第2章 对称图形——圆（复习课件）数学苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦“对称图形——圆”单元，系统梳理圆的概念、性质、位置关系、相关角与多边形、正多边形与圆及弧长面积计算等核心知识。通过单元知识图谱构建整体框架，考点串讲细化要点，题型剖析分类突破，帮助学生建立知识内在逻辑联系。 其亮点在于采用“考点-题型-技巧”三维复习策略，如垂径定理“作距化勾股”、切线“相切必连半径线”等解题口诀，培养学生推理意识与运算能力。针对训练分层设计基础题、变式题与综合题，结合数形结合等思想，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习教学支持。

单元复习课件 第二章 对称图形——圆 苏科版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解圆的定义及对称性，点与圆、直线与圆的位置关系的判定方法、垂径定理、圆周角定理及其推论、圆内接四边形的概念、正多边形与圆的关系熟练计算弧长、扇形面积及圆锥侧面积公式 3.抽象定理的证明、综合应用与模型构建。 2.能根据圆的基本性质 、圆有关定理和推理解决复杂问题。 单元学习目标 圆的两个要素 对称图形-圆 垂径、圆周角定理 弧、弦 垂径定理 三角形的外接圆 圆的 有关概念 圆心、半径 对称性 正多边形 和圆 三角形的外切圆 圆的 有关性质 点和圆、直线和圆的位置关系 正多边形 等分圆周 弧长、扇形面积 圆锥 弧长和扇形面积 弧、弦、圆心角关系 圆内接四边形 圆周角定理 点、直线和圆的位置 三角形和圆 切线性质和判定 单元知识图谱 考点一、 圆的基本概念 圆是到定点（ ）的距离等于定长（ ）的点的集合。 连接圆上任意两点的线段叫做______，经过圆心的弦叫做______。 圆上任意两点间的部分叫做______，大于半圆的弧叫______， 小于半圆的弧叫______ 4.顶点在圆心的角叫做______，其度数等于它所对______的度数。 圆心 ​ 半径​ 弦​ 直径​ 弧​ 优弧 劣弧​ 圆心角​ 弧 考点串讲 考点二、 圆的对称性 圆既是______对称图形（对称中心为______），又是______对称图形，过圆心的任意直线都是其对称轴。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量__________。 垂径定理：垂直于弦的直径________，并且平分_____________。 推论：平分弦（非直径）的直径______于该弦。 中心 ​ 圆心 ​ 轴 ​ 分别相等 ​ 平分弦​ 弦所对的两条弧​ 垂直​ 考点串讲 考点三、与圆相关的位置关系 点 𝑃与 ⊙𝑂的位置关系： 若 𝑂𝑃<𝑟，则点 𝑃在圆______； 若 𝑂𝑃=𝑟，则点 𝑃在圆______； 若 𝑂𝑃>𝑟，则点 𝑃在圆______。 内​ 上 ​ 外 ​ 考点串讲 考点三、与圆相关的位置关系 直线 𝑙与 ⊙𝑂的位置关系： 若圆心到直线的距离 𝑑<𝑟，则直线与圆______； 若 𝑑=𝑟，则直线与圆______，该直线称为圆的______； 若 𝑑>𝑟，则直线与圆______。 切线的性质：圆的切线垂直于经过______的半径。 切线的判定：经过半径______且______ 这条半径的直线是圆的切线。 切线长定理：过圆外一点所画的两条切线长______。 相交​ 相切​ 切线​ 相离​ 切点​ 外端​ 垂直于​ 相等​ 考点串讲 考点四、圆中的角与多边形 1.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的______。 2.推论： 直径所对的圆周角是______； 同弧或等弧所对的圆周角______。 3. 圆内接四边形的对角______。 4. 三角形的外接圆圆心叫做______，是三角形______________的交点； 内切圆圆心叫做______，是三角形__________________的交点。 