(九上)第22章 二次函数-【真题圈】2025-2026学年九年级全一册数学重难题型练（人教版）

则补进镇流器的单价为80一(x一80)=(160一x)(元)， 补进灯管的，总价为(400-x)×30=(12000一30x)(元). 任务3：依题意，得(160一x)x十(12000一30x)■15000， 解得=30（不符合题意，舍去），x2=100, 答：补进镇流器100件 6.C7.x2+x+1=91 8.【解(1)设参加本次比赛的队员共x人 由题意，得21》=210.解方程，得=21，=一20（合去）. 2 所以参加本次比赛的队员共21人，每个人都需要进行20场比赛 根据题意，可知胜一场积2分，负一场积1分， 所以该名队员在本次比赛中的积分是2×19十1×1=39（分）. 答：该名队员的积分是39分 (2)6 分析：设该名队员在本次比赛中负y场，由题意得(20一y)×2+ y≥34，解得3y≤6，∴.该名队员在本次比赛中最多负6场. 9.A 10.A【解析】设矩形ABCD的边AB长为xm,则边BC的长为 (40一2x)m.根据题意，得(40一2x)x=196, 即2-20x+98=0,解得x=10十√2，=10-√2， 又40一2x≤18，.x≥11，∴，x=10十√2，∴，只有一种围法. 故选A 11.C【解析】：x2-17x+16=0,.(x一1)(x一16)=0， 解得x=1,x=16. 又，矩形场地ABCD的长为16m,宽为9m,.x=1. A种草部分的总面积=(16-1)×(9-1×2)=105(m), :105≠112，.选项A不符合题意. B种草部分的总面积=(16-1×3)×(9-1)=104(m2), :104≠112，.选项B不符合题意. C,种草部分的总面积=(16-1×2)×(9一1)=112(m), :112=112,.选项C符合题意. D.种草部分的总面积=(16一1×2)×(9一1×2)=98(m), ,98≠112，∴.选项D不符合题意.故选C 12.【解】设剪去小正方形的边长为xm,即盒子的高度为xcm, 则(50一2x)(40一2x)=600,解得当=10，=35. 当x=35时，50-2x<0,40一2x<0,剩下的边长为负值，不合 题意，故舍去，.x=10. 答：盒子的高度为10cm 第二十二章二次函数 专题一图象与性质 1.B【解析】：y=-3(x-1)2+2,a=-3<0,.该函数的图象 开口向下，故选项A不符合题意：对称轴是直线x=1,故选项D 不符合题意：当x■1时，函数取得最大值2，故选项C不符合题 意：顶点坐标为(1,2)，故选项B符合题意.故选B 2.D【解析】由表格可得，该函数图象的对称轴是直线x=一，中 2 =一号小选项B正确：又由表格可以发现在对称轴左边y随 x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大，∴.抛物 线开口向上，故选项A正确：又当x=0时，y=一2，抛物线与 y轴交于点(0，一2)，故选项C正确：用排除法，可得选项D错 误，故选D. 3.A【解析】，二次函数图象经过P(一3，为)，P2(一1，为)， P(1,为)，P(3,)四点，且为<h<,,抛物线开口向上， 对称轴在0和1之间，∴P(一3，为)离对称轴的距离最大， P(1,为)离对称轴距离最小，·为最小，最大.故选A 4.B【解析】，二次函数y=一2x2-12x-17=-2(x十3)2+1， ·该函数图象的开口向下，故①正确；其图象的对称轴为直线 真题圈数学九年级RU2N x=一3，故②正确：其图象的顶点坐标为（一3,1），故③错误：当 <一3时，y随x的增大而增大，故④正确.综上所述，共有3个 正确.故选B 5.0或一1【解析】若k=0,则函数解析式可整理为y=2x一1，为 一次函数，其图象与坐标轴有两个交点（符合题意）.若k≠0， ,该函数的图象与坐标轴有两个交点，'·△=4十4=0， 解得=一1.故答案为0或一1. 6.【解】(1)：二次函数y=x-2ax+1,.对称轴为直线x= 一2-a当x=a时，y=-d+1顶点坐标为a,-d+1D。 (2),1>0,抛物线开口向上.：对称轴为直线x=a, .一2≤x≤a一2在对称轴的左侧，.当x=a一2时，y最小为 -4,.(a-2)2-2a(a-2)+1=-4,.a=±3. 又a-2>-2,∴.a=3, .此时二次函数的解析式为y=x一6x十1. 32Ka<3 分析：把B(4,1)的坐标代人y=x2-2ax+1得1=16-8a+1, 解得a=2,把A(5,0)的坐标代人y=x2一2ax+1得，0=25 10a十1，解得a=号，线段AB与二次函数y=d-2ar十1的 图象有公共点时，口的取值范围是2<a≤号 7.【解】(1)点(2，c)在抛物线y=ax2十bx+c(a0)上， .4a+2b十c=c.∴.4a十2b=0,即b=-2a :抛物线的对称轴是直线工=1一一2a =一=1故t= (2)如图，若点A(m,为)与点B(m十1， 4 4)关于抛物线对称轴直线x=1对称， 则十十中1-1，解得m=之 2 ”对于<)<m十1，m+1<<m+ 视+2 1 2,都有<为六m≥2 OA Bi+1: 放m的取值范围是m≥ 时m 第7题答图 专题二图象与系数的关系 1.D【解析】由题图可知，抛物线开口向上，.a>0.,对称轴为 直线x=-1,心一品=-1，心6=2a>0,心B不正确.抛物 线与y轴的交点在y轴负半轴上，.c<0,b<0,.A不正 确.，当x=一1时，y<0,.a一b十c<0,.C不正确.，a 0,b=2a,c<0,.a-2b+c=a-4a+c=-3a十c<0,.D正 确.故选D. 2.D【解析】二次函数y=az2十bx十c满足以下三个条件： ①兰>4ce,②a-b计c<0,③6<c,.由①可知，当a>0时，B 4ac>0,则抛物线与x轴有两个交点；当a<0时，一4ac<0,则 抛物线与x轴无交点.由②可知，当x=一1时，y0.由③可知， 一b+c>0.a一b十c<0,∴a<0,.