(九上)第2章 一元二次方程-【真题圈】2025-2026学年九年级全一册数学真题天天练（北师大版）

真题圈数学九年级12N 第二章一元二次方程 卷5一元二次方程及其解法 建议用时：40分钟 满分：70分 一、选择题（每小题3分，共24分） 是( 1.(月考·清华附中)已知关于x的方程(k 3)xM-1+(2k-3)x+4=0是一元二次方程，则 输人x ≤0 输出划 k的值应为( 3=x+1 A.±3 B.3 第7题图 C.-3 D.不能确定 A.3 B.-3 2.将方程5x2+1=4x化成a2+bx+c=0的形式， C.-3或8 D.8 则a,b,c的值分别为( 8.新定义问题定义：若两个一元二次方程有且 A.5,4,1 B.5,4,-1 只有一个相同的实数根，我们就称这两个方 C.5,-4,1 D.5,-4,-1 程为“同伴方程”.例如x2=4和(x-2)(x+3) 3.(联考·青岛市南区)用配方法解一元二次方 =0有且仅有一个相同的实数根x=2,所 程3x2-6-5=0时，下列变形正确的是( 以这两个方程为“同伴方程”.若关于x的 Ax-102-号 B.x-102=号 方程ar2+bx+c=0(a≠0)的参数同时满 C.(x-1)2=8 D.(x-1)2=6 足a+b+c=0和a-b+c=0,且与方程(x+ 2)(x-n)=0互为“同伴方程”，则n的值 4.x=2-2+4×2x1是用公式法解一元二 2×2 为( 次方程得到的一个根，则满足要求的方程 A.1或-1 B.-1 是( C.1 D.2 A.2x2-2x-1=0 B.2x2-2x+1=0 C.2x2+2x+1=0 D.2x2+2x-1=0 二、填空题（每小题3分，共12分） 5.(月考·华南师大附中改编)已知m为一元 9.(月考·山西省实验中学)一元二次方程 二次方程x2+3x-2024=0的一个根，那么 x(x-3)=0的解是 2m2+6m-2024的值为( 10.（月考·沈阳七中)若关于x的一元二次方 A.2024 B.-2024 程(m-3)x2+4x+1=0有实数解，则m的取 C.0 D.4048 值范围是 6.(月考·成都外国语学校)下列一元二次方 11.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4 程中没有实数根的是( =0的常数项为0，则m的值等于 A.x2-3x=0 B.x2+3x-1=0 12.(期末·西安高新一中)若关于x的一元二 C.2x2-4x+3=0 D.5x-2=3x2 次方程a2+br-3=0(a≠0)有一个根为x 7.程序框图按如图所示的程序运算，如果 =7,则方程a(x-1)2+bx-3=b必有一根 输出的y的值为9，则输入的x的值可能 为 10 真题天天练（上） 三、解答题（共34分） 根据上面的解答，解决下面的问题： 13.(联考·青岛市南区)(12分)解方程： (1)填空：在由原方程得到方程①的过程 (1)4(x+1)2=直接开平方法). 中，利用 法达到了降次的目的，体 现了 的数学思想 (2)x2+4x+2=0(配方法) (2)解方程：x-x2-12=0. (3)x(x-2)=2-x(因式分解法). (4)8x2+10x=3(公式法) 15.（月考·厦门外国语学校)(12分)已知关于 x的一元二次方程x2+mx+n+4=0. (1)若n=1,且此方程有一个根为-1，求 m的值. (2)若m=4,判断此方程根的情况. 14.(10分)阅读材料：解方程(x2-1)2-5(x2-1) +4=0,我们可以将x2-1视为一个整体，设 x2-1=y,则(x2-1)2=y2,原方程化为y2 5y+4=0.① 解得y,=1,y2=4 当y=1时，x2-1=1, ∴x2=2,x=√2； 当y=4时，x2-1=4, x2=5,.x=±5 ∴.原方程的解为x=√2，x2=-√5，x= V5,x=-√5. 11 真题圈数学九年级12N 卷6 一元二次方程的根与系数的关系 建议用时：25分钟满分：40分 一、选择题（每小题3分，共18分） 二、填空题（每小题3分，共12分）》 1.(期中·沈阳沈北新区)一元二次方程x2: 7.(月考·重庆育才中学)设a,b是方程x2+x- 2x+b=0的两个根分别为x,和x2,则x+x, 2025=0的两个实数根，则(a-1)(b-1)的 等于() 值为 A.-2 B.b 8（月考·厦门大学附属科技中学改编)设x, C.2 D.-b x,是一元二次方程x2+x-2024=0的两个根， 2.(月考·华南师大附中)已知关于x的一元 则x2+2x+x2= 二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x,=1, 9.(月考·青岛大学附中改编)关于x的方程 x2=2,则b与c的值分别为( 2x2+(m2-9)x+m+1=0,当m=时， 两根互为倒数： A.b=3,c=2 B.b=3,c=-2 10.