一半​ 直角​ 相等 互补 外心​ 三边垂直平分线​ 内心​ 三条角平分线 考点串讲 考点五、正多边形与圆 1.各边相等、各角也相等的多边形叫做_________。 2. 正 𝑛边形的中心角为 ______°，对称轴有______条。 3. 正多边形不一定是中心对称图形， 若有偶数条边，则它是中心对称图形。 正多边形​ ​ n​ 考点串讲 考点六、弧长与面积计算 1.弧长公式： 𝑙=______（其中 𝑛为圆心角度数，𝑅为半径）。 1. 扇形面积公式： 𝑆=______ 或 𝑆=______。 圆锥的侧面积公式：𝑆=______（其中 𝑟为底面半径，𝑙为母线长）。 ​ ​ 考点串讲 例1：  题型一、圆的认识 B 解析：只有在同圆或等圆中,长度相等的两条弧才是等弧,故选B. 　 下列说法错误的是 (　    ) A.直径是圆中最长的弦 B.长度相等的两条弧是等弧 C.面积相等的两个圆是等圆 D.半径相等的两个半圆是等弧 题型剖析 题型一、圆的认识 圆的特征识别技巧 第一步： 审题时迅速识别关键元素 第二步：元素有弦、直径、切线、圆心角、圆周角、弧等 题型剖析 变式： 题型一、圆的认识    解析：“圆,一中同长也”表示圆有一个圆心,圆心到圆上各 点的距离都相等,即半径都相等,故答案为圆心. 战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中就有“圆,一中同长也”的记载,这句话里的“中”字的意思可以理解为　　　    . 圆心 题型剖析 题型二、圆心角 例2： 解析：连接OC(图略).∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC=50°, ∴∠BOC=180°-50°×2=80°,∴∠AOC=∠BOC+∠AOB =80°+40°=120°,∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA=30°. 如图,OA、OB是☉O的半径,C是☉O上一点,∠AOB=40°, ∠OBC=50°,则∠OAC=　　　    °.   30 题型剖析 题型二、圆心角 圆心角的解题关键 （1）观弧定角抓核心： 紧扣圆心角与所对弧的对应关系 （2）巧用定理化关联： 熟练应用“圆周角等于同弧所对圆心角的一半”这一定理 （3）遇直径即寻直角： 牢记“直径所对的圆心角是平角180°及其推论“直径所对的圆周角是直角90° 题型剖析 题型二、圆心角 变式：    解析:连接OB(图略),∵BD=OA,OB=OA,∴BD=OA=OB,∴△OBD,△OAB都是等腰三角形,设∠D的度数是x,则∠BOD=∠D=x,∴∠BAO=∠ABO=x+x=2x,∠AOB=120°-x,在△AOB中,利用三角形的内角和是180°,可得120°-x+2x+2x=180°,解得x=20°,即∠D的度数为20°. 　 如图,延长☉O的弦AB、半径OC交于点D, BD=OA.若∠AOC=120°,则∠D的度数是　　　    .    20° 题型剖析 题型三、点与圆的位置关系 例3： 已知☉O的半径是4,点P与圆心O的距离d为方程x2-4x-5=0的一个根,则点P与☉O的位置关系为(　    ) A.点P在☉O内　　B.点P在☉O上 C.点P在☉O外　　D.不能确定 解析 ： 　∵方程x2-4x-5=0的根为x1=5,x2=-1,∴点P与圆心O的距离d=5, 设☉O的半径为r,则r=4,∴d>r,∴点P在☉O外,故选C.   C 题型剖析 题型三、点与圆的位置关系 点和圆的位置关系解题技巧 核心：计算点到圆心的距离 d 与半径 r。 ◦ d < r ⇒ 点在圆内 ◦ d = r ⇒ 点在圆上 ◦ d > r ⇒ 点在圆外 题型剖析 变式： 题型三、点与圆的位置关系 如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x与双曲线y=  交于A、B两点,P是以点C(2,2)为圆心,1为半径的圆上的 动点,连接AP,Q为AP的中点.