符合条件的有C,D.由C 中的图象可知，对称轴为直线x=一名>0，“a<0,6>0. ,抛物线与y轴的负半轴相交，∴.c<0,则b>c,故排除C由 D中的图象可知，对称轴为直线工=一品<0，：a<0,b0。 ,抛物线与y轴的负半轴相交，.c<0,则有可能c,故满足 条件的图象可能是D.故选D. 3.C【解折1由图象，可知a<0,>0,一名-1<0，则6=2a< 0,∴，abc>0,故A不符合题意：根据抛物线的轴对称性质知，该 抛物线与x轴有两个交点，则一4ac>0,,,4ac一b<0,故B 答案与解析 不符合题意：当x=一4时，y<0,即16a-4h+c<0,:b=2a, ∴16a一8a十c=8a十c<0,故C符合题意：由题意可知，当x= 一1时，y有最大值，最大值为a一b十c,∴.当x=m时，am2十bm 十c≤a一b十c,即m(am十b)≤a一b,故D不符合题意.故选C. 4.C【解析】：抛物线与x轴有2个交点，.△=：一4ac>0,即 >4ac,.①正确：，抛物线的顶点坐标为（一3，一6），即x 一3时，函数有最小值，∴.ax十br十c≥一6，，②正确：抛物 线的对称轴为直线x=一3，而点（一2，m),(一5，n)在抛物线上， 点（一5，n)到对称轴的距离较远，m<n,∴③错误：：抛物线 y=ax2+x十c经过点（一1，一4），而抛物线的对称轴为直线 x=一3，.点（一1，一4）关于直线x=一3的对称点（一5，一4） 在抛物线上，关于x的一元二次方程ax2十bx十c=一4的两 根为一5和一1，.①正确.故选C, 5.③④⑤【解析】由题图可知，a<0,:对称轴为直线x=2, ·名=26=一a>0.:抛物线与y轴的交点在A(0,D 和B(0,2)之间（不与A,B重合）..1<c<2,.ab<0,故①错 误.，b=一4a>0,,.4a十b=0.故③正确 :图象过点(-1,0)，抛物线开口向下，把x-一3代入y=a2+ bx十c(a≠0)中，∴.y=9a-3b十c<0,.9a十c<3b,故②错误. :图象过点（一1,0），对称轴为直线x=2,.抛物线与x轴的 另一个交点为(5,0).，抛物线开口向下，.当y>0时，一1<1 <5,故④正确.把(-1,0)代人y=ax2+bx+c(a≠0)，得0= a-b十c,,b=-4a,.0=a十4a+c,.c=-5a :1<c<2,.-子<a<-吉，故⑤正确故答案为③④⑤， 6.①②④【解析】由题图知抛物线开口向上，.α>0.：对称轴 在y轴左侧，∴a,b同号，∴.>0.：抛物线与y轴交点在x轴 下方，∴.c<0,∴.abc<0,故①正确.(4a+c)2-(2b)2=(4a十c 十2b)(4a十c-2b),由图象知，当x=2时，ax十bx十c=4a十2b +c>0,当x=-2时，ax2+ba+c=4a-2b+c<0,.(4a+c)2 -(2b)<0,即(4a十c)2<(2b)产，故②正确.五+1|= (-1),+1=|x-(-1)1,|x十1|>2+1，.点 (名，”)到对称轴的距离大于点(，边)到对称轴的距离，·力 >”,故③错误.：抛物线的顶点坐标为（一1，m),∴y≥m, '.ax2十bx十c≥m,,ax十bx十c=m一1无实数根，故④正确. 综上所述，①②④正确.故答案为①②②④. 专题三几何变换 1.C2.A3.D 4.B【解析】如图，过点C作CA⊥ y轴于点A,:抛物线)y一受￡ -2x=2(x-2-2,顶点 C的坐标为(2，一2).由题意可 得，x轴上方阴影部分与x轴下 AP-- 方线段AC与y轴、抛物线组成 第4题答图 的空白部分面积相等，故对称轴与两段抛物线所围成的阴影部 分的面积为2×2=4.故选B 5.【解】依题意，将抛物线C:y=x2+6x十8=(x十3)2-1向右平 移p(p>0)个单位长度，向下平移3个单位长度，得到新的抛物 线C2,则C的解析式为y=(x十3一)2-4.：(-2，g)为“平衡 点”，∴.（一2，q)既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线 上， 二+二。解得0会去政8 1(-2+3-)2-4=q, p=一1 p=3, ∴抛物线C的解析式为y=x2一4. 6.y=0.0225x2-0.9x+10 7.【解】(1)'y=x2-4mx+2m2-1=(x-2m)2-2m2-1, .点D的坐标为(2m,一22一1). (2)由对称性可知，点D到直线y=1的距离为4， 又CD=8,m>0,.点D在直线y=1下方， .1+2m+1=4,∴.m=土1.又m>0,m=1. (3)1k<3或k>15. 分析：，m=1,抛物线L的解析式为y=x2一4x十1.当抛物 线L经过点A(k,一2)时，k=1或k=3;当抛物线经过点 B(-1,冬-)时，k=15.:线段AB与抛物线L只有一个公 共点，.1≤k<3或>15. 专题四实际应用 1.D 0+h-100解得-二2， 2.【解11)根据题意，得20k+b=80, 1b=120. .一次函数的解析式为y=一2x十120. (2)由题意可得W=(-2x十120)x-300=-2x2十120x一300 =一2(x一30)2十1500，∴.当x<30时，W随x的增大而增大. "80X35%=28(元)，.0≤x≤28， .当x=28时，W鼎大=-2(28-30)+1500=1492， 此时销售单价为80+28=108（元）. ,。当销售单价定为108元时，日均毛利润最大，为1492元 3【解10D当0≤<40时，设p=+6,则有30=b, 140=40k+b, 解得-子'此时p-子什30：当40<K80时，=0， 1b=30, 综上所述，销售单价p(元/kg)与时间（天）之间的函数解析式 为= 是+30(0<<40且：为整藏0， (40(40≤t<80且t为整数) (2)若日销售利润为w元，则有当0≤t<40时， w=(p-25)·y=(+30-25)(-2+120) =-2+20r+600=-含u-20r+800 ”一2<0，小当1=20时，0有最大值，为800： 当40≤1<80，且t为整数时， u=(p-25)·y=(40-25)(-21+120)=-301+1800, :一30<0，.w随着t的增大而减小， ,.