(九上)第1章 特殊平行四边形-【真题圈】2025-2026学年九年级全一册数学真题天天练（北师大版）

真题天天练（上） 第一章 特殊平行四边形 卷1菱形的性质与判定 建议用时：60分钟满分：50分 一、选择题（每小题3分，共24分） 5.（月考·青岛大学附中)下列条件中，能判断 1.(期末·长沙雨花区)如图，菱形ABCD中， 四边形是菱形的是( ∠D=150°，则∠1=() A.对角线相等的平行四边形 A.30 B.25 C.20 D.15 B.对角线互相垂直且相等的四边形 D C.对角线互相平分且垂直的四边形 D.对角线互相垂直的四边形 D 6.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠A= 120°，点E是BD上不与点B和点D重合的 第1题图 第2题图 一个动点，过点E分别作AB和AD的垂线， 2.(月考·长沙青竹湖湘一外国语学校)如图，在 垂足分别为F,G,则EF+EG的值为( 菱形ABCD中，延长AB到点E并且CE⊥AE, A.2V3 B.2 C.4V3 D.4 AC=2CE,则∠CBE的度数为( A.50 B.40 C.30 D.60 3.情境题如图，小红在作线段AB的垂直平分 D 线时，是这样操作的：分别以点A,B为圆心， 大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相 交于点C,D,则直线CD即所求，连接AC, BC,AD,BD,根据她的作图方法可知，四边 第6题图 第7题图 形ADBC一定是( 7.(期末·济南历城区)如图，菱形ABCD沿射 A.矩形 B.菱形 线AC平移，得到菱形EFGH,延长AD,GH C.正方形 D.等腰梯形 相交于点M,延长AB,GF相交于点N,若 AB=3BW=3,∠ABC=120°，则EC的长 是( ) A.3 B.4 C.5 D.25 8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相 D 交于点O,过点C作 D 第3题图 第4题图 CE∥DB交AB的延长 4.(月考·西安铁一中)如图，菱形ABCD的 线于点E,下列结论不一 B 定正确的是( 第8题图 对角线AC,BD相交于点O,过点D作 DH⊥AB于点H,连接OH,OH=4,若菱形 AOD=号CE B.BD平分∠ABC ABCD的面积为64，则CD的长为( ) D.BE BD A.4V5 B.85C.4V3 D.8√3 C.BC=号AE 真题圈数学九年级12N 二、填空题（每小题3分，共12分） :14.(期末·广州越秀区)(8分)如图，在△ABC 9.(中考·广东)菱形的边长为5，则它的周长 中，点D,E分别是边AB,AC的中点， 是 CF∥BE,CF交DE的延长线于点F,连接 10.(期末·沈阳铁西区)已知菱形ABCD的边 BF交CE于点O 长为8，其中一条对角线AC=12,则另一 (1)求证：CF=BE 条对角线BD的长为 (2)若BE=2DE,∠ACB=70°，求∠BFC 11.(期末·北京东城区)如图，在平面直角坐 的度数. 标系xO中，若菱形ABCD的顶点A,B的 坐标分别为(-3,0)，(2,0，点D在y轴上， 则点C的坐标是 第14题图 AOB元 第11题图 第12题图 12.(月考·厦门外国语学校)如图，在菱形 ABCD中，点E在CD上，若AE=AC,∠B =50°，则∠DAE的大小为 三、解答题（共14分） 13.(中考·沈阳市)(6分)如图，在△ABC 中，AB=AC,AD是BC边上的中线，点 E在DA的延长线上，连接BE,过点C作 CF∥BE交AD的延长线于点F,连接BF, CE.求证：四边形BECF是菱形 第13题图 真题天天练（上） 卷2矩形的性质与判定 建议用时：60分钟 满分：50分 一、选择题（每小题3分，共15分） 5.（中考·上海)在四边形ABCD中，AD∥ 1.情境题要检验一个四边形的桌面是否为矩 BC,AB=CD.下列条件能使四边形ABCD 形，可行的测量方案是( 一定为矩形的是( ) A.测量两条对角线是否相等 A.AB∥CD B.AD=BC B.度量两个角是不是90 C.∠A=∠B D.∠A=∠D C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距 二、填空题（每小题3分，共15分） 离是否相等 6.(期末·广州黄埔区)如图， D.测量两组对边是否分别相等 矩形ABCD的对角线AC,BD 2.(期末·北京西城区)在Rt△ABC中，∠ACB 相交于点O,AB=OB,则 =90°，D为斜边AB的中点.若AC=8, ∠ACB的度数为 BC=6,则CD的长为( 第6题图 7.(模考·太原小店区三模)如图，在矩形 A.10 B.6 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点 C.5 D.4 B O作OE⊥AD于点E,OE=2,∠BAO= 60°，则BD的长为 0 第2题图 第3题图 3.(月考·沈阳一二六中学)如图，在矩形 第7题图 第8题图 ABCD中，O是对角线AC,BD的交点，： 8.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交 AE⊥BD于点E,若OE:OD=1:2,OD= 于点O,过点O的直线分别交AD和BC于 2cm,则AE的长为( 点E,F,AB=2,BC=4,则图中阴影部分 A.1cm B.2 cm 的面积为 C.3 cm D.2 cm 9.(模考·沈阳市三模)矩形ABCD中，AB=3, 4.