若线段OQ长度的最大值为2, 求k的值. 题型剖析 变式： 题型三、点与圆的位置关系 解析:  连接BP,由题意可知,OQ是△ABP的中位线,所以OQ= BP, 当B、C、P三点共线,且C在线段BP上时,PB的长有最大值,因为OQ的 最大值为2,所以BP的最大值为4,此时BC=BP-PC=4-1=3,设点B(m,-m), 则(2-m)2+(m+2)2=32,,所以m2= , 因为点B(m,-m)在双曲线y= 上,所以k= -m2 =- .    题型剖析 题型四、圆心角、弧、弦之间的关系 例4： 解析：  连接AC.∵F是EC的中点,BE=AB, ∴BF是△EAC的中位线,∴BF=  AC, ∵ =  ,∴  +  = + , ∴ = , ∴BD=AC,∴BF= BD, ∴BD=2BF=12 cm. 如图,点A、B、C、D在☉O上,且 = ,E是AB延长线上一点,且BE=AB,F是EC的中点,若BF=6 cm,则BD=　　　    cm. 12 题型剖析 圆心角、弧、弦之间的关系解题技巧 （1）知一推三链转化： 弧等→圆心角等→弦等→弦心距 （2）辅助构造显关联： 遇阻时优先作弦心距或连半径 题型四、圆心角、弧、弦之间的关系 题型剖析 变式： (1)平面直角坐标系中,点A(7-2m,5-m)在第二象限,且m为整 数,求过点A的反比例函数的解析式. (2)若反比例函数y =  的图象位于第二、四象限,正比例函 数y = x的图象经过第一、三象限,求整数k的值. 题型四、圆心角、弧、弦之间的关系 题型剖析 解析：　  (1)∵点A(7-2m,5-m)在第二象限, ∴  解得  <m<5, ∵m为整数,∴m=4,∴A(-1,1), 设过点A的反比例函数的解析式为y =  (k≠0), 则  =1,解得k =-1, ∴过点A的反比例函数的解析式为y =- . (2)∵反比例函数y = 的图象位于第二、四象限, 题型四、圆心角、弧、弦之间的关系 题型剖析 例5： 题型五、垂径定理 如图,已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在弦AB上. 若PA=4,PB=6,则OP的长为　　　    .     5 解析    过O作OC⊥AB于C,连接OB,则∠OCB=90°. ∵PA=4,PB=6,∴AB=10,∵OC⊥AB,OC过圆心O, ∴AC=BC=5,∴PC=AC-AP=5-4=1, ∵OB=7,∴OC= =  =2  , ∴OP=  = =5. 题型剖析 题型五、垂径定理 垂径定理的解题技巧 1. 认准“两条件”： 必须同时满足 ①过圆心（直径/半径） 和 ②垂直弦（非直径） 两个核心条件。 2.作距化勾股： 解题必作弦心距，构造以 半径、弦心距、半弦 为边的直角三角形，利用 勾股方程 解决计算与证明。 题型剖析 题型五、垂径定理 变式： 小明所在的学习小组想借助一张矩形纸条测量一次性纸 杯杯口的直径,如图,将纸条拉直紧贴杯口,纸条的上下边沿 分别与杯口相交于C、D、A、B四点,利用刻度尺量得该纸 条宽MN=3.5 cm,AB=3 cm,CD=4 cm.请你帮忙计算纸杯的直径. 题型剖析 题型五、垂径定理 变式： 如图,连接OD,OB, 易知 MN⊥CD,MN⊥AB, ∴DM=  CD= ×4=2(cm), BN= AB= ×3=1.5(cm),设OM=x cm,则ON=MN-OM=(3.5-x)cm, ∵OM2+MD2=OD2,ON2+BN2=OB2,OD=OB,∴OM2+MD2=ON2 +BN2,∴x2+22=(3.5-x)2+1.52,∴x=1.5,∴OM=1.5 cm, ∴OD= =  =2.5(cm), ∴纸杯的直径为2.5×2=5(cm). 题型剖析 题型六、确定圆的条件 例6： 解析：在圆弧上任取三点A、B、C,连接AC,BC,作线段AC的垂直 平分线OD和线段BC的垂直平分线OE,两直线交于点O,连接 OC,OC的长就是茶壶的半径. 小明不小心把爷爷心爱的紫砂壶摔碎了,他想给爷爷买一套口径一样的茶壶,但是碎片被奶奶打扫走了,只剩了一个碎片,其示意图如图所示,你能确定茶壶的半径吗?