当1■40时，w取最大值，此时=一30×40十1800=600. ,800>600, ,第20天的销售利润最大，最大日销售利润为800元. 4.A【解析】如图，以AE所在直线为x C 轴，AB所在直线为y轴建立平面直角 D B 坐标系，根据题意知，抛物线的顶点C 2.5m 的坐标为(1.5,2.5，设抛物线的解析15m (茶几 式为y=a(x-1.5)2+2.5,将点B的 A？E 坐标(0,1.5)代入得2.25a+2.5= 第4题容图 1.5,解得a=一2.25' 六抛物线的解析式为y一一2云女-15)+25 当y=225时，25-1.5)+25=225 解得x=0.75(合去)或r=2.25, .茶几到灯柱的距离AE为2.25m.故选A 5.26【解析】由二次函数的图象可知，A(22,0)在抛物线上，把 A(2,0)的坐标代人y=一贵(x-11+6,得0=一贵(22 1+解得友=13÷y=一岛（红一119+1B. ,P和P'关于x轴对称，·PP=2X13=26(m. 故答案为26. 6.【解】(1)由表格中的数据可得，拱门对应的抛物线经过点(2,4) 和点(10,4)，一拱门对应的抛物线的对称轴为直线x=10= 2 6,∴拱门对应的抛物线的顶点坐标为(6,7.2)，.拱门的高度 (即最高点到地面的距高)为7.2m由题意，拱门对应的抛物线 经过点(0,0)和点(12,0)，∴.拱门的跨度（即拱门底部两个端点 间的距离)=12一0=12(m). 设y与x满足的函数关系式为y=a(x一6)2+7.2， 将(2,4)代入得4=16a+7.2,∴.a=-0.2. y与x满足的函数关系式为y=一0.2(x一6)2+7.2. (2)< 分析：将(0,0)代入y=-0.18(x一h)2+7.3,则0=-0.18(0 h)+7.3,解得h=士65（负数不合题意，舍去）， 3 ∴.抛物线y=一0.18(x一h)2+7.3与x轴的两交点为(0,0)和 (2延，0）新拱门的跨度d-26m 3 :f=12=14=1g6话-1g60f<dd<d 7.【解】(1)由题意知，抛物线顶点为(5,3.5)，.设抛物线的解析 式为y=a(x-5)2+3.5.将(0,1)代人得1=25a+3.5, 解得a=0y=0x一5+3.5=0+z+1, “抛物线的解析式为y=一品十z十1 1 (2)当y-1.9时，10丈+x+1=1.9,解得x=1或x=9, ∴.小聪与哥哥的水平距离为4一1=3(m)或9-4=5(m). 8.【解】(1)①"，踢出的任意球在运行过程中达到最大的高度为 3m,∴.h=3.把(18,0)代人y=a(x一6)2+3，得0=144a+3, 1 解得a=一8y与x的函数解析式为y=一花x一6十3. ②足球能越过人墙的防守最高点直接射进球门内.理由如下： 在y=裙红一6+3中，令=10，得=一8×16+3=号， :>2足球能越过人墙的防守最高点。 在y=一福红一6+3中，令x=0,得y一福×36+3=号 :是<2,43，足球能直接射进球门内。 ,,足球能越过人墙的防守最高点直接射进球门内. (2号<<器 分析：把(18,0)代人y=a(x-6)2+h,得0=144a十h,.a= 一备由足球能越过人墙，得16@+>2，即16×（一备：）+么 >2,解得>号.由足球能直接射进球门，得36a十<2.43，即 36X(一条)+<2,43，解得A<器：若要确保踢出的任意 球能直接射进球门内，人的取值范围是号<<雾 9.C【解析】对于A选项，如图①，设AB边的长为xm, 则BC=(12-2x)m,所以S=x(12-2x)=一2(x-3)3+18, 即当x=3时，S大=18. 对于B选项，如图②，设AB=BC=xm,则2x一1=12， 即x=号所以s=合×号×（受）-（受T-器. 真题圈数学九年级U2N 对于C选项，如图③，设AB=CD=xm,则中间垂直于墙的篱笆 长为(x-1)m,所以BC=12-x-x-(x-1)+2=(15-3x)m, 所以S=5-30=-3(。-吾广+空，放当x一吾时，S-草 对于D选项，如图④，设AB=CD=xm, 则BC-12=2=2-(8-xm, 2 所以S=x(8-x)=一(x一4)2十16，故当x=4时，S大=16， 综上可知，面积最大的方案是C.故选C 墙 ① 墙 墙 0 第9题答图 10.【解】(1)设矩形的宽AB的长为xm,则有AD=(40一2x)m, ∴x(40一2x)=150,解得=5，x=15.当x=15时， AD=10m,不满足AD≥AB,∴.宽AB的长为5m (2)已知矩形的宽AB的长为xm,矩形ABCD的面积为ym, 由题意，得y=x(40一2x)=一2x2十40x ?AD≥AB40-2>,解得0C<号.y与x的函数 解析式为y=一22+40，自变量x的取值范图为0<<号 (3)由(2)可知y=一2x2+40x, ∴一2<0，即开口向下，对称轴为x=10. :自变量工的取值范围为0<x≤智，·当x=10时，矩形 ABCD的面积最大，最大面积为y=一2X10+40X10=200(). 答：当矩形地块的宽为10m时，矩形ABCD的面积最大，最大 面积为200m2. 专题五二次函数图象与几何图形综合 1.【解】(1)y=x2,y=-x十2 分析：把B(一2,4)的坐标代入y=ax2,得4=4a,解得a=1, .y=x,m=1,A(1,1). 把A(1,1),B(-2,4)的坐标代入y=x+b, 作4伦之 1b=2, y=-x+2. (2)如图，设P(t,) 则H(,一十2)， .PH=-t+2-t =-(+2)°+是 :-1<04当=-时，PH 有最大值号，此时，点P的坐标为 -10 -1f 3kx+b (-) 第1题答图 2.【解】(I)设抛物线的解析式为y=a(x一1)(x一)，则y=a(x +3)(x-1)=a(x2+2x一3)=a.x2+2ax-3a,则-3a=-3,解 答案与解析 得a=1,则抛物线的解析式为y=x2十2x一3. (2)存在.