第二十三章 旋转 章节（11知识点回顾+34题型练习） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025－2026学年九年级上册数学（人教版）

第二十三章 旋转 章节（11知识点回顾+34题型练习） 题型汇聚 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 题型四 求旋转中心的个数 题型五 旋转中的规律性问题 题型六 根据旋转的性质求解 题型七 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型八 旋转的性质及辨析 题型九 画旋转图形 题型十 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型十一 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型十二 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型十三 坐标与旋转规律问题 题型十四 线段问题(旋转综合题) 题型十五 面积问题(旋转综合题) 题型十六 角度问题(旋转综合题) 题型十七 其他问题(旋转综合题) 题型十八 坐标系中的旋转 题型十九 成中心对称 题型二十 画已知图形关于某点对称的图形 题型二十一 画两个图形的对称中心 题型二十二 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型二十三 中心对称图形的识别 题型二十四 判断中心对称图形的对称中心 题型二十五 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型二十六 中心对称图形规律问题 题型二十七 求关于原点对称的点的坐标 题型二十八 已知两点关于原点对称求参数 题型二十九 判断两个点是否关于原点对称 题型三十 说出一个图形到另一个图形的运动过程 题型三十一 按图形的变换要求画出另一个图形 题型三十二 分析图案的形成过程 题型三十三 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 题型三十四 求旋转对称图形的旋转角度 知识清单 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　 　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　 　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　 　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 知识点5．中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 知识点6．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 知识点7．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 知识点8．利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点9．利用平移设计图案 确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案． 通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 知识点10．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点11．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 题型练习 题型一 判断生活中的旋转现象 1．（24-25九年级上·云南·期中）下列运动中，不属于旋转的是（    ） A．电风扇叶片的转动 B．酒店旋转门的转动 C．钟摆的摆动 D．热气球点火升空 2．（23-24九年级上·广东珠海·期中）下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，和都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到． (1)说明得到的过程； (2)若点恰为的中点，，求的长． 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 5．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，和都是等边三角形，点在上（不与、重合），连接．    (1)由等边三角形的性质易证（不需证明），将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角： 旋转中心：________________； 旋转方向：________________；（填“顺时针”或“逆时针”） 旋转角：________________；（填角度大小） (2)在（1）的基础上，当时，求的度数． 题型四 求旋转中心的个数 6．（九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 旋转中的规律性问题 7．（24-25九年级上·广西河池·期中）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 题型六 根据旋转的性质求解 8．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 题型七 根据旋转的性质说明线段或角相等 9．（24-25九年级上·广西河池·期末）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图，点分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ∵， ∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点共线． 根据 ，易证 ，得． (2)类比引申 如图，四边形中，，，点分别在边上，．若都不是直角，则当与满足等量关系 时，仍有．并给予证明； (3)联想拓展 如图，在中，，，点均在边上，且．请你猜想应满足怎样的等量关系？（直接写出结论，不要求写出推理过程） 题型八 旋转的性质及辨析 10．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）基础运用 （1）如图1，在正方形中，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边上的点处，点不与点重合． ①求证：； ②求证： 创新探究 （2）如图2，在菱形中，，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边延长线上的点处．求证：． 题型九 画旋转图形 11．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 题型十 求绕原点旋转90度的点的坐标 12．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、．将绕原点顺时针旋转．画出旋转后的图形，并写出点和点的坐标． 题型十一 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 13．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)以点C为旋转中心将旋转，画出旋转后的； (2)将平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为________． 题型十二 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 14．