(月考·清华附中)若方程x2+(m2-1)x+1+ C.b=-3,c=2 D.b=-3,c=-2 m=0的两根互为相反数，则m= 3.(联考·武汉砾口区)一元二次方程x2-√2x -1=0的两个实数根分别是x,x2,则x+ 三、解答题（共10分） √2x,的值是( 11.(联考·沈阳铁西区)已知关于x的一元二 A.1 B.√2 次方程x2-6x+k=0. C.2+1 D.3 (1)若方程有两个不相等的实数根，求k的 4.在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小刚看 取值范围 错了常数项c,得到的解为x,=3,x2=4.小 (2)若方程的一个根是3+√2，求k的值和 明看错了一次项系数b,得到的解为x,=1, 方程的另一个根 x2=2,则原来的方程为( (3)若x,x2是这个方程的两个根，且x A.x2-7x+2=0 B.x2-7x+14=0 +x号+3x2=25,则k= C.x2+7x+2=0 D.x2+7x+14=0 5.若m,n是一元二次方程x2+2x-1=0的两 个实数根，则m+m2 2m-1 ,-mn=( A.-3 B.-√2 C.2 D.3 6.(月考·福州屏东中学)关于x的方程ax2+ bx+c=0有两个不相等的实根x,x2,若x =2x,则4b-9ac的最大值是( A.1 B.√2 C.5 D.2 12 真题天天练（上） 卷7应用一元二次方程 建议用时：20分钟满分：25分 一、选择题（每小题3分，共12分） 二、填空题（每小题3分，共6分） 1.情境题某种品牌的运动服经过两次降价， 5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向 每件售价由560元降为315元，已知两次降 本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 价的百分率相同，求每次降价的百分率.设 182件，如果全组有x名同学，则根据题意列 每次降价的百分率为x,下面所列的方程中 出的方程是 正确的是( 6.(联考·沈阳铁西区)如图，老李想用长为 A.560(1+x)2=315 70m的栅栏，再借助 B.560(1-x)2=315 房屋的外墙（外墙长不 C.560(1-2x)2=315 超过35m)围成一个 BE下 D.560(1-x2)=315 矩形羊圈ABCD,并 第6题图 2.(模考·广州花都区二模)为丰富乡村文体 在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处， 生活，某地区准备组织乡村篮球联赛，赛制 另用其他材料).当羊圈的边AB为 m 为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划 时，能围成一个面积为640m2的羊圈 安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛， 三、解答题（共7分） 可列方程得( A3x(-l1)=28 7.(联考·贵阳乌当区节选)如图，在△ABC中， B.7x(x+I)=28 ∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm,点Q从点 C.x(x-1)=28 D.x(x+1)=28 A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动， 3.数学文化我国南宋数学家杨辉在《田亩比 点P从点B开始沿BC边向点C以2cmS的 类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直 速度移动.如果P,Q两点同时出发，那么几秒 田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问 时，△PBQ的面积等于4cm2? 长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864 平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多 多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题 意的方程是() A.(60-x)x=864 Q B.60-x.60+x=864 2 2 第7题图 C.(60+x)=864 D.(30+x)(30-x)=864 4.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个 支干又长出同样数目的小分支，主干、支干 和小分支的总数为73，则每个支干长出的小 分支个数是() A.7 B.8 C.9 D.10 13答案与解析 16.1.8【解析】如图.连接EF,设MC与AD交于点G.四边形 ABCD是矩形，∴∠D=90°，CD= D AB=6·点D关于直线CE对称的 点是F,DE=EF.∠EFC=∠D =90°，CF=CD=6,.∠EFG=MA 90°.设AM=DE=x.则AE=3-x. 第16题答图 ∠MAG=∠EFG=90°. BM=6+x在△AMG与△FEG中， ∠MGA=∠EGF AM =EF, ,.△AMG≌△FEG(AAS,.MG=EG,AG=FG,,∴.AG+ EG FG+MG,FM=AE =3-x..CM=6+3-x =9-x. CP=BC+BMP,.(9-x)2=32+(6+x)2,.x=1.2, ∴AE=3-12=1.8.故答案为1.8 17.【解](1)PB=(18-)cm (2)如图①，过B点作BN⊥CD于点N:AB∥CD.∠ADC =90°，.∠A=90°，∴.∠A=∠ADC=∠BND=90°， ,.四边形ADNB是矩形 .'BN AD 12 cm.DN AB 18 cm. CD =23 cm..'CN CD-DN 5 cm. 在Rt△BWC中，根据勾股定理可得BC=√BW+CW2= √5+122=13(cm). 直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平 行四边形，分两种情况： ①四边形PQCB是平行四边形，示意图如图②所示 AB∥CD,即PB∥CQ ∴，只需PB=CQ即可，由(1)知，PB=(18-t)cm ,Q以2cms的速度沿折线B-C-D向终点D运动. ∴.运动时间为1s时，CQ=2-BC=(21-13)cm, ÷184=213,解得1=} ②四边形ADQP是平行四边形.示意图如图③)所示 同理，：AP∥DQ,.只需AP=DQ,四边形ADQP是平行 四边形.AP=1cm,DQ=CD+CB-21=(36-21)cm, .36-21=1,解得1=12. 综上所述，当1=引或12时，直线PQ把四边形ABCD分成两 31 个部分，且其中的一部分是平行四边形 (3)设Q的速度为xcms,由(2)可知，Q在CD边上，此时四边 形PBCQ可为菱形 :PB∥CQ,∴.只需满足PB=BC=CQ即可， 由(1)知.PB=(18-f)cm, 由(2)知，CQ=(xt-13)cm,BC=13cm, ∴.18-1=13，x1-13=13,解得1=5，x=5.2, ∴当点Q的速度为5.2cms时，四边形PBCQ可为菱形 B CD Q ② 团 第17题容图 18【证明】(1)①：四边形ABCD是正方形，，AC⊥BD,OB= OD...MB MD. ②如图①，过点M作ME⊥BC于点E,MF⊥AB于点E ,将线段MD绕点M旋转，点D恰好落在边BC上的点N处 .MD MN 又，MD=MB..MN=MB :ME⊥BN,·EN=BE,∴BN=2BE MF⊥AB,ME⊥BC,∠ABC=90°，∴.四边形MFBE为矩形， MF =BE. ,四边形ABCD是正方形，∴.∠CAB=45, .∠MAF=∠AMF=45,,,MF=AF, ÷ME=5AM:BN=5AM 2 D D E ① 2 第18题答图 (2)·四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， .AB=BC,AC⊥BD,DO=BO. .△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD,.DM=BM 'DM=MN,∴.MN=BM 如图②，作MH∥BA交BC于点H,EH∥AM交BA于点E, 则四边形AMHE是平行四边形，∠CMH=∠BAC=60°， ∠CHM=∠ABC=6O°，.△CMH,△BEH都是等边三角形. .AM=BH=EH. 作M⊥BC于点G,则CG=GH,NG=BG, ∴CN=BH,∴，AM=CN 第二章一元二次方程 卷5一元二次方程及其解法 1.C2.C3.A4.D 5.A【解析】：m为一元二次方程x2+3x-2024=0的一个根， .m2+3m=2024.∴.2m2+6m=2(m2+3m)=2×2024= 4048,∴.2m2+6m-2024=2024.放选A 6.C7.C 8.A【解析】：关于x的方程ar+bx+c=0(a≠0)的参数同时 满足a+b+c=0和-b+c=0,∴.关于x的方程ar2+br+c=0 (a≠0)的两个实数根为x=1或x=-L.(x+2)(x-n)=0, .x+2=0或x-n=0,.(x+2)(x-n)=0的根为x=-2或x =n.ar2+br+c=0(a≠0)与(x+2)(x-n)=0互为“同伴方 程”，n=1或n=-l.故选A 9.x,=0,x2=310.m≤7且m≠311.-2 12.x=8【解析】：a(xr-1)2+br-3=b,∴.a(x-1)24b(x-1)-3 =0.令x-1=1,则ar+bi-3=0.由题意可知，方程a㎡+b1-3 =0有一根为1=7，∴.a(x-1+b(x-1)-3=0有一根满足x-1 =7,.x=8故答案为x=8 1B解11)412=子6x+1)2=6x1=± “%=-5=- (2)+4x+2=0,.x2+4r+4=2, (x+2)2=2,x+2=士V2, .x=-2+√2，x2=-2-√2 (3)x(x-2)=2-x,.