂直于直线y=2时，OP有最小值2， ·OQ的最小值为、2一1=3 设点Q的横坐标为a小S%四=2×1×y5=2×2×a, ÷。=士号Q点的纵坐标为√)-（士号-是 六Q点的坐标为（±受，号）放选D 6.号【解析】连接OD,如图， :CD⊥C,∴.∠D)=90°， ∴CD=OD-C=VP-, A 当OC的值最小时，CD的值最大，而OC ⊥AB时，OC最小，此时D,B两点重合， CD=CB=号AB=X1= 第6题答图 即CD的最大值为分·故答案为号 7.B【解析】：CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E,CE=DE :点G是DF的中点.EG=CF,EG∥CF 真题圈数学九年级U2N 当C下为直径时，G取最大值，如图，此时， A OE=CE=2,∠D=90°.∴.∠OCE=∠COE =45”,.∠DEG=∠OCE=45 .GD=DE=2,当线段EG取得最大值 时，点G到弦CD的距离是2，故选B 8.C【解析】连接BP,如图.当y=0时， 子-4=0，解得=48=-4 第7题客图 .A(-4.0),B4,0),∴.OA=(OB 又Q是线段PA的中点， ∴OQ为△ABP的中位线.OQ之B那 当BP的值最大时.Q最大，而当BP过圆 B x 心C时，BP的值最大，如图，点P运动到P 位置时，BP的值最大.：BC=√3+4=5， 第8题答图 、BP=5+2=7,…线段0Q的最大值是子.放选C 专题四隐形圆 1.B【解析】，在四边形ABCD中，AB=AC=AD, ,∴B,C,D三点在以A为圆心，AD为半径的圆上. :∠CBD=23°，∴.∠CAD=2∠CBD=46,故选B 2.(4,4)【解析】如图，：点C为坐标平面内一点，C=22, .点C在以点B为圆心，22为半径的⊙B上，取OD=OA=6, 连接CD.,点M为AC的中点， 4 ∴.AM=(CM.又OD=OA. ·OM是△ACD的中位线， M OM-CD.OM//CD. 当OM取最大值时，CD取最大值，当D 0 D,B,C三点共线时，M取最大值 ,OB=O0A=OD=6,∠1BOD=90°， 第2题答图 .BD=62,∠(CDO=45..CD=BD+BC=6、2+22= 82,∴OM=2CD=42,即OM的最大值为4W2. 又：OM∥CD,∠MA=∠CDO=45°， .点M的坐标为(4,4).故答案为(4.4) 3.C【解析】如图，取AC的中点T,连接DT,T, AD-DB.AT-TC.:DT-7BC-2. :CELAF,.∠AMC=90.TM=号AC=3. .点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆， DM≥TM-DT=3一2=1，.DM的最小值为1.故选C. D 8 B F 0 第3题容图 第4题容图 4.13-2【解析】如图，取AC的中点O.连接B/,E0,BC CELAD,.∠AEC=90, ,在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动. :AB是直径，∴.∠ACB=90°，在Rt△ABC中， AC=4.AB=5,BC=/AB-AC=5-4=3. 在Rt△B中，B=WBC+)F=√3+2=√/13. ,OE+BE≥OB,.当O,E,B共线时，BE的值最小，最小值 为(B一0E=13一2.故答案为√13一2. 答案与解析 5.【解】存在点P如图，延长DA.CB交于点E. :∠DAB=120°，∠ABC=∠CDE=90°，AB=1..∠E=30, ∠BCD=60°.AE=2,BE=3,∴.CE=2CD=43,DE=6. ∴.AD=DE-AE=6-2=4.bC=CE-BE=43-√3=33. 过点P作PQLAD, :Sam=2AD·PQ当PQ最小时.Sw有最小值 过点C作CD的垂线，交BC的垂直平分线于点O(作法路)，连 接BO,则B)=O,则∠OBC=∠B=90°-∠BCD=30°，易 得∠BC=120,B0=CO=3.以点0为圆心.B0为半径作圆， 由圆周角定理可知BFC所对的圆周角=号(360°-∠B0C)= 120°，：∠BPC=120°，∴.∠BPC即BFC所对的圆周角，故点P 在BC上，OP=OB=3.当O,P,Q三点共线时，连接OQ,则PQ, OQ有最小值，且OQLDE,PQ=OQ-OP=OQ-3. :∠0CD=∠CDQ=∠OQD=90°，.