(九上)第23章 旋转-【真题圈】2025-2026学年九年级全一册数学重难题型练（人教版）

重难题型练 第二十三章旋转 专题一旋转中的边角计算 类型1角度计算 BC=3,AE=5,则线段BD的长为() 1.(期末·深圳福田区)如图，△ABC绕点C A.√2 B.2√2 C.32 D.4√2 顺时针旋转70°到△DEC的位置.如果 6.(期中·武汉江岸区)如图，在Rt△ABC中， ∠ECD=30°，那么∠ACE等于() ∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1,将△ABC A.70° B.50° C.40° D.30° 绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此 时点A'恰好在AB边上，连接BB,则 △A'BB'的周长为 第1题图 第2题图 2.(期末·广州番禺区)如图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转 A 90得到△AB'C(点B的对应点是点B',点 第6题图 第7题图 C的对应点是点C),连接CC.若∠CCB 7.(期中·大连中山区)如图，在Rt△ABC中， =20°，则∠B的大小是() ∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3,将△ABC A.70° B.65 C.60°D.55 绕点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C,其 3.(期中·北京海淀区)如图，在△ABC中，AB 中点A'与点A、点B与点B是对应点，连接 =AC,∠BAC=50°.将△ABC绕点A逆时 AB,且A,B',A'在同一条直线上，则AA'的 针旋转到△ADE.若AD⊥BC,则旋转角的 长为 度数是 8.(期中·广州海珠区)如图，在边长为6的正 方形ABCD中，E是CD的中点，将△ADE 绕，点A顺时针旋转90°得到△ABF,G是BC 上一点，且∠EAG=45°，连接EG (1)求证：△AEG≌△AFG. 第3题图 第4题图 (2)求点C到EG的距离. 4.(期中·福州晋安区改编)如图，在△ABC 中，∠C=40°，将△ABC绕点A按逆时针方 向旋转后得到△ADE,连接BD.当DE∥ AC时，∠ABD=( A.60° B.70° C.80 D.90 第8题图 类型2边长计算 5.(期中·大连甘井子 区改编)如图，在 △ABC中，∠ABC= 90°，将△ABC绕点A 逆时针旋转90°，得到 第5题图 △ADE,连接BD.若 真题圈数学九年级R!2N 专题二 旋转模型 类型1共顶点旋转模型 3.探究性试题（月考·青岛大学附中）综合与 1.如图，在等腰直角三角 A 实践 形ABC中，∠ABC= (1)问题解决：已知四边形ABCD是正方形 90°，点P在AC上， 以B为顶点作等腰直角三角形BEF,BE ∠ABP=15°，将△ABP BF,连接AE,CF.如图①，当点E在BC上 绕顶点B沿顺时针方向 时，请判断AE和CF的关系，并说明理由. 旋转90°后得到△CBQ, (2)问题探究：如图②，点H是AE的延长线 则∠BQC等于() 与直线CF的交点，连接BH,将△BEF绕 A.90° B.105 第1题图 点B旋转，当点F在直线BC右侧时，求证： C.120° D.1359 AH-CH=√2BH. 2.(期中·天津河西区)如图，已知在△ABE (3)问题拓展：将△BEF绕点B旋转一周， 中，∠ABE=120°，将△ABE绕点B顺时针 当∠CFB=45°时，AE交CF于点H,若 旋转60°得到△CBD,AE和DC交于点P, AB=3,BE=1,请直接写出线段CH的长 连接AC,DE. (1)△ABC和△BDE都是等边三角形吗？ 说明理由。 (2)求∠APC的度数， ② D 第2题图 B 备用图 第3题图 重难题型练 4.(期中·福州晋安区)如图，在等边△ABC (1)在图①中，连接EF,为了证明结论“EF 中，P为△ABC内的一点，连接AP,BP, =BE+DF”,小亮将△ADF绕点A顺时针 CP,且∠BPC=120°.将线段AP绕点A顺 旋转90°后解答了这个问题，请按小亮的思 时针旋转60得到线段AP,连接PP,BP' 路写出证明过程。 (1)求∠PBP的度数. (2)当∠EAF绕点A旋转到图②位置时，试 (2)若M为BC的中点，连接PM.