(x-2)(x+1》=0. x-2=0或x+1=0,x,=2.52=1 (4)将原方程化为一般式，得8r2+10r-3=0. a=8,b=10,c=-3, ,.b2-4ac=100-4×8×(-3)=196>0. x=-10±0g==-2 16 14.【解】(1)换元换元 (2)令a=x2,则原方程可化为d2-a-12=0, 解得a=-3或a=4, ∴x2=-3(舍去)或x2=4. 解得x,=2,x2=-2 故原方程的解是x,=2,x2=-2 15.【解】(1)将x=-1,n=1代人原方程，得(-1)3-m+1244=0, 解得m=6 (2)当m=4时，原方程为244x+m44=0, ,.4=42-4×1×(m2+4)=-4m2 当n=0时，A=一4n2=0.此时原方程有两个相等的实数根： 当n≠0时，4=4r<0,此时原方程无解 卷6一元二次方程的根与系数的关系 1.C2.C 3.D【解析】小：2√2x-1=0的两个实数根分别是x,x, =V2x+1,x+杯=2，·+2x3=2+1+2x= V2(x+x)+1=2+1=3.放选D. 4.A【解析】根据题意，得3+4=-b,1×2=c,解得b=-7,c =2,.原来的方程为x-7x+2=0.故选A 5.D【解析上，m,n是一元二次方程x+2x-1=0的两个实数根， ,m2+2m-1=0,m+n=-2,mn=-1,.m2=-2m+1, 、m+mn-m=mm+m-(-)）=2m+x-2+1= 2m-1 2m-1 2m-1 2+1=3.故选D 6.D【解析】由方程a2+br+c=0有两个不相等的实根x,x,可 得a40.场=-台5=台”5=23=-合2式 a -台2（给-号整理得9c=2水则-9e=-2水46 =-2(b2-2b)=-2(b-1)2+2,故4b-9ac的最大值为2.放选D 7.-2023 8.2023【解析】：x,x,是一元二次方程x+x-2024=0的两 个根，.x+灯=-1.且x2+-2024=0.则x+杯，=2024. +2+x3=2+x+x,+比=2024+(-1)=2023. 故答案为2023 9.1 10.-】【解析】：方程x2+(m2-1)x+1+m=0的两根互为相反数， ∴-m2=0,解得m=1或m=-L把m=1代入原方程 得x2+2=0,该方程无解，.m=1不合题意，舍去：把m=-1 代人原方程，得x=0,解得x,=x2=0,符合题意，∴m=-1 故答案为-1. 11【解】(1)：方程有两个不相等的实数根， .(-6)2-4k>0.解得k<9,故k的取值范围是k<9. (2)令方程的另一个根为m, 真题圈数学九年级12N 由根与系数的关系可知3+√2+m=6,解得m=3-√2. .k=(3+√2)×(3-2)=7. ∴.k的值为7，方程的另一个根为3√互 (3)-11 分析：”x是这个方程的两个根.x比=6，x5=k x2+x+3x2=25,.(x+x)2+x=25,6+k=25. 解得k=-11.故答案为-11 卷7应用一元二次方程 1.B2.A3.B 4.B【解析】设每个支干长出的小分支个数是x 由题意得1+x+x2=73.即x2+x-72=0. .(x49)(x-8)=0,解得x=8,x2=-9(舍去 ,每个支干长出8个小分支，故选B 5.x(x-1）=182 6.20【解析】设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70- 2x+2=(72-2x)m根据题意，得x(72-2x)=640,化简，得x- 36r+320=0,解得x=16,x=20.当AB=16m时，BC= 72-2×16=40(m>35(m).不符合题意.舍去：当AB=20m时 BC=72-2×20=32(m)<35(m).符合题意..当羊圈的边AB 为20m时，能围成一个面积为640m㎡的羊圈，故答案为20. 7.l解】设1s时，△PBQ的面积等于4cm2.则号(5-)×21=4， 整理，得-5144=0，解得1=1,5=4（舍去） 答：如果P,Q两点同时出发，那么1s时，△PBQ的面积等于 4cm. 第三章概率的进一步认识 卷8用树状图或表格求概率 1.C2.C3.A 4.D【解析】画树状图如图 开始 小强 小亮 小文正反正反正反正反 第4题答图 共有8种等可能的结果，出现三个正面向上或三个反而向上的 结果有2种，出现两个正面向上和一个反面向上的结果有3种. 出现一个正面向上和两个反面向上的结果有3种，则P(小强赢】 =专=子P(小亮藏)=是P(小文赢)=是则小强赢的概率量 小，小亮和小文赢的概率相等，故正确的答案只有D.故选D, 5.君6不公平 7.【解】画树状图如图。 开始 甲 ① ② ③ 乙②3①3①② 丁③2③①②① 第7题答图 共有6种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有4种， ·嘉宾甲与乙相邻而坐的概率为会=号