如图，连接BC交y轴于 点T,在点T下方取点R,使TR= OT,过点R作BC的平行线交抛 物线于点P,则此时△PBC的面积 是△OBC面积的子由抛物线的解 析式知，点C(-1,-4),由点B,C 的坐标得，直线BC的解析式为y= 第2题容图 2红-2，则点T0,-2》,0T=2,则TR=×2=号，则点 R(0,-受）：PR∥BC,直线PR的解析式为y=2z- 5 联立上式和抛物线的解析式得x+2红一3=2x一： 解得x一士号，即点P的横坐标为号或一号。 (3)MN+MQ为定值8. 设点P(m,m2+2m一3)，由点A,P的坐标得，直线AP的解析 式为y=(m-1)(x+3),当x=-1时，yw=(m-1)(-1+3)= 2m一2，∴.MN=2-2m.同理可得，直线BP的解析式为y=(m +3)(x-1),则%=-2(m+3),.MQ=2(m+3), ∴.MN+MQ=2-2m十2(m+3)=8,为定值 3.(4,5)【解析】由题知y=(x一3)(x十1)=x2 一2x一3，则点C(0,一3).如图，过点A作AK ⊥AC交CD于点K,过点K作KH⊥x轴于 点H,:∠ACO=∠BCD,·∠ACO+ ∠DCO=∠BCD+∠DCO,即∠ACD= A ∠BCO.:OB=OC=3,∴.∠ACD=∠BCO =45°，∴.AC=AK.∠AOC=∠KHA= 90°，∠AC0=90°-∠OAC=∠KAH, 第3题答图 .△OAC≌△HKA(AAS),∴.AH=CO=3,KH=OA=1, ∴K(2,1).设直线CD的解析式为y=x一3,2k-3=1, ·k=2,.直线CD的解析式为y=2x一3， 联立_2一3解得=0（含去）或=4D4,5 "y=2x-3, 故答案为(4,5). 4.【解】(1)：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-2,0),B(6, 14a-2b+3=0, 1 0)两点，. 解得 a=- 36a+66+3=0, lb=1. 1 六抛物线的解析式为)y=一士+x十3. (2)yD4,m)在抛物线上，n=-子×华十4十3=3， ∴D(4,3).如图，当Q在直线AD上方时，过点A作AT⊥AD 交射线DQ于点T,过点T作T, TMLx轴于点M,过点D作 Q DN⊥x轴于点N. :∠ADQ=45,TA⊥AD, ∴△ATD为等腰直角三角 形，.AT=AD. M :∠MAT+∠MTA= ∠MAT+∠DAN-90°， .∠MTA=∠DAN, '.△TMA≌△AND(AAS), .AM=DN,TM=AN, .T(-5,6). D(4,3), 第4题答图 六直线DT的解折式为y=-子十号Q(0,). 当点Q在直线AD下方时，作点T关于直线AD的对称点 T(1,一6)，则直线DT的解析式为y=3x一9，∴Q(0,-9). 综上所述，满足条件的点Q的坐标为(0，号)或(0，一9)。 5.(3,5)或（经，号）【解析：直线y-x+2过点B4,m, m=6,∴B(4,6).将A,B两点坐标代入抛物线解析式得 1 16a+4b+6=6, 1b=-8, ,.抛物线的解析式为y=2xr2一8x+十6. ①若A点为直角顶点，如图①.设AC的解析式为y=一x十b. 将A点坐标代入y=一x+b,得6=3，AC的解析式为y= 1 少=22-8+6，解得二8 x+3.由y=-x+3, x2 (会去)， ly=0 y-2 .C(3,0),.P点的横坐标为3，则纵坐标为5，.P(3,5). ① 第5题答图 ②若C点为直角顶点，如图② 令22-8x十6=号，解得x=子或x=2(舍去)， 则C(号，多)，∴P点的横坐标为子，则纵坐标为》， P(子，号)故答案为3,5)或（侵号）， 6.【解】(1)二次函数y=a2+bx十c的图象经过点A(一4,0)， 16a-4h+c=0, B(2,0),C0,6),.4a+2b+c=0.解得b= (c=6, 2 c=6. ·二次函数的解析式为y=-是-号十6， (2)设直线AE的解析式为y=kx一2，则0=一4一2， 解得=一之小直线AE的解析式为y=一合一2 如图，作DF⊥x轴于点G,交AE于 点F,设D(m,-m-是m+6), 则F(m,-含m一2) &DF=-是-2mt6- (-7m-2）=-子m2-m+8 SaE=Sae+SamF=ZDF· 第6题答图 AG+DF.OG-X4DF-2DF.Soe-2(-m-m +8)=-是(m+号)厂+碧当m=-号时，△ADE的面积 最大，为号此时D(一号，9)】 (3)点P的坐标为(-1，一2+√19)或(-1，-2-√9)或 (-1,√1T)或(-1，-√I)或(-1,1). 分析：”y=一是-号+6=-是+10+经， ·抛物线的对称轴为直线x=一L 设P(一1，)， ①△AEP为等腰三角形，且以AP为底边，∴.AE=PE, ∴AE=PE,.4+2=1+(u+2),解得4=-2+√19， =-2-√19，.P(-1,-2+√/19)或P(-1,-2-√19). ②△AEP为等腰三角形，且以PE为底边，AE=AP, .AE=AP,∴4+2=(-1+4)2+，解得4=I, =-√，∴P(-1,√T)或P(-1,-√T). ③△AEP为等腰三角形，且以AE为底，AP=PE,,AP= PE,∴.(-1十4)+2=1+(+2)2，解得=1，.P(-1,1). 综上所述，点P的坐标为(-1，-2+√9)或（一1，-2-√19） 或(-1，√T)或(-1，-√1T)或(-1,1). 7.【解1(1)将(1,0)和(3，-12)代人y=ax2+br十3，得 ,a十6+3一12，解得二 /a十b+3=0, 1b=-2. ∴.抛物线的解析式为y=-2-2x十3. (2)如图①，由y=一x2-2x十3得对称轴为直线x=-1,A(-3, 0),C(0,3),∴.A0=0C=3,∴.△AOC是等腰直角三角形. :F在对称轴1上，点P在抛物线上，过点P作对称轴（的垂 线，垂足为E,.