请探寻 探究EF与DF,BE之间有怎样的数量 PM与AP的数量关系，并说明理由 关系 3若AB=2V3,部-是，请直接写出AP 的长是 M 第4题图 6.(期中·广州白云区)(1)如图①，四边形 ABCD是正方形，E,F分别在边BC和CD 上，且∠EAF=45°，请直接写出线段EF, BE,DF之间的关系： (2)如图②，等腰直角三角形ABD,∠BAD =90°，AB=AD,点E,F在边BD上，且 ∠EAF=45°，请写出EF,BE,DF之间的关 系，并说明理由 (3)如图③，在△ABC中，AB=AC,∠BAC 金星教育 =120°，点D,E在边BC上，且∠DAE 60°，当BD=10,EC=16时，求DE的长. D 类型2半角模型 5.探究性试题已知，如图①，四边形ABCD是 正方形，E,F分别在边BC,CD上，且 ∠EAF=45°，我们把这种模型称为“半角模 型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种 常用的方法。 ③ 第6题图 ② 第5题图 真题圈数学九年级R!2N 专题三 最值问题 1(期中·济南槐荫区)已知等边△ABC的边长 5.(期中·广州白云区)如图，△ABC为等腰 为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点 直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2√2， A逆时针旋转60°得到△ACQ,点D是AC边 D为线段AC的中点，在BC上任意取一点 的中点，连接DQ,则DQ的最小值是() P,连接AP,将线段AP绕点A逆时针旋转 90得到AP',DP'的最小值为 P B 第5题图 第6题图 第1题图 6.(期中·西安交大附中)如图，在△ABC中， A.√2 B.5 AC=√10，AB=3,以点C为旋转中心，将 C.2 D.不能确定 线段BC顺时针旋转90°，得到线段CD,连 2.(期末·广州天河区)如图，在Rt△ABC中， 接AD,则线段AD的最小值为 ∠ACB=90°，将Rt△ABC绕顶点C逆时针 7.(月考·人大附中)如图，在Rt△ABC中， 旋转得到Rt△A'B'C,M是BC的中点，P ∠C=90°，∠A=30°，BC=5,点P是AC边 是A'B'的中点，连接PM.若BC=2,∠BAC 上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋 =30°，则线段PM的最大值为( ) 转60°得到线段BQ,连接CQ, A.2.5 B.2+√3 (1)请补全图形 C.3 D.4 (2)在点P运动过程中，求线段CQ的最大 值和最小值， 第7题图 第2题图 第3题图 3.如图，在等边△ABC中，BC=4,P是AC边 上的高BD上的一动点，连接CP,将线段 CP绕点C顺时针旋转60°到CN,连接DN, 则线段DN的最小值为( ) A司 B.1 C.3 D.2 4.如图，在矩形ABCD中，AB=3,将AB绕点 B顺时针旋转a(0°<a<90)得到BE,连接 DE,若DE的最小值为2，则BC的长 为 第4题图 重难题型练 专题四 构造旋转 1.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2,0), 社区计划将长方形ABCE内部作为休闲广 B(5,0),点P为线段AB外一动点，且PA 场区域，△AEF和△ECD内部作为绿化区 =2,以PB为边作等边三角形PBM,则线 域.设AE的长为x(单位：m),CE的长为 段AM的最大值为( y(单位：m). A.3 B.5 ①求y与x之间的函数关系式； C.7 D.√2I ②若x=100,求绿化区域的面积.（△AEF y 和△ECD的面积之和，结果不取近似值) 第1题图 第2题图 ① ② 第4题图 2.如图，点E为正方形ABCD内一点，如果 BE=30,CE=20,DE=10,那么正方形 ABCD的面积为 3.(期末·西安铁一中)如图，△ABC为等边 三角形，点P为△ABC内一点，且PB=3, PC=5,∠BPC=150°，M,N分别为AB,AC 上的动点，且AM=AN,则PM+PN的最 小值为 清品图书 第3题图 4.情境题（期中·西工大附中）问题提出： (1)如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B =30°，BC=8,则AB= 问题解决： (2)如图②，某社区有一块六边形空地ABC DEF,其中AF=CD,EF=ED,∠BAF= 105°，∠FED=120°，∠BCD=135°.连接 AE,CE后发现四边形ABCE为长方形.该 19+8)=一是(m+号)广+婴当m=一号时，△ADE的面积 最大，为婴此时D(一号，罗） (3)点P的坐标为（一1，-2十√19）或(-1，-2-√19)或 (-1,1T)或(-1，-√T)或(-1,1). 分析：”y=一是-是+6=-是+1)9+华， ·抛物线的对称轴为直线x=一L 设P(-1.t). ①△AEP为等腰三角形，且以AP为底边.∴AE-PE, ∴AE=PE,.4+22=1+(1+2).解得4=-2+19， e=-2-、19,.P(-1,-2十√19)或P(-1,-2-1). ②△AEP为等腰三角形，且以PE为底边.AE=AP. ∴AE=AP,∴4+2=(-1+4)2+，解得4=√T, =-,∴P(-1,I)或P(-1,-/行). ③△AEP为等腰三角形，且以AE为底，.AP=PE,∴，A PE,∴.(-1十4)2+=1十(1+2)2，解得=1，∴.P(一1,1). 综上所述，点P的坐标为（一1，一2+/19）或（一1，一2一v19) 或(-1，T)或(-1，-行)或(-1,1). 7.【解】(1)将1,0)和(3，-12)代人y=a.x2+6x+3,得 8十%+3=-12.解得8二 1a+b+3=0, b=-2, .抛物线的解析式为y=一z2一2x+3. (2)如图①，由y=一2一2x十3得对称轴为直线x=一1，A(一3， 0),C(0,3),∴·AO=0C=3,.△A0C是等腰直角三角形. :F在对称轴1上，点P在抛物线上，过点P作对称轴！的垂 线，垂足为E,∴∠PEF-90° ,以P,E,F为顶点的三角形与△AOC全等，，PE=EF=)A =OC=3,∴.xp=-4或xm=2,.P(-4,-5)或P(2,-5). (3)存在.设P(1,一-21+3)，Q(0,m),而A(-3.0).B(1.0) ①以PQ,AB为对角线，则PQ的中点即AB的中点，如图②. ：+0=-3+1, --2+3十m=0+0.解得1=-2P(-2.3). 解得=4 ②以PA,QB为对角线二二21十3，解 .P(4,-21). 1+1=-3, ③以PB,QA为对角线，， {-t-21+3=m, 解得1=一4 .P(-4,-5). 综上所述，点P的坐标为（一2,3）或(4，-21)或（一4，一5）. ② 第7题答图 8.【解】(1)，A(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1,.抛物线和 x轴的另外一个交点为（一1,0），∴.抛物线的解析式为y=(.r 十1)(x一3)=a.x2+x十3，解得a=一1，∴.抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3. 真题圈数学九年级U2N (2)由题意得，当-1<1<1.一1≤x≤1时，y=一+2x+3=0 在x=一1处，取得最小值0，在x=1处取得最大值2一1， 由21一1=一？十21+3，解得1=一2或1一2，均不符合题意： 当1≤<3，一1≤x≤t时，在抛物线的顶点处取得最大值，抛物 线的顶点坐标为(1,4)，则21一1=4，解得1=2.5. 综上，4的值为2.5. (3)存在，由抛物线的解析式知，点B(0,3), ①如图①，当BC为菱形对角线时，对应菱形为BDCE,则BD CD,由点A,B的坐标得，直线AB的解析式为y=一x十3，设 C(m,-m+2m+3),点Dm,-m+3),则CD=-m+2m十3 (-m+3)=-m+3m,BD=√2m.BC=V√m+(一m+2m), ,.一m2十3m=2m,解得m=3一√2或m=0(舍去)， 则BD=2m=32-2.即菱形的边长为32一2. 4 ①D 第8题答图 ②如图②，当BD为菱形的对角线时，对应菱形为CDE,则CD= BC..一i+3n=√m十（一m+2m),解得m=2或m=0(含 去)，则CD=一m十3m=一2+3×2=2，即菱形的边长为2. 综上，菱形的边长为32一2或2. 第二十三章旋转 专题一旋转中的边角计算 1.C【解析】，△ABC绕点C顺时针旋转70到△DEC的位置， .∠ACD=70.:∠ECD=30°.∴.∠ACE-∠ACD-∠ECD =40°.故选C 2.B【解析】：将△ABC绕点A顺时针旋转90得到△ABC, ,AC=AC,∠CAC=90,∠B=∠AB'C',∴.∠ACC=45, .∠ABC=∠ACC'+∠CCB'=45+20=65, .∠B=∠ABC'=65,故选B 3.25【解析】AB=AC,AD⊥BC,.∠BAD=∠CAD= 号∠BAC:∠BAC=50,∴.∠BAD=25故答案为25 4.B【解析】：将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得到 △ADE,.△ADE≌△ABC,∴.∠C=∠E=40°.，DE∥AC, .∠E=∠EAC又∠BAD=∠EAC,.∠BAD=∠C 40.:AB=AD.·∠ABD=∠ADB.·∠ABD=号(180°- ∠BAD)=70°.故选B. 5.D【解析】由旋转的性质可知BC=DE=3,AB=AD.在 Rt△AED中，DE=3,AE=5,∠ADE=90°，.AB=AD=4.又 :旋转角为90.∴.∠BAD=90°.在Rt△ADB中.BD=42. 故选D. 6.3十3【解析】：∠ACB=90,∠A=60°，AC=1..∠ABC= 30°.∴.AB=2AC=2..BC=/AB-AC=2-下=5. 由旋转的性质得AC=AC,BC=BC,A'B=AB=2, .△AA'C是等边三角形，∴.∠BCB=∠ACA'=60,AM' AC=1,△BB'C是等边三角形.·AB=AB-AA=2-1= 1.BB=BC=3.∴.A'B+A'B'+BB=1+2+3=3+3. .△ABB'的周长为3+3.放答案为3+. 答案与解析 7.9【解析】在R1△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3, ∴.∠CAB=30°，故AB=6.:△A'B'C由△ABC绕点C顺时 针旋转得到，其中点A'与点A是对应点，点B与点B是对应 点，且A,B,A在同一条直线上，∴.AB=AB=6,AC=A'C, ∠A'=∠CAB=30,·.∠CA4'=∠A'=30°，∴.∠ACA'= 120,∴.∠AB=∠BAC=30°，.AB=BC=3, .AA'=3十6=9.故答案为9. 8.(1)【证明】由旋转的性质，得AE=AF,∠D=∠ABF=90°， ∠DAE=∠BAF,∴.∠ABC+∠ABF=180°，∴.F.B,C三点共 线.，∠DAB=90,∠EAG=45,.∠DAE+∠GAB=45, .∠BAF+∠GAB=45,即∠FAG=45°，.∠EAG=∠FAG. AE-AF, 在△AEG和△AFG中，∠EAG=∠FAG. LAG-AG. '.△AE≌△AFG(SAS). (2)【解】：△AE≌△AFG,.EG=FG.正方形ABCD的 边长为6，E是CD的中点，∴.DE=CE=BF=3. 设CG=x,则BG=6一x,EG=FG=BG十BF=9一x 在R1△EG中，.2+3=(9一x)',解得x■4，即CG=4,.G=5. 设点C到BG的距离为h,则Sm-之CE·CG=之GE·: 即h-C法CG-导点C到G的距离是号 G 专题二旋转模型 1.C【解析】∠ABC=90,AB=BC,.∠BAP=∠BCA= 45,:将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到 △CBQ,∴.∠ABP=∠QBC=15,∠BAP=∠BQ=45, ,∴.∠BQC=180°-15-45°=120°.故选C 2.【解】(1)△ABC和△BDE都是等边三角形.理由如下： :将△ABE绕点B顺时针旋转60得到△CBD, ∴.AB=CB,BE=BD,∠ABC=∠EBD=60°， ,·△ABC和△BDE都是等边三角形. (2)如图，：将△ABE绕点B顺 时针旋转60°得到△CBD, .△ABE≌△CBD,∠ABC= 60°，∴.∠BAE=∠BCD. 又∠1=∠2. ∠ABC=180°-∠BAE-∠2. B ∠APC=180°-∠BD-∠1， 第2题答图 ∴∠APC=∠ABC=60. 3.(1)I解】AE=CF,AE⊥CF 理由：如图①，延长AE交CF于点G,:四边形ABCD是正方 形，点E在BC上，.AB=CB,∠ABE=90° :BE=BF,∠EBF=90, .△ABE☑△CBF(SAS),..AE=CF,∠BAE=∠BCF '∠AEB=∠CEG,∴·.∠BCF+∠CEG=∠BAE+∠AEB= 90,∴.∠(CGE=90°，.AE⊥CF. (2)【证明】如图@，在AH上截取AL=CH,连接BL ,·AB=CB.∠ABE=∠CBF=90-∠CBE,BE=BF, ,.△ABE2△CBF(SAS),.∠BAE=∠BCF. ∠BAL-∠BCH,∴.△BAL≌△BCH(SAS)..BL.-BH, ∠ABL=∠CBH,.∠LBH=∠LBC+∠CBH=∠L,BC+ ∠ABL=∠ABC=90°，.LH=VBL+BH=/2BH 2BH.∴.AH-AL=LH=2BH,∴.AH-CH=2BH 3汇解cH的长为-号或+号 分析：当∠CFB=45°，且点F在直线BC右侧时，如图③， ,BE=BF,∠EBF=90°，.∠EFB=∠FEB=45, .∠EFB=∠CFB,.点E在CF上，点H与点E重合. 作BN⊥AE于点N,则∠BNF=∠BNC=9O°， BC=AB=3.BF=BE=1...EF=/BE+BF= =EBN=EN=FN=EF-竖 CN=v--V8-()- 2 CH-CE-CN-EN 当∠CFB=45°，且点F在直线BC左侧时，如图④，设CF与AB 交于点P,,'AB=CB,∠ABE=∠CBF=90°+∠ABF,BE= BF,∴.△ABE≌△CBF(SAS)..∠BAE=∠BCF,AE=CF ,∠APF=∠BPC,.∠BAE+∠APF=∠BCF+∠BPC 90.∴.∠AFC=90.∴∠AFC+∠CFB+∠BFE=180°. .点F在AE上，且点H与点F重合 作BQ⊥AE于点Q,则∠BQE=∠BQA=90°， :AB=3.0-0-B0含F=号。 AQ-as-0-√-（慢）=@. CH=CP=AE=AQ+0要+竖 综上所述，线段CH的长为国号或+ 2 G ① 0 E(H B AH)Q ① 第3题答图 4.【解】(1)：△ABC是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60. ∠PAP=60°，.∠PAP=∠BAC,∴.∠BAP=∠CAP. AP=AP,∴.△BAP≌△CAP(SAS), .∠ABP=∠ACP. :∠BPC=120°..∠PBC+∠PCB=60°=∠ACP+∠PCB. .∠PBC=∠ACP=∠ABP,∴.∠PBP=∠ABP+∠ABP =∠PBC+∠ABP=60,即∠PBP的度数为60. (2)AP-2PM,理由如下：延长PM到 点N,使得PM=NM,如图①. :M为BC的中点，∴.BM=CM '∠BMN=∠CMP, .△BMN≌△CMP(SAS), .BN=CP,∠BCP=∠NBM. 由(1)可知，△BAP'2△CAP, .BP=CP,∴BP'=BN :∠PBN=∠NBM+∠PBM= 第4题答图① ∠BCP+∠PBM=180°-∠BPC=60°， ∴.∠PBP'=∠PBN=60.又BP=BP. .△PBP'≌△PBN(SAS),∴.PP'=PN=PM+MN=2PM :线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AP, ∴.AP=AP,∠PAP=60°.△PAP是等边三角形， ∴AP=Pp,∴.AP=2PM (3)2/13 分析：如图②，过点C作CE⊥BP交 BP的延长线于点E,过点P作PH ⊥BP交BP于点H,则∠CEP= ∠BHP=90°，'∠BPC=120, ∴.∠CPE=60°， ∠PCE=90°-60°=30°. 第4题客图② 设CP=3x.则BP=4x, PE-PC-CE-/PCT-PET 2, &BE=BP+PE=+号x-号 :E+CE=C,()+(3,)）广=27)， 解得x=2..CP=6,BP=8. 由△BAP'≌△CAP可知，BP'-CP=6. 在Rt△BHP中，∠BHP=90°，∠HBP=60°，∴.∠BPH 30,.BH-7BP-3,PH-PB-BI -3v3..PH- BP-BH=5,∴.PP=√PH+PF=√/(33)+5= 213,则AP=Pp=213. 5.(1)【证明】由旋转可得GB=DF,AF=AG,∠BAG=∠DAF, ∠ABG=∠ADF,,四边形ABCD为正方形， .∠B.AD=∠ADF=∠ABC=90°，.∠ABC+∠ABG=180°， .G,B,E三点在一条直线上 :∠EAF=45,.∠BAE+∠DAF=45°， .∠GAE=∠BAG+∠BAE=45°=∠FAE AG-AF, 在△AGE和△AFE中，∠GAE=∠FAE, AE-AE. .△AG≌△AFE(SAS),.GE=EF GE=GB+BE-BE+DF, .EF=BE+DF. (2)【解】如图②，把△ABE绕点A E 逆时针旋转90°.使AB与AD重合， 点E与点G对应，同(1)可证得 △AEP≌△AGF(SAS), .EF=GF,且DG=BE ∴.EF=DF-DG=DF-BE 6.【解】(I)EF=BE+DF 第5题答图 (2)EF2=BE+DF2,理由如下： 把△AFD绕点A顺时针旋转90得到△ABE,连接EE,如图 ①.