(九上)第21章 一元二次方程-【真题圈】2025-2026学年九年级全一册数学重难题型练（人教版）

答案与解析 重难题型练 第二十一章一元二次方程 专题一解一元二次方程 1.【解】(1)移项，得-2x=2, 配方，得2一2x十1=2+1，即(x-1)=3, 开方，得x-1=±3，解得x=1+3,=1一√3. 21+(0一号)k=01+高r-吉=0… 2-12x十36=0∴(x-6)=0,.3==6. 2.【解】(1)x°十4x十2=0..x2+4x+4=2,.(x十2)2=2. ∴x+2=±2，.=-2+2，x=-2-2 (2)x(x-2)=2-x,.(x-2)(x+1)=0, .x一2=0或x十1=0，∴.x1=2,=一1. (3)8x2+10.x=3..8x2+10x-3=0. :a=8,b=10,c=-3,∴.-4ac=10-4×8×(-3)=196> 0=-10。画n==- 16 3.【解】(1D×× (2)移项.得3(x-3)-(x一3)2=0， 提取公因式，得(x-3)(3一x十3)=0. 则x一3=0或3-x十3=0，解得1=3，x1=6. 4.【解】(1)换元转化 (2)z一x212=0,令x2=a,则原方程可化为a2一a一12=0， 解得a=一3或a=4. 当a=一3时，x=一3，方程无解： 当a=4时，x2=4,解得=2，x=一2 综上，原方程的解是知1=2，x2=一2. 专题二根的判别式 1.D2.A3.B 4.6【解析】，关于x的一元二次方程(k一5)x一2x+2=0没有 实数根，∴.一5≠0且△=(-2)2一4(k一5)×2<0.解得k≠5 且>号>号：能数k的最小值是6故答案为6， 5.【解】(1)该方程有实数解.理由如下： △=[-(3+m)]2-12m=m-6m十9=(m-3)2≥0. ·该方程有实数解。 (2)根据根与系数的关系可知1十2=3十m,1=3m 2.-x十2x1=12,.2(x十x)-=12, ,∴.2(3+m)一3m=12,.m=-6,.原方程为x2+3x一18 0..(x+6)(x一3)=0,1=-6，x=3. 6.(1)【证明】'一元二次方程x2十（一1）x十m一2=0， ,'.△=(m-1)2一4(m-2)=m-2m+1-4m十8=(m-3)2. :(m一3)≥0，△>≥0..该方程总有两个实数根. (2)【解】x2十(m-1).x十m一2=0， ∴.(x十m-2)(x十1)=0，=2m,=-1. :该方程有一个根为正数，“2一m>0,<2. 7.【解】(1)由一元二次方程x一4.x十k=0有两个不相等的实数 根，得△=一4ac=(一4)一4k>0.解得k<4. (2)由k取符合条件的最大整数，可得该一元二次方程为x一4x 十3=0，解得x=1,x=3.已知一元二次方程x2一42十k=0与 x2十mx一1■0有一个相同的根，当x=1时，1十m一1=0，解得 m=0:当=3时，9十3m一1=0，解得0=一号 综上所述，如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程x一 4r十k=0与x2十mx一1=0有一个相同的根，那么m的值为0 或 专题三根与系数的关系 1.A 2.B【解析】设此方程的两个根是a,3,根据题意得a十B=一p= 一2,3=g=一20，则以a,3为根的一元二次方程是x°十2x一20 =0.故选B. 3.A【解析】：a-6a+4=0,-6b+4=0,且a≠b,.a.b可 看成方程r-6十4=0的两根a十b=6,b=4名+号 =d+E-a+b-2ab_6-2X4-7.放选A. 4.一6【解析】：关于x的一元二次方程x十mx十=0的两个 实数根分别为x=2,=一4，.2十(-4)=一m,2×(一4)= i,.m■2，n=一8，∴.m十n■一6.故容案为一6. 5.5【解析】：m是方程x2-5.x十2=0的实数根，.m2-5m+2 =0,.m2=5m-2,,,m2一4十n十1=5加一2-4十十2m =m十n十mm一2.根据根与系数的关系得m十n=5,mn=2, ,.m2一4m十n十n=5十2-2=5.故答案为5. 6.【解】(1)依题意有1一（十1）十2一1=0， 即m一m一1=0，解得m=1±5 2 (2)依题意得十1=m一1，即2一m一2=0，解得m=一1或 2.当m=一1时，x=0.解得==0，符合题意： 当m=2时，△<0，方程无实数根.综上，m=一1 7.【解】(1)当AB=AD时，□ABCD是菱形，即AB,AD的长是关 于x的方程x2一mx十2m=0的两个相等的实数根， ,.△=（一n)一4×2m=0,解得m1=0,m=8. ,AB+AD=m>0,AB·AD-2m>0,.m的值为8， 当m的值为8时，□ABCD是菱形. ()AB-3.3+AD=m.3AD-2m.3+AD-2AD. 