(月考·郑州外国语中学)如图，矩形ABCD AD=4,则C到BD的距离为 A D 的两对角线相交于点O, 10.(联考·沈阳铁西区)如图. ∠AOB=60°，BC=3, 在矩形ABCD中，AB=4, 则矩形ABCD的面积 B AD=8,连接AC,分别以 为( 第4题图 点A和C为圆心，以大于 A.3V3 B.33 )4C长为半径作孤，两弧 第10题图 2 相交于点E和F,作直线EF分别与AD, c 、9 D AC,BC交于点G,O,H,则GH= 3 真题圈数学九年级12N 三、解答题（共20分）》 13.(月考·山西省实验中学改编)(8分)下面 11.(模考·陕师大附中二模)(6分)如图，矩形 是小林同学设计的“作矩形ABCD”的尺规 ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E,F 作图过程： 分别是OB,OC上的点，且OE=OF,连接 已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，求作： AE,DE 矩形ABCD 求证：∠EAD=∠FDA, 作法： 如图，①以点B为圆心，AC长 为半径作弧： ②以点A为圆心，BC长为半 第13题图 径作弧； 第11题图 ③两弧交于点D,C,D在AB同侧： ④连接AD,CD,则四边形ABCD是矩形. 根据小林同学设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形.（保留作图 痕迹】 (2)证明四边形ABCD是矩形 12.(模考·贵阳市一模)(6分)下面是多媒体 上的一道试题： 如图，在菱形ABCD中， 过点B作BE⊥CD于点 E,点F在边AB上，AF CE,连接BD,DF求证： 四边形BFDE是矩形 第12题图 嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路： 嘉嘉：先证明四边形BFDE是平行四边形，然 后利用矩形定义即可得证 琪琪：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用 “有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证， (1)嘉嘉的思路 琪琪的思路 (均选填“正确”或“错误”) (2)请按照你认为的正确思路进行解答， 真题天天练（上） 卷3正方形的性质与判定 建议用时：60分钟 满分：50分 一、选择题（每小题3分，共24分） 6.（模考·北师大附中三模)如图，在正方形 1.(期中·广东广雅中学)已知正方形ABCD ABCD中，BE平分∠CBD,EF⊥BD于点F, 的周长为4，则它的对角线AC的长为( 若DE=√2，则BC的长为( A.1 B.√2 A.2 B.2 C.5 D.2 C.√2+1 D.1 2.(模考·西安交大附中一模)添加下列一个条 件，能使矩形ABCD成为正方形的是( A.AB=CD B.AC⊥BD C.∠BAD=90° D.AC=BD 3.如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以 第6题图 第7题图 AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E,再 7.如图，已知边长为6的正方形ABCD,E为 分别以D,E为圆心，以大于号DE的长为半径 AD的中点，P为CE的三等分点，则△BDP 画弧，两弧交于点F,连接AF并延长，与BC 的面积是( 的延长线交于点P,则∠P=( A.8 B.9 C.10 D.12 A.90 B.45 8(模考·重庆一中二模)如图， C.30° D.22.5° 正方形ABCD的对角线相 交于点O,点E在AB边上， 点F在OD上，过点E作 EG⊥BD,垂足为点G,若 第8题图 FE=FC,EF⊥CF,OE =3,则BE的长为( 第3题图 第4题图 4.(月考·沈阳一二六中学)如图，O为正方形 A.3 B.32 ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三 C.3V5 D.2√3 角形.若AB=2,则OE的长度为( A.6 二、填空题（每小题3分，共12分） 2 B.√6 9.如果正方形的一条对角线长为4√2，那么该 C.22 D.25 正方形的面积为 5.(开学考·重庆育才中学) A 10.(月考·首师大附中)如图， 如图，在正方形ABCD中， 正方形ABCD的顶点 E是对角线BD上一点， AE的延长线交CD于点F, B,C都在直角坐标系 连接CE,若∠BAE=53°， 的x轴上，点D的坐标 则∠CEF的度数为( 第5题图 是(2,3，则点B的坐标 第10题图 A.13° B.14° C.15 D.16 是 5 真题圈数学九年级12N 11.(期中·北师大贵阳附中)如图，正方形：14.探究性问题(8分)如图，在矩形ABCD中， ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上， E是边BC上一点，过点E作对角线AC的 BC=1,CE=3,H是AF的中点，那么 平行线，交AB于点F,分别交DA和DC的 CH的长是 延长线于点G,H. (1)求证：△AFG≌△CHE (2)若∠G=∠BAC,则四边形ABCD是正 方形吗？并证明你的结论 G 第11题图 第12题图 12.(月考·郑州实验外国语中学)已知：正方 形ABCD的边长为8，点E,F分别在AD, CD上，AE=DF=2,BE与AF相交于点 第14题图 G,点H为BF的中点，连接GH,则GH的 长为 三、解答题（共14分） 13.(月考·武汉二中广雅中学)(6分)如图. 在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是 CD上一点，且CF=CD,求证：∠AEF =90° D 第13题图 6 真题天天练（上） 卷4专题 特殊平行四边形的综合 题型一折叠问题 题型二最值问题 L.如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点：6.（期中·西安莲湖区）如图，在Rt△ACB A落在对角线BD上的A'处.若∠DBC= 中，∠C=90°，AC=6,BC=8,P是斜 24°，则∠A'EB等于( 边AB上的一个动点，且P在AB上（不包含 A.66 B.60° C.57 D.48° 端点)运动的过程中，始终保持PD∥BC, PE∥AC,点D,E分别在边AC,BC上， F是DE的中点，连接PF,则PF的最小值 B 是( 第1题图 第2题图 2.(期中·辽宁省实验中学)如图，将矩形纸片 A号 B.g ABCD折叠，AE,EF为折痕，点C落在AD c号 边上的G处，并且点B落在EG上的H处， 若AB=√3，∠BAE=30°，则BC边的长 为( A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好 第6题图 第7题图 落在AD边的B'处，若AE=2,DE=6, 7.(期末·济南天桥区)如图，正方形ABCD中， ∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是( AB=3V2,点E为对角线AC上的动点，以 A.12 B.24 C.125 D.165 DE为边作正方形DEFG,点H是CD上一 点，若DH=CD,连接GH,则GH的最小 值为( ) A.2 B.22 第3题图 第4题图 4.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好 C.1 D.2 落在菱形的对称中心O处，折痕为EF若菱 8.(期中·贵阳南明区)如图，在D. 形ABCD的边长为8，∠B=120°，则EF的 矩形ABCD中，AD=3,CD 长是 =4,E是CD边上一点，连 5.(期中·青岛市北区)如图，四边形ABCD为 B 接AE,沿AE翻折△ADE,得 第8题图 正方形，点E是BC的中 到△AFE,连接CF当CF长度最小时，△CEF 点，将正方形ABCD沿 AE折叠，点B的对应点为 的面积是( 点F,延长EF交线段DC B C A B 于点P,若AB=6,则DP 第5题图 的长度为 c D.2 7 真题圈数学九年级12N 9.已知菱形OABC在平 13.(期中·济南历城区)如图，在矩形ABCD 面直角坐标系中的 中，AB=2,AD=4, B 位置如图所示，顶点D 点E在边AD上，点F A(5,0),0B=4V5, 0 在边BC上，且AE= A 第9题图 点P是对角线OB上 CF,连接CE,DF,则 第13题图 的一个动点，D(0,1),当CP+DP最短时，点 CE+DF的最小值为 P的坐标为( 14.(开学考·首师大附中)如图，在菱形ABCD A.(0,0) B 中，AB=2,∠BAD=60°，点E,F分别在 边AB,AD上，连接EF,若点A关于EF的 c(副 D(9引 对称点A'在线段BC上，则线段DF的最大 10.(期中·长沙青竹湖湘一外国语学校)如图 值是 所示，在菱形ABCD中， ∠A=60°，AB=2,E, F两点分别从A,B两点 同时出发，以相同的速 第10题图 度分别向终点B,C移动，连接EF,在移动 的过程中，EF的最小值为( 第14题图 第15题图 A.1 B.√2 15.(模考·西工大附中五模)如图，在正方 c D.5 形ABCD中，AB=6,P,Q分别为BC, 11.(期末·广州花都区)如图，在边长为10的 AB边上的动点，且AQ=BP,AP与DQ 正方形ABCD对角线上有E,F两个动点， 交于点E,连接BE,则线段BE的最小值 AB=V2EF,点P是BC中点，连接AE, 为 PF,则AE+PF的最小值 题型三 动点问题 为( 16.(期中·厦门外国语学校)如图，在矩形 A.5V5 ABCD中，AD=3,AB=6,E为AD边上 B.10√5 C.5V2 第11题图 一动点（不与A,D两点重合），连接CE,点 D关于直线CE对称的点是F,连接CF射 D.10 12.(期中·贵阳花溪区)如图，在边长为2的 线BA与射线CF交于点M若AM=DE, 则线段AE的长度为 正方形ABCD中，E,F 分别是BC,CD上的动 点，M,N分别是EF,AF 的中点，则MN的最大 值为 第12题图 第16题图 8 真题天天练（上） 17.(联考·青岛市南区)如图.在四边形ABCD 18.(期中·沈阳铁西区) 中，AB∥CD,∠ADC=90°，AD=12cm. 【基础运用】 AB=18cm,CD=23cm,动点P从点A (1)如图①，在正方形ABCD中，对角线AC 出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时 和BD交于点O,点M是线段OA上的一 动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折 个动点，且不与点O和点A重合，连接MB 线B-C-D向终点D运动，其中一个动点到 和MD,将线段MD绕点M旋转，点D恰 达终点时，另一个动点也随之停止运动，设 好落在边BC上的点N处，点N不与点B 运动时间为1s. 重合 (1)用含1的式子表示PB的长 ①求证：MB=MD; (2)当1为何值时，直线PQ把四边形 ②求证：BN=√2AM ABCD分成两个部分，且其中的一部分是 【创新探究】 平行四边形？ (2)如图②，在菱形ABCD中，∠ABC=60°， (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中 对角线AC和BD交于点O,点M是线段 某一时刻四边形PBCQ为菱形，则，点Q的 OA上的一个动点，且不与点O和点A重合， 运动速度应为多少？ 连接MB和MD,将线段MD绕点M旋转， 点D恰好落在边BC延长线上的点N处. 求证：AM=CW 第17题图 2 第18题图 9答案与解析 真题天天练（上）》 第一章特殊平行四边形 卷1菱形的性质与判定 1.D【解析】：四边形ABCD是菱形，AB∥CD,∠BAD= 2∠1，.∠BAD+∠D=180°：∠D=150°，∴.∠BAD= 180°-150°=30°，.∠1=15°.故选D. 2.D【解析】CE⊥AE,,∴.∠E=90°.，AC=2CE,.∠CAE =30°.：四边形ABCD是菱形，∴.∠BCA=∠CAE=30°， ∴，∠CBE=∠CAE+∠BCA=60°，故选D. 3.B 4.A【解析】，四边形ABCD是菱形，∴·AC⊥BD,OB=OD= BD,OC AC.DH LAB,OH -T BD,:OD=OH =4,BD=&:菱形ABCD的面积=号4C·BD=64, ,AC=16,.0C=8,.CD=OC2+0D2=45.故选A 5.C 6.A【解析】如图，连接AC交BD于点O,连接AE.,四边形 ABCD是菱形，：AC⊥BD,BO=号BD,∠BAO=号∠BAD =60°，AD=4B=4,∠AB0=30,·40=3AB=2, ∴0B=√AB2-A02=23,∴BD=2B0=4N5. :SaAo=Sam+5aae是×4W5×2=支×4BF4 ×4EG,.EF+EG=2N3.故选A B D 第6题答图 第7题答图 7.D【解析】如图，设EF与BC交于点K由平移的性质得到EF =AB=3,四边形BNFK是平行四边形，，FK=BN=1, ..EK=EF-FK=2. EK∥AB,∴.∠KEC=∠BAC.:四边形ABCD是菱形， ∠ABC=120°，.∴.∠BCA=∠BAC=30°，，∴.∠KEC=∠KCE =30°，易得EC=√5EK=25.故选D. 8.D【解析】A.:四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD, AB∥CD,OB=OD=)BD.'CE∥BD,·四边形CDBE 是平行四边形，“BD=CE,∴OD=)CE,故选项A不符 合题意，B.:四边形ABCD是菱形，.BD平分∠ABC,故选 项B不符合题意.C.,四边形CDBE是平行四边形，，BE= CD.AB BC=CD,BC=AB=BE.BC=E, 故选项C不符合题意，D.:不能得出四边形CDBE是菱形， .BE不一定等于BD,故选项D符合题意.故选D 9.2010.4、7 11.(5,4)【解析】：菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为 (-3,0),(2,0),点D在y轴上，CD=AB=AD=5.在 Rt△AD0中，由勾股定理可得DO=4,.点C的坐标是(5， 4).故答案为(5,4). 12.15【解析】：四边形ABCD是菱形，.∠D=∠B=50°， CA平分∠BCD,AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°，.∠BCD =180°-∠B=180°-50°=130，∠4CE=4BCD= 65°，：AE=AC,.∠AEC=∠ACE=65°，∴∠DAE= ∠AEC-∠D=15°.故答案为15° 13.【证明】，"AB=AC,AD是BC边上的中线，.AD垂直平分 BC,.EB=EC,FB=FC. :CF∥BE,.∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD. :DB=CD,.△EBD≌△FCD(AAS), .BE=FC..'.EB=BF FC=EC. ,∴.四边形BECF是菱形， 14.(1)【证明】点D,E分别是边AB,AC的中点，.DE∥BC ,CF∥BE,∴.四边形BEFC是平行四边形，∴.CF=BE (2)【解】由(1)可得BC=2DE. BE=2DE,.BE=BC,∴.平行四边形BEFC是菱形， .BF⊥CE,∠ACB=∠ACF=70°， .∠BFC=20°. 卷2矩形的性质与判定 1.C2.C 3.C【解析】四边形ABCD是矩形，.AO=OC=OB= OD 2 cm..OE OD 1:2..OE 1 cm,.'AE= √A02-OE2=√4-1=√5(cm.故选C 4.A【解析】，四边形ABCD是矩形，，AO=BO,∠ABC= 90°.：∠AOB=60°，.△AB0为等边三角形，∴.∠B40= 60°，.∠ACB=30°.设AB=x,则AC=2x,根据勾股定理， 得AB+BC=AC,即x2+32=(2x)2,解得x=V3,.AB=√3， ∴.矩形ABCD的面积为AB·BC=3V5,故选A 5.C【解析】A,AB∥CD,AD∥BC,,四边形ABCD是 平行四边形，由AB=CD,不能判定四边形ABCD为矩形， 故选项A不符合题意.B.:AD=BC,AD∥BC,∴四边形 ABCD是平行四边形，由AB=CD,不能判定四边形ABCD 为矩形，故选项B不符合题意.C.:AD∥BC,∴∠A+∠B =180°.∠A=∠B,.∠A=∠B=90°，.AB⊥AD, AB⊥BC,.AB的长为AD与BC间的距离.AB=CD, .CD⊥AD,CD⊥BC,.∠C=∠D=90°，.四边形ABCD 是矩形，故选项C符合题意D.:AD∥BC,.∠A+∠B= 180°，∠D+∠C=180°，∠A=∠D,'.∠B=∠C.,'AB =CD,,四边形ABCD可以是等腰梯形，故选项D不符合题 意，故选C. 6.30°【解析】：四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于 点O.,.∠ABC=90°，OA=OB.AB=OB.,.OA=OB =AB,∴△OAB为等边三角形，.∠BAO=60°，.∠ACB =90°-∠BA0=30°，故答案为30°. 7.8【解析】，四边形ABCD是矩形，.OA=OB=OD, ∠DAB=90°，∴∠AB0=∠BAO=60°，.∠AD0=∠DAO =30°.又OE⊥AD,.OE是Rt△ABD的中位线，，AB= 2OE=4,.BD=2AB=8.故答案为8. 8.4【解析】：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC,AD=BC, AO=OC,.∠EAO=∠FCO.在△AE0和△CFO中， ∠EAO=∠FCO, AO=OC, .△AEO≌△CFO,即阴影部分的面积等 ∠AOE=∠COF, 于矩形ABCD的面积的一半，“，矩形ABCD的面积是AB·BC =2×4=8,∴.阴影部分的面积是4.故答案为4. 9.冬【解析】如图，过C作CE1BD于E:四边形ABCD是 矩形，∴.CD=AB=3,BC=AD=4, D ∠DCB=90°.在Rt△BCD中，由勾股 E 定理得，BD=√BC2+CD=√4+3= 5:Sao=号BCCD=BDCR, 即3×4×3=方×5CE,解得CE= 第9题答图 号，即C到BD的距离为号故答案为号 10.25【解析1连接AH(图略).四边形ABCD为矩形， ,.AD∥BC,BC=AD=8,CD=AB=4,∠B=90° 由作图方法可知，EF垂直平分AC,,.AH=CH AH AB+BHF,:AB=4+(8-AH)2,..AH 5. :AD∥BC,.∠DAC=∠ACB'∠AOG=∠COH,AO =OC,.△AOG≌△COH(ASA),.OG=OH 'AC=√AB2+BC2=V42+82=4V5,∴A0=25, .0H=√AH-A02=V52-(2W52=N5, ∴GH=20H=25.故答案为2√5. 1L.【证明】：四边形ABCD是矩形，∴.OA=OC,OB=OD,AC =BD,.AO=OD,∴.∠ODA=∠OAD OF OE..OA+OF OD+OE,AF=DE. AD=DA,.△DAE≌△ADF(SAS, .∠EAD=∠FDA 12.【解】(1)正确正确 (2)选择嘉嘉的思路. 证明：.·四边形ABCD是菱形， ,.AB=CD,AB∥CD FA =EC,.BF=DE. ·四边形BFDE是平行四边形。 CD⊥BE,,∠BED=90°，.四边形BFDE是矩形 选择琪琪的思路。 证明：：四边形ABCD是菱形， .AD=BC,∠A=∠C :AF=CE,·△ADF≌△CBE(SAS), ∴.∠AFD=∠CEB=90°，.∠DFB=90 CD∥AB,∴.∠FBE=∠CEB=90°， ∴∠DFB=∠FBE=∠BED=90°，∴.四边形BFDE是矩形 13.(1)【解如图，四边形ABCD为所求作， C (2)【证明连接BD,如图. BC=AD, 在△ABC和△BAD中，{AC=BD, AB=BA, B ∴△ABC≌△BAD(SSS), 第13题答图 ,.∠BAD=∠ABC=90°，.∠ABC+∠BAD=180P, ∴BC∥AD. ,BC∥AD,BC=AD,.四边形ABCD是平行四边形. AC BD, 真题圈数学九年级12N ,.四边形ABCD是矩形.（对角线相等的平行四边形是矩形）】 卷3正方形的性质与判定 1.B2.B 3.D【解析】，·四边形ABCD是正方形，，，∠DAC=∠BCA= 45°，由作图知，∠CMP=号∠DAC=22.5°，∴∠P=∠BCA- ∠CAP=22.5°.故选D. 4.B【解析】：四边形ABCD为正方形，AB=2,AC= 2W2,O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边 三角形，·.L40E=90°，AE=4C=25,A0=34C=5, .0E=√AE2-402=√(22)-（√2）=√6.故选B. 5.D【解析】：四边形ABCD是正方形，∴.AB=CB,∠ABD= ∠CBD=45°.∠BAE=53°，∴.∠AEB=180°-∠ABD- ∠BAE=1800-45°-53°=82°.在△ABE和△CBE中， AB=CB. ∠ABE=LCBE,∴.△ABE≌△CBE(SAS),:.∠CEB= BE=BE, ∠AEB=82°，∴∠CEF=180°-∠AEB-∠CEB=180°- 82°-82°=16°.故选D. 6.C【解析】：四边形ABCD为正方形，.∠C=90°，∠CDB =45°，BC=CD.又BE平分∠CBD,EF⊥BD,,.EC= EF”∠CDB=45°，EF⊥BD,∴.△DEF为等腰直角三角形. DE=2,∴EF=l,∴EC=1,∴.BC=CD=DE+EC =V2+L故选C. 7.B【解析】如图，连接BE.:正方形ABCD的边长为6， 六SE为据m=6×6=36,Sam=A E 3 SC=18,56a=分5nem =18.E为AD的中点，六SCDE= 寻E带m=9:P为CE的三等分点， i.Sa=3Saa=6.Sac= 号Sace=3,SA0m=SE方最m 第7题答图 San-Sac-S6cr=36-18-6-3=9 故选B 8.B【解析】，四边形ABCD是正方形，，AC⊥BD,∠ABD= 45°.：EF⊥CF,.∠EFC=∠COF=90°，∴.∠EFG+∠CFO =∠FCO+∠CFO=90°，.∠EFG=∠FCO :EG⊥BD,∴.∠EGF=∠FOC=90. ∠EGF=∠FOC 在△EFG和△FCO中，{∠EFG=∠FCO, FE=CF. ∴.△EFG≌△FCO(AAS),∴.EG=OF=3. :∠ABD=45°，.△EBG是等腰直角三角形， ∴.BE=√2EG=3N,故选B. 9.16 10.(-1,0)【解析】，点D的坐标是(2,3)，B,C在x轴上， .DC=3,0C=2. ,四边形ABCD是正方形，.BC=CD=3, .OB=3-2=1 点B在x轴的负半轴上，.点B的坐标为(-1,0) 故答案为(-1,0). 一答案与解析 1L.√5【解析】如图，连接AC,CF在正方形MBCD和正方形 CEFG中，∠ACG=45°，∠FCG= G 45°，，∠ACF=90°.BC=1, CE =3,.AC=2,CF =32 由勾股定理得，AF=√AC2+CF2= A 25.又：H是AF的中点，.CH B =34F=5.故答案为5. C 第11题答图 12.5【解析】，四边形ABCD为正方形，，∠BAE=∠D=90°， AB=AD.,AE=DF,·△ABE≌△DAF(SAS),∴.∠ABE =∠DAF:'∠ABE+∠BEA=90°，.∴∠DAF+∠BEA= 90°，.∠BGF=∠AGE=90°.BC=8,CF=CD-DF=8-2 =6,.BF=√BC2+CF2=10.:点H为BF的中点，∴GH =)BF=5故答案为5. 13.【证明】，四边形ABCD为正方形， .AB=BC=CD=DA,∠B=∠C=∠D=90°. 设AB=BC=CD=DA=a :E是BC的中点，CF=}CD, BE-EC-1d.CF-aDF- 在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE=AB+BE=子心， 同理可得，B=ECFC=音，A=AD4DF=亮 :AE区+EF=AF,∴.△AEF为直角三角形，∠AEF=90 14.(1)【证明：四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC,AB∥CD,∠BAD=∠BCD=9O°， ,.∠GAB=∠ECH=90°. ,AD∥BC,EF∥AC,,四边形AGEC是平行四边形， .AG=EC. :AB∥CD,EF∥AC,,四边形AFHC是平行四边形， AF=CH,.△AFG≌△CHE(SAS). (2)【解】四边形ABCD是正方形 证明：，EF∥AC,∴.∠G=∠CAD. ,∠G=∠BAC,.∠BAC=∠CAD ∠BAD=90°，.∠BAC=45°. :∠B=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°， BA=BC,.矩形ABCD是正方形. 卷4专题特殊平行四边形的综合 1.C【解析】：四边形ABCD是矩形，.∠A=∠ABC=90° 由折叠的性质，得∠BA'E=∠A=90°，∠A'BE=∠ABE, ·∠ABE=∠ABE=(90°-∠DBC)=3×(90°-240)= 33°，.∠'EB=90°-∠A'BE=90°-33°=57，故选C. 2.A【解析】如图，连接CG.Rt△ABE中，∠BAE=30°，∠AEB =60°，AB=√5，设BE=x(x>0),则A G D AE=2x,根据勾股定理得x2+(√5)2 =(2x)?,得x=1,即BE=1,AE=2 ∠AEH=∠AEB=60°，AD∥BC, B E .∠GAE=∠AEB=60,.△AEG 第2题答图 为等边三角形，易证△CGE也为等边三角形，.EC=EG= AE=2,∴.BC=BE+EC=3故选A 3.D【解析J在矩形ABCD中，，AD∥BC,,∠BEF=∠EFB =60°.由折叠的性质得∠A=∠A=90°，A"E=AE=2,AB ='B',∠'EF=∠AEF=180°-60°=120°，，∠A'EB=D ∠AEF-∠BEF=120°-60°=60° 在Rt△A'EB'中，：∠A'B'E=90-60P=30°，.B'E= 2'E=4,.'B=25,∴.AB=25.AE=2,DE=6, ,∴.AD=AE+DE=2+6=8,.矩形ABCD的面积=AB·AD =25×8=16√5.故选D. 4.4【解析】如图，连接AC,BD,则AC与BD交于点O. :四边形ABCD是菱形，∴.AB=AD=CD=BC,AC⊥BD, ∠ABD=∠CBD=3∠ABC=60, .△ABD是等边三角形，'，BD=AB=8 :折叠后A与O重合，∴EF⊥AC,EF平分AO. AC⊥BD,∴EF∥BD, ∴E,F分别是AD,AB的中点， “EF为△ABD的中位线，：EF=号BD=克×8=4 故答案为4. D D B B-----B 第4题答图 第5题答图 5.2【解析如图，连接AP:四边形ABCD为正方形， ∴AD=BC=AB=6,∠B=∠C=∠D=90° :点E是BC的中点，BE=CE=BC=3 由翻折可知，AF=AB=6,EF=BE=3,∠AFE=∠B=90°， .AD=AF,∠AFP=∠D=90°.在Rt△AFP和Rt△ADP MP=MBRu△AFP≌Rt△ADP(HL).PF=PD 中，F=AD, 设PF=PD=x,则CP=CD-PD=6-x,EP=EF4FP=3+x 在Rt△PEC中，根据勾股定理得，EP严=EC+CP严，.(3+x)2 =32+(6-x)2,解得x=2.则DP的长度为2.故答案为2. 6.C【解析】如图，连接PC.:PD∥BC,PE∥AC,.四边形 CDPE是平行四边形.又：∠ACB=90°，.四边形CDPE 是矩形，·DE=PC,∠DPE=90,·PF=)DE=)PC, ∴.当PC最小时，PF也最小.当CP⊥AB时，PC最小.：AC=6, BC=gAB=10PC的最小值为4C:BC=0-学 AB :PF的最小值是号.故选C D B 第6题答图 第7题答图 7.C【解析】如图，连接CG.:四边形ABCD是正方形，四边 形DEFG是正方形，，DA=DC=AB=3V2,DE=DG, ∠ADC=∠EDG=90°，∠DAC=45°，∴.∠ADE=∠CDG, △ADE2△CDG(SAS),∴.∠DCG=∠DAE=45°，.点 G的轨迹是射线CG.根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时， GH的值最小.：DH=号CD=号×32=25，CH= CD-Dm=35-25=5,Gm=反×号=1赦选C 8.C【解析】连接AC(图略).：△ADE沿AE翻折至△AFE, △ADE2△AFE,.AF=AD,EF=DE :AF+CF≥AC,∴当A,F,C三点共线时，AF+CF最小，此时 CF最小，CF的最小值=AC-AD :四边形ABCD是矩形，∴.∠D=90° :AD=3,CD=4,.AC=VAD2+CD2=5,∴.CF长度的 最小值=5-3=2.设EF=DE=x,则CE=4-x ,∠AFE=∠D=90°，.∠CFE=90°. CE=E4CR,(42=+2,解得x=是 ·EF=3△CEF的面积是号××2=号故选C 9.D【解析】如图，连接AC,AP,AC交OB于G,作BK⊥x轴于 K.:四边形OABC是菱形，∴.AC⊥外 B OB,GC=AG,OG=BG=2V5,A. C关于直线OB对称，·PC+PD=D G PA+PD≥AD.当A,P,D三点共线时，O AK PC+PD=AD,此时PC+PD最短， 第9题客图 在Rt△A0G中，AG=V0A-0G2=√53-(2N5)=5, ·AC=25.:OA·BK=4C0BBK=4, ∴AK=√AB2-BK2=3,∴点B的坐标为(8,4). 易得直线OB的表达式为y=)x,线D的表达式为y=-专+1 1 =2 k=9 由 解得{ '∴点P的坐标为(9引故选D 5 1O.D【解析】如图，连接DB,作DH⊥AB于H. ,四边形ABCD为菱形，，AD=AB=BC=CD,∠C= ∠A=60°，·△ABD和△BCD都是等边三角形， ·.∠ADB=∠DBC=60,AD=BD. 在Rt△ADH中，AH=)AB=1,AD=2,DH=5. AD=BD. 在△ADE和△BDF中，{∠A=∠FBD,,△ADE≌△BDF, AE=BF, ∴.∠2=∠1，DE=DF,.∠1+∠BDE=∠2+∠BDE= ∠ADB=60°，.△DEF为等边三角形，∴EF=DE 当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为V3,∴，EF的 最小值为√5.故选D. C D B D 第10题答图 第11题答图 1.A【解析J如图，取CD的中点Q,连接PQ,EQ,MQ.:四边 形ABCD是正方形，且边长为10，∴.AB=BC=CD=AD =10,∠ADC=∠DAB=90°，在Rt△ABD中，AB=AD= 10,由勾股定理得BD=√AD+AB2=10N2.:点P为BC 的中点，点Q为DC的中点，.PQ是△CBD的中位线， .PQ∥BD,PQ=号BD=52.又：AB=2EF,.EF= 5N2,PQ=EF,·四边形PQEF为平行四边形，∴.PF= EQ.要求AE+PF的最小值，只需求出AE+QE的最小值即可.根 据“两点之间线段最短”，得AE+EQ≥AQ,∴，当A,E,Q三点 真题圈数学九年级12N 共线时，AE+EQ的值最小，最小值为线段AQ的长.：CD= 10,点Q为CD的中点，∴.DQ=5.在Rt△ADQ中，DQ=5, AD=10,由勾股定理得，AQ=55.故选A 12.√2【解析】如图，连接AE.:M,N分别是EF,AF的中点， MW是△AEF的中位线，MN=支AE:四边形ABCD 是正方形.∴∠B=90°，∴AE=√AB2+BE2=V4+BE,·当 BE最大时，AE最大，此时MN最大，：点E是BC上的动点， ∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，此时AE =V4+2=25,MW=号AE=V2,W的最大值为N2.故 答案为√互 9 E B 第12题答图 第13题答图 13.4√2【解析】如图，连接BE.四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,∠BAE=∠DCF=90°. ,'AE=CF,,△ABE≌△CDF(SAS),,BE=DF, ∴.CE+DF=CE+BE. 作点B关于AD的对称点B',连接CB',易知CB'的长即 CE+BE的最小值，即CE+DF的最小值. 'AB=2,AD=4,.BB=4,BC=4, ∴.BC=VBB2+BC=√42+4=42.故答案为4N2 14.2-√5【解析】如图，作BP⊥AD于点P,则∠APB=90 :四边形ABCD是菱形，AB=2,∠BAD=60°， ∴AD=AB=2.BP=√5 连接AA',FM,:点A关于FE的对称点A'在线段BC上， .FE垂直平分AA',∴AF=F:当AF=BP=5时，AF 的值最小，AF的最小值为√3.：当AF最小时，DF最大， ,DF的最大值为2-√5.故答案为2-√5. D B P 第14题答图 第15题答图 15.35-3【解析】如图，取AD的中点O,连接OE,OB :四边形ABCD是正方形， .BC=CD=AD=AB=6,∠DAQ=∠ABP=90° AQ=BP,.△DAQ≌△ABP(SAS),.∠ADQ=∠BAP :∠BAP+∠DAE=90°，，∠ADQ+∠DAE=90°， ·∠AED=90°，OE=3AD=3 :A0=3,AB=6,∠BA0=90°，.B0=VAB2+AO2= V6+32=35,.BE≥0B-0E=3V5-3, .BE的最小值为3√5-3. 故答案为3V5-3. 答案与解析 16.1.8【解析】如图，连接EF,设MC与AD交于点G.四边形 ABCD是矩形..∠D=90°，CD= D AB=6,·点D关于直线CE对称的 点是F,DE=EF,∠EFC=∠D G F =90°，CF=CD=6,∴.∠EFG=MA B 90°.设AM=DE=x,则AE=3-x, 第16题答图 ∠MAG=∠EFG=90°， BM=6+x在△AMG与△FEG中， ∠MGA=∠EGF, AM =EF, ,.△AMG2△FEG(AAS),.MG=EG,AG=FG,,∴.AG+ EG=FG+MG,FM=AE=3-x,..CM=6+3-x=9-x. :CMP=BC2+BMP,(9-x)2=32+(6+x)2,.x=1.2, ∴AE=3-12=1.8.故答案为1.8 17.【解】(1)PB=(18-t)cm (2)如图①，过B点作BN⊥CD于点N.:AB∥CD,∠ADC =90°，.∠A=90°，∴.∠A=∠ADC=∠BND=90°， ,.四边形ADNB是矩形 .BN AD 12 cm,DN AB 18 cm. .CD =23 cm,.CN CD-DN =5 cm. 在Rt△BNC中，根据勾股定理可得BC=√BW2+CN2= V52+122=13(cm). 直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平 行四边形，分两种情况： ①四边形PQCB是平行四边形，示意图如图②所示 :AB∥CD,即PB∥CQ, ,.只需PB=CQ即可，由(1)知，PB=(18-t)cm :Q以2cms的速度沿折线B-C-D向终点D运动， ∴运动时间为1s时，CQ=2-BC=(2-13)cm, 六181=2-13，解得1=} ②四边形ADQP是平行四边形，示意图如图③所示 同理，AP∥DQ,.只需AP=DQ,四边形ADQP是平行 四边形，AP=tcm,DQ=CD+CB-2t=(36-2)cm, ∴36-21=1，解得1=12 综上所述，当1=号或12时，直线PQ把四边形ABCD分成两 个部分，且其中的一部分是平行四边形 (3)设Q的速度为xcms,由(2)可知，Q在CD边上，此时四边 形PBCQ可为菱形 :PB∥CQ,∴只需满足PB=BC=CQ即可， 由(1)知，PB=(18-)cm, 由(2)知，CQ=(xt-13)cm,BC=13cm, 18-4=13,x-13=13,解得1=5，x=5.2, ∴当点Q的速度为5.2cms时，四边形PBCQ可为菱形 B P N CD CD ① ② ⊙ 第17题答图 18.【证明】(1)①：四边形ABCD是正方形，.AC⊥BD,OB= OD,∴.MB=MD ②如图①，过点M作ME⊥BC于点E,MF⊥AB于点F ,·将线段MD绕点M旋转，点D恰好落在边BC上的点N处」 MD=MN. 又MD=MB,∴.MN=MB. 'ME⊥BN,∴.EN=BE,.BW=2BE. ,MF⊥AB,ME⊥BC,∠ABC=90°，.四边形MFBE为矩形， MF BE. :四边形ABCD是正方形，.∠CAB=45°， ∴∠MAF=∠AMF=45°，.MF=AF, :MF=5AM,BN=反AM 2 o 0 ① 第18题答图 (2),·四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， .AB=BC,AC⊥BD,DO=BO, .△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD,∴，DM=BM, DM MN,MN BM. 如图②，作MH∥BA交BC于点H,EH∥AM交BA于点E, 则四边形AMHE是平行四边形，∠CMH=∠BAC=60°， ∠CHM=∠ABC=60°，∴.△CMH,△BEH都是等边三角形， ,∴.AM=BH=EH 作MG⊥BC于点G,则CG=GH,NG=BG, .CN=BH,∴.AM=CN 第二章一元二次方程 卷5一元二次方程及其解法 1.C2.C3.A4.D 5.A【解析】，m为一元二次方程x2+3x-2024=0的一个根， ∴.m2+3m=2024,,∴，2m2+6m=2(m2+3m）=2×2024= 4048,.2m2+6m-2024=2024.故选A 6.C7.C 8.A【解析】：关于x的方程ar2+br+c=0(a≠0)的参数同时 满足a+b+c=0和a-b+c=0,.关于x的方程ar2+bx+c=0 (a≠0)的两个实数根为x=1或x=-1.:(x+2)(x-n)=0, ∴.x+2=0或x-n=0,.(x42)(x-n)=0的根为x=-2或x =n.:ar2+bx+e=0(a≠0)与(x42)(x-n)=0互为“同伴方 程”，n=1或n=-1.故选A 9.x=0,x2=310.m≤7且m≠311.-2 12.x=8【解析】：a(x-1)2+bx-3=b,a(x-1)2+b(x-1)-3 =0.令x-1=t,则ar2+b1-3=0.由题意可知，方程a2+bt-3 =0有一根为1=7，.a(x-1P+b(x-1)-3=0有一根满足x-1 =7,.x=8放答案为x=8 1.[解])4412=G+12=6x1=± 小写=-5=-子 5 (2)x2+4x+2=0,.x2+4x+4=2, (x+2)2=2,x+2=±√2，