∠PEF=90° :以P,E,F为顶点的三角形与△AOC全等，∴.PE=EF=OA =OC=3,,xp=-4或x=2,.P(一4，一5)或P(2,-5). (3)存在.设P(t,一一2十3)，Q(0,m),而A(一3,0)，B(1,0) ①以PQ,AB为对角线，则PQ的中点即AB的中点，如图②. 1t+0=-3+1, 仁-2+3+m=0+o.解得-2P(-2.3》 ②以PA,QB为对角线，∴ 11-3=0+1, 解得=4 1-2-21+3=m, .P(4,-21). +1=-3, ③以PB,QA为对角线， 解得t=一4： -t2-2t+3=m, .P(-4,-5). 综上所述，点P的坐标为(-2,3)或(4，一21)或（一4，一5）. 4 第？题答图 8.【解】(1)：A(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1,∴.抛物线和 x轴的另外一个交点为（一1,0），.抛物线的解析式为y=a(x +1)(x-3)=ax2+br十3，解得a=一1，∴.抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3. 真题圈数学九年级U2N (2)由题意得，当-1<t1,一1≤x≤t时，y=-+2x+3=0 在x=-1处，取得最小值0，在x=1处取得最大值2t-1, 由2一1=一2+2+3，解得1=一2或1=2，均不符合题意： 当1≤1<3，一1≤x≤1时，在抛物线的顶点处取得最大值，抛物 线的顶点坐标为(1,4)，则2t-1=4,解得=2.5. 综上，1的值为2.5. (3)存在.由抛物线的解析式知，点B(0,3), ①如图①，当BC为菱形对角线时，对应菱形为BDCE,则BD= CD,由点A,B的坐标得，直线AB的解析式为y=一x十3，设 C(m,-2+2m十3)，点D(m,-m十3)，则CD=一m+2m十3 (-m+3)=-m+3m,BD=√2m,BC=√m十(-m+2m), ,∴.一m2十3m√2m,解得m=3一√2或m=0(舍去)， 则BD=√2m=3v2-2,即菱形的边长为3，√2-2. 34 B ① ② 第8题答图 ②如图②，当BD为菱形的对角线时，对应菱形为BCDE,则CD= BC,∴.一+3m=√m+(一十2m,解得m=2或m=0(舍 去)，则CD=-m十3m=一2十3×2=2，即菱形的边长为2. 综上，菱形的边长为32-2或2. 第二十三章旋转 专题一旋转中的边角计算 1.C【解析】：△ABC绕点C顺时针旋转70°到△DEC的位置， ,∠ACD=T0°，：∠ECD=30°，∴.∠ACE=∠ACD-∠ECD =40°.故选C. 2.B【解析】：将△ABC绕点A顺时针旋转90得到△AB'C, .AC=AC,∠CAC=90°，∠B=∠ABC,.∠ACC=45, .∠AB'C=∠ACC+∠CCB'=45°+20°=65， .∠B=∠ABC=65.故选B 3.25°【解析】：AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC:∠BAC-50,∠BAD-=25.故答案为25 4.B【解析】：将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得到 △ADE,∴△ADE2△ABC,∴∠C=∠E=40°.：DE∥AC, ∴.∠E=∠EAC.又：∠BAD=∠EAC,·.∠BAD=∠C= 40.:AB=AD,·∠ABD-∠ADB..∠ABD-I80°- ∠BAD)=70.故选B 5.D【解析】由旋转的性质可知BC=DE=3,AB=AD.在 Rt△AED中，DE=3,AE=5,∠ADE=90°，∴.AB=AD=4.又 :旋转角为90°，∴∠BAD=90°.在Rt△ADB中，BD=4V2. 故选D 6.3+3【解析】：∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1,.∠ABC= 30°，AB=2AC=2,∴.BC=√AB-AC=√2-1下=3. 由旋转的性质得AC=A'C,BC=BC,A'B'=AB=2, .△AA'C是等边三角形，.∠BCB=∠ACA'=60°，AA'= AC-1,∴.△BBC是等边三角形.：A'B=AB-AM'=2-1= 1,BB=BC=√3，∴.AB+A'B'+BB=1+2+√3=3+3， ∴△ABB的周长为3+√3.故答案为3+5.真题圈数学九年级！2N 第二十二章 二次函数 专题一图象与性质 1.(期中·大连沙河口区)关于二次函数y= 6.已知二次函数y=x2-2ax+1. 一3(x一1)2十2，下列说法正确的是() (1)用含a的式子写出二次函数的对称轴和 A.图象的开口向上 顶点坐标 B.图象的顶点坐标是(1,2) (2)当-2≤x≤a一2时，二次函数的最小值 C.有最小值2 是一4，求此时二次函数的解析式 D.图象的对称轴是直线x=一1 (3)已知点A(5,0),B(4,1),线段AB与二 2.(期中·北京丰台区)二次函数y=ax2十bz 次函数y=x2-2ax十1的图象有公共点，直 十c(a≠0)的图象是抛物线G,自变量x与 接写出a的取值范围。 函数y的部分对应值如下表： -3-2 -1 0 2 y …4 0-2 -2 0 下列说法错误的是( A.抛物线G的开口向上 B抛物线G的对称轴是直线x=一7 C.抛物线G与y轴的交点坐标为(0，一2) D.二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的最小 7.(期末·北京东城区)在平面直角坐标系Oy 值为一2 中，点(2，c)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0) 3.