如果能,请作出图形. 题型剖析 题型六、确定圆的条件 确定圆的条件解题技巧 一、锁定圆心与半径： 明确待定圆的本质是确定圆心位置和半径长度。 二、两法择一破题： 已知点 → 用 垂直平分线交点法 已知弦、切线等 → 用 “弦垂线 + 切线垂线”定位法 题型剖析 题型六、确定圆的条件 变式： 已知平面直角坐标系中的三个点分别为A(1,-1)、B(-2,5)、C(4,-6),则A、B、C这三个点　　　    确定一个圆(填“可以”或“不可以”). 可以 解析;设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),把A(1,-1),B(-2,5)代入得  解得  所以直线AB的解析式为y=-2x+1,当x=4时,y=-8+1=-7,所以点 C(4,-6)不在直线AB上,即点A、B、C不共线,所以过A、B、 C这三个点可以确定一个圆. 题型剖析 题型七、圆周角的概念、圆周角定理及其推论 例6： 解析：∵∠A=48°,∠APD=80°,∴∠C=80°-48°=32°, ∵  =  ,∴∠B=∠C=32°.故选A. 如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点P.若 ∠A=48°,∠APD=80°,则∠B的度数为 (　    ) A.32°　　B.42° C.48°　　D.52° A 题型剖析 题型七、圆周角的概念、圆周角定理及其推论 圆周角的概念、圆周角定理及其推论解题技巧 一、定理：圆周角度数恒等于所对同弧圆心角度数的一半 二、推两大捷径破题： ◦ 见直径 → 必构直角： 直径所对圆周角必为90°，构造直角三角形（关键模型）。 ◦ 遇同弧 → 恒等角： 同弧（或等弧）所对圆周角相等. 题型剖析 变式： 解析： (1)证明:连接AE(图略),∵AB是☉O的直径, ∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴E是BC的中点. (2)∵AB=AC,∴∠B=∠C=70°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C= 40°,∵∠BAC= ∠BOD,∴∠BOD=80°. 如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC、BC于点D、E. (1)求证:点E是BC的中点; (2)若∠C=70°,求∠BOD的度数. 题型七、圆周角的概念、圆周角定理及其推论 题型剖析 题型八、圆内接四边形 例8： 解析：∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠B+∠ADC=180°, ∵∠ADE+∠ADC=180°,∴∠B=∠ADE=70°,∴∠AOC=2∠B=140°. 如图,四边形ABCD内接于☉O,点E在 CD的延长线上.若∠ADE=70°,则∠AOC=　　　    度.  140 题型剖析 题型八、圆内接四边形 圆内接四边形解题技巧 口诀记忆： “内接四边形，对角必补平； 外角若出现， 秒等内对角！” 题型剖析 题型八、圆内接四边形 变式： 解析：∵∠E=55°,∠F=25°,∴∠A+∠ABE=180°-∠E=125°, ∠A+∠ADF=180°-∠F=155°,∴2∠A+∠ABE+∠ADF=280°, ∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ABE+∠ADF=180°,∴∠A=50°. 如图,四边形ABCD内接于☉O,AD、BC的延长线相交于点E,AB、DC的延长线相交于点F,且∠E=55°,∠F=25°,则∠A=　　　    °. 50 题型剖析 题型九 直线与圆的位置关系 例9： 解析：如图,由题意得,OA=2,OB=3,延长BO与☉O交于点P,此时点P到直线l的距离最大,最大距离是3+2=5,故选B. 