解得AD=6,☐ABCD的周长为2×(3+6)=18. 8.【解】1关于x的方程m+(m十2)x+平=0有两个不相等 ≠0， 的实数根，。 4-6m+2-n·号>0，解得m-1且m40 (2)不存在.理由：假设存在，设方程的两根分别为，， 则西十一是子 1+1=4+=-4m时2=0m=-2. T 2 x: “,m>一1且m≠0，.m=一2不符合题意，舍去，.假设不成 立，即不存在实数m,使方程的两个实数根的倒数和等于0. 专题四实际应用 1.D 2.【解】(1)设该单位A4纸用量的月平均降低率为x 根据题意，得1000(1一x)=640, 解得x=0.2=20%,=1,8(不符合题意，舍去). 答：该单位A4纸用量的月平均降低率为20%. (2)根据题意，得640×(1一20%)=512（张）. 答：估算5月份该单位A4纸的用量为512张， 3.A【解析】，每台空气加湿器降价x元，每台空气加湿器可 盈利(50-)元.平均每天可售出30+20×壳=(30+2)台. 依题意得(50一x)(30十2x)=2000,·甲同学所列方程正确，乙 同学所列方程不正确.故选A 4.13 5.【解】任务1：70元. 任务2：若镇流器补进r件，若80≤x110, 则补进镇流器的单价为80一(x一80)=(160一x)(元)， 补进灯管的.总价为(400一x)×30=(12000一30.x)(元). 任务3：依题意，得(160一x)x十(12000-30x)=15000, 解得=30（不符合题意，舍去），2=100， 答：补进镇流器100件. 6.C7.x2+x+1=91 8【解】(1)设参加本次比赛的队员共x人 由题意，得，D=210.解方程，得=21，=一20（舍去）. 2 所以参加本次比赛的队员共21人，每个人都需要进行20场比赛 根据题意，可知胜一场积2分，负一场积1分 所以该名队员在本次比赛中的积分是2×19十1×1=39（分）. 答：该名队员的积分是39分 (2)6 分析：设该名队员在本次比赛中负y场，由题意得(20一y)×2十 y≥34，解得3y6..该名队员在本次比赛中最多负6场. 9.A 10.A【解析】设矩形ABD的边AB长为xm,则边BC的长为 (40一2x)m.根据题意，得(40一2x)x=196, 即2-20.x十98=0，解得=10+2,5=10-￥2. 又40-2r≤18，∴.x≥11.∴.x=10+2,∴只有一种闹法. 故选A 11.C【解析】：r-17x+16=0,,.(x一1)(.x-16)=0, 解得1=1，=16. 又矩形场地ABCD的长为16m.宽为9m..x=1. A.种草部分的总面积=(16一1)×(9一1×2)=105(m), :105≠112，∴.选项A不符合题意. B.种草部分的总面积=(16-1×3)×(9一1)=104(m), :104≠112，.选项B不符合题意. C,种草部分的.总而积=(16一1×2)×(9一1)=112(m), ,112=112,.选项C符合题意. D.种草部分的总面积=(16一1×2)×(9一1×2)=98(m). :98≠112，.选项D不符合题意.故选C 12.【解】设剪去小正方形的边长为xcm,即盒子的高度为xcm: 则(50一2r)(40一2.x)=600,解得=10，x1=35. 当x=35时，50-2x<0,40一2x<0,剩下的边长为负值，不合 题意，故舍去，∴.x=10 答：盒子的高度为10cm 第二十二章二次函数 专题一图象与性质 1.B【解析】y=一3(x一1)2十2，a=一3<0，.该函数的图象 开口向下，故选项A不符合题意：对称轴是直线x=1,故选项D 不符合题意：当x一]时，函数取得最大值2，故选项C不符合题 意：顶点坐标为(1,2)，故选项B符合题意.故选B 2.D【解析】由表格可得，该函数图象的对称轴是直线x=一？，十 2 =一之·选项B正确：又由表格可以发现在对称轴左边y随 x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大，.抛物 线开口向上，故选项A正确：又当x=0时，y=一2，：抛物线与 y轴交于点(0，一2)，故选项C正确：用排除法，可得选项D错 误，故选D. 3.A【解析】：二次函数图象经过P(一3，边)，P(一1，边) P(1,为)，P,(3,”)四点，且y<”<y,.抛物线开口向上， 对称轴在0和1之间，.P(一3，”)离对称轴的距离最大， P(1为)离对称轴距离最小，.最小，最大.故选A 4.B【解析】'，二次函数y=一2x2一12x一17=一2(x十3)2十1， .该函数图象的开口向下，故①正确：其图象的对称轴为直线 真题圈数学九年级U2N x=一3，故②正确：其图象的顶点坐标为（一3,1》，故③错误：当 工<一3时，y随x的增大而增大，故④正确.