（24-25九年级上·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移m个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，我们把这样的图形运动叫做图形的变换．如图，等边三角形的顶点A在第一象限，顶点B与原点O重合，顶点C在x轴的正半轴上，是经过变换所得的图形，其中点的坐标为，则n的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十三 坐标与旋转规律问题 15．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2024次，点B的落点依次为，，，…，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型十四 线段问题(旋转综合题) 16．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为 ．    题型十五 面积问题(旋转综合题) 17．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． (1)①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 题型十六 角度问题(旋转综合题) 18．（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 题型十七 其他问题(旋转综合题) 19．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，，为斜边的中点，为形外一动点且，若，，则的值为 ． 题型十八 坐标系中的旋转 20．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边的顶点与原点重合，将绕顶点顺时针旋转得到，将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，请回答：的坐标为 ． 题型十九 成中心对称 21．（24-25九年级上·全国·期末）将抛物线绕原点旋转，所得抛物线的解析式是（    ）i A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是 ． 题型二十 画已知图形关于某点对称的图形 23．（24-25九年级上·广西河池·期末）尺规作图：在图中作出四边形关于点O对称的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 题型二十一 画两个图形的对称中心 24．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，与关于点O成中心对称，与的顶点均在格点上． (1)请在图中直接画出点O； (2)将绕点C顺时针旋转得到，请画出． 题型二十二 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 25．（22-23九年级上·四川广安·期中）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 题型二十三 中心对称图形的识别 26．（23-24九年级上·广东江门·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分． 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形， 的直线将它分成面积相等的两部分． 应用1 ：如图2，若矩形 是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井 P 相邻． 请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理由． 应用2 ：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线 将图3的阴影部分分成面积相等的两部分． （不写作图过程，保留作图痕迹） 题型二十四 判断中心对称图形的对称中心 28．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 ． 题型二十五 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 29．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）（1）解方程：； （2）如图，在由小正方形组成的网格图中建立平面直角坐标系，，的顶点均在格点上． ①点绕点逆时针方向旋转后的对应点的坐标为________． ②若和关于原点中心对称，画出． ③求的面积． 题型二十六 中心对称图形规律问题 30．（23-24九年级上·四川广元·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 题型二十七 求关于原点对称的点的坐标 31．（23-24九年级上·四川南充·期中）已知点与点关于原点对称，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 32．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点O对称的，并写出点A、C的对应点、的坐标； (2)请画出绕点逆时针旋转后的，并写出点、的对应点、的坐标． 题型二十八 已知两点关于原点对称求参数 33．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知点与点关于原点对称，则 ． 题型二十九 判断两个点是否关于原点对称 34．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． (1)写出点B，D的坐标； (2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 题型三十 说出一个图形到另一个图形的运动过程 35．（九年级上·全国·专题练习）如图，将AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？ 题型三十一 按图形的变换要求画出另一个图形 36．（22-23九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） (1)作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (2)作出关于原点成中心对称的． 题型三十二 分析图案的形成过程 37．（九年级上·全国·单元测试）如图，甲图怎样变成乙图： ． 题型三十三 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 38．（24-25九年级上·全国·假期作业）有一块长方形土地，其中有一口如图①所示的圆形井．现将此土地分给甲、乙两户承包种植蔬菜，若使两家得到的面积一样大，你想怎么帮他们分呢？简要说明你的分法(假设土地都一样好)． 39．（24-25九年级上·全国·假期作业）分别说出下列四个图形是由左边的基本图形经过怎样的变换形成的． 题型三十四 求旋转对称图形的旋转角度 40．