在同一平面内,已知☉O的半径为2,圆心O到直线l的距离为3, 点P为圆上的一个动点,则点P到直线l的最大距离是(　    ) A.2　　 B.5　 　C.6　 　D.8 B 题型剖析 题型九 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系解题技巧 口诀速记： “位置关系看 𝑑和 𝑟，相切必连半径线； 动态最值抓垂段，弦长最值 𝑑 最小是关键！” 题型剖析 题型九 直线与圆的位置关系 变式： 解析：设☉O的半径为r,解方程x2-2x-8=0得x1=4,x2=-2,∵☉O 的半径是一元二次方程x2-2x-8=0的一个根,∴r=4,∵圆心O到 直线l的距离d=3,∴d<r,∴直线l与☉O相交. 已知☉O的半径是一元二次方程x2-2x-8=0的一个根,圆心O到直线l的距离d=3,则直线l与☉O的位置关系是　　　    . 相交 题型剖析 题型十 切线的判定与性质 例10： 解析：连接OA、OB,如图,∵∠ACB=80°,∴∠AOB=2∠ACB=160°. ∵PA,PB是☉O的切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB, ∴∠P=360°-90°-90°-160°=20°,故选B. 如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,点C为☉O上一点,若 ∠ACB=80°,则∠P的度数为 (　    ) B A.70°　　B.20°　　C.50°　　D.40° 题型剖析 题型十 切线的判定与性质 反比例函数与一次函数的综合应用解题技巧 一、明确函数表达式 二、求函数交点（联立方程） 三、先求交点，再分区间讨论 题型剖析 题型十 切线的判定与性质 变式： 如图,在☉O中,直径AB与弦CD交于点E, =2 ,连接AD,过点B的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB=68°,则∠DEB=　　　    °.   66 题型剖析 题型十 切线的判定与性质 变式： 解析：如图,连接OC,OD, ∵BF是☉O的切线,∴OB⊥BF,∴∠ABF =90°,∵∠AFB=68°,∴∠BAF=90°-∠AFB=22°, ∴∠BOD=2∠BAF=44°, ∵ =2  ,∴∠COA=2∠BOD=88°, ∴∠CDA=  ∠COA=44°, ∵∠DEB是△AED的一个外角, ∴∠DEB=∠BAF+∠CDA=66°. 题型剖析 题型十一 正多边形与圆 例11： 如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点P在 上, 点Q是 的中点,则∠CPQ的度数为 (　    ) A.30°　　B.45°　　C.36°　　D.60° B 题型剖析 题型十一 正多边形与圆 例11： 如图,连接OC,OD,OQ,OE,  ∵六边形ABCDEF是正六边形, ∴∠COD=∠DOE=  =60°, ∵Q是 的中点,∴∠DOQ=∠EOQ= ∠DOE=30°, ∴∠COQ=∠COD+∠DOQ=90°, ∴∠CPQ=  ∠COQ=45°,故选B. 题型剖析 题型十一 正多边形与圆 正多边形与圆的解题关键 口诀速记： “连心作距三角现， 中心角是生命线 题型剖析 题型十一 正多边形与圆 变式： 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上,其俯视图如图1,正六边形边长为2,且各有一个顶点在直线l上.两侧螺母不动,把中间螺母抽出并重新摆放后,其俯视图如图2,其中,中间正六边形的一边与直线l平行,有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点,则图2中: (1)∠α=　　　    度; (2)中间正六边形的中心到直线l的距离为　　　    (结果保留根号). 