综上所述，共有3个 正确，故选B, 5.0或一1【解析】若k一0，则函数解析式可整理为y=2x一1，为 一次函数，其图象与坐标轴有两个交点（符合题意）.若k≠0， ",”该函数的图象与坐标轴有两个交点，，△=4十4k=0, 解得=-1.故答案为0或一1. 6.【解】(1)：二次函数y=r2一2a.x+1.∴.对称轴为直线x= 一2柔-a当x=a时y=d十1顶点坐标为a,一d+1. (2)1>0,抛物线开口向上.，对称轴为直线x=a, '。一2≤r≤a一2在对称轴的左侧，，当x=a一2时，y最小为 -4,.(a-2)2-2a(a-2)+1=-4..a=士3. 又，a-2>-2,a=3, ∴.此时二次函数的解析式为y=一6r十1. 32≤u≤是 分析：把B(4,1)的坐标代入y=x一2a.x+1得1=16一8a+1, 解得a=2,把A(5,0)的坐标代人y=x-2a.x+1得，0=25 10a十1，解得a=号.线段AB与二次函数y=广-2ar+1的 图象有公共点时，a的取值范围是2<u≤号. 7.【解】(1)，点(2，c)在抛物线y=ur十br十c(a>0)上， .4a十2h十c=c..4a十2h=0,即b=-2a. :抛物线的对称轴是直线x=1一一2后 也一一2—1.数一1. (2)如图，若点A(m,5为)与点B(m十1， )关于抛物线对称轴直线x=1对称， 则中中1-1，解得m=之 2 ,对于<工<m+1,m十1<<m十 m+2 1 2,都有y<六m≥2 A.Bin+l 故m的取值范围是m≥号 第7题答图 专题二图象与系数的关系 1.D【解析】由题图可知，抛物线开口向上，.a>0.对称轴为 直线=-1，心一品一1六6=2a>0六B不正确.：抛物 线与y轴的交点在y轴负半轴上，.<0，.<0，.A不正 确.当x=一1时，y<0,∴，a一b十c0,,C不正确.”G 0.b=2a.<0..a-2b十c=a-4a+c=-3a+c<0,.D正 确，故选D. 2.D【解析】：二次函数y=a.x+bx十c满足以下三个条件： ①2>4c,②a-什c<0,③<c,∴.由①可知，当a>0时， 4ac>0,则抛物线与x轴有两个交点：当a<0时，：一4ac<0,则 抛物线与x轴无交点.由②可知，当r=一1时，y<0.由③可知， 一b+>0.:a一b+c<0.∴a<0,.符合条件的有C,D.由C 中的图象可知，对称轴为直线x=一名>0，”a<06>0. :抛物线与y轴的负半轴相交，.c<0,则>(，故排除C.由 D中的图象可知，对称销为直线上=一品<0.：a<00, ,抛物线与y轴的负半轴相交，.c<0,则有可能<c,故满足 条件的图象可能是D故选D 3C【解析】抽图象，可知4<0.>0，-名-1<0.则6=2a< 0,,>0,故A不符合题意：根据抛物线的轴对称性质知，该 抛物线与x轴有两个交点，则：一4ac>0.∴.4ac一行<0，故B第二十一章 专题一解 1.解方程： (1)(月考·首师大附中)x2一2x-2=0. (2)(月考·西工大附中)1+（一号）x =0. 2.(联考·青岛市南区)解方程： (1)x2十4x十2=0（配方法）. (2).x(x一2)=2-x(因式分解法). (3)8.x2+10x=3(公式法). 金星教育 3.情境题（月考·北京四中）小敏与小霞两位 同学解方程3(x一3)=(x一3)2的过程如 下框： 小霞： 移项，得 小敏： 3(x-3)-(x-3)2=0, 两边同除以(x 提取公因式，得 3),得3=x-3, (x-3)(3-x-3)=0, 则x=6 则x-3=0或3-x-3=0. 解得=3，.2=0 (1)你认为他们的解法是否正确？若正确请 在横线上打“√”；若错误请在横线上打 “×”:小敏 ,小霞 重难题型练 元二次方程 元二次方程 (2)写出你的解答过程 4.方法探索阅读材料：解方程(x2一1)2一 5(x2-1)+4=0,我们可以将x2一1视为一 个整体后设x2一1=y,则(x2一1)2=y,原 方程可化为y2-5y十4=0.① 解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1, ∴.x2=2,.x=士2： 当y=4时，x2-1=4, ∴.x2=5,.x=士5. 综上，原方程的解为=√2，x2=一√2， x3=5,x4=-√5. 根据上面的解答，解决下面的问题： (1)填空：在由原方程得到方程①的过程中， 利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想. (2)解方程：x一x2一12=0. 真题圈数学九年级R)2N 专题二 根的判别式 1.