则BE=FD,AE=AF,∠D=∠ABE.∠FAD=∠EAB. :AB=AD,∠ABD=∠D=45°. ∴.∠ABD+∠ABE=90°， 即∠EBD=90°，∴.EB+BE=EE, 又'∠FAE=45,.∠BAE+∠FAD=45, ∴∠EAB+∠BAE=45°，即∠EAE=45,∠EAE=∠FAE (AE-AE. 在△AEE和△AEF中，∠EAE=∠FAE. LAE=AF. ·.△AEE≌△AEF(SAS),.EE=FE,∴.EF=BE+DF,C 真题圈数学九年级U2N B ① 第6题答图 (3)把△ACE绕点A顺时针旋转120°得到△ABP,连接PD,如 图@.则AP=AE,PB=CE=16,∠PBA=∠C,∠EAP ∠BAC=120°. AB=AC,∠BAC=120°，∴.∠ABD=∠C=∠ABP=30°， .∠ABD+∠ABP=60°，即∠PBD-60°. ∠DAE=60,∴.∠PAD=∠EAP-∠DAE=120°-60°= (AD-AD. 60.在△AED和△APD中，∠EAD=∠PAD=60, AE=AP, .△AED≌△APD(SAS),∴.ED=PD 过点D作DH⊥BP,垂足为H,:∠PBD=60,∴.∠HDB=30, BH=2BD=2×10=5,HD=√BD-BF=10-5 =5V3,..HP=BP-BH=16-5=11...PD=HP+HD =11+(53)=14.∴.DE=PD=14. 专题三最值问题 1.B【解析】由旋转可得∠ACQ=∠B=60°. ∠ACB=60°，.∠BQ=120°，：点D是AC边的中点， .CD=2,当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时，∠CDQ=30°. ·GQ-2cD-1.…DQ-2-下=5. .DQ的最小值是3.故选B 2.C【解析】如图，连接CP. ∠ACB=90°，∠A=30,BC=2. 'AB=2BC=4. BC的中点为M, “CM=c-2×2=1. C M :△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C, 第2题答图 P是AB的中点CP=号AB=号AB=号×4=2 由三角形的三边关系得，CM十CP>PM,∴.当P,C,M三点共 线时PM有最大值.此时PM=CM+CP=1+2=3.故选C, 3.B【解析】如图，取BC的中点M,连接 A PM,:△ABC为等边三角形，BD为 △ABC的高，，.∠ACB=60,AC=BC, 点D为AC的中点，.CD=CM=号BC P =2.由旋转得，PC=CN,∠PCN=60°， B M '.∠PCM+∠DP=∠NCD+∠DCP= 第3题答图 60°，∴.∠PCM=∠NCD,∴.△NCD2△PCM(SAS),.PM= DN.∴，当PMLBD时，PM取得最小值，即DN取得最小值，此 时∠BPM=∠BDC=90°.∴.PM∥AC.:点M为BC的中点， :PM=CD=1.“线段DN的最小值为1.故选B 4.4【解析】连接BD(图略)，，BE+DE≥BD,.当B,E,D三 点共线时，BE十DE取得最小值，即此时DE取得最小值. :BE=AB=3,DE的最小值为2，∴，BD=5. 四边形ABD是矩形，AB=3,.CD=3,∠BCD=90°， .BC=√BD一CD=4.故答案为4. 5.1【解析】取AB的中点E,连接EP,DP,如图.由旋转的性质 答案与解析 可得∠PAP=90=∠BAC,AP=AP,∴.∠EAP=∠DAP, :AB=AC=22,D,E分别为 P AC,AB的中点，，BE=AE=AD =√2，∴.△AEP2△ADP'(SAS), ∴.EP=DP,EP的最小值就是 DP'的最小值.：点P在BC上，B P ∴当EP⊥C时，EP最小，此时 第5题客图 △BPE为等腰直角三角形，设EP=BP=x,由勾股定理可得，产+ x=2,解得x=1(负值已含去)，即DP的最小值为1.故答案为L 6.25-3【解析】如图.以C为旋 转中心，把CA顺时针旋转90°得 到CE,连接DE,AE,在△ADE 中，AD>AE-DE.当A.D,E三 点共线的时，AD最小. AC=CE=/10, 第6题答图 ∴.AE=√AC+CE=25. 根据旋转得∠BCD=∠ACE=90°，CB=CD,CA=CE, ·∠ACB=∠DCE,.△ABC2△EDC(SAS).·DE=AB= 3.∴AD≥AE-DE=25-3.故答案为25-3. 7.【解】(1)根据题意，作图如图①. A Q A 第7题客图 (2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，.∠ABC 60°，将△ABC绕点B顺时针旋转60得到△A'BC,如图②，则 直线BM'与直线BC重合，∴.AB=A'B,∠A=∠A'=30°， ∠A'BC=60°，则A'.C,B三点共线. ,线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ, ∴.∠PBQ=60°，.∠ABP+∠PBC=∠PBC+∠CBQ. '.∠ABP=∠A'BQ,.△ABP≌△A'BQ(ASA), .∠APB=∠A'QB,AP=A'Q,同理可得，△PB≌△QBC, ∴PC=QC.∠BPC=∠BQC..∠APB+∠PBC=∠A'QB +∠BQC=180°.∴点A',Q,C三点共线. 根据题意可知，BC=5,,∠A=30°，·，AB=2BC=10.当点P 与点A重合时，点Q与点A'重合，A'C■AB一BC=10一5=5， .(CQ=CA=5.当点P与点C重合时，点Q与点C重合， 则∠PBQ-∠CBC=60°，∴.△CBC(△PBQ)是等边三角形， .CQ-CB-BC=5. 综上所述，线段CQ的最大值为5. :当CQLA'C时，CQ的值最小，根据上述证明可知，A'C AB-BC-10-5=5,在R△ACQ中，CQ-号AC=是×5= 吾线段CQ的最小值为号 专题四构造旋转 1,B【解析】如图，当点P在第一象限内 时，将△APM绕着P点顺时针旋转 60°，得到△DPB,连接AD,则DP= AP,∠APD=60°，AM=BD.∴.△ADP 是等边三角形，.BD≤AD十AB,可得 当点D在BA的延长线上时，BD最长，OD) 此时点D与点O重合.点A的坐标 第1题答图 为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，.AB=3,AD=AO=2, .BD=AD+AB=5=AM,.线段AM的最大值为5.故选B 2.500十200√2【解析】如图，将△CDE绕点C逆时针旋转90°得 到△CBE,连接EE,作BH⊥CE,交CE的延长线于点H, 则△CEE是等腰直角三角形，由勾股定理易得EE=2CE 202,∴.EE=800.:BE9=DE=100,BE=900, .EE十BE=BE, .∠EEB=90°. ∠CEE=45,∴∠BEH=45, 即△BHE是等腰直角三角形， .BE=2BH=2EH=、1OO= H 10,.BH=EH=5w2, B .CH=20+52. 第2题答图 :BC=BH+CHF-(52)2+(20+52)2=500+200w2. .正方形的面积为500+200,2.故答案为500+2002. 3.、34【解析】如图①，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到 △ACE.易证△PCE是等边三角形，∠AEC=∠BPC=150”, ∠PEC-60,.∠AEP=90. "AE=BP=3,PC=PE=5.∴.PA=/3+5=34 如图②，连接AP.将△APM绕点A逆时针旋转60°得到 △AFN,易证△PAF是等边三角形，PM=NF,·PF=AP= 、34.",PM+PN=NF+NP≥PF,∴，PM+PN≥/34， PM+PN的最小值为√34. A M P B ① 第3题答图 4.【解】(1)4v3 (2)①将△EDC绕点E顺时针旋 转，使ED落在EF上，连接AM. 如图所示.EF=ED,.点D 与点F重合，点C落在点M处 :四边形ABCE为长方形， .∠BAE=∠AEC=∠BCE =90°， B :∠BAF=105,∠BCD 第4题答图 135,.∠FAE=15°∠3=45 由旋转得ME=CE,CD=MF=AF,∠MEF=∠CED,∠4=∠3= 45.∴.∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CED+∠FEC=∠FED 120°，故∠MFA=30°，，∴.∠AFM=∠FAE+∠AF十∠FEMH ∠4=∠FAE+∠4+∠MEA=15°+45°+30°=90 MF=AF,∴∠1=∠2=45°，∴.∠AME=∠2+∠4=45+ 45=90°.：在R△AME中，∠MEA=30°，，AE=2AM, 由勾股定理可得ME=3AM,∴.CF-ME-√3AM, CE-号A6,即y-夏 ②在R△AMF中，由勾股定理可得AM=√2AF=2MF, 故Sw=号AFMF=}AM 当x=100时，y=503,AM=50m,ME=503m: Sae-2AM:ME-×50X50,5-1250,5(m). Sw=十AM:=625m,放绿化面积=S。