已知一个二次函数图象经过P(一3，y), 上，设该抛物线的对称轴为直线x=t. P2(-1,y2),P3(1,y3),P4(3,y4)四点，若 (1)求t的值， y<y2<y4,则1，y2,y为，y4的最值情况 (2)已知M(x1,y),N(x2,y2)是该抛物线上 是() 的任意两点，对于m<x1<m十1，m十1<x2 A.y最小，y最大 <m十2，都有y1<y2,求m的取值范围. B.y3最小，y4最大 C.y最小，y4最大 D.无法确定 4.(月考·华南师大附中)已知二次函数y 一2x2-12x一17，下列说法： ①其图象的开口向下； ②其图象的对称轴为直线x=一3； ③其图象的顶点坐标为(3，一1)： ④当x<一3时，y随x的增大而增大， 其中说法正确的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5.若关于x的函数y=kx2+2.x一1的图象与 坐标轴有两个交点，则k的值是 重难题型练 专题二 图象与系数的关系 1.(月考·西安交大附中)如 3y4 ②a.x2+bx+c≥-6； 图是二次函数y=ax2十bx ③若点(-2，m),(一5，n) -3 十c(a≠0)的图象的一部 在抛物线上，则m>n; 分，给出下列结论中正确 ④关于x的一元二次方程 的是( a.x2+bx十c=一4的两根 =-1 A.bc0 为一5和一1.其中正确的 第1题图 B.b>2a 有() 第4题图 C.a-b+c=0 A.1个 B.2个 D.a-2b+c<0 C.3个 D.4个 2.已知二次函数y=ax2+bx十c满足以下三 5.(期中·北京四中)二次函数y=ax2十bx十c 个条件：①2>4c,②a-b十c<0,③b<c,则 (a≠0)的部分图象如图所示，图象过点 Q (一1,0)，对称轴为直线x=2,抛物线与y轴 它的图象可能是() 的交点在A(0,1)和B(0,2)之间（不与A,B 重合).下列结论： ①abc>0; ②9a+c>3b; ③4a+b=0; ④当y>0时，一1<x<5; ⑤a的取值范周为-号<a<一号 其中正确的结论有 (填序号) 3.(月考·重庆育才中学)二次函数y=ax2十 bx十c(a≠0)的一部分图象如图所示，已知 对称轴直线为x=一1，则 =-1 第5题图 第6题图 下列结论正确的是( 6.已知函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象如图 A.abc<0 所示，现有下列4个结论： B.4ac-62>0 ①abc<0; C.8a+c<0 ②(4a十c)2<(2b)2; D.对于任意数m,都有 第3题图 ③若(x1,yh),(x2,y2)是抛物线上的两点，则 m(am+b)>a-b 4.(期末·青岛市南区)如图，已知顶点为 当|x1+1>|x2+1时，y<y2； (-3,一6)的抛物线y=ax2十bx十c经过点 ④抛物线的顶点坐标为（一1，m),则关于x (一1，一4)，下列结论： 的方程ax2十bx十c=m一1无实数根， ①b>4ac; 其中所有正确结论的序号是 真题圈数学九年级R!2N 专题三 几何变换 类型1平移问题 类型2对称问题 1.(期中·北京海淀区)将抛物线y=ax2十bx 6.(月考·西安交大附中)如图，两条钢缆具有 十c(a≠0)向下平移，关于平移前后的抛物 相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标 线，下列说法正确的是() 系，左面的一条抛物线可以用y=0.0225x A.开口方向改变 B.开口大小改变 +0.9x十10表示，而且左右两条抛物线关于 C.对称轴不变 D.顶点位置不变 y轴对称，则右边抛物线的解析式是 2.（月考·厦门一中)如果将抛物线y=x2向 右平移1个单位长度，向下平移2个单位长 /m 10 度，那么所得新抛物线的解析式是() A.y=(x-1)2-2B.y=(x-1)2+2 C.y=(x+1)2-2D.y=(x+1)2+2 桥面 -50 5 x/m 3.若把二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象 第6题图 向左平移4个单位长度或向右平移1个单 7.(月考·人大附中)在平面直角坐标系xOy 位长度后都会经过原点，则此二次函数图象 中，抛物线L:y=x2-4mx+2m2-1的顶点 的对称轴是() 为D. A.直线x=-2.5 B.直线x=2.5 (1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）. C.直线x=-1.5 D.直线x=1.5 (2)将抛物线L沿直线y=1翻折，得到的新 4.如图，在平面直角坐 抛物线顶点为C,若m>0,CD=8,求m 标系中，抛物线y 的值 2女经过平移得到 (3)已知A(,-2),B(-1,-》≠ 抛物线y=2x 一1)，在(2)的条件下，当线段AB与抛物线 第4题图 L恰有一个公共点时，直接写出k的取值 2x,其对称轴与两段 范围. 抛物线所围成的阴影部分的面积为( A.2 B.4 C.8 D.16 5.新定义试题（月考·西安高新一中）定义：将 抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线 上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为 “平衡点”，应用：现将抛物线C:y=x2十6x 十8向右平移p(p>0)个单位长度，向下平 移3个单位长度，得到新的抛物线C2,若 (一2,9)为“平衡点”，求抛物线C2的解析式 重难题型练 专题四 实际应用 类型1利润问题 (1)求销售单价p(元/kg)与时间t(天)之间 1.(期中·武汉砾口区)某商品的进价为每件 的函数解析式 40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖 (2)哪一天的销售利润最大？最大日销售利 出300件.市场调查反映，如调整价格，每涨 润为多少？ 