(月考·清华附中)若关于x的一元二次方 6.(期中·北京海淀区)已知关于x的一元二 程kx2一6.x十9=0有实数根，则k的取值范 次方程x2十(m一1)x十m-2=0. 围是() (1)求证：该方程总有两个实数根. A.k<1 B.k≤1 (2)若该方程有一个根为正数，求m的取值 C.k<1且k≠0 D.k≤1且k≠0 范围。 2.新定义试题定义运算：m☆n=mn2一mn一1. 例如：4☆2=4×22一4×2-1=7，则方程 1☆x=0的根的情况为( A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 3.(期末·太原市)课堂上，同学们围绕一元二 次方程2x2十▲x一5=0的根的情况展开讨 论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学 的观点中正确的是() A.无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的 实数根 7.已知一元二次方程x2一4x十k=0有两个不 B.无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等 相等的实数根， 的实数根 (1)求k的取值范围 C.无论“▲”为何值，该方程都只有一个实 (2)如果k取符合条件的最大整数，且一元 数根 二次方程x2一4x十k=0与x2十m.x一1=0 D.因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有 有一个相同的根，求此时m的值. 没有实数根 4.若关于x的一元二次方程(k一5).x2一2x十2 =0无实数根，则整数k的最小值为 5.(月考·厦门双十中学)关于x的一元二次 方程x2一(3十m)x十3m=0. (1)试判断该方程解的情况并说明理由. (2)若x1x2是该方程的两个实数根，且2.x 一x1x2十2.x2=12,求该方程的解. 2 专题三根 1.(期中·天津和平区)若x1,x2是方程2x2- x十2=3.x十1的两个根，则( A.x1+x2=2 B.x1十x2=1 C.22=-2 D.x1x2=1 2.情境题（期中·合肥四十入中）在解一元二 次方程x2十px十q=0时，小红看错了常数 项q,得到方程的两个根是一3,1：小明看错 了一次项系数p,得到方程的两个根是5， 一4.则原来的方程是() A.x2+2.x-3=0 B.x2+2x-20=0 C.x2-2x-20=0 D.x2-2x-3=0 3.(月考·华南师大附中)已知实数a,b分别 满足a2一6a十4=0，-6b+4=0,且a≠b, 则之+号的值为 ) A.7 B.-7C.11 D.-11 4.(月考·西工大附中)若关于x的一元二次 方程x2十m.x十n=0的两个实数根分别为 x1=2,x2=一4，则m十n的值为 5.(期末·成都金牛区)已知m,n是方程x2 5x十2=0的两个不相等的实数根，则m 41十1十mn 6.(期中·西安交大附中)已知关于x的方程 x2一(m十1).x十m2一1=0，根据下列条件求 m的值， (1)方程有一个根为1. (2)方程两个实数根的和与积相等 重难题型练 与系数的关系 7.(期末·深圳南山区)已知：□ABCD的两邻 边AB,AD的长是关于x的方程x2一x十 2m=0的两个实数根. (1)当m为何值时，□ABCD是菱形？ (2)若AB的长为3，求□ABCD的周长， 8.(月考·厦门大学附属科技中学)关于x的 一元二次方程mx2+(m+2)x十=0有两 个不相等的实数根， (1)求m的取值范围. (2)是否存在实数m,使方程的两个实数根 的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若 不存在，请说明理由. 3 真题因数学九年级！2N 专题四 类型1增长（降低）率问题 1.(期末·成都金牛区)“立身以立学为先，立 学以读书为本”.为了鼓励全民阅读，某校图 书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来， 进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180 人次，前三个月累计进馆750人次，若进馆 人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长 率.设进馆人次的月增长率为x,依题意可列 方程() A.180(1+x)2=750 B.180(1+x)+180(1+x)2=750 C.180(1+x+x2)=750 D.180+180(1+x)+180(1+x)2=750 2.