（24-25九年级上·北京海淀·期中）下图的图案绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转 章节（11知识点回顾+34题型练习） 题型汇聚 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 题型四 求旋转中心的个数 题型五 旋转中的规律性问题 题型六 根据旋转的性质求解 题型七 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型八 旋转的性质及辨析 题型九 画旋转图形 题型十 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型十一 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型十二 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型十三 坐标与旋转规律问题 题型十四 线段问题(旋转综合题) 题型十五 面积问题(旋转综合题) 题型十六 角度问题(旋转综合题) 题型十七 其他问题(旋转综合题) 题型十八 坐标系中的旋转 题型十九 成中心对称 题型二十 画已知图形关于某点对称的图形 题型二十一 画两个图形的对称中心 题型二十二 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型二十三 中心对称图形的识别 题型二十四 判断中心对称图形的对称中心 题型二十五 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型二十六 中心对称图形规律问题 题型二十七 求关于原点对称的点的坐标 题型二十八 已知两点关于原点对称求参数 题型二十九 判断两个点是否关于原点对称 题型三十 说出一个图形到另一个图形的运动过程 题型三十一 按图形的变换要求画出另一个图形 题型三十二 分析图案的形成过程 题型三十三 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 题型三十四 求旋转对称图形的旋转角度 知识清单 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　 　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　 　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　 　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 知识点5．中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 知识点6．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 知识点7．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 知识点8．利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点9．利用平移设计图案 确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案． 通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 知识点10．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点11．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 题型练习 题型一 判断生活中的旋转现象 1．（24-25九年级上·云南·期中）下列运动中，不属于旋转的是（    ） A．电风扇叶片的转动 B．酒店旋转门的转动 C．钟摆的摆动 D．热气球点火升空 【答案】D 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可． 【详解】解：A. 电风扇叶片的转动，属于旋转，故不符合题意； B. 酒店旋转门的转动，属于旋转，故不符合题意； C. 钟摆的摆动，属于旋转，故不符合题意； D. 热气球点火升空，属于平移，故符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·广东珠海·期中）下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 【答案】②④⑤ 【知识点】生活中的平移现象、判断生活中的旋转现象 【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平移变换：把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换． 【详解】解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移； ②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆,属于旋转， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键． 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．由如图图形旋转，分别判断、解答即可． 【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； B．由图形对称而得出，故本选项符合题意； C．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，和都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到． (1)说明得到的过程； (2)若点恰为的中点，，求的长． 【答案】(1)可以看作是由绕顶点逆时针旋转而得到 (2)3 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、图形的旋转等知识，熟练掌握图形的旋转和等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （2）先根据等边三角形的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，，然后求出，根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴可以看作是由绕顶点逆时针旋转而得到． （2）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵点恰为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴． 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 5．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，和都是等边三角形，点在上（不与、重合），连接．    (1)由等边三角形的性质易证（不需证明），将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角： 旋转中心：________________； 旋转方向：________________；（填“顺时针”或“逆时针”） 旋转角：________________；（填角度大小） (2)在（1）的基础上，当时，求的度数． 【答案】(1)点A；逆时针； (2) 【知识点】三线合一、等边三角形的性质、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转图形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握旋转图形的性质，等边三角形的性质是解题的关键， （1）根据旋转图形的特征作答即可； （2）由，得，再证，从而得，即可得解。 【详解】（1）解：将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角： 旋转中心：点； 旋转方向：逆时针； 旋转角：； 故答案为：点A；逆时针； （2）解： 又 是等边三角形， ∴ 题型四 求旋转中心的个数 6．