30 2 题型剖析 题型十一 正多边形与圆 变式： (1)作图如图所示,∵多边形是正六边形, ∴∠ACB=360°÷6=60°, ∵BC∥直线l,∴∠ABC=90°,∴α=30°. (2)设中间正六边形的中心为O,作图如图所示,由题意得,AG ∥BF,AB∥GF,BF⊥AB,∴四边形ABFG为矩形,∴AB=GF, 题型剖析 题型十二 弧长及扇形的面积 例12： 解析：  ∵BC=4,E为BC的中点,∴BE=CE=2,∴AB=BE=CE=DC,∴∠BAE=∠AEB=∠CDE=∠DEC=45°, ∴阴影部分的面积为   ×4×2-2×  =4-π. 如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,E为BC的中点,连接AE、DE.以E为圆心,EB长为半径画弧,分别与AE,DE交于点M,N,则图中阴影部分的面积为　　　    (结果保留π). 4-π 题型剖析 题型十二 弧长及扇形的面积 弧长及扇形的面积解题技巧 口诀： “弧长面积角比例， 扇形是圆几分之几； 弓形切莫忘三角， 一加一减巧拆题！ 题型剖析 题型十二 弧长及扇形的面积 变式： 解析：   的长是  =2π, 以BO为半径的半圆的弧长是10π, 则点O所经过的路线长为10π+2π=12π. 如图,在扇形纸片AOB中,OA=10,∠AOB=36°,OB在桌面内的直线l上.现将此扇形沿l按顺时针方向旋转(旋转过程中无滑动),当OA落在l上时,停止旋转,则点O所经过的路线长为　　　    .  12π 题型剖析 题型十三 圆锥的侧面积 例13： 解析：设圆锥的底面圆的半径为r cm,则 ×2πr×24=120π, 解得r=5. 用半径为24 cm,面积为120π cm2的扇形纸片,围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径为　　　    cm. 5 题型剖析 题型十三 圆锥的侧面积 圆锥的侧面积解题技巧 口诀： “圆锥侧面即扇形， 母线化身半径行； 底面周长是弧长， 比例一带天地清！ 题型剖析 题型十三 圆锥的侧面积 变式： 解析：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4, ∴AB= =  =5, ∴圆锥的母线长为5,底面圆半径为4, ∴圆锥的侧面积是5×4×π=20π.故选C. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以AC所在直线为轴,把△ABC旋转1周,得到圆锥,则该圆锥的侧面积为 (　    ) A.12π　　B.15π　　C.20π　　D.24π C 题型剖析 1． B 解析　①半径相等的圆是等圆,说法正确;②长度相等的弧不 一定是等弧,原说法错误;③以2 cm长为半径的圆有无数个, 说法正确;④平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆,原 说法错误,故选B. 给出下列说法:①半径相等的圆是等圆;②长度相等的弧是等弧;③以2 cm长为半径的圆有无数个;④平面上任意三点能确定一个圆.其中正确的是 (        ) A.②④　　 B.①③ C.①③④　　D.①②③④ 针对训练 2． 解析： 如图,连接OC.∵AB是☉O内接正六边形的一边, ∴∠AOB=360°÷6=60°,∵BC是☉O内接正八边形的 一边,∴∠BOC=360°÷8=45°,∴∠AOC=∠AOB-∠BOC =60°-45°=15°,∴n=360°÷15°=24.故选C.     如图,AB是☉O内接正六边形的一边,点C在  上, 且BC是☉O内接正八边形的一边,若AC是☉O内接正n边形的一边,则n的值是 (　    ) A.6　 　B.12　 　C.24　 　D.48 C 针对训练 3.已知☉O的直径AB等于2,弦AC长为 ,那么弦AC所对的圆周角的度数等于　　　　　    . 解析　如图,∵OA=OC=1,AC=  , ∴OA2+OC2=AC2,∴∠AOC=90°, ∴∠ADC=45°,∴∠AD'C=135°, 故答案为45°或135°.  