四边形(OCDQ为矩形， ·0Q=DC=25,PQ的最小值=0Q-3=25-3, ·5e的最小值=2×4×(2尽-3)=43-6，放存在符合 条件的点P,位置如图，且△APD面积的最小值为43一6. A B B、EO 第5题容图 第6题客图 6.4一22【解析】如图，作△ABC的外接圆⊙O,连接OA,OB, (OC.过点O作OE⊥BC于点E.则∠BOC=2∠BAC.OA=(OB= 0C,BE=CE-BC,:∠BAC-=45,.∠B0C=90,∠OBC =∠0CB=5设0A=0B=0C=则OE-号，BC=2BE :A0-OE≥AD.AD-反.r+号≥2.解得≥22 一2.∴.BC=√2r≥4-22，.BC的最小值为4-22. 故答案为4-22. 7.A【解析】如图，在Rt△ABC中，由勾股定 理得AB=√/6+8=10.在AB的下方作 等腰直角三角形AQB,∠AQB=90°，作 BH⊥QC于点H,,点O在以点Q为圆 :10 心，QB为半径的圆上，BQ=QA=2 5w2.,∠AQB+∠ACB=180,∴.点A 第7题答图 C,B,Q四点共圆，∴.∠BQ=∠BAQ=45,∴BH=CH= 3v2.在R△BQH中，由勾股定理得QH=(52)一(3/2) =4V2,.CQ=CH+QH=3w2+4w2=72 当点C,Q,O共线时，OC的值最大， ·0C的最大值为0Q+(CQ=5v2+72=12互.故选A 8.,34【解析】如图，作GM⊥DE于点 D M,GH⊥AB于点H.:EF是∠DEB 的平分线..GM=GH ∠DAE=∠DGE=90°，.A,D,G,E E H 四点共圆，∴.∠GAH=∠MG, 第8题客图 ,.△GAH≌△GDMCAAS),∴.AG=IDG,,.AG+BG=DG+ BG.当D,G,B三点共线时，AG+BG有最小值，最小值是BD 的长，∴AG+BG的最小值是/5+3=34，故答案为3. 第二十五章概率初步 专题一概率计算 1.A 2. 3.【解】画树状图如图.共有9种等可能的结果，其中两次中的彩蛋 颜色不同的结果有4种，一某同学获一等奖的概率为分 开始 红 红 绿 红红绿红红绿红红绿 第3题容图 4.【解】列表如下： 第二次 第一次 型 翰 笔 圆 规 (铅，铅) (铅，钢) (铅，笔) (铅，圆) (铅，规) 朝 (钢，铅) (钢，钢) (钢，笔) (钢，圆) (钢，规) 笔 (笔，船) (笔，钢) (笔，笔) (笔，圆) (笔，规) (圆，铅) (圆，钢) (圆，笔) (圆，调) (圆，规) 规 (规，铅)（规，钢）（规，笔） (规，圆)（规，规） 共有25种等可能的结果，其中他经过两次“有效随机转动"后获 奖的结果有（铅，笔），（钢，笔），（笔，铅），（笔，钢），（圆，规），（规， 圆).共6种一他经过两次有效随机转动”后获奖的概率为号 5.C 开始 6.B【解析】画树状图如图，共有3种等可能的 结果，其中最后一只摘到A的情况有1种， ·最后一只摘到A的概率是子故选B B 7,【解】(1)·酚酞遇酸性和中性溶液不变色，B B 湛碱性溶液变红色，.小周将酚酞溶液随机 第6题答图 滴入其中一瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和硝酸钾溶液（呈中性）不 变色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钾溶液（量碱性）变红， ·结果变红的概率为子-合 1 (2)列表如下： A C D (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (C,B) (D,B) C (A,C) 《B,C) (D.C) D (A.D) (B,D) (C,D) 由表知，共有12种等可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变 红色的有(D,C),(C,D),共2种结果，所以两瓶溶液恰好都变红 色的概率=是-合 1 8【解D号 (2)列表如下： 周六 周日 A B D E A (B,A) (C,A)(D,A)(E,A) B (A.B) (C,B) (D,B)(E,B) (A.C) (B.C) (D.C)(E.C D (A.D <B.D) (C.D) (E.D) E (A,E)(B,E)(C,E)(D,E)