（九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求旋转中心的个数 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 题型五 旋转中的规律性问题 7．（24-25九年级上·广西河池·期中）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 【答案】4 【知识点】旋转中的规律性问题 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案． 【详解】解：每次4个图案为一个周期，， 则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致． 故答案为：4． 题型六 根据旋转的性质求解 8．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握“旋转前后的对应角相等与等边对等角”是解本题的关键．先由旋转的性质证明，，再利用等边对等角证明，从而可得答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，点在上， ，， ， ， ，， ， 故选：C． 题型七 根据旋转的性质说明线段或角相等 9．（24-25九年级上·广西河池·期末）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图，点分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ∵， ∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点共线． 根据 ，易证 ，得． (2)类比引申 如图，四边形中，，，点分别在边上，．若都不是直角，则当与满足等量关系 时，仍有．并给予证明； (3)联想拓展 如图，在中，，，点均在边上，且．请你猜想应满足怎样的等量关系？（直接写出结论，不要求写出推理过程） 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（）由旋转的性质可证，即得，进而即可求证； （）把绕点逆时针旋转至，如图，同理（）证明即可； （）把旋转到的位置，如图，连接，同理（）可证，即得，又根据等腰直角三角形和旋转的性质可得，进而利用勾股定理即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点共线， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：当时，，证明如下： ∵，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图， ∴，，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 即， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： ∵， ∴把旋转到的位置，可使与重合，如图，连接，则，，，， ∵，，， ∴，， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 题型八 旋转的性质及辨析 10．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）基础运用 （1）如图1，在正方形中，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边上的点处，点不与点重合． ①求证：； ②求证： 创新探究 （2）如图2，在菱形中，，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边延长线上的点处．求证：． 【答案】（1）①证明见解析，②证明见解析；（2）证明见解析 【知识点】旋转的性质及辨析、根据正方形的性质证明、利用平行四边形的性质证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据正方形对角线的性质，垂直平分，进而得出①结论；过点作于点，于点（如图），去证明四边形是矩形，，，从而推出结论； （2）根据菱形对角线的性质，证明出，作交于点，交于E点（如图），得出；根据菱形性质和题意，和都是等边三角形；作交于点，根据等腰三角形和等边三角形性质得出，，进而证明出结论． 【详解】（1）①证明：根据正方形对角线的性质， 垂直平分， 上的点到和B距离相等， ． ②过点作于点，于点，如图 线段绕点旋转得到， ； 又， ； 又，，， 四边形是矩形， ； 是正方形， ， 则， ， ． （2）证明：根据菱形对角线的性质， 垂直平分， 上的点到和B距离相等， ； 又由旋转得到， ． 作交于点，交于E点，如图 则四边形是平行四边形，； 根据菱形性质：菱形的四条边都相等，及题意：， 得：， 和都是等边三角形； 作交于点， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形、菱形、等腰、等边三角形的性质及旋转性质，根据题意作出正确的辅助线是解题关键． 题型九 画旋转图形 11．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画旋转图形 【分析】本题主要考查了旋转的作图，先画出点A、B、C绕点顺时针旋转后的对应点，再依次连接即可，根据图形即可写出点的坐标． 【详解】解：如图，即为所求，. 题型十 求绕原点旋转90度的点的坐标 12．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、．将绕原点顺时针旋转．画出旋转后的图形，并写出点和点的坐标． 【答案】图见解析，的坐标为，的坐标为 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 分别将三个顶点绕点O，顺时针旋转，再依次连接三个对应点即可． 【详解】解：如下图所示，即为所求作的三角形，的坐标为，的坐标为． 题型十一 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 13．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)以点C为旋转中心将旋转，画出旋转后的； (2)将平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、画旋转图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】坐标与图形变换—旋转和平移： （1）找到点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可求解； （2）找到点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可求解； （3）根据旋转的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：因为将绕点旋转可以得到， 所以旋转中心的坐标为． 故答案为： 题型十二 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 14．（24-25九年级上·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移m个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，我们把这样的图形运动叫做图形的变换．