十Sam=Sg +Sag=SNg-Sr=(1250/3-625)m2. 第二十四章圆 专题一圆的有关计算 1.D【解析】，OA=OD=5cm,CD=2cm∴.O=OD一CD=5 -2=3(cm).OD⊥AB,∴.AC=CB=、OA-OC v-3=4(m),∴.AB=2AC=8cm.故选D. 2.D【解析】如图，连接QA,设⊙0的半 径是r寸.：直径CDLAB. ÷AE=2AB=号×10=5（寸. C E ,CEm1寸，.OE=(r一1)寸 OA=OE+AE. 2=(r-102+5,.r=13. 第2题客图 ∴.直径CD的长度为2r=26(寸).故选D. 3.C【解析】，·AB是⊙O的直径，弦CDLAB于点E, .直径AB平分弦CD,E为CD的中点， 4CE=2CD-2AC.∠Ca0=30,·∠ACE=60 又：(C=0A=22,∴.∠CA0=∠A0=30°，∴.∠0CE=30°， ·在R△OCE中，OE=号OC-2,CE=/OC-OE V6.△A0C的面积=之×0A×CE-=23.枚选C 4.8≤a≤2√2T【解析】过点P作⊙O的直径CE,由垂径定理 知，当弦AB垂直平分CP时，弦AB最短，当弦AB垂直平分 PE时，弦AB最长.如图①，连接OA,,⊙O的半径为5，OP 1.CD-PD-2CP=2.0D=3. 在R△OAD中，AD=5-3=4∴a=AB=2AD=8. 如图②，连接OA,:⊙O的半径为5，OP=1,∴.ED=PD PE=3,0D=2.在R△0AD中，AD-/尽-2=v2可， a=AB=2AD=2/21 ∴这条弦的长度a的范围是8≤a2,2I,故答案为8≤a≤2√②. P 0 0 D B E ② 第4题答图 5D【解析】如图，连接OC,:在⊙O中，AB=AC. ·∠A0C=∠AOB.:∠AOB=50°，·∠A(0C=50°， ·∠ADC=号∠A0C=25.放选D. 第5题答图 第6题答图 6.A【解析】连接BC,如图.，AB为⊙O的直径，.∠ACB=90°， .∠DAB=∠DCB=90°-∠ACD=90°-56°=34，故选A. 7.145°【解析：∠A0B=70,.∠ACB=2∠A0B=2X70 真题圈数学九年级U2N =35.:A,B,C,D四点都在⊙O上，.∠ACB+∠ADB= 180°..∠ADB=180°-∠ACB=180°-35°=145°.故答案 为145. 8(II证明：∠ACB=号∠AOB,∠BAC-号∠BOC.∠ACB =2∠BAC.∴3∠A0B=2X号∠B0C∠A0B=2∠B0C (2)【解】如图，过点O作半径OD」 AB于点E,连接DB,.AE=BE '∠AOB=2∠BC,∠DOB= 0 专∠A0B.∠0B=∠B0C .BD=BC. AB=4,BC=5, .BE=2,BD=5. 第8题答图 在Rt△BDE中，∠DEB=90°，.DE=、BD-BE=1, 在Rt△BOE中，∠OEB=90°，∴.OB=(OB-1)2+2. 解得OB-号，即⊙0的半径是受。 9.B【解析】如图，连接OA.OB,:A,B,C,D为一个正多边形的 顶点，O为正多边形的中心.点A,B,C,D在以点O为圆心， OA为半径的同一个圆上.：∠ACB=20°，∴.∠AOB=2∠ACB =40这个正多边形的边数=警=以.板选B E D 月 第9题答图 第10题答图 10.D【解析】已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm,连 接OA,作OM⊥AB.易得到∠AOM=30°..AM=1em. ·.OM=√OA一AM=3cm.故选D. 11.B【解析】如图，连接OC,五边形ABCDE是⊙O的内接正 五边形.：∠BC=3=72,LBDC-立∠B0C=36 5 :0B=0C,BC=CD.∠0BC=∠0CB=180272=54, ∠DBC=∠BDC=36,∴.∠OBD=54°-36°=18，故选B. B 第11腿容图 第12题答图 12.B【解析】如图，连接OA,OB,过点A作AC⊥OB于点C, 则∠A0B=39-30.:0A=1,AC-0A= 12 :5m-合×1×号-子一这个圆的内接正十三边形的面 积为12×号=8故选B 13.C【解析】圆锥的侧而积=2x×3×5÷2=15元.故选C 14.C【解析】根据题意得1上1502-要(am, 180 3 则重物上升了受cm故选C 15.B【解析】连接(C,OD,如图.，AC,BD分别与⊙O相切于