情境题某单位响应绿色环保倡议，提出要节 约用纸，逐步走向“无纸化”办公.据统计，单 位2月份A4纸的用量为1000张，到了4月 份A4纸的用量降到了640张， (1)求该单位A4纸用量的月平均降低率. (2)根据(1)的结果，估算5月份该单位A4 纸的用量， 类型2利润问题 3.某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售 出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售 量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取 适当的降价措施.经调查发现，如果每台每 降价10元，商场平均每天可多售出20台. 在尽快减少库存的前提下，商场要想平均每 天盈利2000元，则应降价多少元？设每台 空气加湿器降价x元.根据题意，甲、乙两位 同学分别列出了以下方程 甲：(50-x)(30十2x)=2000, 乙：(50-2.x)(30+x)=2000 则下列说法正确的是( A.只有甲正确 B.只有乙正确 C.甲、乙都正确 D.甲、乙都不正确 实际应用 4.某商品的进价为5元，当售价为x元时，能 销售该商品(x十5)个，此时获利144元，则 该商品的售价为 元 5.根据以下素材，探索完成任务， 某校统一安装了日光灯，日光灯中最 素材1 易损坏的是灯管和镇流器 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共 400件.批发市场灯管的单价为30元， 镇流器的单价为80元.商家为了促销 素材2 且保证有一定的利润，当镇流器购买 数量超过80件时，每多购买1件，单价 下降1元，但单价不低于50元 问题解决 若学校补进镇流器90件，直接写出补 任务1 进镇流器的单价为多少元 设补进镇流器x件，若80≤x≤110，求 补进的镇流器的单价为多少元，补进 任务2 灯管的总价为多少元（用含x的代数 式表示) 在任务2的条件下，若该校后勤部补 任务3 进镇流器和灯管共花了15000元，求 补进镇流器多少件 类型3计数问题 6.(期末·天津河北区改编)在国庆节的一次 同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小 礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的 同学有() A.9名 B.10名 C.11名 D.12名 7.(期末·武汉硚口区)某种植物的主干长出 若干数目的支干，又长出同样数目的小分 支，主干、支干和小分支的总数是91.设每个 支干长出x个小分支，则可得方程为 8.(期末·北京朝阳区)某校乒乓球队举行队 内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一 场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结 束后依据胜负给出相应积分.本次比赛一共 进行了210场，用时两天完成.下面是第一 天比赛结束后部分队员的积分表： 队员号码 比赛场次 胜场负场积分 1 10 8 2 18 2 10 10 0 20 3 8 7 1 15 4 8 2 14 5 7 7 7 (1)在本次比赛中，有一名队员只输掉了一 场比赛，则该名队员的积分是多少？ (2)如果有一名队员在本次比赛中的积分不 低于34分，那么他最多负 场 金星教管 类型4几何问题 9.(期末·北京海淀区)把长为2m的绳子分 成两段，使较长一段的长的平方等于较短一 段的长与原绳长的积.设较长一段的长为 xm,依题意，可列方程为( A.x2=2(2-x) B.x2=2(2+x) C.(2x)2=2x D.x2=2-x 10.(期末·石家庄长安∠∠∠∠∠∠ M D 区)空地上有一段长为 am的旧墙MN,工人 师傅欲利用旧墙和木 第10题图 栏围成一个封闭的矩形菜园（如图）.已知 木栏总长为40m,所围成的菜园面积为 重难题型练 Sm.若a=18,S=196,则( A.有一种围法 B.有两种围法 C.不能围成菜园 D.无法确定有几种围法 11.情境题某小区计划在一个长16m,宽9m 的矩形场地ABCD上修建若干条同样宽的 小路，纵向的与AB平行，横向的与AD平 行，其余部分种草.已知种草部分的总面积为 112m,设小路的宽为xm,若x满足方程x 一17.x十16=0，则修建的示意图是( ) 0 A B D C D 12.(月考·西工大附中)如图，将一块长 50cm,宽40cm的铁皮剪去四个正方形的 角，就可以折成一个长方体无盖盒子.如果 盒子的底面积为600cm,求盒子的高度. 精品 第12题图