如图，等边三角形的顶点A在第一象限，顶点B与原点O重合，顶点C在x轴的正半轴上，是经过变换所得的图形，其中点的坐标为，则n的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、利用平移的性质求解、求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】本题是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的变换的定义后运用，关键是能发现连续变换后出现的规律，过点作轴于点，先求得点的坐标为，再求出，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点． ∵是经过变换所得的图形，其中点的坐标为， ∴将向右平移个单位长度后，点的对应点的坐标为，， ∵是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ∴． 故选：C． 题型十三 坐标与旋转规律问题 15．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2024次，点B的落点依次为，，，…，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移．由于，因此点向右平移即即可到达点，根据点的坐标就可求出点的坐标． 【详解】解：连接，如图所示． 四边形是菱形， ． ， 是等边三角形． ， 画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示． 由图可知：每翻转次，图形向右平移． ， 点向右平移即到点． 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：C． 题型十四 线段问题(旋转综合题) 16．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为 ．    【答案】8 【知识点】线段问题(旋转综合题)、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质 【分析】过点A作于M，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由正方形的边长及勾股定理即可得出． 【详解】解：过点A作于M，   是等边三角形，边长为6， ， ， ， ， ， 在中，， 当点E在DA延长线上时，，此时取最小值， 在中，， 正方形的边长为6， ， 在中，， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 题型十五 面积问题(旋转综合题) 17．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． (1)①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 【答案】(1)①，；② (2)①见解析；②（1）中的正方形，面积较大． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求面积、面积问题(旋转综合题) 【分析】（1）①由正方形的性质结合题意可求出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理即可求出，最后根据正方形的面积公式列方程即可； ②根据直接开平方法求出x的值，即可求出和的长，最后根据求解即可； （2）①过点A作，设为裁剪线，将绕点A逆时针旋转得出，从而可证四边形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②由（2）①可知，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，可求出的长，从而可求出，最后比较即可． 【详解】（1）解：①∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②解：， ， ∴，（舍）， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：①过点A作，设为裁剪线， ∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴，， ∴将绕点A逆时针旋转得出，如图， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴C、D、N三点共线， ∴， ∴四边形为矩形， ∴矩形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②由（2）①可知， 又∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（1）中的正方形，面积较大． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 题型十六 角度问题(旋转综合题) 18．（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)，理由见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、角度问题(旋转综合题) 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型十七 其他问题(旋转综合题) 19．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，，为斜边的中点，为形外一动点且，若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】其他问题(旋转综合题)、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】将绕点逆时针旋转得到，作交的延长线于，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵，，为斜边的中点，，， ∴，， 将绕点逆时针旋转得到，作交的延长线于， ∴，，， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，四边形的内角和，角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出辅助线． 题型十八 坐标系中的旋转 20．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边的顶点与原点重合，将绕顶点顺时针旋转得到，将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，请回答：的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、坐标系中的旋转 【分析】分别求出的坐标，从点A开始，后面每点的横坐标都加4，得到规律即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∵是等边三角形，且边长为4， ∴， ∴， ∴； 根据旋转和等边三角形的性质可得， 即与轴平行， ∵点A向右平移4个单位得点，向右平移4个单位得点，向右平移4个单位得点，……， ∴点的横坐标依次加4，纵坐标不变， 即A横坐标为2，点横坐标为，点横坐标为，点横坐标为，……，点横坐标为， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的坐标规律探索，等边三角形的性质，平移的性质，勾股定理等知识，找到规律是解题的关键． 题型十九 成中心对称 21．（24-25九年级上·全国·期末）将抛物线绕原点旋转，所得抛物线的解析式是（    ）i A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、成中心对称 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，二次函数图形和性质，由题意可得抛物线开口由向下变为向上，对称轴不变，顶点坐标由变为，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：将抛物线绕原点旋转后，抛物线开口由向下变为向上，对称轴不变，顶点坐标由变为， ∴所得抛物线的解析式为， 故选：． 22．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、求自变量的值或函数值、成中心对称 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故答案为：． 题型二十 画已知图形关于某点对称的图形 23．（24-25九年级上·广西河池·期末）尺规作图：在图中作出四边形关于点O对称的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形 【分析】此题主要考查了作中心对称图形，正确得出对应点位置是解题关键． 直接利用中心对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：如图，四边形为所求． 题型二十一 画两个图形的对称中心 24．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，与关于点O成中心对称，与的顶点均在格点上． (1)请在图中直接画出点O； (2)将绕点C顺时针旋转得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画旋转图形、画两个图形的对称中心 【分析】本题考查中心对称、旋转作图： （1）连接与的两组对称点，交点即为点O； （2）利用格点找出点A，B绕点C顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，即为所求． 题型二十二 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 25．（22-23九年级上·四川广安·期中）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．由中心对称的性质可得，点与点关于点对称，，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，， ①②③正确，④错误， 故选：A 题型二十三 中心对称图形的识别 26．（23-24九年级上·广东江门·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的知识，根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；把一个图形沿着某条直线折叠，两边能重合的图形叫做轴对称图形，进行分析即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 27．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分． 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形， 的直线将它分成面积相等的两部分． 应用1 ：如图2，若矩形 是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井 P 相邻． 请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理由． 应用2 ：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线 将图3的阴影部分分成面积相等的两部分． （不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】探究：经过对称中心；应用1：见详解；应用2：见详解 【知识点】矩形性质理解、正方形性质理解、中心对称图形的识别 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质，正方形和矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 探究：根据中心对称图形的性质解答即可； 应用1：连接，交于点，作直线即可； 应用2：连接，交于点，作直线分别交于点即可； 【详解】解：探究：根据图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； 应用1：如图： 理由：矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点O，过O、P的直线满足把矩形面积等分，且都与水井P相邻； 应用2： 理由：正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过O、的直线满足把正方形面积和圆面积等分，直线 将图3的阴影部分分成面积相等的两部分． 题型二十四 判断中心对称图形的对称中心 28．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 ． 【答案】线段的中点 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键． 【详解】解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点， ∴线段中点即为对称中心， 故答案为：线段中点． 题型二十五 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 29．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）（1）解方程：； （2）如图，在由小正方形组成的网格图中建立平面直角坐标系，，的顶点均在格点上． ①点绕点逆时针方向旋转后的对应点的坐标为________． ②若和关于原点中心对称，画出． ③求的面积． 【答案】（1），； （2）①；②见解析；③． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求绕原点旋转90度的点的坐标、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查的知识点是因式分解法解一元二次方程、求绕原点旋转的点的坐标、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、利用网格求三角形面积，解题关键是熟练掌握相关作图方法． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）①利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点，从而得到点的坐标； ②利用关于原点中心对称的点的坐标特征找到对应点，然后描点即可； ③根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：原方程可变为， ，； （2）解：①如图，，的坐标为． 故答案为：． ②如图，为所作． ③依图得：的面积为． 题型二十六 中心对称图形规律问题 30．（23-24九年级上·四川广元·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】中心对称图形规律问题、等边三角形的性质 【分析】此题主要考查了中心对称的性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质等知识；根据是边长为2的等边三角形，可得，同理可求得，，从而总结出点的横坐标是 ，当n为奇数时，点的纵坐标是，当n为偶数时，点的纵坐标是，即可求解． 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∵与关于点成中心对称， ∴，即， ∵与关于点成中心对称， ∴，即， 以此类推，点的横坐标是 ，当n为奇数时，点的纵坐标是，当n为偶数时，点的纵坐标是， ∴ ∴的顶点的坐标是， 故答案为：． 题型二十七 求关于原点对称的点的坐标 31．（23-24九年级上·四川南充·期中）已知点与点关于原点对称，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了关于原点为对称的点的坐标及各象限点的坐标特点：第一象限的点满足横、纵坐标，第二象限的点满足横、纵坐标，第三象限的点满足横、纵坐标，第四象限的点满足横、纵坐标，关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数，熟知这一规律是正确解决本题的关键． 由点与点关于原点对称，可求得a、b的值，即可知点P在第几象限． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 则点在第三象限， 故答案为：C． 32．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点O对称的，并写出点A、C的对应点、的坐标； (2)请画出绕点逆时针旋转后的，并写出点、的对应点、的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2)图见解析，， 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，理解旋转性质是作图关键． （1）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可作出对称图形； （2）根据旋转性质得到对应点，再顺次连接即可作出图形． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： 由图得，，； （2）解：如图，即为所求作： 由图得：，． 题型二十八 已知两点关于原点对称求参数 33．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，横纵坐标互为相反数．直接利用关于原点对称点的性质得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 故答案为：． 题型二十九 判断两个点是否关于原点对称 34．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． (1)写出点B，D的坐标； (2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】判断两个点是否关于原点对称、坐标与图形 【分析】本题主要考查平行于轴的直线的特点，熟练掌握平行于轴的直线的特点是解题的关键． （1）根据平行于轴的直线的特点以及得出坐标； （2）对比A，B，C，D的坐标即可发现之间的关系． 【详解】（1）解：轴，，， 点B，D的纵坐标分别是1，． ， ． （2）解：，的横、纵坐标互为相反数， 关于原点对称． 同理，关于原点对称． 题型三十 说出一个图形到另一个图形的运动过程 35．（九年级上·全国·专题练习）如图，将AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？ 【答案】图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的 【知识点】说出一个图形到另一个图形的运动过程、坐标与图形 【分析】把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的． 【详解】解：把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），在平面直角坐标系中画出图形，如图所示： 所得的三角形和原三角形大小和形状不变，△A′OB′可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的． 【点睛】本题考查了坐标与图形变换的知识，体现了数形结合的数学思想． 题型三十一 按图形的变换要求画出另一个图形 36．（22-23九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） (1)作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (2)作出关于原点成中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】按图形的变换要求画出另一个图形、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查中心对称和性质作图，抓住中心对称和旋转的性质是关键． （1）分别找到点关于原点对称的点，连接三个点即可； （2）分别作线段绕原点顺时针旋转得到三个短点，连接三个点即可． 【详解】（1）解：分别找到点关于原点对称的点，连接三个点即可； 如图所示，即为所求； （2）分别作线段绕原点顺时针旋转90°得到三个短点，连接三个点所得即为所求． 题型三十二 分析图案的形成过程 37．（九年级上·全国·单元测试）如图，甲图怎样变成乙图： ． 【答案】先将甲逆时针旋转度，再向左平移，就能与乙图重合． 【知识点】分析图案的形成过程 【分析】根据两图的位置关系结合几何变换的知识即可作出回答． 【详解】由题意得：先将甲逆时针旋转30度，再向左平移5cm，就能与乙图重合． 故答案为先将甲逆时针旋转30度，再向左平移5cm，就能与乙图重合． 【点睛】本题考查利用平移、旋转设计图案的知识，难度不大，此题还可以（先将甲向左平移5cm，再将甲逆时针旋转30度）． 题型三十三 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 38．（24-25九年级上·全国·假期作业）有一块长方形土地，其中有一口如图①所示的圆形井．现将此土地分给甲、乙两户承包种植蔬菜，若使两家得到的面积一样大，你想怎么帮他们分呢？简要说明你的分法(假设土地都一样好)． 【答案】见解析 【知识点】矩形性质理解、 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【分析】根据“要平分圆，则必须过圆心，要平分矩形，必须过矩形的对角线的交点”，取对角线的交点与圆心相连即可． 【详解】解：连接矩形的两条对角线，两线的交点为点P，连接并向两边延长，分别与矩形的两边交于点M、N，即为所求． 【点睛】本题考查作图与设计作图、圆的性质、矩形的性质，熟练掌握圆的性质和矩形的性质是解题的关键． 39．（24-25九年级上·全国·假期作业）分别说出下列四个图形是由左边的基本图形经过怎样的变换形成的． 【答案】见解析 【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【分析】本题主要考查了平移、旋转、轴对称变换的定义平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形． （1）可以由基本图形进行平移，轴对称（或旋转）变换得到； （2）可以由基本图形进行平移，轴对称 （或旋转） 变换得到： （3）可以由基本图形进行旋转，轴对称变换得到； （4）可以由基本图形进行平移，对称（或旋转） 变换得到．根据平移、旋转、轴对称变换的定义，认真观察，紧扣图形特点解答． 【详解】解：（1）可以由基本图形进行平移，轴对称（或旋转） 变换得到； （2）可以由基本图形进行平移，轴对称 （或旋转） 变换得到： （3）可以由基本图形进行旋转，轴对称变换得到： （4）可以由基本图形进行平移，轴对称，或旋转变换得到； 题型三十四 求旋转对称图形的旋转角度 40．（24-25九年级上·北京海淀·期中）下图的图案绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的性质、求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，等边三角形的性质等知识，连接，根据是等边三角形，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：是等边三角形， ∴， ∵它们都是旋转角，而它们的和为， ∴图案绕其中心旋转后能与自身重合， 故选：D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$