价1元，每星期要少卖出10件，则每星期售 P元/kg) 出商品的利润y(单位：元)与每件涨价x(单 40 30 位：元)之间的函数关系式是( A.y=300-10x B.y=300(60-40-x) 4050 t天) C.y=(300+10x)(60-40-x) 第3题图 D.y=(300-10x)(60-40+x) 2.情境题（期末·成都武侯区）某服装经营部 每天的固定费用为300元，现试销一种成本 为每件80元的服装.规定试销期间销售单 价不低于成本单价，且获利不得高于35% 经试销发现，每件销售单价相对成本提高 x(元)(x为整数)与日均销售量y(件)之间 类型2抛物线型建筑物问题 的关系符合一次函数y=kx十b,且当x=10 4.(月考·长春外国语学校)如图是一款抛物 时，y=100;当x=20时，y=80. 线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线 (1)求一次函数y=kx十b的解析式 支架的最高点，灯罩D距离地面2.25m,最 (2)设该服装经营部日均获得毛利润为W元 高点C距灯柱的水平距离为1.5m,灯柱 (毛利润=销售收入一成本一固定费用)，求 AB为1.5m.若茶几摆放在灯罩的正下方， W关于x的函数解析式，并求当销售单价定 则茶几到灯柱的距离AE为() 为多少元时，日均毛利润最大，最大日均毛 A.2.25mB.0.75mC.1.6mD.2.5m 利润是多少元？ 34 D B 2.5m 1.5m (茶儿 22 +0 第4题图 第5题图 5.(月考·吉林大学附中)“卢沟晓月”是著名 的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色 倒影水中，更显清丽皎洁.古时乾隆皇帝曾 在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡， 一蝀分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立 3.(月考·合肥四十五中)某地种植某种水果， 碑于桥头.卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物 其成本经过测算为25元/kg,投放市场后， 线，桥拱在水面的跨度OA约为22m,若按 经过市场调研发现，这种水果在上市的一段 如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥 时间内的销售单价（元/kg)与时间t(天） 之间的函数图象如图，且其日销售量y(kg) 拱所在抛物线可以表示为y=一贵（红 与时间t(天)的关系是y=一2t十120(0≤1 11)2+,则主桥拱最高点P与其在水中倒 <80,且t为整数).设日销售利润为元 影P'之间的距离为 m. 真题圈数学九年级J2N 6.(期中·北师大附中)如图①，某公园在入园 面直角坐标系，设抛物线的解析式为y 处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地 a(x一h)2十k,其中x(m)是水柱距喷水头的 面上.若将拱门看作抛物线的一部分，建立 水平距离，y(m)是水柱距地面的高度， 如图②所示的平面直角坐标系.当拱门上的 (1)求抛物线的解析式， 点到O点的水平距离为x(单位：m)时，它距 (2)小聪站在水柱正下方且距喷水头P水平 地面的竖起高度为y(单位：m). 距离4m,身高1.9m的哥哥在水柱下方走 (1)经过对拱门进行测量，发现x与y的几 动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小 组数据如下： 聪与哥哥的水平距离， x/m 2 6 8 10 12 4/m y/m 4 5.47.2 6.4 4 根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即 最高点到地面的距离)和跨度（即拱门底部 两个端点间的距离)，并求y与x满足的函 ② 数关系式 第7题图 (2)在一段时间后，公园重新维修拱门，在同 样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直 高度y(单位：m)与它到O点的水平距离 x(单位：m)近似满足函数关系y=一0.18(x 一h)2+7.3,若记原拱门的跨度为d1,新拱 门的跨度为d2,则d d2(填“>” “=”或“<”) 4竖直高度ym 水平距离xm ① ② 第6题图 8.(期中·武汉江汉区)任意球直接得分是足 球比赛的重要得分手段之一，已知足球球门 的高度是2.43m,某足球队员在球门正前方 18m的A处练习踢任意球，防守队员组成 类型3抛物线型轨迹问题 的人墙站在离球门10m的B处，人墙的最 7.(期中·大连中山区)小聪看到一处喷水景 大防守高度可以达2m.把运行中的足球看 观，喷出的水柱呈抛物线形状如图①，他对 作点，建立如图所示平面直角坐标系，发现 此展开研究：测得喷水头P距地面1m,水 运行过程中足球离地面的高度y(单位：m) 柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高， 与足球离球门的水平距离x(单位：m)满足 最高点距地面3.5m.建立如图②所示的平 函数关系式y=a(x一6)2十h. 10 重难题型练 (1)若该队员踢出的任意球在运行过程中达 C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的 到最大的高度为3m 篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m宽 ①求y与x的函数解析式 的门 ②足球能否越过人墙的防守最高点直接射 D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的 进球门内？请说明理由， 篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m宽 (2)若要确保踢出的任意球能直接射进球门 的门 内，请直接写出h的取值范围. 10.(期中·天津南开区)如图，学校要在教学 楼后面的空地上用40m长的竹篱笆围出 一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教 0 6 学楼的外墙（外墙足够长），其余三边用竹 篱笆围成.其中AD≥AB(即长不小于宽)， 第8题图 设矩形的宽AB的长为xm,矩形ABCD 的面积为ym (1)若矩形ABCD的面积为150m,求宽 AB的长. (2)求y与x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围， (3)当矩形地块的宽为多少时，矩形ABCD 的面积最大，并求出最大面积， 教学楼 thiittitiliiiiiliitiite∠ D 第10题图 类型4几何图形问题 9.(期中·北京四中)某农场用篱笆图例 清品图的 围成饲养室，一面靠现有墙（墙足☐墙 够长)，已知计划中的篱笆（不包括 门)总长为12m,现有的四种方案第9题图 口门 (如图)中面积最大的方案为( A方案为一个封闭的矩形 B方案为一个等边三角形，并留一处1m宽 的门 真题圈数学九年级R则2N 专题五 二次函数图象与几何图形综合 类型1与线段综合 2.探究性试题如图①，在平面直角坐标系xOy 1.(期中·广州海珠区)如图，一次函数y=kx 中，抛物线y=ax2+bx-3过点A(-3,0), 十b与二次函数y=ax2的图象交于点A(1, B(1,0),顶点为C,点P是抛物线上B,C之 m),B(-2,4). 间的一个动点， (1)直接写出两个函数的解析式， (1)求该抛物线的解析式， (2)点P为直线AB下方抛物线上的一个动 (2)是否存在点P,使得△PBC的面积是 点，过P作PH∥y轴交AB于点H,当PH △OBC面积的？若存在，求出点P的横 取最大值时，求点P的坐标 坐标：若不存在，请说明理由。 B (3)如图②，抛物线的对称轴交x轴于点M, 连接AP交对称轴于点N,连接BP并延长 交对称轴于点Q.当点P运动时，MN+MQ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请 -10 说明理由。 -1 V=KT+6 第1题图 B ① ② 第2题图 5 重难题型练 类型2与角度综合 类型3 与三角形综合 3.(期中·福州晋安区改 5.如图，直线y=x十2与 编)如图，在平面直角坐 抛物线y=ax2+bx十6 标系中，抛物线y=x2十 bx十c交x轴于A(-1, a≠0)交于A侵，》， 0),B(3,0)两点，交y轴 入B B(4,m)两点，点P是线 于点C.若在x轴上方的 段AB上异于A,B的动 抛物线上存在一点D,使 点，过点P作PC⊥x轴 得∠ACO=∠BCD,点D 第3题图 于点D,交抛物线于点 第5题图 的坐标为 C,连接AC.当△PAC 4.(期中·天津河东区节选)如图，抛物线y= 为直角三角形时，点P的坐标为 ax2+bx+3与x轴交于A(-2,0),B(6,0) (注：如果两个一次函数y=k1x十b1与y2= 两点，与y轴交于点C,直线1与抛物线交于 k2x十b2的图象互相垂直，则k1·k2=一1) A,D两点，与y轴交于点E,点D的坐标为 6.探究性试题（期中·合肥瑶海区改编）如图， (4,n). 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2十bx (1)求抛物线的解析式， 十c的图象交x轴于点A(一4,0)，B(2,0), (2)若点Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°， 交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0, 求点Q的坐标. -2),连接AE. (1)求二次函数的解析式 (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一 个动点，求△ADE面积的最大值及此时D 点的坐标. (3)抛物线对称轴上是否存在点P,使 第4题图 △AEP为等腰三角形？若存在，请直接写 出P点的坐标；若不存在，请说明理由， 精 D B 第6题图 真题圈数学九年级J2N 类型4与四边形综合 8.(中考·泸州市)如图，在平面直角坐标系 7.探究性试题（月考·西安高新一中）如图，抛 xOy中，已知抛物线y=ax2+bx十3经过点 物线L:y=ax2十bx十3经过点B(1,0)和 A(3,0),与y轴交于点B,且关于直线x=1 (3,一12)，与两坐标轴的交点分别为A,B, 对称 C,它的对称轴为直线. (1)求该抛物线的解析式 (1)求该抛物线的解析式， (2)当一1≤x≤1时，y的取值范围是0≤y≤ (2)点F在对称轴L上，点P在抛物线上，过 2t一1，求t的值 点P作对称轴l的垂线，垂足为E,若使以 (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动 P,E,F为顶点的三角形与△AOC全等，则 点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点 点P的坐标为 D,在y轴上是否存在点E,使得以B,C,D, (3)点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是 E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该 否存在点P,使得以点A,B,P,Q为顶点的 菱形的边长；若不存在，说明理由， 四边形是平行四边形？若存在，求出所有符 合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由 第8题图 备用图 第7题图