45°或135° 针对训练 4． 解析：　 如图,AB、AC是☉O的弦,过点A的切线交CB的延长线于点D,若∠BAD=35°,则∠C=　　　    °.   35 如图,连接AO并延长交☉O于点E,连接BE, ∵AD与☉O相切于点A,∴∠OAD=90°, ∵∠BAD=35°,∴∠BAE=∠OAD-∠BAD=55°,∵AE是☉O的直径, ∴∠ABE=90°,∴∠E=90°-∠BAE=35°, ∴∠C=∠E=35°. 针对训练 5． 解析：∵∠BAE=65°,∴∠BOE=2∠BAE=130°, ∴∠BOC+∠DOE=∠BOE-∠COD=60°. 如图,在半径为1的☉O上顺次取点A,B,C,D,E, 连接AB,AE,OB,OC,OD,OE.若∠BAE=65°,∠COD=70°, 则∠BOC+∠DOE=　　　    °.   60 针对训练 6． 如图,点C是AE的中点,在AE同侧分别以AC、CE为直径作半圆B、半圆D.直线l∥AE,且与两个半圆依次相交于F、M、N、G不同的四点.若AE=10,FG=x,MN=y,则y与x之间的函数表达式为　　　　    . y=10-x 针对训练 6． 解析： 过B点作BQ⊥FM于Q,过D点作DH⊥NG于H点,连接BF、DG, 如图,则FQ=MQ,NH=GH, ∵l∥AE,∴BQ=DH,BQ⊥AE,DH⊥AE,∴四边形BDHQ为矩 形,∴QH=BD= AE=5,∴QM+MN+NH=5,∴QM+NH=5-y, ∵FQ= ,GH= ,BF=DG,∴FQ=GH, ∴FQ=MQ=NH=GH,∵FG=FM+MN+NG=2QM+MN+2NH =2(QM+NH)+MN,∴x=2(5-y)+y=10-y,∴y=10-x. 针对训练 7．  如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,点C是 上一点,过C作☉O的切线,分别交PA,PB于点D,E,若PA=6 cm,则△PDE的周长是　　　    .   解析　 12 cm 根据切线长定理得AD=CD,BE=CE,PA=PB, 则△PDE的周长=2PA=12 cm. 针对训练 8． 在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M是平面内一动点,且满足BM=2,N为MD的中点,点M运动过程中线段CN长度的取值范围是　　　　　    .    ≤CN≤  针对训练 8． 如图,连接BD,取BD的中点O,连接ON,OC, ∵N为MD的中点,∴ON为△DMB的中位线, ∴ON=  BM=1, ∴点N在以O为圆心,1为半径的圆上运动,在矩形ABCD中, OC= BD=  =  ∴CN的取值范围为   -1≤CN≤ +1, 即   ≤CN≤   . 针对训练 9． 已知:如图,AB为☉O的直径, CD与☉O相切于点C,交AB的延长线于点D,连接AC,BC, ∠D=30°,CE平分∠ACB交☉O于点E,过点B作BF⊥CE, 垂足为F. (1)求证:CA=CD; (2)若AB=12,求线段BF的长.   针对训练 9． (1)证明:连接OC, ∵CD与☉O相切于点C,∴∠OCD=90°,∵∠D=30°, ∴∠COD=90°-∠D=60°,∴∠A= ∠COD=30°, ∴∠A=∠D,∴CA=CD. (2)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠A=30°,AB=12, ∴BC= AB=6,∵CE平分∠ACB,∴∠BCE= ∠ACB=45°, ∵BF⊥CE,∴∠BFC=90°,∴△CFB为等腰直角三角形, ∴CF=BF,∵BF2+CF2=BC2,∴2BF2=36,∴BF=3 . 针对训练 ✅ 知识构建：对称图形——圆 圆→圆的对称→确定圆的条件→圆有关定理→直线与圆的位置 →正多边形与圆→弧长及扇形的面积→圆锥的侧面积 ✅ 思想方法： 数形结合、转化思想、分类讨论、建模思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $$